Time and Length Scales in Glassy Systems Giulio Biroli - - PowerPoint PPT Presentation

Time ¡and ¡Length ¡Scales ¡in ¡ Glassy ¡Systems

Giulio ¡Biroli ¡

Institute ¡for ¡Theoretical ¡Physics, ¡CEA ¡Saclay, ¡France

Glassy ¡systems ¡

Condensed ¡and ¡soft-­‑matter ¡systems,...., ¡computer ¡science ¡(optimization ¡ problems), ¡economics ¡(agent ¡based ¡models)... Super-­‑cooled ¡liquids ¡and ¡structural ¡glasses Colloidal ¡liquids ¡and ¡colloidal ¡glasses

Slow ¡Dynamics ¡and ¡the ¡Glass ¡Transition

• Relaxation ¡time: ¡

¡ ¡picoseconds ¡-­‑> ¡days

• It ¡ takes ¡ one ¡ second ¡ to ¡ a ¡

molecule ¡ to ¡ move ¡ of ¡ one ¡ Angstrom!

log(viscosity in poise)

Tg/T η ∝ τ ∝ exp

• D

T0 T − T0

Slow ¡Dynamics ¡and ¡the ¡Glass ¡Transition

• Relaxation ¡time: ¡

¡ ¡picoseconds ¡-­‑> ¡days

• It ¡ takes ¡ one ¡ second ¡ to ¡ a ¡

molecule ¡ to ¡ move ¡ of ¡ one ¡ Angstrom!

Tg/T

log(viscosity in poise)

Tg/T η ∝ τ ∝ exp

• D

T0 T − T0

Slow ¡Dynamics ¡and ¡the ¡Glass ¡Transition

• Relaxation ¡time: ¡

¡ ¡picoseconds ¡-­‑> ¡days

• It ¡ takes ¡ one ¡ second ¡ to ¡ a ¡

molecule ¡ to ¡ move ¡ of ¡ one ¡ Angstrom!

Tg/T

log(viscosity in poise)

Tg/T η ∝ τ ∝ exp

• D

T0 T − T0

Disordered ¡structure

Liquid Glass A ¡snapshot ¡of ¡a ¡glass ¡looks ¡like ¡the ¡one ¡of ¡a ¡liquid! ¡

• W. ¡Krauth

Models

H = X

i<j

U(xi − xi) Z = X

C

exp(−βH)

Newtonian ¡Dynamics Langevin ¡ ¡Dynamics Super-­‑cooled ¡liquids

U(r) r

σ Colloids ¡

Rugged ¡Energy ¡Landscape

A ¡huge ¡number ¡of ¡minima, ¡saddles ¡and ¡maxima

D.J. ¡Wales ¡et ¡al.

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

38 ¡LJ ¡particles

A ¡Conceptual ¡and ¡Theoretical ¡ Challenge ¡

• Huge ¡number ¡of ¡competing ¡low ¡temperature ¡phases
• What ¡kind ¡of ¡long-­‑range ¡order: ¡amorphous ¡order?
• Properties ¡of ¡the ¡ideal ¡glass ¡state
• Dynamics ¡in ¡such ¡a ¡complex ¡landscape

A ¡Conceptual ¡and ¡Theoretical ¡ Challenge ¡

A NEW AND VAST UNIVERSALITY CLASS

• Huge ¡number ¡of ¡competing ¡low ¡temperature ¡phases
• What ¡kind ¡of ¡long-­‑range ¡order: ¡amorphous ¡order?
• Properties ¡of ¡the ¡ideal ¡glass ¡state
• Dynamics ¡in ¡such ¡a ¡complex ¡landscape
• ­‑>Kirkpatrick, ¡ Thirumalai, ¡ Wolynes ¡ ’85-­‑’90: ¡

relationship ¡with ¡spin-­‑glasses

• A ¡lot ¡of ¡metastable ¡states ¡below ¡a ¡characteristic ¡temperature
• Competition ¡between ¡free-­‑energy ¡and ¡conQigurational ¡entropy ¡

Mean-­‑Field ¡Theory ¡for ¡Rugged ¡Energy ¡Landscapes

N(f) = exp(Nsc(f))

Z = Z d fN(f) exp(−βNf)

s f

c

β1

= Z d f exp(N[sc(f) − βf])

β = ∂sc(f) ∂f

Ideal Glasses

A long story from the Random Energy Model to Hard Spheres in infinite dimensions

Mean-­‑Field ¡Theory ¡for ¡Rugged ¡Energy ¡Landscapes

Z = Z d fN(f) exp(−βNf)

s f

c

= Z d f exp(N[sc(f) − βf])

β = ∂sc(f) ∂f

β2

N(f) = exp(Nsc(f))

• A ¡lot ¡of ¡metastable ¡states ¡below ¡a ¡characteristic ¡temperature
• Competition ¡between ¡free-­‑energy ¡and ¡conQigurational ¡entropy ¡

Ideal Glasses

A long story from the Random Energy Model to Hard Spheres in infinite dimensions

Mean-­‑Field ¡Theory ¡for ¡Rugged ¡Energy ¡Landscapes

Z = Z d fN(f) exp(−βNf)

s f

c

= Z d f exp(N[sc(f) − βf])

β = ∂sc(f) ∂f

A long story from the Random Energy Model to Hard Spheres in infinite dimensions

βK

N(f) = exp(Nsc(f))

• A ¡lot ¡of ¡metastable ¡states ¡below ¡a ¡characteristic ¡temperature
• Competition ¡between ¡free-­‑energy ¡and ¡conQigurational ¡entropy ¡

Ideal Glasses

The ¡dynamical ¡(Mode-­‑Coupling) ¡transition

Q(t)

1 N X

i

hsi(t)si(0)i

Q(t) :

• Power ¡law ¡divergence ¡of ¡the ¡relaxation ¡time
• Discontinuous ¡Edwards ¡Anderson ¡Parameter
• Singular ¡behavior ¡in ¡time ¡before ¡the ¡transition
• Singular ¡(square ¡root) ¡behavior ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡beyond ¡the ¡transition

qEA 1 N X

i,j

hexp ✓ (xj(t) x0

i(0))2

2a2 ◆ i

Random ¡First ¡Order ¡Transition

• Mode ¡ Coupling ¡ Cross-­‑Over ¡

analogous ¡to ¡a ¡spinodal ¡

• Glass ¡ Transition ¡ analogous ¡ to ¡ a ¡

phase ¡transition ¡of ¡Ising ¡in ¡a ¡Qield ¡

sc

Kirkpatrick, ¡Thirumalai ¡and ¡Wolynes,...

Overlap ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Magnetization ¡ ConWigurational ¡entropy ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Magnetic ¡Wield

X

C

exp (−βH(C)) Z δ[Q(C, Ceq) − q] = exp(−NV (q))

Franz-­‑Parisi ¡ Potential

Pro ¡and ¡Cons ¡of ¡Mean-­‑Field ¡Theory

• Ideal ¡Glass ¡Transition ¡as ¡condensation ¡transition
• Qualitative ¡phase ¡diagrams ¡(structural ¡glasses, ¡colloids,...) ¡
• Behavior ¡of ¡static ¡intensive ¡observables ¡(g(r), ¡speciQic ¡heat,...)
• No ¡stable ¡states ¡below ¡
• Wrong ¡description ¡of ¡the ¡dynamics

TMCT

(1985-­‑...; ¡KTW-­‑...) ¡

Pro ¡and ¡Cons ¡of ¡Mean-­‑Field ¡Theory

• Ideal ¡Glass ¡Transition ¡as ¡condensation ¡transition
• Qualitative ¡phase ¡diagrams ¡(structural ¡glasses, ¡colloids,...) ¡
• Behavior ¡of ¡static ¡intensive ¡observables ¡(g(r), ¡speciQic ¡heat,...)
• No ¡stable ¡states ¡below ¡
• Wrong ¡description ¡of ¡the ¡dynamics

TMCT

(1985-­‑...; ¡KTW-­‑...) ¡

Time and Length scales

(2004-­‑...)

Analytical ¡Frameworks

• Replica ¡Field ¡Theory ¡for ¡the ¡statics ¡
• Dynamical ¡Field ¡Theory
• Replica ¡Qield ¡Theory ¡for ¡the ¡dynamics ¡

Replica ¡Field ¡Theory

R

qα,β(x)|B=1 Dqα,β exp (L(qα,β(x)))O(q1,m)

R

qα,β(x)|B=1 Dqα,β exp (L(qα,β(x)))

L(qα,β(x)) = Z ddx 2 4X

α<β

(rqα,β(x))2 2 + H(qα,β(x)) 3 5

qα,β(x) = q H(qα,β(x)) = (m − 1)V (q)

Mean-­‑Field ¡Theory: & ¡saddle ¡point ¡method

α = 1, . . . , m → 1

Dynamical ¡Field ¡Theory

Mean-­‑Field ¡Theory: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡saddle ¡point ¡method Similar ¡procedure ¡but ¡ Mode-­‑Coupling ¡Theory ¡equations

Replica ¡Field ¡Theory ¡for ¡the ¡dynamics

quasi-­‑equilibrium ¡inside ¡a ¡“state” perturbation ¡around ¡the ¡secondary ¡minimum

Static ¡length-­‑scale

Liquid Glass

Dynamical ¡length-­‑scales

Hedges ¡et ¡al, ¡3D ¡KA ¡liquid

Local ¡overlap q(x; t, 0)

(1995-­‑...)

Dynamical ¡length-­‑scales ¡grow ¡approaching ¡the ¡glass ¡transition

• L. ¡Berthier, ¡G.B. ¡J.-­‑P. ¡Bouchaud, ¡L. ¡Cipelletti, ¡W. ¡van ¡Saarloos, ¡Dynamical ¡heterogeneity ¡in ¡

glasses, ¡colloids ¡and ¡granular ¡media, ¡Oxford ¡University ¡Press ¡2011

GB, ¡JP ¡Bouchaud, ¡A. ¡Cavagna, ¡T.S. ¡Grigera, ¡P. ¡Verrocchio, ¡Nature ¡Physics, ¡2007 ¡ and ¡several ¡other ¡studies ¡later ¡on. ¡

Measurements ¡of ¡Point-­‑to-­‑Set ¡length ¡

• PS ¡length-­‑scale ¡grows ¡(but ¡mildly)
• The ¡relationship ¡with ¡the ¡time-­‑scale ¡is, ¡for ¡the ¡moment, ¡unknown

Measurements ¡of ¡dynamic ¡length ¡

• Qualitative ¡behavior ¡is ¡in ¡agreement ¡with ¡theory
• “Critical” ¡exponents ¡are ¡not ¡in ¡agreement ¡with ¡MF ¡theory ¡( ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡)

Flenner, ¡Zhang, ¡Szamel ¡(Hard ¡Spheres ¡Mixture) ¡ ¡PRE ¡’11 Berthier, ¡GB, ¡Bouchaud ¡et ¡al. ¡Science ¡’05; ¡PRE ¡’07

Qualitative ¡facts ¡not ¡accounted ¡for

Relaxation ¡close ¡to ¡MCT: ¡dynamical ¡facilitation ¡and ¡avalanches, ¡ quite ¡different ¡from ¡spinodal ¡Qluctuations

Candelier, ¡GB, ¡Dauchot ¡et ¡al. ¡

∝ exp(`3∆F/kBT) 1 + exp(`3∆F/kBT)

Where ¡is ¡the ¡sharp ¡change?

Fluctuations ¡in ¡small ¡systems ¡& ¡self ¡induced ¡disorder ¡

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 V(q) q FLUCTUATIONS V(q) N = 70

sample A sample B sample C

Gradenigo, ¡GB ¡(ongoing)

∝ exp(`3∆F/kBT) 1 + exp(`3∆F/kBT)

Smooth ¡change ¡since ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Qluctuate

Self-­‑induced ¡disorder ¡in ¡the ¡cavity ¡experiment

GB, ¡JP ¡Bouchaud, ¡A. ¡Cavagna, ¡T.S. ¡Grigera, ¡P. ¡Verrocchio, ¡Nature ¡Physics, ¡2007 ¡

Ideal ¡glass ¡transition ¡can ¡be ¡destroyed ¡by ¡disorder

Strong ¡disorder ¡destroys ¡the ¡ transition ¡in ¡the ¡RFIM How ¡strong ¡is ¡the ¡self-­‑induced ¡disorder ¡? Too ¡strong ¡in ¡several ¡disordered ¡lattice ¡models: ¡no ¡transition ¡and ¡different ¡ physics ¡ Not ¡known ¡yet ¡in ¡glass-­‑forming ¡liquids: ¡crucial ¡and ¡within ¡reach!

Cammarota, ¡GB, ¡Tarjus, ¡Tarzia ¡’13,...

Ferro Para

Fytas, ¡Malakis ¡’08

Avalanches ¡& ¡dynamical ¡facilitation

Taking ¡into ¡account ¡the ¡effect ¡of ¡disorder ¡is ¡crucial ¡to ¡understand ¡the ¡critical ¡ properties ¡of ¡MCT ¡(above ¡and ¡below ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡) This ¡is ¡expected ¡for ¡a ¡spinodal ¡in ¡presence ¡of ¡disorder, ¡cf. ¡RFIM

Nandi, ¡GB, ¡Tarjus, ¡Parisi ¡(to ¡appear) Rizzo ¡’13,’14

du = 8

Replica ¡Field ¡Theory

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q)

P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]

Replica ¡Field ¡Theory

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q)

P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q)

P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]

1−n

Replica ¡Field ¡Theory

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q)

P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q)

P

C e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]

1−n

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z X

C

e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q) ! X

C

e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1] !n−1

Replica ¡Field ¡Theory

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z X

C

e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q) ! X

C

e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1] !n−1

Replica ¡Field ¡Theory

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z X

C

e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q) ! X

C

e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1] !n−1

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z @ X

C1,...,Cn

e−βH(C1)···−βH(Cn)Πa,x∈Bδ[q(Ca, Ceq, x) − 1]O(q1,eq) 1 A

Replica ¡Field ¡Theory

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z X

C

e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1]O(q) ! X

C

e−βH(C)Πx∈Bδ[q(C, Ceq, x) − 1] !n−1

X

Ceq

e−βH(Ceq) Z @ X

C1,...,Cn

e−βH(C1)···−βH(Cn)Πa,x∈Bδ[q(Ca, Ceq, x) − 1]O(q1,eq) 1 A

P

C1,...,Cn,Ceq e−βH(C1)···−βH(Cn)−βH(Ceq)Πa,x∈Bδ[q(Ca, Ceq, x) − 1]O(q1,eq)

Z

Replica ¡Field ¡Theory

P

C1,...,Cn,Ceq e−βH(C1)···−βH(Cn)−βH(Ceq)Πa,x∈Bδ[q(Ca, Ceq, x) − 1]O(q1,eq)

Z

Replica ¡Field ¡Theory

P

C1,...,Cn,Ceq e−βH(C1)···−βH(Cn)−βH(Ceq)Πa,x∈Bδ[q(Ca, Ceq, x) − 1]O(q1,eq)

Z

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1O(q1,m)

Z m → 1

α = 1, . . . , m

Replica ¡Field ¡Theory

P

C1,...,Cn,Ceq e−βH(C1)···−βH(Cn)−βH(Ceq)Πa,x∈Bδ[q(Ca, Ceq, x) − 1]O(q1,eq)

Z

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1O(q1,m)

Z m → 1

α = 1, . . . , m

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1O(q1,m)

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1

Replica ¡Field ¡Theory

P

C1,...,Cn,Ceq e−βH(C1)···−βH(Cn)−βH(Ceq)Πa,x∈Bδ[q(Ca, Ceq, x) − 1]O(q1,eq)

Z

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1O(q1,m)

Z m → 1

α = 1, . . . , m

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1O(q1,m)

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1

m → 1 replicas ¡that ¡coincide ¡on ¡the ¡boundary ¡

Replica ¡Field ¡Theory

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1O(q1,m)

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1

Replica ¡Field ¡Theory

@ X

C1,...,Cm

e−βH(C1)···−βH(Cm)δ[qα,β(x) − q(Cα, Cβ, x))] = exp (L(qα,β(x))) 1 A

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1O(q1,m)

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1

Replica ¡Field ¡Theory

@ X

C1,...,Cm

e−βH(C1)···−βH(Cm)δ[qα,β(x) − q(Cα, Cβ, x))] = exp (L(qα,β(x))) 1 A

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1O(q1,m)

P

C1,...,Cm e−βH(C1)···−βH(Cm)Ω(B) qα,β=1

R

qα,β(x)|B=1 Dqα,β exp (L(qα,β(x)))O(q1,m)

R

qα,β(x)|B=1 Dqα,β exp (L(qα,β(x)))