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❊①❛♠♣❧❡

▼♦r❡ s♣❡❝✐✜❝❛❧❧② ❛❜♦✉t ♦♥❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♠♦❞❡❧✿ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ s❡❣♠❡♥t ❙❤ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝❧✉st❡r❡❞ ✐♥t♦ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs ❦❤✳ ◆♦✇ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❇❡ ♣❤✐ ❢♦r ❡❛❝❤ ♦♥❡ ♦❢ t❤♦s❡ ❝❧✉st❡rs✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼ ❝♦♥t❛✐♥s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t✿

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❊①❛♠♣❧❡

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❊①❛♠♣❧❡

▼♦r❡ s♣❡❝✐✜❝❛❧❧② ❛❜♦✉t ♦♥❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♠♦❞❡❧✿ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ s❡❣♠❡♥t ❙❤ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝❧✉st❡r❡❞ ✐♥t♦ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs ❦❤✳ ◆♦✇ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❇❡(♣❤✐) ❢♦r ❡❛❝❤ ♦♥❡ ♦❢ t❤♦s❡ ❝❧✉st❡rs✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼ ❝♦♥t❛✐♥s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t✿

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❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(▼❤) = ❧♦❣✷ ♣ + ❧♦❣✷ ♥+ + ♥ ❧♦❣✷ ❦❤ + γ · ❦❤ ✇❤❡r❡ ♣ ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦❧✉♠♥s ♥ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r♦✇s ❦❤ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs ✐♥ s❡❣♠❡♥t ❙❤ γ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✐ts ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r ❝♦❞✐♥❣ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✳

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(▼❤) = ❧♦❣✷ ♣ + ❧♦❣✷ ♥+ + ♥ ❧♦❣✷ ❦❤ + γ · ❦❤ ✇❤❡r❡ ♣ ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦❧✉♠♥s ♥ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r♦✇s ❦❤ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs ✐♥ s❡❣♠❡♥t ❙❤ γ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✐ts ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r ❝♦❞✐♥❣ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✳

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(▼❤) = ❧♦❣✷ ♣ + ❧♦❣✷ ♥+ + ♥ ❧♦❣✷ ❦❤ + γ · ❦❤ ✇❤❡r❡ ♣ ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦❧✉♠♥s ♥ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r♦✇s ❦❤ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs ✐♥ s❡❣♠❡♥t ❙❤ γ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✐ts ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r ❝♦❞✐♥❣ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✳

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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SLIDE 26

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(▼❤) = ❧♦❣✷ ♣ + ❧♦❣✷ ♥+ + ♥ ❧♦❣✷ ❦❤ + γ · ❦❤ ✇❤❡r❡ ♣ ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦❧✉♠♥s ♥ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r♦✇s ❦❤ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs ✐♥ s❡❣♠❡♥t ❙❤ γ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✐ts ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r ❝♦❞✐♥❣ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✳

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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SLIDE 27

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(▼❤) = ❧♦❣✷ ♣ + ❧♦❣✷ ♥+ + ♥ ❧♦❣✷ ❦❤ + γ · ❦❤ ✇❤❡r❡ ♣ ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦❧✉♠♥s ♥ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r♦✇s ❦❤ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs ✐♥ s❡❣♠❡♥t ❙❤ γ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✐ts ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r ❝♦❞✐♥❣ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✳

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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SLIDE 28

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(❉|▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ ❉❤✱ ✐❢ ✐t ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(❉❤|▼❤) = − ❧♦❣✷ P(❉❤|▼❤) = − ❧♦❣✷ ♥

  • ✐=✶

P(❉❤✐|♣❤✐)

  • ❇✉t

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✇❤❡r❡ ❉❤✐ ❛r❡ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✐✲t❤ r♦✇ ♦❢ ❉❤ ♣❤✐ ❛r❡ t❤❡ s❛♠♣❧❡ ♠❡❛♥s ♦❢ ❉❤✐✱ ✐✳❡ s❤♦✇ t❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♦❢ ✶s ✐♥ t❤❡ r♦✇ ♥✶ s❤♦✇s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✶s ❛♥❞ ♥✷ s❤♦✇s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✵s ✐♥ t❤❡ ✐✲t❤ r♦✇

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(❉|▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ ❉❤✱ ✐❢ ✐t ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(❉❤|▼❤) = − ❧♦❣✷ P(❉❤|▼❤) = − ❧♦❣✷ ♥

  • ✐=✶

P(❉❤✐|♣❤✐)

  • ❇✉t

P(❉❤✐|♣❤✐) = ♣♥✶

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✇❤❡r❡ ❉❤✐ ❛r❡ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✐✲t❤ r♦✇ ♦❢ ❉❤ ♣❤✐ ❛r❡ t❤❡ s❛♠♣❧❡ ♠❡❛♥s ♦❢ ❉❤✐✱ ✐✳❡ s❤♦✇ t❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♦❢ ✶s ✐♥ t❤❡ r♦✇ ♥✶ s❤♦✇s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✶s ❛♥❞ ♥✷ s❤♦✇s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✵s ✐♥ t❤❡ ✐✲t❤ r♦✇

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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SLIDE 30

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(❉|▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ ❉❤✱ ✐❢ ✐t ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(❉❤|▼❤) = − ❧♦❣✷ P(❉❤|▼❤) = − ❧♦❣✷ ♥

  • ✐=✶

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  • ❇✉t

P(❉❤✐|♣❤✐) = ♣♥✶

❤✐ · (✶ − ♣❤✐)♥✷

✇❤❡r❡ ❉❤✐ ❛r❡ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✐✲t❤ r♦✇ ♦❢ ❉❤ ♣❤✐ ❛r❡ t❤❡ s❛♠♣❧❡ ♠❡❛♥s ♦❢ ❉❤✐✱ ✐✳❡ s❤♦✇ t❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♦❢ ✶s ✐♥ t❤❡ r♦✇ ♥✶ s❤♦✇s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✶s ❛♥❞ ♥✷ s❤♦✇s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✵s ✐♥ t❤❡ ✐✲t❤ r♦✇

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ▲(❉|▼)

❚❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ ❉❤✱ ✐❢ ✐t ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♠♦❞❡❧ ▼❤ ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❙❤✿ ▲(❉❤|▼❤) = − ❧♦❣✷ P(❉❤|▼❤) = − ❧♦❣✷ ♥

  • ✐=✶

P(❉❤✐|♣❤✐)

  • ❇✉t

P(❉❤✐|♣❤✐) = ♣♥✶

❤✐ · (✶ − ♣❤✐)♥✷

✇❤❡r❡ ❉❤✐ ❛r❡ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ t❤❡ ✐✲t❤ r♦✇ ♦❢ ❉❤ ♣❤✐ ❛r❡ t❤❡ s❛♠♣❧❡ ♠❡❛♥s ♦❢ ❉❤✐✱ ✐✳❡ s❤♦✇ t❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♦❢ ✶s ✐♥ t❤❡ r♦✇ ♥✶ s❤♦✇s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✶s ❛♥❞ ♥✷ s❤♦✇s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✵s ✐♥ t❤❡ ✐✲t❤ r♦✇

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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▼♦r❡ ❡①❛♠♣❧❡s

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡✿ r❡❛❧ ♠❡t❤②❧❛t✐♦♥ ❞❛t❛

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡✿ r❡❛❧ ♠❡t❤②❧❛t✐♦♥ ❞❛t❛ ❜✐♥❛r✐③❡❞

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❚❤❡ ✐❞❡❛ ✐s ✈❡r② ❣❡♥❡r❛❧✳✳✳

■♥ ❢❛❝t✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞✐✈✐❞❡ t❤❡ ❞❛t❛ ✐♥t♦ r❡❣✐♦♥s ❜② ❛♥② ♠♦❞❡❧✱ ❛s ❧♦♥❣ ❛s ✇❡ ❝❛♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ▲(▼) + ▲(❉|▼)✳ ■♥ t❤❡ r❡♣♦rt✱ ❛❧s♦ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✇❛s ✉s❡❞✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤♦s❡ r❡❣✐♦♥s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠❡t❤②❧❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ♦♥❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ t✐ss✉❡s ❞✐✛❡r ❢r♦♠ t❤❡ ♦t❤❡r t✐ss✉❡s✳

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❚❤❡ ✐❞❡❛ ✐s ✈❡r② ❣❡♥❡r❛❧✳✳✳

■♥ ❢❛❝t✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞✐✈✐❞❡ t❤❡ ❞❛t❛ ✐♥t♦ r❡❣✐♦♥s ❜② ❛♥② ♠♦❞❡❧✱ ❛s ❧♦♥❣ ❛s ✇❡ ❝❛♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ▲(▼) + ▲(❉|▼)✳ ■♥ t❤❡ r❡♣♦rt✱ ❛❧s♦ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✇❛s ✉s❡❞✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤♦s❡ r❡❣✐♦♥s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠❡t❤②❧❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ♦♥❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ t✐ss✉❡s ❞✐✛❡r ❢r♦♠ t❤❡ ♦t❤❡r t✐ss✉❡s✳

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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▼♦r❡ ❡①❛♠♣❧❡s✿ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❛t❛

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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▼♦r❡ ❡①❛♠♣❧❡s✿ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❛t❛

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡✿ r❡❛❧ ♠❡t❤②❧❛t✐♦♥ ❞❛t❛

❑❛s♣❛r ▼ärt❡♥s ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦✲♠❡t❤②❧❛t❡❞ ❣❡♥♦♠✐❝ r❡❣✐♦♥s