Time-Dependent Density Functional Theory and Real-Time Dynamics of - - PowerPoint PPT Presentation

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Collaborators: Michael M. Forbes (Seattle) Yuan-Lung (Alan) Luo (Seattle) Piotr Magierski (Warsaw/Seattle) Kenneth J. Roche (PNNL/Seattle) Yongle Yu (Wuhan, PRC) Sukjin Yoon (Seattle, now at APCTP) Funding: DOE, NSF Computing: Athena UW Cluster, Hyak UW cluster, Franklin and Hopper, NERSC and JaguarPF, NCCS, starting to use Titan, NCCS

Time-Dependent Density Functional Theory and Real-Time Dynamics of Fermi Superfluids ¡ ¡

Aurel Bulgac University of Washington

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ü Dilute atomic Fermi gases Tc ≈ 10-­‑9 ¡eV ü Liquid 3He Tc ≈ 10-7 eV ü Metals, composite materials Tc ≈ 10-3 – 10-2 eV ü Nuclei, neutron stars Tc ≈ 105 – 106 eV

• QCD color superconductivity Tc ≈ 107 – 108 eV

Superconductivity (discovered on April 8th, 1911) and superfluidity in Fermi systems are manifestations of quantum coherence at a macroscopic level

units (1 eV ≈ 104 K)

Why ¡should ¡one ¡study ¡fermionic ¡superfluidity? ¡

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Physical systems and processes we are interested in:

ü Collective states in nuclei ü Nuclear large amplitude collective motion (LACM) (Induced) nuclear fission ü Excitation of nuclei with gamma rays and neutrons ü Coulomb excitation of nuclei with relativistic heavy-ions ü Nuclear reactions, fusion between colliding heavy-ions ü Neutron star crust and dynamics of vortices and their pinning mechanism ü Dynamics of vortices, Anderson-Higgs Mode ü Vortex crossing and reconnection and the onset of quantum turbulence ü Domain wall solitons and shock waves in collision of fermionic superfluid atomic clouds

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Near and long term goals: To describe accurately the time-dependent evolution of externally perturbed Fermi superfluid systems Tool: a DFT extension to superfluid systems and time- dependent phenomena (and subsequently we have to add quantum fluctuations and extend the theory to a stochastic incarnation)

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In order to treat this plethora of phenomena one needs to treat spatially inhomogeneous systems in real time!

Methods?

• Quantum Monte Carlo is feasible for small particle numbers only

and has been implemented so far only for static phenomena

• Density Functional Theory (large particle numbers)

One needs: 1) to find an Energy Density Functional (EDF) 2) to extend DFT to superfluid phenomena (SLDA) 3) to extend SLDA to time-dependent phenomena (TDSLDA) 4) to develop a stochastic extension (STDSLDA)

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Why ¡Density ¡Func;onal ¡Theory ¡(DFT)? ¡ ¡

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One option is the two-fluid hydrodynamics (here at T=0) N.B. There is no quantum statistics in two-fluid hydrodynamics Troubles: Ø These are classical equations, no Planck’s constant, thus no quantized vortices (unless one imposes by hand quantization) Ø No physically clear physical mechanism to describe superfluid to normal transition (no role for the critical velocity)

∂n( r,t) ∂t +  ∇ i  v( r,t)n( r,t) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = 0 m ∂ v( r,t) ∂t +  ∇ m v2( r,t) 2 + µ n( r,t) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ +Vext( r,t) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = 0

Two-fluid hydrodynamics + vortex quantization is equivalent to a ``Bohr model” of a superfluid

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Another option is the phenomenological Ginzburg-Landau model (or the Gross-Pitaevskii equation, near T=0, only for bosons really):

i ∂Ψ( r,t) ∂t = − 2ΔΨ( r,t) 2M +U Ψ( r,t)

2

( )Ψ(

r,t) +Vext( r,t)Ψ( r,t)

Troubles: Ø Many would rightly claim that such an equation is not valid (as there should be no imaginary unit on the rhs) Ø Only for temperatures near and below the critical temperature (or at T=0 for GP equation) Ø Even though is a quantum approach, it describes only the superfluid phase. There is no Cooper pair breaking mechanism

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There are a number of modes, such as the so called Higgs mode, which cannot be describes in either of these phenomenological approaches. Other issues:

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One reason:

(for the nerds, I mean the hard-core theorists, not for the phenomenologists) Bertsch’s Many-Body X challenge, Seattle, 1999

What is a unitary Fermi gas and why would one want to study it?

What are the ground state properties of the many-body system composed of spin ½ fermions interacting via a zero-range, infinite scattering-length contact interaction.

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What are the scattering length and the effective range?

k cotan δ0 = − 1 a + 1 2 r

0k 2 +

σ = 4π k 2 sin2δ0 += 4πa2 +

If the energy is small, only the s-wave scattering is relevant.

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Let us consider a very old and simple example: The hydrogen atom. The ground state energy could only be a function of: ü Electron charge ü Electron mass ü Planck’s constant and then trivial dimensional arguments lead to Only the factor ½ requires some hard work.

Egs = e4m 2 × 1 2

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Let us turn now to dilute fermion matter

The ground state energy is given by a function:

Egs = f (N,V ,,m,a,r

0)

Taking the scattering length to infinity and the range

• f the interaction to zero, we are left with:

Egs = F(N,V ,,m) = 3 5ε F N ×ξ N V = kF

3

3π 2 , ε F = 2kF

2

2m

Pure number (dimensionless)

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In 1999 we did not know the sign of ξ! There were a number of papers making opposite claims around that time. Ø G.A. Baker, Jr (LANL) won the $600 prize ($300 from George + $300 from V.A. Khodel)

• Phys. Rev. C 60, 064901 (1999)

The ¡Bertsch, ¡nonparametric ¡model ¡of ¡neutron ¡ma5er ¡is ¡analyzed ¡and ¡strong ¡indica9ons ¡are ¡found ¡that, ¡ ¡ in ¡the ¡infinite ¡system ¡limit, ¡the ¡ground ¡state ¡is ¡a ¡Fermi ¡liquid ¡with ¡an ¡effec9ve ¡mass, ¡except ¡for ¡a ¡set ¡of ¡ ¡ measure ¡zero.

Ø H. Heiselberg, second runner-up

• Phys. Rev. A 63, 043606 (2001)

Ground-­‑state ¡energies ¡and ¡superfluid ¡gaps ¡are ¡calculated ¡for ¡degenerate ¡Fermi ¡systems ¡interac7ng ¡via ¡ ¡ long ¡a9rac7ve ¡sca9ering ¡lengths ¡such ¡as ¡cold ¡atomic ¡gases, ¡neutron, ¡and ¡nuclear ¡ma9er. ¡In ¡the ¡ ¡ Intermediate ¡region ¡of ¡densi7es, ¡where ¡the ¡interpar7cle ¡spacing ¡(∼1/kF) ¡is ¡longer ¡than ¡the ¡range ¡of ¡the ¡ ¡ interac7on ¡but ¡shorter ¡than ¡the ¡sca9ering ¡length, ¡the ¡superfluid ¡gaps ¡and ¡the ¡energy ¡per ¡par7cle ¡are ¡ ¡found ¡to ¡be ¡propor7onal ¡to ¡the ¡Fermi ¡energy ¡and ¡thus ¡differ ¡from ¡the ¡dilute ¡and ¡high-­‑density ¡limits. ¡The ¡ ¡ a9rac7ve ¡poten7al ¡increase ¡linearly ¡with ¡the ¡spin-­‑isospin ¡or ¡hyperspin ¡sta7s7cal ¡factor ¡such ¡that, ¡e.g., ¡ ¡ symmetric ¡nuclear ¡ma9er ¡undergoes ¡spinodal ¡decomposi7on ¡and ¡collapses ¡whereas ¡neutron ¡ma9er ¡and ¡ ¡ Fermionic ¡atomic ¡gases ¡with ¡two ¡hyperspin ¡states ¡are ¡mechanically ¡stable ¡in ¡the ¡intermediate ¡density ¡ ¡

• region. ¡The ¡regions ¡of ¡spinodal ¡instabili7es ¡in ¡the ¡resul7ng ¡phase ¡diagram ¡are ¡reduced ¡and ¡do ¡not ¡prevent ¡ ¡

a ¡superfluid ¡transi7on.

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Observation of a Strongly Interacting Degenerate Fermi Gas of Atoms O’Hara, Hemmer, Gehm, Granade, and Thomas Science, 298, 2179 (2002)

The atomic cloud expansion is similar to that observed in RHIC heavy-ion collisions.

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Superfluid Fermi Gases with Large Scattering Length Carlson, Chang, Pandharipande, and Schmidt

• Phys. Rev. Lett. 91, 050401 (2003)

We ¡report ¡quantum ¡Monte ¡Carlo ¡calcula9ons ¡of ¡superfluid ¡Fermi ¡gases ¡with ¡short-­‑range ¡two-­‑body ¡ a5rac9ve ¡interac9ons ¡with ¡infinite ¡sca5ering ¡length. ¡The ¡energy ¡of ¡such ¡gases ¡is ¡es9mated ¡to ¡be ¡ ¡0:44 ¡±0:01 ¡9mes ¡that ¡of ¡the ¡non-­‑interac9ng ¡gas, ¡and ¡their ¡pairing ¡gap ¡is ¡approximately ¡twice ¡the ¡ energy ¡per ¡par9cle.

EFG = E N = 32kF

2

10m , n = N V = kF

3

3π 2

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Solid line with open circles – Chang et al. PRA, 70, 043602 (2004) Dashed line with squares - Astrakharchik et al. PRL 93, 200404 (2004)

BEC side BCS side

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EFG = E N = 32kF

2

10m , n = N V = kF

3

3π 2

Superfluid pairing in neutrons and cold atoms

Carlson, Gandolfi, and Gezerlis, arXiv:1204.2596

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Zwierlein et al. Nature 435, 1047 (2005)

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H = T(i)

i N

∑

+ U(ij)

i< j N

∑

+ U(ijk)

i< j<k N

∑

+...+ Vext

i N

∑

(i) HΨ0(1,2,...N) = E0Ψ0(1,2,...N) n( r) = Ψ0 δ( r −  r

i) i N

∑

Ψ0 Ψ0(1,2,...N) ⇔ Vext( r) ⇔ n( r) E0 = min

n( r )

d 3r

∫

2 2m*( r) τ( r) + ε n( r) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ +Vext( r)n( r) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ n( r) = ϕi( r)

2 , i N

∑

τ( r) =  ∇ϕi( r)

2 i N

∑

Universal ¡func;onal ¡of ¡ ¡par;cle ¡density ¡alone ¡ Independent ¡of ¡external ¡poten;al ¡ Kohn-­‑Sham ¡theorem ¡(1965) ¡ Injec;ve ¡map ¡ (one-­‑to-­‑one) ¡ Normal ¡Fermi ¡systems ¡only! ¡

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¡ ¡ ¡However, ¡not ¡everyone ¡is ¡normal! ¡

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ε( r) = 2 m α τc( r) 2 −  Δ( r)νc( r) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + β 3(3π 2)2/3n5/3( r) 5 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪

• 2

m (α − 1)  j 2( r) 2n( r) Δ( r) = 2 m  Δ( r) n( r) = 2 vk( r)

0<Ek <Ec

∑

2, τc(

r) = 2  ∇vk( r)

0<Ek <Ec

∑

2,

νc( r) = uk( r)vk

*(

r)

0<E<Ec

∑

⇐ divergent without a cutoff, need RG The ¡SLDA ¡(DFT) ¡energy ¡density ¡func;onal ¡at ¡unitarity ¡ for ¡equal ¡numbers ¡of ¡spin-­‑up ¡and ¡spin-­‑down ¡fermions ¡ ¡

Three ¡dimensionless ¡constants ¡α, ¡β, ¡and ¡γ ¡determining ¡the ¡func;onal ¡are ¡ ¡ extracted ¡from ¡QMC ¡for ¡homogeneous ¡systems ¡by ¡fixing ¡the ¡total ¡energy, ¡ ¡ the ¡pairing ¡gap ¡and ¡the ¡effec;ve ¡mass ¡

Dimensional arguments, renormalizability, Galilean invariance, and symmetries determine the functional (energy density)

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solid/dotted blue line - SLDA based on homogeneous GFMC due to Carlson et al red circles - GFMC due to Carlson and Reddy dashed blue line - SLDA, homogeneous MC due to Juillet black dashed-dotted line – meanfield at unitarity

Quasiparticle spectrum in homogeneous matter

Bulgac, ¡PRA ¡ ¡76, ¡040502(R) ¡(2007) ¡

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Bulgac, ¡Forbes, ¡and ¡Magierski, ¡Lecture ¡Notes ¡in ¡Physics ¡(2012) ¡

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EOS for spin polarized systems

E(na,nb) = 3 5 (6π 2)2/32 2m nag nb na ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

5/3

Black line: normal part of the energy density Blue points: DMC calculations for normal state, Lobo et al, PRL 97, 200403 (2006) Gray crosses: experimental EOS due to Shin, Phys. Rev. A 77, 041603(R) (2008)

Bulgac and Forbes,

• Phys. Rev. Lett. 101, 215301 (2008)

Red line: Larkin-Ovchinnikov phase (unitary Fermi supersolid)

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Formalism for Time-Dependent Phenomena

“The time-dependent density functional theory is viewed in general as a reformulation of the exact quantum mechanical time evolution of a many-body system when only one-body properties are considered.”

A.K. Rajagopal and J. Callaway, Phys. Rev. B 7, 1912 (1973)

• V. Peuckert, J. Phys. C 11, 4945 (1978)
• E. Runge and E.K.U. Gross, Phys. Rev. Lett. 52, 997 (1984)

http://www.tddft.org ¡

E(t) = d 3

∫

r ε ⎡ ⎣ (n( r,t),τ( r,t),ν( r,t),  j( r,t)) +Vext( r,t)n( r,t) + ...⎤ ⎦ [h( r,t) +Vext( r,t) − µ]ui( r,t) +[Δ( r,t) + Δext( r,t)]vi( r,t) = i ∂ui( r,t) ∂t [Δ*( r,t) + Δext

* (

r,t)]ui( r,t) −[h( r,t) +Vext( r,t) − µ]vi( r,t) = i ∂vi( r,t) ∂t ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪

For time-dependent phenomena one has to add currents. Galilean invariance determines the dependence on currents.

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Energy of a Fermi system as a function of the pairing gap  n +  ∇⋅  vn ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = 0 m  v +  ∇ m v2 2 + µ n ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = 0

i  Ψ( r,t) = − 

2

4m ΔΨ( r,t) +U Ψ( r,t)

2

( )Ψ(

r,t)

Landau-Ginzburg-like equation Landau’s two-fluid hydrodynamics

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Bulgac ¡and ¡Yoon, ¡Phys. ¡Rev. ¡Led. ¡ ¡102, ¡085302 ¡(2009) ¡

Response ¡of ¡a ¡unitary ¡Fermi ¡system ¡to ¡changing ¡ ¡ the ¡scadering ¡length ¡with ¡;me ¡

• ¡All ¡these ¡modes ¡have ¡a ¡very ¡low ¡frequency ¡below ¡the ¡pairing ¡gap, ¡

a ¡very ¡large ¡amplitude ¡and ¡very ¡large ¡excita;on ¡energy ¡ ¡

• ¡None ¡of ¡these ¡modes ¡can ¡be ¡described ¡either ¡within ¡two-­‑fluid ¡hydrodynamics ¡
• r ¡Landau-­‑Ginzburg ¡like ¡approaches ¡

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• A. ¡Bulgac, ¡Y.-­‑L. ¡Luo, ¡P. ¡Magierski, ¡K.J. ¡Roche, ¡Y. ¡Yu ¡

Science, ¡332, ¡1288 ¡(2011) ¡

About ¡4 ¡hours ¡of ¡videos ¡ ¡

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Figure from Giorgini, Pitaevskii and Stringari,

• Rev. Mod. Phys., 80, 1215 (2008)

See also, Sensarma, Randeria, Ho

• Phys. Rev. Lett. 96, 090403 (2006)

Study based on BCS/Leggett approximation

Critical velocity in a unitary gas

F F

0.370(5)v min 0.385(3) v 0.370(5)v

s qp c

c k ε = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ =

Values obtained using QMC data Miller et al. (MIT, 2007)

v 0.25(3)v

c F

≈

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Movie ¡

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Movie ¡

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Movie ¡

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Movie ¡

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Movie ¡

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Number ¡density ¡of ¡two ¡colliding ¡cold ¡Fermi ¡gases ¡in ¡TDSLDA ¡ Bulgac, ¡Luo, ¡and ¡Roche, ¡Phys. ¡Rev. ¡Led. ¡108, ¡150401 ¡(2012) ¡ Observation of shock waves in a strongly interacting Fermi gas

• J. Joseph, J.E. Thomas, M. Kulkarni, and A.G. Abanov PRL 106, 150401 (2011)

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Collision ¡of ¡clouds ¡with ¡larger ¡aspect ¡ra;o ¡

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Dark ¡solitons/domain ¡walls ¡and ¡shock ¡waves ¡in ¡the ¡collision ¡of ¡two ¡UFG ¡clouds ¡

Phase ¡of ¡the ¡pairing ¡gap ¡normalized ¡to ¡εF ¡ Local ¡velocity ¡normalized ¡to ¡Fermi ¡velocity ¡

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Baldo, ¡Schuck, ¡and ¡Vinas, ¡arXiv:0706.0658 ¡

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Let us summarize some of the ingredients of the SLDA in nuclei

{ }

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = ∫ )] ( ), ( ), ( ), ( [ )] ( ), ( ), ( ), ( [ )] ( ), ( [ )] ( ), ( [ )] ( ), ( ), ( ), ( [ )] ( ), ( [

3

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r d E

n p n p S p n p n S n p N p n N p n p n S p n N gs

                  ν ν ρ ρ ε ν ν ρ ρ ε ρ ρ ε ρ ρ ε ν ν ρ ρ ε ρ ρ ε

Energy Density (ED) describing the normal system ED contribution due to superfluid correlations Isospin symmetry constraints (Coulomb energy and other relatively small terms not shown here.)

2 2 2 2

, , , ( , )[| | | | ] ( , )[| | | | ] where ( , ) ( , ) and ( , ) ( , )

S n p p n p n p n p n p n p n p n p n n p p n n p

g f g g f f ε ρ ρ ν ν ρ ρ ν ν ρ ρ ρ ρ ν ν ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ − + − + = =

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From ¡a ¡talk ¡given ¡by ¡Ionel ¡Stetcu ¡recently ¡at ¡LANL ¡

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A ¡single ¡universal ¡ ¡parameter ¡for ¡pairing! ¡

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TDSLDA equations

i ∂ ∂t un↑  r,t

( )

un↓  r,t

( )

vn↑  r,t

( )

vn↓  r,t

( )

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ˆ h↑↑  r,t

( )− µ

ˆ h↑↓  r,t

( )

Δ  r,t

( )

ˆ h↓↑  r,t

( )

ˆ h↓↓  r,t

( )− µ

−Δ  r,t

( )

−Δ

* 

r,t

( )

• ˆ

h

* ↑↑

 r,t

( )+ µ

• ˆ

h

* ↑↓

 r,t

( )

Δ

* 

r,t

( )

• ˆ

h

* ↓↑

 r,t

( )

• ˆ

h

* ↓↓

 r,t

( )+ µ

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ un↑  r,t

( )

un↓  r,t

( )

vn↑  r,t

( )

vn↓  r,t

( )

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

• The system is placed on a 3D spatial lattice
• Derivatives are computed with FFTW
• Fully self-consistent treatment with Galilean invariance
• Adams-Bashforth-Milne fifth order preditor-corrector-modifier integrator
• No symmetry restrictions
• Number of PDEs is of the order of the number of spatial lattice points

– from O(104) to O(106)

• Initial state is the ground state of the SLDA (formally like HFB/BdG)
• The code was implementated on JaguarPF, Franklin, Hopper, Hyak, Athena
• TDSLDA is about 1,000 times more complex than existing TDHF codes
• We used in 2010 and early 2011 about 75 million CPU hours on JaguarPF and

Hopper alone, and over 217,000 cores on JaguarPF. Starting to use Titan, NCCS.

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Several ¡slides ¡from ¡a ¡talk ¡given ¡by ¡Ionel ¡Stetcu ¡recently ¡at ¡LANL ¡

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Geometry ¡of ¡the ¡collision ¡of ¡a ¡rela;vis;c ¡heavy-­‑ion ¡with ¡a ¡nucleus ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡I. ¡Stetcu ¡et ¡al. ¡ ¡ Movie ¡

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Coulomb ¡excita;on ¡of ¡GDR ¡with ¡a ¡rela;vis;c ¡heavy-­‑ion ¡computed ¡in ¡TDSLDA ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡I. ¡Stetcu ¡et ¡al. ¡ ¡

Movie ¡

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Coulomb ¡excita;on ¡of ¡GDR ¡with ¡rela;vis;c ¡heavy-­‑ions ¡computed ¡in ¡TDSLDA ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡I. ¡Stetcu ¡et ¡al. ¡ ¡

Movie ¡

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100 200 300 400 σ [mb] 100 200 300 400 500 σ [mb] 8 12 16 20 24 E [MeV] 100 200 300 400 σ [mb] 8 12 16 20 24 E [MeV] SkP SLy4

172Yb 172Yb 238U 238U 188Os 188Os

Stetcu, ¡Bulgac, ¡Magierski, ¡and ¡Roche, ¡Phys. ¡Rev. ¡C ¡84, ¡051309(R) ¡(2011) ¡ ¡ ¡

Osmium ¡is ¡triaxial, ¡ and ¡both ¡protons ¡and ¡ ¡ neutrons ¡are ¡superfluid. ¡

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Neutron ¡scadering ¡of ¡238U ¡computed ¡in ¡TDSLDA ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡I. ¡Stetcu ¡et ¡al. ¡ ¡ Movie ¡

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Real-­‑;me ¡induced ¡fission ¡of ¡280Cf ¡computed ¡in ¡TDSLDA ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡I. ¡Stetcu ¡et ¡al. ¡ ¡ Movie ¡