tt ts r r - - PowerPoint PPT Presentation
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▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦t❛❧ ❝♦st✿ ❈❛♣❡① ❛♥❞ ❖♣❡①✳
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❜❛s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✑ ❱❡r② ❝♦♠♣❧❡① ♣r♦❜❧❡♠✿ ✜♥❞✐♥❣ ✧◆❛s❤ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠✧✳
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∃ x∗
p ,∀ xp : fp(x∗ p ,x∗
−p) ≥ fp(xp,x∗ −p)
x−p✿ str❛t❡❣✐❡s ♦❢ ❛❧❧ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡rs ❡①❝❡♣t p
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❡✳❣✿ ▼✐♥✐♠✐③❡ ❧♦♦s❡s ✇❤✐❧❡ ❦❡❡♣✐♥❣ r❡❛❝t✐✈❡ r❡s❡r✈❡s✱ ♠✐♥✐♠✐③❡ CO✷ ❡♠✐ss✐♦♥s ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ❝♦sts ✳✳✳ ❈✉rr❡♥t❧②✱ ♠✐♥(w✶.f✶(x)+w✷.f✷(x)+...+wn.fn(x)) ❇✉t ✜♥❞✐♥❣ ✈❛❧✉❡ ❢♦r wi✿ ❞✐✣❝✉❧t ❛♥❞ q✉❡st✐♦♥❛❜❧❡ ✑ ♠✐♥(f✶(x),f✷(x),...,fn(x)) =
⇒ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❋✐❣✉r❡✿ ❈♦♠♣❧❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ⇒ ▼❡t❛ ❍❡✉r✐st✐❝s ▼❡t❤♦❞s
✶✻ ✴ ✺✸
❙♦❧✈✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ❜❛s❡❞ ♦♥ ♥♦t r❡❛❧✐st✐❝ ❡♥♦✉❣❤ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ✐s ✉s❡❧❡ss ⇒ ❘✐❣❤t ❜❛❧❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ r❡❛❧✐s♠ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡①✐t②✳ ❈✉rr❡♥t❧②✱ st❛t✐❝ ❛♥❞ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ✉s✐♥❣ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ⇒ r❡✈✐❡✇ r❡q✉✐r❡❞ ❆ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥tr♦❧s ❛r❡ ❞✐s❝r❡t❡✿
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■♥ ♦✉r ❝❛s❡✿ ♥♦♥ ❧✐♥❡❛r ❜✉t ♠♦r❡♦✈❡r ♥♦♥ ❝♦♥✈❡① ✇❤❡♥ ✐♥t❡❣❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s
❛r❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✈❛r✐❛❜❧❡s
✶✾ ✴ ✺✸
♠✐♥ng
g=✶ |pg −p✵ g|
s✉❜❥❡❝t t♦✿ F(P,θ,φ✵) = ✵ C(θ,φ✵) ≤ L✵ Pmin ≤ P ≤ Pmax
−φm ≤ φ✵ ≤ φm
❢♦r ❡❛❝❤ ❝♦♥t✐♥❣❡♥❝②✿ k ∈ Sc Fk(P,θk,φ✵) = ✵ Ck(θk,φ✵) ≤ L✶ ✐❢ (■♣st(θ❦,φ✵) ≤ ■♠❛①) t❤❡♥ {φ❦ = φ✵}
−φm ≤ φk ≤ φm
Fk(P,θc
k,φk) = ✵
Ck(θc
k,φk) ≤ L✷
F,Fk,C,Ck ❛♥❞ Ipst✿ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■❧❧✉str❛t✐✈❡ ❡①❛♠♣❧❡✿ P❤❛s❡ ❙❤✐❢t❡r ❚r❛♥s❢♦r♠❡r ❝♦♥tr♦❧ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧❡❞ ✉s✐♥❣ ❛ ❜✐♥❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡
δ.■♠❛① ≤ ■♣st(θ❦,φ✵) ≤ δ.▼■ +■♠❛① −δ.▼φ +φ✵ ≤ φ❦ ≤ δ.▼φ +φ✵ δ✿ ❛ ❜✐♥❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡✱ MI ❛♥❞ Mφ✿ t✇♦
❜✐❣ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥ts
✷✵ ✴ ✺✸
✧❈♦♥tr♦❧ ♦❢ s②st❡♠s ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ❧♦❣✐❝✱ ❞②♥❛♠✐❝s✱ ❛♥❞ ❝♦♥str❛✐♥ts✧ ❜② ❇❡♠❜♦r❛❞ ❛♥❞ ▼♦r❛r✐ ❬✸❪ ✑ ❇✉t ❝❛s❡ ❜② ❝❛s❡ ❛♥❛❧②s✐s r❡q✉✐r❡❞❀ ✜♥❞✐♥❣ ♥♦t t♦♦ ❜✐❣ ✑❜✐❣ ▼✧ ✳✳✳✳ ❆♥♦t❤❡r ✐♠♣♦rt❛♥t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ ❊①♣❛♥s✐♦♥ ♣❧❛♥♥✐♥❣ ✭❞✐s❥✉♥❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧ ❛s ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ ✷✵✵✶ ❜② ❇❛❤✐❡♥s❡ ❛♥❞ ❛❧✳ ❬✺❪✮ Pr♦❞✉❝t ❜❡t✇❡❡♥ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ♦❢ ♣❤❛s❡ ❛♥❣❧❡s ❛♥❞ ❛❞❞❡❞ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛❧ ❛❞♠✐tt❛♥❝❡ ⇒ ▲✐♥❡❛r ❊q✉❛t✐♦♥s
✷✶ ✴ ✺✸
✑ ▼■◆▲P r❡♠❛✐♥s ❝❤❛❧❧❡♥❣✐♥❣✿ ▲❡②✛❡r ❛♥❞ ❛❧✳ ❬✻❪ ❣✐✈❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❞✐❛❣♥♦st✐❝ ♦♥ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s ❙t❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❛rt✿ ❙❡q✉❡♥t✐❛❧ ▼■▲Ps ♦r r♦✉♥❞✲♦✛ ♠❡t❤♦❞s ⇒ t✉♥✐♥❣ r❡q✉✐r❡❞✱ ✜♥❞✐♥❣ ❛ ❢❡❛s✐❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❞✐✣❝✉❧t✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✿ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ✇✐t❤ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❈♦♥str❛✐♥ts ✭▼P❊❈✮ ⇒ ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t②
x✿ ❜✐♥❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡✱ x ∈ {✵,✶} ⇐
⇒ x ⊥ (x −✶) = ✵
■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s ✉s✐♥❣ ■♥t❡r✐♦r ♣♦✐♥t ♠❡t❤♦❞s ✈✐❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ♦r ♣❡♥❛❧✐③❛t✐♦♥ ❯s❡❢✉❧ t♦ ♠❛♥❛❣❡ ✈❡r② ❧❛r❣❡ s✐③❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ t✇♦ ❊✉r♦♣❡❛♥ Pr♦❥❡❝ts✿ P❊●❆❙❊ ❬✼❪✱ ✐❚❡s❧❛ ❬✶❪ ✑ ❖♥❧② s✉❜✲♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ▼■◆▲P ♣r♦❜❧❡♠s✳
✷✷ ✴ ✺✸
✷✸ ✴ ✺✸
❚✇♦ ♣r♦♠✐③✐♥❣ ❆❈❖P❋ ❝♦♥✈❡①✐✜❝❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ◆♦✈❡❧ r❡s✉❧ts ✐♥ ❤❛♥❞❧✐♥❣ ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t✐❡s ✐♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❖t❤❡r ■❚ ❛♥❞ ❈❙ ♣r♦❣r❡ss❡s ❜❡②♦♥❞ ♦✉r ✇✐s❤❡s
✷✹ ✴ ✺✸
■♥❣r❡❞✐❡♥ts✿
❆ ❣r❛♣❤ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ s❡t ♦❢ n ❜✉s❡s ❛♥❞ ❜② b ≤ ✶
✷n(n −✶) ❜r❛♥❝❤❡s
❙t❛t❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✈❡❝t♦r ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ✈♦❧t❛❣❡s ♦✈❡r t❤❡ s❡t ♦❢ ❜✉s❡s
◆❛t✉r❡ ♦❢ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❢❡❛s✐❜❧❡ s❡t✿
❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ✐♥❥❡❝t✐♦♥s ✫ ❜r❛♥❝❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ ✐♥♣✉ts❀ ✈♦❧t❛❣❡s ❛♥❞ ❝✉rr❡♥ts ❛r❡ ✬♦✉t♣✉ts✬ ❖❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ s♠♦♦t❤ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✭❡✳❣✳ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞❡❣r❡❡✮✳ P❤②s✐❝❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts✿ ❑▲❛✇s✱ ❞❡✈✐❝❡ ♣❤②s✐❝s✳ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts✿ ❜♦✉♥❞s ♦♥ ✐♥❥❡❝t✐♦♥s✱ ❞✐s❝r❡t❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r ❝❤♦✐❝❡s ✭❡✳❣✳ t♦♣♦❧♦❣②✱ st❡♣s ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❡rs✱ ♦♥✲♦✛ st❛t✉s ♦❢ ❣❡♥❡r❛t♦rs✱ ❧♦❛❞✲s❤❡❞❞✐♥❣ st❡♣s✱ ❡t❝✳✮
❚❤❡ ♠❛✐♥ ✭❛❝t✉❛❧❧② ♦♥❧②✮ s♦✉r❝❡ ♦❢ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐s t❤❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❞♦♠❛✐♥✿
P♦✇❡r ✢♦✇ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❡q✉❛❧✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛❧✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ ❜② ❡ss❡♥❝❡ ♥♦♥ ❝♦♥✈❡①✳
✷✺ ✴ ✺✸
❚❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ r❛t✐♦♥❛❧❡ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❨❖●❆✶ ✐t❡r❛t✐♦♥✿
▲❡t✬s r❡❧❛①✿ ❡♥❧❛r❣❡♥ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♥♦♥ ❝♦♥✈❡① ❢❡❛s✐❜❧❡ s❡t ❜② ❛ ❝♦♥✈❡① ♦♥❡✱ ❛s s♠❛❧❧ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ✭✐✳❡✳ s♦♠❡t❤✐♥❣ ❝❧♦s❡ t♦ ❛ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧✮✳ ▲❡t✬s ✇♦r❦✿ s♦❧✈❡ t❤❡ ✬r❡❧❛①❡❞✬ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ❡①✐st✐♥❣ s♦❧✈❡rs✳ ▲❡t✬s ❝♦♥t❡♠♣❧❛t❡ t❤❡ r❡s✉❧t✿
❲❡ ❣❡t ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✳ ■❢ ✇❡ ❛r❡ ❧✉❝❦②✱ ✇❡ ❣❡t ❛ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ✭❣❧♦❜❛❧❧②✮ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❇■◆●❖
▼♦st ❨❖●❆ ✐t❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t✇♦ s✉❝❝❡ss✐✈❡ st❡♣s✿
▲✐❢t✐♥❣✿ ♠❛♣ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥t♦ ❛ ❤✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡✱ ✇❤❡r❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ ❛❞❞❡❞ s♦ ❛s t♦ ♠❛❦❡ t❤✐s ❛ ✶✲t♦✲✶ ♠❛♣✳ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥✿ ✐♥ t❤❡ ❧✐❢t❡❞ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✱ ❝❤♦♦s❡ ❛ s❡t ♦❢ ❝♦♥str❛✐♥ts t♦ ❜❡ r❡♠♦✈❡❞✱ s♦ ❛s t♦ r❡♠❛✐♥ ❝❧♦s❡ t♦ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧✱ ❛t ❧❡❛st ✐♥ t❤❡ ❛r❡❛ ✇❤❡r❡ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❧♦❝❛t❡❞✳
✶❨❖●❆✿ ❛❝r♦♥②♠ ❢♦r ❨♦✉r ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ●❡♥t❧❡ ❆tt✐t✉❞❡
✷✻ ✴ ✺✸
❆♥ ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✶✿ ♠✐♥
x∈R
x✷ −x s✳t✳ x✷ −✹ ≥ ✵
♠✐♥
(y✶,y✷)∈R✷
y✷ −y✶ s✳t✳ y✷ −✹ ≥ ✵ ❛♥❞ y✷ = (y✶)✷
❛♥❞ t❤❡♥ r❡❧❛①❡❞ ❜② r❡♣❧❛❝✐♥❣ ✐♥ R✷ t❤❡ s❡t ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t y✷ = (y✶)✷ ❜② ✐ts ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧✱ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t y✷ ≥ (y✶)✷✿ ♠✐♥
(y✶,y✷)∈R✷
y✷ −y✶ s✳t✳ y✷ −✹ ≥ ✵ ❛♥❞ y✷≥(y✶)✷
✇❤✐❝❤ ❤❡♥❝❡ ②✐❡❧❞s ❛ ❝♦♥✈❡① ♣r♦❣r❛♠✱ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳
✷✼ ✴ ✺✸
♠✐♥
x∈R
x✷ −x ≡ x(x −✶) s✳t✳ x✷ −✹ ≥ ✵ ≡ (x +✷)(x −✷) ≥ ✵
✷✽ ✴ ✺✸
♠✐♥
(y✶,y✷)∈R✷
y✷ −y✶ s✳t✳ y✷ −✹ ≥ ✵ ❛♥❞ y✷ ≥ (y✶)✷
❙♦❧✉t✐♦♥✿ (y✶ = ✷,y✷ = ✹)✳ ■t s❛t✐s✜❡s t❤❡ ♥♦♥ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥str❛✐♥t y✷ = (y✶)✷✳ ✦✦✦ ❇■◆●❖ ✦✦✦
✷✾ ✴ ✺✸
▲✐❢t✐♥❣ ✰ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ✭≡ ❨❖●❆✮ ✐s ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ❞✐✣❝✉❧t ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ❋♦r ❆❈❖P❋✱ t❤❡ q✉❡st✐♦♥s ❛r❡
❍♦✇ t♦ ❧✐❢t ❛♥❞ r❡❧❛① ✐♥ ❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ✇❛② ❄ ❯♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❞♦❡s ❛ ❝❡rt❛✐♥ ✬❧✐❢t✐♥❣ ✰ r❡❧❛①❛t✐♦♥✬ s❝❤❡♠❡ ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♦♣t✐♠✉♠ ❄
❲❡ ✇✐❧❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t✇♦ r❡❝❡♥t❧② ♣r♦♣♦s❡❞ ✬❧✐❢t✐♥❣ ✫ r❡❧❛①✐♥❣✬ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ❆❈❖P❋✿
❱✐❡✇ ❆❈❖P❋ ❛s ❛ ◗✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ❈♦♥str❛✐♥❡❞ ◗✉❛❞r❛t✐❝ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭◗❈◗P✮
❚❤❡ ❙❉P r❡❧❛①❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❝✐t❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♣❛♣❡r✳✳✳✮
❱✐❡✇ ❆❈❖P❋ ❛s ❛ P♦❧②♥♦♠✐❛❧❧② ❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦❧②♥♦♠✐❛❧ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭P❈PP✮
❚❤❡ ▼❖▼❊◆❚ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❝✐t❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♣❛♣❡r✳✳✳✮
✸✵ ✴ ✺✸
❚❤❡ ❆❈❖P❋ ❝❛♥ ♦❢t❡♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ◗✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ❈♦♥str❛✐♥❡❞ ◗✉❛❞r❛t✐❝ Pr♦❣r❛♠ ✭◗❈◗P✮ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠✿ ♠✐♥
x∈Cn
xHC✵x ✭✶❛✮ s✉❜❥❡❝t t♦ xHClx ≤ bl, l = ✶,...,L, ✭✶❜✮ ✇❤❡r❡ x ∈ Cn✱ ❛♥❞ ❢♦r l = ✵,...,L✱ bl ∈ R ❛♥❞ Cl ∈ Sn✳
■❢ Cl✱ l = ✵,...,L✱ ❛r❡ ❛❧❧ ♣♦s✐t✐✈❡ s❡♠✐❞❡✜♥✐t❡ t❤❡♥ ✭✶✮ ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ❇✉t✱
❆❈❖P❋ ✐s ♥♦♥✲❝♦♥✈❡①✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✭❡✳❣✳✮✿
✶
P♦✇❡r ✢♦✇ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ❡q✉❛❧✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts r❡✇r✐t❡ ❛s✿
❛♥❞ xH(−Cpf )x ≤ −bpf
■♥t❡❣r❛t✐❧✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts ❢♦r ❜✐♥❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❚❤❡② r❡✇r✐t❡ ❛s✿ [xi ∈ {−✶,✶}] ≡
❉❡✜♥✐♥❣ X =: xxH✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ xHClx = tr ClxxH =: tr ClX ✇❡ ❝❛♥ ❧✐❢t t❤❡ ◗❈◗P ✭✶✮ ❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s ♥♦✇ ♦✈❡r ❍❡r♠✐t✐❛♥ ♠❛tr✐❝❡s✿ ♠✐♥
X∈Sn
tr C✵X ✭✷❛✮ s✉❜❥❡❝t t♦ tr ClX ≤ bl, l = ✶,...,L ✭✷❜✮ X ✵ ✭✷❝✮ r❛♥❦ X = ✶ ✭✷❞✮ ❚❤❡ ❦❡② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥ X ✐♥ ✭✷❛✮✕✭✷❜✮ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t X ✵ ✐♥ ✭✷❝✮ ✐s ❝♦♥✈❡① ✭s✐♥❝❡ Sn
+ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❡✮✳
❚❤❡ r❛♥❦ ❝♦♥str❛✐♥t ✐♥ ✭✷❞✮ ❡♥s✉r❡s t❤❛t ∃x ∈ Cn : X = xxH✳ ■t ✐s t❤❡ ♦♥❧② ♥♦♥❝♦♥✈❡① ❝♦♥str❛✐♥t ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✮✳
✸✷ ✴ ✺✸
✎ ❘❡❧❛①✐♥❣ t❤❡ r❛♥❦ ❝♦♥str❛✐♥t r❡s✉❧ts ✐♥ ❛ s❡♠✐❞❡✜♥✐t❡ ♣r♦❣r❛♠ ✭❙❉P✮✿ ♠✐♥
X∈Sn
tr C✵X ✭✸❛✮ s✉❜❥❡❝t t♦ tr ClX ≤ bl, l = ✶,...,L ✭✸❜✮ X ✵. ✭✸❝✮ ❙❉P ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① r❡❧❛①❛t✐♦♥ ♦❢ ◗❈◗P t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❡✣❝✐❡♥t❧② ❝♦♠♣✉t❡❞✳ ✕ ❆ str❛t❡❣② ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ◗❈◗P ✭✶✮ ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ t♦ s♦❧✈❡ ❙❉P ✭✸✮ ❢♦r ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ X ♦♣t ❛♥❞ ❝❤❡❝❦ ✐ts r❛♥❦✳
✑ ■❢ r❛♥❦ X ♦♣t = ✶ t❤❡♥ X ♦♣t ✐s ♦♣t✐♠❛❧ ❢♦r ✭✷✮ ❛s ✇❡❧❧ ❛♥❞ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ x♦♣t ♦❢ ◗❈◗P ✭✶✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡❝♦✈❡r❡❞ ❢r♦♠ X ♦♣t t❤r♦✉❣❤ s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ X ♦♣t = x♦♣t(x♦♣t)H✳ ✑ ■❢ r❛♥❦ X ♦♣t > ✶ t❤❡♥✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ♥♦ ❢❡❛s✐❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ◗❈◗P ❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ X ♦♣t ❜✉t t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❙❉P ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❛t ♦❢ ◗❈◗P✳ ■❢ t❤❡ ❙❉P ✭✸✮ ✐s ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡✱ t❤❡♥ ✐t ✐s ❛ ❝❡rt✐✜❝❛t❡ t❤❛t t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ◗❈◗P ✭✶✮ ✐s ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡✳
✸✸ ✴ ✺✸
❯♥❞❡r r❡str✐❝t✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❙❉P r❡❧❛①❛t✐♦♥ ✐s ❡①❛❝t ❢♦r ❆❈❖P❋ ✭❡✳❣✳ ❢♦r r❛❞✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦s✮✱ ❜✉t ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✐t ✐s ♥♦t ❡①❛❝t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ r❡❧❛①❡❞ s♦❧✉t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ ♦♣t✐♠❛❧✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛② ❜❡ ✉s❡❢✉❧❧② ❡①♣❧♦✐t❡❞ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✳ ❆❧s♦✱ ❣✐✈❡♥ ❛♥② s♦❧✉t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ❛♥② ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❆❈❖P❋✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤❡ ❙❉P r❡❧❛①❛t✐♦♥ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦❢ ❣❧♦❜❛❧ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ✭❜✉t ♥♦♥ ♥❡❝❡ss❛r② ♦♥❡s✮✳ ✓ ◗❈◗P ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ✑ P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ❧❡♥❞s ✐ts❡❧❢ t♦ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✭s❡❡ ♥❡①t s❧✐❞❡s✮✳
✸✹ ✴ ✺✸
❆♥② t❤✐♥❦❛❜❧❡ ❆❈❖P❋ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ P♦❧②♥♦♠✐❛❧❧② ❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦❧②♥♦♠✐❛❧ Pr♦❣r❛♠ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✿ ♠✐♥
x∈Rn
f✵(x) ✭✹❛✮ s✉❜❥❡❝t t♦ fl (x) ≥ ✵, l = ✶,...,L, ✭✹❜✮ ✇❤❡r❡ ∀l = ✵,...,L : fl (x) =
α∈Nn cl,αxα✱ ❛♥❞ xα ≡ n
i=✶xαi i ✳
❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❞♦♠❛✐♥s ✐♥ ✸ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s
✸✺ ✴ ✺✸
❚❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ♠✐♥
x∈Rn
f✵(x) ✭✺❛✮ s✉❜❥❡❝t t♦ fl (x) ≥ ✵, l = ✶,...,L, ✭✺❜✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s✿ ♠✐♥
µ∈M (K)+
✭✻❛✮ s✉❜❥❡❝t t♦
✭✻❜✮ ✇❤❡r❡ K ✐s t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ s♣❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭✺❜✮ ❛♥❞ M (K)+ ✐s t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ✜♥✐t❡ ✭♣♦s✐t✐✈❡✮ ❇♦r❡❧ ♠❡❛s✉r❡s µ ♦♥ K✳ ■♥❞❡❡❞ ✭✐♥t✉✐t✐✈❡❧②✮✱
❢♦r ❛♥② ♣♦s✐t✐✈❡ µ ♦♥ K s✉❝❤ t❤❛t ✭✻❜✮ ❤♦❧❞s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t
❛t t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡✱ ✐❢ x∗ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭✺✮✱ t❤❡♥ t❤❡ ❉✐r❛❝ ♠❡❛s✉r❡
µ∗ ≡ δx∗(x) ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭✻✮✳
✸✻ ✴ ✺✸
❚❤❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✭✻✮ ❣❡♥❡r✐❝❛❧❧② r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✮ ❛s ❛ ❧✐♥❡❛r ✭❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ ❝♦♥✈❡①✮✱ ❜✉t ✐♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❲❡ ❝❛♥ ❢✉rt❤❡r r❡❢♦r♠✉❧❛t❡ ✭✻✮ ❛s ♠✐♥
y
✭✼❛✮ s✳t✳ y✵ = ✶ ✭✼❜✮ yα =
✭✼❝✮ ✇❤❡r❡ ♥♦✇ ❛♥② ♠❡❛s✉r❡ µ ∈ M (K)+ ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ✐ts ✭✐♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✮ ✈❡❝t♦r ♦❢ ♠♦♠❡♥ts y = [yα]α∈Nn✳ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✭✼✮ ✐s ❛s ✇❡❧❧ ❧✐♥❡❛r ✐♥ y ❛♥❞ ✐♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳ ❇✉t ✐t ❝❛♥ ❜❡ r❡❧❛①❡❞ ✐♥t♦ ❛ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✱ ❜② ❦❡❡♣✐♥❣ ♦♥❧② ❛ ✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦✈❡r y ✐♠♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭✼❝✮✱ ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ ❛ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ♠♦♠❡♥t r❡❧❛①❛t✐♦♥✳
✸✼ ✴ ✺✸
❋♦r s♦♠❡ γ ∈ N✱ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♦❢ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✉♣ t♦ ❞❡❣r❡❡ γ✿
χγ = ✶
x✶
...
xn x✷
✶
x✶x✷
...
x✷
n
...
xγ
n
⊺ .
❲r✐t❡ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛tr✐① Ly(χγχ⊺
γ)✱ ✇❤❡r❡ t❡r♠ ❜② t❡r♠ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧
✐♥ x ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦♠❡♥ts ✭✐✳❡✳ Ly(
i βixαi) → i βiyαi✮✳
❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ✇r✐t❡ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s Ly
γ−βl
t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ fl (x) ❤❛s ❞❡❣r❡❡ ✷βl ♦r ✷βl −✶✳ ❚❤❡ ♦r❞❡r✲γ ♠♦♠❡♥t r❡❧❛①❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ▲❛ss❡rr❡ ❤✐❡r❛r❝❤② ✐s t❤❡♥ ♠✐♥
y
Ly (f✵(x)) ✭✽❛✮ s✳t✳ y✵ = ✶ ✭✽❜✮ Ly
γ
✭✽❝✮ Ly
γ−βl
✭✽❞✮
✸✽ ✴ ✺✸
■♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛② ❛s ✐♥ t❤❡ ❙❉P r❡❧❛①❛t✐♦♥✱ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ r❛♥❦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ❡①❛❝t♥❡ss ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t r❡❧❛①❛t✐♦♥✿
rank Ly
✶
✭✾✮ ❲❤❡♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✾✮ ✐s s❛t✐s✜❡❞✱ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧❧② ♦♣t✐♠❛❧ ❞❡❝✐s✐♦♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❛ s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① Ly
✶
✳
■❢ ♥♦t✱ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✳ ■♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♦r❞❡r γ t✐❣❤t❡♥s t❤✐s r❡❧❛①❛t✐♦♥✱ ❛t t❤❡ ♣r✐❝❡ ♦❢ ❛ r❛♣✐❞❧② ❣r♦✇✐♥❣ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❜✉r❞❡♥✳ ❆ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❛ ◗❈◗P✱ t❤❡ ♦r❞❡r✲✶ ♠♦♠❡♥t r❡❧❛①❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ▲❛ss❡rr❡ ❤✐❡r❛r❝❤② ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❙❉P r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞✐s❝✉ss❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s❧②✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ♠♦♠❡♥t r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② t♦ ✜♥❞ ❣❧♦❜❛❧❧② ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❛ ❜r♦❛❞❡r ❝❧❛ss ♦❢ ❆❈❖P❋✱ ❛♥❞ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✇❤❡♥ t❤❡ ❙❉P r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ✇♦r❦ ♦✉t✳
✸✾ ✴ ✺✸
✦ ❚❤❡ t✇♦ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❛❧r❡❛❞② ♣r♦✈✐❞❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ♣r♦❣r❡ss ✐♥ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❡ ♥❛t✉r❡ ❛♥❞ s♦❧✈✐♥❣ ❡①❛❝t❧② ❆❈❖P❋ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ♠♦❞❡r❛t❡ s✐③❡ ✭❢❡✇ ❤✉♥❞r❡❞ t♦ ❢❡✇ t❤♦✉s❛♥❞ ♥♦❞❡s✮✳ ✦ ❚❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❢✉rt❤❡r ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❜② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ ♣❡❝✉❧✐❛r✐t✐❡s ♦❢ ❆❈❖P❋ ♣r♦❜❧❡♠s ✭✇rt ❣❡♥❡r✐❝ ◗❈◗Ps ❛♥❞ P❈PPs✮✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r t❤❡ s♣❛rs✐t② str✉❝t✉r❡ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ t♦♣♦❧♦❣②✱ ❜♦t❤
t❤❡♦r❡t✐❝❛❧❧② ✭❡✳❣✳ ❜② st✉❞②✐♥❣ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ❝❤♦r❞❛❧ ❣r❛♣❤s✱ ❜❡②♦♥❞ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ tr❡❡✲str✉❝t✉r❡❞ t♦♣♦❧♦❣✐❡s✮ ❛♥❞ ♣r❛❝t✐❝❛❧❧② ❜② ❧❡✈❡r❛❣✐♥❣ ❍P❈ ✐♥❢r❛str✉❝t✉r❡s ♦♥ t♦♣ ♦❢ s♣❛rs❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s✳
✌ P❧❡❛s❡ s❡❡ ❢✉❧❧ ♣❛♣❡r ❢♦r ❢✉rt❤❡r ❡①♣❧❛♥❛t✐♦♥s ❛♥❞ r❡❢❡r❡♥❝❡s t♦ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t ❜✐❜❧✐♦❣r❛♣❤②✳ ✑ ❚❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❧❡✈❡r❛❣❡❞ t♦ ❙❈❖P❋ ❛♥❞ t♦ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✉♥❞❡r ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✭s❡❡ s✉❜s❡q✉❡♥t s❧✐❞❡s✮✳
✹✵ ✴ ✺✸
■♥ ♠❛♥② ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ s♦♠❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭♦r ❡✈❡♥ str✉❝t✉r❡s✮ ♦❢ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ t♦ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❛r❡ ♥♦t ❦♥♦✇♥ ❡①❛❝t❧②✳ ■♥ s✉❝❤ ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡s✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ✜♥❞ ❛ ❣♦♦❞ s♦❧✉t✐♦♥ t❤❛t ✐s ❛❧s♦ ❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ ❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ✇♦rst ❝❛s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ♦✈❡r ❛ ❣✐✈❡♥ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② s❡t✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❧♦♦❦ ❛t t✇♦ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ❢r❛♠❡✇♦r❦s ❢♦r st❛t✐♥❣ ❛♥❞ s♦❧✈✐♥❣ s✉❝❤ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ♥❛♠❡❧②
❈❤❛♥❝❡ ❈♦♥str❛✐♥❡❞ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭❈❈❖✮ ❘♦❜✉st ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭❘❖✮
✳✳✳ ❛♥❞ ❤✐❣❤❧✐❣❤t s♦♠❡ r❡❝❡♥t r❡s✉❧ts ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✐♥ t❤❡s❡ t✇♦ ✜❡❧❞s✳ ❲❡ ✇✐❧❧ s❡❡ t❤❛t ❜♦t❤ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❝❛♥ ❛♥❞ s❤♦✉❧❞ ❜❡♥❡✜t ❢r♦♠ t❤❡ ❆❈❖P❋ ❝♦♥✈❡①✐✜❝❛t✐♦♥ ✐❞❡❛s ♣r❡s❡♥t❡❞ ❡❛r❧✐❡r ✐♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✳
✹✶ ✴ ✺✸
❝❤♦♦s❡ x∗ ∈ Rd t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ f (x) s✉❜❥❡❝t t♦ x ∈ X ,δ ∈ ∆ ❛♥❞
P{δ : x ∈ Xδ} ≥ ✶−ǫ✳
❊①❛♠♣❧❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐♥ ❆❈❖P❋ ✉♥❞❡r ✉♥❝❡rt❛✐♥t②✿
x ❛r❡ ❞❡❝✐s✐♦♥s t♦ ❜❡ t❛❦❡♥ ❛❤❡❛❞ ✐♥ t✐♠❡ ✭s❛② t❤❡ ❞❛② ❛❤❡❛❞✮✳
∆ r❡♣r❡s❡♥ts ✉♥❝❡rt❛✐♥t✐❡s st✐❧❧ ♣r❡s❡♥t ✇❤❡♥ ❛ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❤❛s t♦ ❜❡ t❛❦❡♥
✭s❛② ❢✉t✉r❡ ♣♦✇❡r ✐♥❥❡❝t✐♦♥s✮✳ f (x) ✐s ❛ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡✱ ❡❣✳ f (x) = EP′(δ)f ′(x,δ) ✭s❛② ❛♥ ❡①♣❡❝t❡❞ ❝♦st ♦r t❤❡ ❝♦st ✉♥❞❡r ♥♦♠✐♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✮✳ ❚❤❡ s❡ts Xδ r❡♣r❡s❡♥t ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts t♦ ❜❡ s❛t✐s✜❡❞✱ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② δ ∈ ∆ ✭s❛② s❡❝✉r✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts ♦✈❡r t❤❡ ♥❡①t ♣❡r✐♦❞ ♦❢ t✐♠❡✮✳ ❚❤❡ ❈❈❖ ♣r♦❜❧❡♠ t❤❡♥ ❛♠♦✉♥ts t♦ ✜♥❞ ❛ ❞❡❝✐s✐♦♥ x∗ s✉❝❤ t❤❛t ✇✐t❤ ❤✐❣❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛❧❧ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞ ❜② x∗✱ ❛♥❞ x∗ ✐s ♦♣t✐♠❛❧ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳
✹✷ ✴ ✺✸
❙❝❡♥❛r✐♦ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ ✭✈❛❧✐❞ ✐❢ f (x)✱ X ✱ ❛♥❞ Xδ,∀δ ∈ ∆ ❛r❡ ❝♦♥✈❡① ✐♥ x✮✿
❈♦❧❧❡❝t N s❛♠♣❧❡s δ(✶),δ(✷),...,δ(N)✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ ✐❞❡♥t✐❝❛❧❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ P✳ ❙♦❧✈❡ t❤❡ ✭✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✮ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❙PN : ♠✐♥x∈X f (x) s✳t✳ x ∈ Xδ(i), i ∈ {✶,...,N}. ❆ s♦❧✉t✐♦♥ x∗
N ♦❢ ❙PN s❛t✐s✜❡s✱ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶−β ❛❧❧ ❝♦♥str❛✐♥s ✐♥ ∆
❜✉t ❛t ♠♦st ❛♥ ǫ✲❢r❛❝t✐♦♥✱ ✐✳❡✳ P{x∗
N ∉ Xδ} ≤ ǫ✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t
N ≥ ✷
ǫ
β +d
❝♦♥✜❞❡♥❝❡ ✶−β ✭d ✐s t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣❛❝❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ x✮✳
✹✸ ✴ ✺✸
❚❤❡ s❝❡♥❛r✐♦ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛❜♦✈❡ ♠❛② ②✐❡❧❞ ❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ r❡s✉❧ts✱ s♣❡❝✐❛❧❧② ✐❢ N ✐s ✈❡r② ❧❛r❣❡✳ ❚♦ ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❛ ♣♦st❡r✐♦r✐ ❞✐s❝❛r❞ k ❝♦♥str❛✐♥ts ❛♠♦♥❣ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧❧② s❛♠♣❧❡❞ s❡t ♦❢ N ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ■♥ t❤✐s ✇❛②✱ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐♠♣r♦✈❡s✱ ❛♥❞ ❛ s♦❧✐❞ t❤❡♦r② ♣❡r♠✐ts ♦♥❡ t♦ st✐❧❧ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❝❤❛♥❝❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t②✳ ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ♦♥❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛❢t❡r ❞✐s❝❛r❞✐♥❣ k ❝♦♥str❛✐♥ts s❛t✐s✜❡s
P{x∗
N ∉ Xδ} ≤ k
N +O
N
❚❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t P{x∗
N ∉ Xδ} r❛♣✐❞❧② ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t❤❡
❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❝❤❛♥❝❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✈✐♦❧❛t✐♦♥ k
N ❛s N ✐♥❝r❡❛s❡s✱ s♦ t❤❛t t❤❡
❛♣♣r♦❛❝❤ ❜❡❛rs ✈❡r② ❧✐tt❧❡ ❝♦♥s❡r✈❛t✐s♠✳
✹✹ ✴ ✺✸
❈❖◆❱❊❳■❚❨✿
❚❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❣✉❛r❛♥t❡❡s ❛r❡ r❡❧②✐♥❣ ♦♥ ❝♦♥✈❡①✐t② ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛② ♥♦t ❜❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ r❡❛❞✐❧② ✐♥ ❆❈❖P❋ ♣r♦❜❧❡♠s✳
⇒ ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ s❡❡ ❤♦✇ t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ❆❈❖P❋ ❝♦♥✈❡①✐✜❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❈❈❖✳
◆❖ ❋❘❊❊ ▲❯◆❈❍ ❈❆❱❊❆❚✿
■❢ ✇❡ ✇❛♥t s♠❛❧❧ ǫ ✭s❛② ǫ = ✶✵−✺✮ ❛♥❞ ✇♦r❦ ✐♥ ❤✐❣❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✭s❛② d = ✶✵✺✮ ✇❡ ♥❡❡❞ ✐♥ t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ N = ✷×✶✵✶✵ s❝❡♥❛r✐♦s✳
⇒ ❲❡ ♥❡❡❞ ❍P❈ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ❤❛♥❞❧❡ s✉❝❤ ♣r♦❜❧❡♠s✳
❋❯❘❚❍❊❘ ❘❊❙❊❆❘❈❍ ✐s ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❧❡✈❡r❛❣❡ t❤❡ ❈❈❖ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✦ P❧❡❛s❡ s❡❡ s✉r✈❡② ♣❛♣❡r ❢♦r r❡❢❡r❡♥❝❡s ♦♥ ♦♥❣♦✐♥❣ ✇♦r❦s ✐♥ t❤✐s ❞✐r❡❝t✐♦♥✳
✹✺ ✴ ✺✸
❚❤❡ t✇♦✲st❛❣❡ ❛❞❛♣t✐✈❡ r♦❜✉st ❞❡❝✐s✐♦♥ ♠❛❦✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♠♣❛❝t ❢♦r♠ ♠✐♥
①∈X
❞∈D
♠✐♥
②∈Y (①,❞)g(x,d,y)
✭✶✵✮ ❍❡r❡✱ t❤❡ ✜rst✲st❛❣❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ✐s ① ✐♥ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ r❡❣✐♦♥ X✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞✲st❛❣❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ✐s ②✱ ✇❤✐❝❤ ❛❞❛♣ts t♦ t❤❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❞ ✐♥ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② s❡t D ❛♥❞ s❛t✐s✜❡s ✈❛r✐♦✉s ♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♥ Y (①,❞) ♣❛r❛♠❡tr✐③❡❞ ❜② t❤❡ ✜rst✲st❛❣❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ① ❛♥❞ ❞✳ ❯s✉❛❧❧②✱ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❞ ♠♦❞❡❧s ❧♦❛❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✐♥ ✈❛r✐❛❜❧❡ r❡s♦✉r❝❡s s✉❝❤ ❛s ✇✐♥❞ ❛♥❞ s♦❧❛r ♣♦✇❡r✳ ❚❤❡ ✐❞❡❛ ❝❛♥ ❜❡❡♥ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ✈❛r✐♦✉s ✉♥✐t ❝♦♠♠✐t♠❡♥t ❛♥❞ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♣❧❛♥♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❝♦✉♣❧❡❞ ♦r ♥♦t ✇✐t❤ ❙❈❖P❋ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s✳
✹✻ ✴ ✺✸
❆♣♣r♦❛❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✇♦r❦❡❞ ♦✉t ✐♥ ♦r❞❡r t♦ r❡❞✉❝❡ ❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡♥❡ss✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❜② ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ ✐t ✇✐t❤ ✐❞❡❛s ❢r♦♠ st♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✳ ❚❤❡ q✉❡st✐♦♥ ✐s ❤♦✇ t♦ ❡✣❝✐❡♥t❧② s♦❧✈❡ t❤✐s t②♣❡ ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠s✳
❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❧♦✇ ❧❡✈❡❧ ♣r♦❜❧❡♠s ❜✉t t❤✐s ✐s ✈❛❧✐❞ ♦♥❧② ❢♦r ❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■♥ ❝❛s❡ ♦❢ ♥♦♥ ❝♦♥✈❡① ❧♦✇ ❧❡✈❡❧ ♣r♦❜❧❡♠s ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r ❆❈❖P❋ ♦r ✇✐t❤ ✐♥t❡❣❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ st❛♥❞❛r❞ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❝♦✉❧❞ ❢❛✐❧ t♦ ✜♥❞ ❛ s♦❧✉t✐♦♥❀ ▼■❚❙❖❙ ❬✷❪ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❝♦♥✈❡① ♥♦♥ ❧✐♥❡❛r ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ✐♥t❡❣❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s
✹✼ ✴ ✺✸
❇♦t❤ ❈❈❖ ❛♥❞ ❘❖ ♦✛❡r ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ❢r❛♠❡✇♦r❦s ❢♦r ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t✐❡s✳
❘❖ ✐s ❝❧♦s❡r t♦ ❝✉rr❡♥t ♣r❛❝t✐❝❡ ✭❛♥❞ r✐s❦✲❛❞✈❡rs❡♥❡ss✮ ♦❢ ❚❙❖s ❈❈❖ ♥❡❡❞s ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ❛❜♦✉t P✱ ❜✉t ✐♥ s♦♠❡ ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡s ✐t ✐s t❤❡ ♦♥❧② s❡♥s✐❜❧❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❚❤❡ s❝❡♥❛r✐♦ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❈❈❖ ♠❛② ❛❝t✉❛❧❧② ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s ❛ r❛♥❞♦♠✐s❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ s♦❧✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② ❛♥ ❘❖ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❙■❈✮✳
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■❚✿ ❤✉❣❡ ♣r♦❣r❡ss❡s ✐♥ ❍P❈ ❛♥❞ ❇■● ❉❆❚❆ t❡❝❤♥♦❧♦❣✐❡s ✦
❍♦✇ t♦ ❧❡✈❡r❛❣❡ ❍P❈ t♦ ❆❈❖P❋ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❄ ❍♦✇ t♦ ❡①♣❧♦✐t ❇■● ❉❆❚❆ s♦❧✉t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s ❝♦♥t❡①t ❄
❈❙✿ ❤✉❣❡ ♣r♦❣r❡ss❡s ✐♥ ▼❛❝❤✐♥❡ ▲❡❛r♥✐♥❣ ❛♥❞ ❘❛♥❞♦♠✐③❡❞ ❆❧❣♦r✐t❤♠✐❝s ✦
❍♦✇ t♦ ✉s❡ ▼▲ t♦ ❜✉✐❧❞ ✬♣r♦①✐❡s✬ ❢r♦♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛♥❞ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❄ ❍♦✇ t♦ ❜✉✐❧❞ ♦♥ ❘❆✱ t♦ ❡①t❡♥❞ ✈❛r✐♦✉s ▼♦♥t❡✲❈❛r❧♦ t②♣❡s ♦❢ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❄
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❙✉♠♠❛r②
❉✉r✐♥❣ t❤❡ ❧❛st ②❡❛rs✱ ❍❯●❊ ♣r♦❣r❡ss❡s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♠❛❞❡ ✐♥ t❤❡♦r② ❛♥❞ ♣r❛❝t✐❝❡ ✐♥ s✐st❡r ✜❡❧❞s ❢r♦♠ ❛♣♣❧✐❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡r s❝✐❡♥❝❡ ❚❤❡ ♦♣♣♦rt✉♥✐t✐❡s ❢♦r ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡♠ t♦ ♣♦✇❡r s②st❡♠s ❛r❡ ❛s ✇❡❧❧ ❍❯●❊ ❈♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♣♦✇❡r s②st❡♠ ❡①♣❡rts ❛♥❞ ❡①♣❡rts ❢r♦♠ t❤❡s❡ s✐st❡r ✜❡❧❞s ✐s t❤❡ ❜❡st ✇❛② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ♣r♦❣r❡ss ❜♦t❤ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡ ❛♥❞ ✐♥ t❤❡♦r②✳
❘❡❧❡✈❛♥t s❡ss✐♦♥s ❛t P❙❈❈ ✷✵✶✹
❚❤✐s ♠♦r♥✐♥❣✱ r✐❣❤t ❛❢t❡r t❤❡ ❝♦✛❡❡ ❜r❡❛❦✿ ■◆❱■❚❊❉ P❆P❊❘ ❙❊❙❙■❖◆ P❙ ✶✻✱ ❆❞✈❛♥❝❡❞ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r P♦✇❡r ❙②st❡♠s✳ ❖t❤❡r s❡ss✐♦♥s✿
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