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▲♦❝❛t✐♥❣ ❛ ❜✉r❣❧❛r ✐♥ ❛ ♠✉s❡✉♠

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▲♦❝❛t✐♥❣ ❛ ❜✉r❣❧❛r ✐♥ ❛ ♠✉s❡✉♠

◆[✈] = ◆(✈)∪{✈} ❈ ⊆ ❱ (●) ✐s ❛♥ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♦❢ ● ✭❑❛r♣♦✈s❦②✱ ❈❤❛❦r❛❜❛rt②✱ ▲❡✈✐t✐♥✱ ✶✾✾✽✮✿ ❢♦r ❡✈❡r② ✉ ∈ ❱ ✱ ◆[✈]∩❈ = / 0 ✭❞♦♠✐♥❛t✐♦♥✮✳ ∀✉ = ✈ ♦❢ ❱ ✱ ◆[✉]∩❈ = ◆[✈]∩❈ ✭s❡♣❛r❛t✐♦♥✮✳ γ■❉(●)✿ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♥✉♠❜❡r ✱ ♠✐♥✐♠✉♠ s✐③❡ ♦❢ ❛♥ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♦❢ ●✳

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▲♦❝❛t✐♥❣ ❛ ❜✉r❣❧❛r ✐♥ ❛ ♠✉s❡✉♠

◆[✈] = ◆(✈)∪{✈} ❈ ⊆ ❱ (●) ✐s ❛♥ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♦❢ ● ✭❑❛r♣♦✈s❦②✱ ❈❤❛❦r❛❜❛rt②✱ ▲❡✈✐t✐♥✱ ✶✾✾✽✮✿ ❢♦r ❡✈❡r② ✉ ∈ ❱ ✱ ◆[✈]∩❈ = / 0 ✭❞♦♠✐♥❛t✐♦♥✮✳ ∀✉ = ✈ ♦❢ ❱ ✱ ◆[✉]∩❈ = ◆[✈]∩❈ ✭s❡♣❛r❛t✐♦♥✮✳ γ■❉(●)✿ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♥✉♠❜❡r γ(●) ≤ γ■❉(●)

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▲♦❝❛t✐♥❣ ❛ ❜✉r❣❧❛r ✐♥ ❛ ♠✉s❡✉♠

◆[✈] = ◆(✈)∪{✈} ❈ ⊆ ❱ (●) ✐s ❛♥ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♦❢ ● ✭❑❛r♣♦✈s❦②✱ ❈❤❛❦r❛❜❛rt②✱ ▲❡✈✐t✐♥✱ ✶✾✾✽✮✿ ❢♦r ❡✈❡r② ✉ ∈ ❱ ✱ ◆[✈]∩❈ = / 0 ✭❞♦♠✐♥❛t✐♦♥✮✳ ∀✉ = ✈ ♦❢ ❱ ✱ ◆[✉]∩❈ = ◆[✈]∩❈ ✭s❡♣❛r❛t✐♦♥✮✳ γ■❉(●)✿ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♥✉♠❜❡r γ(●) ≤ γ■❉(●)

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❘❡♠❛r❦s

  • ❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❡st ❝♦✈❡rs ✐♥ ❤②♣❡r❣r❛♣❤s
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❘❡♠❛r❦s

  • ❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❡st ❝♦✈❡rs ✐♥ ❤②♣❡r❣r❛♣❤s
  • ◆♦t ❛❧✇❛②s ❡①✐sts✦
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❘❡♠❛r❦s

  • ❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❡st ❝♦✈❡rs ✐♥ ❤②♣❡r❣r❛♣❤s
  • ◆♦t ❛❧✇❛②s ❡①✐sts✦
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❇♦✉♥❞ ❢♦r ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s

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P❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s

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✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ♦❢ s❡❣♠❡♥ts ❥♦✐♥✐♥❣ ❆ ❛♥❞ ❇✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✲ P❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤

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❇♦✉♥❞ ❢♦r ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s

■❢ ● ✐s ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ♦♥ ♥ ✈❡rt✐❝❡s✱ t❤❡♥ γ■❉(●) ≥ √♥ +✷✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋✳✱ ▼❡rt③✐♦s✱ ◆❛s❡r❛sr✱ P❛rr❡❛✉✱ ❱❛❧✐❝♦✈✱ ✷✵✶✹✰✮

same neighborhood in the code!

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same neighborhood in the code!

■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♦❢ s✐③❡ ❦✿ ❦ +✶ ✏t♦♣ ③♦♥❡s✑ ❛♥❞ ❦ +✶ ✏❜♦tt♦♠ ③♦♥❡s✑ ❖♥❧② ♦♥❡ s❡❣♠❡♥t ❢♦r ♦♥❡ ♣❛✐r ♦❢ ③♦♥❡s ♥ ❦ ✶ ✷ ❦ ❈❛r❡❢✉❧ ❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ♣r❡❝✐s❡ ❜♦✉♥❞ ❚✐❣❤t✿

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❇♦✉♥❞ ❢♦r ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s

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same neighborhood in the code!

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same neighborhood in the code!

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same neighborhood in the code!

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❇♦✉♥❞s ❢♦r s✉❜❝❧❛ss❡s ♦❢ ✐♥t❡r✈❛❧✴♣❡r♠✉t❛t✐♦♥

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■❢ ● ✐s ❜✐♣❛rt✐t❡ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✱ t❤❡♥ γ■❉(●) ≥ ♥−✷

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❈♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ■❉❊◆❚■❋❨■◆● ❈❖❉❊

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❈♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ■❉❊◆❚■❋❨■◆● ❈❖❉❊

■◆P❯❚✿ ●r❛♣❤ ●✱ ✐♥t❡❣❡r ❦✳ ◗❯❊❙❚■❖◆✿ ■s t❤❡r❡ ❛♥ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡ ♦❢ ● ♦❢ s✐③❡ ❦❄ ■❉❊◆❚■❋❨■◆● ❈❖❉❊

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❈♦♠♣❧❡①✐t② ✲ ■♥t❡r✈❛❧ ❛♥❞ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s

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▼❛✐♥ ✐❞❡❛✿ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ❝❛♥ s❡♣❛r❛t❡ ♣❛✐rs ♦❢ ✐♥t❡r✈❛❧s ❢❛r ❛✇❛② ❢r♦♠ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ✭✇✐t❤♦✉t ❛✛❡❝t✐♥❣ ✇❤❛t ❧✐❡s ✐♥ ❜❡t✇❡❡♥✮

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❈♦♠♣❧❡①✐t② ✲ ■♥t❡r✈❛❧ ❛♥❞ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s

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❈♦♠♣❧❡①✐t② ✲ ■♥t❡r✈❛❧ ❛♥❞ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s

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❈♦♠♣❧❡①✐t② ✲ ❣❛❞❣❡ts

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❈♦♠♣❧❡①✐t② ✲ ❣❛❞❣❡ts

❉♦♠✐♥❛t✐♥❣ ❣❛❞❣❡t✿ ❡♥s✉r❡ ❛❧❧ ✐♥t❡r✈❛❧s ❛r❡ ❞♦♠✐♥❛t❡❞ ❛♥❞ ♠♦st✱ s❡♣❛r❛t❡❞✳

P ❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ♠❡tr✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ s❡❧❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss❡s ✶✸ ✴ ✸✶

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❈♦♠♣❧❡①✐t② ✲ tr❛♥s♠✐tt❡rs

❚r❛♥s♠✐tt❡r ❣❛❞❣❡t✿ t♦ s❡♣❛r❛t❡ {✉✈✶,✉✈✷} ❛♥❞ {✈✇✶,✈✇✷}✱ ❡✐t❤❡r✿ ✶✳ t❛❦❡ ♦♥❧② ✈ ✐♥t♦ s♦❧✉t✐♦♥✱ ♦r ✷✳ t❛❦❡ ❜♦t❤ ✉,✇ ✖ ❛♥❞ s❡♣❛r❛t❡ ♣❛✐rs {①✶,①✷}✱ {②✶,②✷}✱ {③✶,③✷} ✏❢♦r ❢r❡❡✑✳

①✶ ①✷ ✉ ✉✈✶ ✉✈✷ ✈ ②✶ ②✷ ✈✇✶ ✈✇✷ ✇ ③✶ ③✷ P(✉) P(✉✈) P(✈) P(✈✇) P(✇) ①✶ ①✷ ②✶ ②✷ ③✶ ③✷ ❚r ①✶ ①✷ ✱ ②✶ ②✷ ✱ ③✶ ③✷

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ♠❡tr✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ s❡❧❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss❡s ✶✹ ✴ ✸✶

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SLIDE 42

❈♦♠♣❧❡①✐t② ✲ tr❛♥s♠✐tt❡rs

❚r❛♥s♠✐tt❡r ❣❛❞❣❡t✿ t♦ s❡♣❛r❛t❡ {✉✈✶,✉✈✷} ❛♥❞ {✈✇✶,✈✇✷}✱ ❡✐t❤❡r✿ ✶✳ t❛❦❡ ♦♥❧② ✈ ✐♥t♦ s♦❧✉t✐♦♥✱ ♦r ✷✳ t❛❦❡ ❜♦t❤ ✉,✇ ✖ ❛♥❞ s❡♣❛r❛t❡ ♣❛✐rs {①✶,①✷}✱ {②✶,②✷}✱ {③✶,③✷} ✏❢♦r ❢r❡❡✑✳

①✶ ①✷ ✉ ✉✈✶ ✉✈✷ ✈ ②✶ ②✷ ✈✇✶ ✈✇✷ ✇ ③✶ ③✷ P(✉) P(✉✈) P(✈) P(✈✇) P(✇) ①✶ ①✷ ②✶ ②✷ ③✶ ③✷ ❚r({①✶,①✷}✱ {②✶,②✷}✱ {③✶,③✷})

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ♠❡tr✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ s❡❧❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss❡s ✶✹ ✴ ✸✶

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SLIDE 43

❈♦♠♣❧❡①✐t② ✲ r❡❞✉❝t✐♦♥

✸❉▼ ✐♥st❛♥❝❡ ♦♥ ✸♥ ❡❧❡♠❡♥ts✱ ♠ tr✐♣❧❡s✳ ∃ ✸✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♠❛t❝❤✐♥❣ ⇐ ⇒ γ■❉(●) ≤ ✾✹♠ +✶✵♥

✳ ✳ ✳ P(♣) P(q) P(r) P(s) P(❛) P(❜) P(❝) ❚r(♣,q) ❚r(r,s) ❚r(♣,r,❜) ❚r(q,r,❝) ❚r(s,❛)

t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥t ❣❛❞❣❡ts ❢♦r ❛,❜ ❛♥❞ ❝ tr✐♣❧❡ ❣❛❞❣❡t ❢♦r tr✐♣❧❡ {❛,❜,❝}

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❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ♠❡tr✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ s❡❧❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss❡s ✶✺ ✴ ✸✶

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SLIDE 44

❈♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ■❉❊◆❚■❋❨■◆● ❈❖❉❊

tr❡❡s ❝♦❣r❛♣❤s ❜♦✉♥❞❡❞ ❝❧✐q✉❡✲✇✐❞t❤ ❜♦✉♥❞❡❞ tr❡❡✲✇✐❞t❤ ✉♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❜✐♣❛rt✐t❡ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ❝♦✲❜✐♣❛rt✐t❡ ❧✐♥❡ ♦❢ ❜✐♣❛rt✐t❡ ❜✐♣❛rt✐t❡ ♣❧❛♥❛r ❜✐♣❛rt✐t❡ s♣❧✐t ❝♦✲❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t② q✉❛s✐✲❧✐♥❡ ❧✐♥❡ ❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t② ❝❤♦r❞❛❧ ❝❧❛✇✲❢r❡❡ ♣❡r❢❡❝t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ◆P✲❝♦♠♣❧❡t❡ ❖P❊◆

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ♠❡tr✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ s❡❧❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss❡s ✶✻ ✴ ✸✶

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SLIDE 45

❯♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s

▲❛❞❞❡r ❣r❛♣❤ ▲♠✿ ❣r✐❞ ❣r❛♣❤ P✷✷P♠✳ ❈②❝❧❡ ❝♦✈❡r ♦❢ ❣r❛♣❤ ●✿ s❡t S ♦❢ ❝②❝❧❡s ♦❢ ● s✳t✳

❙∈S ❊(❙) = ❊(●)✳

■◆P❯❚✿ ✐♥t❡❣❡r ♠✱ ✐♥t❡❣❡r ❦✱ s❡t ♦❢ ❝②❝❧❡s ♦❢ ▲♠✳ ◗❯❊❙❚■❖◆✿ ■s t❤❡r❡ ❛ ❝②❝❧❡ ❝♦✈❡r ♦❢ ▲♠ ♦❢ s✐③❡ ❦❄ ▲❆❉❉❊❘ ❈❨❈▲❊ ❈❖❱❊❘ ■❉❊◆❚■❋❨■◆● ❈❖❉❊ ♦♥ ✉♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s r❡❞✉❝❡s t♦ ▲❆❉❉❊❘ ❈❨❈▲❊ ❈❖❱❊❘✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❋✳✱ ▼❡rt③✐♦s✱ ◆❛s❡r❛sr✱ P❛rr❡❛✉✱ ❱❛❧✐❝♦✈✮ ■s ▲❆❉❉❊❘ ❈❨❈▲❊ ❈❖❱❊❘ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✲t✐♠❡ s♦❧✈❛❜❧❡❄ ◗✉❡st✐♦♥

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ♠❡tr✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ s❡❧❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss❡s ✶✼ ✴ ✸✶

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SLIDE 46

❯♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s

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SLIDE 65

❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❞✐❛♠❡t❡r

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❛t❤✿ ♥♦ ❜♦✉♥❞ ▼❉(●) ≤ ❢ (♥) ♣♦ss✐❜❧❡✳

  • ♦♥ ♥ ✈❡rt✐❝❡s✱ ❞✐❛♠❡t❡r ❉✱ ▼❉ ●

❦✳ ❚❤❡♥ ♥ ❉❦ ❦✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤✉❧❧❡r✱ ❘❛❣❤❛✈❛❝❤❛r✐✱ ❘♦s❡♥❢❡❧❞✱ ✷✵✵✷✮

  • ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ♦r ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤✱ ▼❉ ●

❦✱ ❞✐❛♠❡t❡r ❉✳ ❚❤❡♥✿ ♥ ❖ ❉✷❦✷ ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋✳✱ ▼❡rt③✐♦s✱ ◆❛s❡r❛sr✱ P❛rr❡❛✉✱ ❱❛❧✐❝♦✈✱ ✷✵✶✹✰✮ ■♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s✿ ■♥t❡r✈❛❧ ✐♥ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ❉ ✶ ✏③♦♥❡s✑ ✭❧❡❢t ❛♥❞ r✐❣❤t✮ ❦ ❉ ✶ ③♦♥❡s ❆♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ✰ ❡♥❞ ③♦♥❡✿ ♥ ❦ ❦ ❉ ✶

■s t❤❡ ❜♦✉♥❞ t✐❣❤t❄ ✭❚❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s ✇✐t❤ ♥

❉❦✷ ✮✳

◗✉❡st✐♦♥

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SLIDE 66

❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❞✐❛♠❡t❡r

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❛t❤✿ ♥♦ ❜♦✉♥❞ ▼❉(●) ≤ ❢ (♥) ♣♦ss✐❜❧❡✳

  • ♦♥ ♥ ✈❡rt✐❝❡s✱ ❞✐❛♠❡t❡r ❉✱ ▼❉(●) = ❦✳ ❚❤❡♥ ♥ ≤ ❉❦ +❦✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤✉❧❧❡r✱ ❘❛❣❤❛✈❛❝❤❛r✐✱ ❘♦s❡♥❢❡❧❞✱ ✷✵✵✷✮

  • ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ♦r ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤✱ ▼❉ ●

❦✱ ❞✐❛♠❡t❡r ❉✳ ❚❤❡♥✿ ♥ ❖ ❉✷❦✷ ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋✳✱ ▼❡rt③✐♦s✱ ◆❛s❡r❛sr✱ P❛rr❡❛✉✱ ❱❛❧✐❝♦✈✱ ✷✵✶✹✰✮ ■♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s✿ ■♥t❡r✈❛❧ ✐♥ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ❉ ✶ ✏③♦♥❡s✑ ✭❧❡❢t ❛♥❞ r✐❣❤t✮ ❦ ❉ ✶ ③♦♥❡s ❆♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ✰ ❡♥❞ ③♦♥❡✿ ♥ ❦ ❦ ❉ ✶

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◗✉❡st✐♦♥

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ♠❡tr✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ s❡❧❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss❡s ✷✷ ✴ ✸✶

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SLIDE 67

❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❞✐❛♠❡t❡r

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❛t❤✿ ♥♦ ❜♦✉♥❞ ▼❉(●) ≤ ❢ (♥) ♣♦ss✐❜❧❡✳

  • ♦♥ ♥ ✈❡rt✐❝❡s✱ ❞✐❛♠❡t❡r ❉✱ ▼❉(●) = ❦✳ ❚❤❡♥ ♥ ≤ ❉❦ +❦✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤✉❧❧❡r✱ ❘❛❣❤❛✈❛❝❤❛r✐✱ ❘♦s❡♥❢❡❧❞✱ ✷✵✵✷✮

  • ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ♦r ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤✱ ▼❉(●) = ❦✱ ❞✐❛♠❡t❡r ❉✳ ❚❤❡♥✿

♥ = ❖(❉✷❦✷)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋✳✱ ▼❡rt③✐♦s✱ ◆❛s❡r❛sr✱ P❛rr❡❛✉✱ ❱❛❧✐❝♦✈✱ ✷✵✶✹✰✮ ■♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s✿

  • ■♥t❡r✈❛❧ ✐♥ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ≤ ❉ +✶ ✏③♦♥❡s✑ ✭❧❡❢t ❛♥❞ r✐❣❤t✮ → ❦(❉ +✶) ③♦♥❡s
  • ❆♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ✰ ❡♥❞ ③♦♥❡✿ ♥ −❦ ≤ (❦(❉ +✶))✷

■s t❤❡ ❜♦✉♥❞ t✐❣❤t❄ ✭❚❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s ✇✐t❤ ♥

❉❦✷ ✮✳

◗✉❡st✐♦♥

❋❧♦r❡♥t ❋♦✉❝❛✉❞ ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ♠❡tr✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ s❡❧❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss❡s ✷✷ ✴ ✸✶

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SLIDE 68

❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❞✐❛♠❡t❡r

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❛t❤✿ ♥♦ ❜♦✉♥❞ ▼❉(●) ≤ ❢ (♥) ♣♦ss✐❜❧❡✳

  • ♦♥ ♥ ✈❡rt✐❝❡s✱ ❞✐❛♠❡t❡r ❉✱ ▼❉(●) = ❦✳ ❚❤❡♥ ♥ ≤ ❉❦ +❦✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤✉❧❧❡r✱ ❘❛❣❤❛✈❛❝❤❛r✐✱ ❘♦s❡♥❢❡❧❞✱ ✷✵✵✷✮

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SLIDE 86

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SLIDE 87

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SLIDE 88

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SLIDE 89

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SLIDE 90

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SLIDE 93

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SLIDE 94

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