ts s ts - - PowerPoint PPT Presentation

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❱❛s✐❧✐❦✐ ❊✈❞♦r✐❞♦✉ ❉❡♣t✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s ❚❤❡ ❖♣❡♥ ❯♥✐✈❡rs✐t②

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❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (z) = z + ✶ + e−z ✇❛s ✜rst st✉❞✐❡❞ ❜② ❋❛t♦✉ ✐♥ ✶✾✷✻✳ F(f ) ❝♦♥s✐sts ♦❢ ♦♥❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✭❇❛❦❡r ❞♦♠❛✐♥✮ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ r✐❣❤t ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡✳ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛♥ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✉♥✐♦♥ ♦❢ ❝✉r✈❡s ✐♥ t❤❡ ❧❡❢t ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ✭❈❛♥✲ t♦r ❜♦✉q✉❡t✮✳

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❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (z) = z + ✶ + e−z ✇❛s ✜rst st✉❞✐❡❞ ❜② ❋❛t♦✉ ✐♥ ✶✾✷✻✳ F(f ) ❝♦♥s✐sts ♦❢ ♦♥❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✭❇❛❦❡r ❞♦♠❛✐♥✮ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ r✐❣❤t ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡✳ J(f ) ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛♥ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✉♥✐♦♥ ♦❢ ❝✉r✈❡s ✐♥ t❤❡ ❧❡❢t ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ✭❈❛♥✲ t♦r ❜♦✉q✉❡t✮✳

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❚❤❡ s❡t I(f ) = {z ∈ C : f n(z) → ∞ ❛s n → ∞} ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❡s❝❛♣✐♥❣ s❡t✳ ❚❤❡ ❢❛st ❡s❝❛♣✐♥❣ s❡t✱ ✱ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts t❤❛t ❣♦ t♦ ✐♥✜♥✐t② ❛s q✉✐❝❦❧② ❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ✉♥❞❡r ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❛s q✉✐❝❦❧② ❛s ♣♦ss✐❜❧❡

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❚❤❡ s❡t I(f ) = {z ∈ C : f n(z) → ∞ ❛s n → ∞} ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❡s❝❛♣✐♥❣ s❡t✳ ❚❤❡ ❢❛st ❡s❝❛♣✐♥❣ s❡t✱ A(f ) ⊂ I(f )✱ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts t❤❛t ❣♦ t♦ ✐♥✜♥✐t② ❛s q✉✐❝❦❧② ❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ✉♥❞❡r ✐t❡r❛t✐♦♥✳ A(f ) = {z ∈ C : f n(z) → ∞ ❛s q✉✐❝❦❧② ❛s ♣♦ss✐❜❧❡}.

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• I(f ) ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤❡ ❇❛❦❡r ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ t❤❡ ❝✉r✈❡s ✐♥ J(f ) ❡①❝❡♣t ❢♦r

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• I(f ) ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤❡ ❇❛❦❡r ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ t❤❡ ❝✉r✈❡s ✐♥ J(f ) ❡①❝❡♣t ❢♦r

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❆ s❡t E ✐s ❛♥ ✭✐♥✜♥✐t❡✮ s♣✐❞❡r✬s ✇❡❜ ✐❢✿ ✶✮ E ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❛♥❞ ✷✮ ∃ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ (Gn), n ∈ N, ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞✱ s✐♠♣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❞♦♠❛✐♥s s✉❝❤ t❤❛t

• Gn ⊂ Gn+✶, n ∈ N,
• ∂Gn ⊂ E, n ∈ N,
• ∪n∈NGn = C.

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❙♣✐❞❡rs✬ ✇❡❜s

❘✐♣♣♦♥ ❛♥❞ ❙t❛❧❧❛r❞ s❤♦✇❡❞ t❤❛t ❢♦r ♠❛♥② tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ❡♥t✐r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❡ ❡s❝❛♣✐♥❣ s❡t ❤❛s ❛ str✉❝t✉r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❛ s♣✐❞❡r✬s ✇❡❜✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶

❆ s❡t E ✐s ❛♥ ✭✐♥✜♥✐t❡✮ s♣✐❞❡r✬s ✇❡❜ ✐❢✿ ✶✮ E ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❛♥❞ ✷✮ ∃ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ (Gn), n ∈ N, ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞✱ s✐♠♣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❞♦♠❛✐♥s s✉❝❤ t❤❛t

• Gn ⊂ Gn+✶, n ∈ N,
• ∂Gn ⊂ E, n ∈ N,
• ∪n∈NGn = C.

G✶ G✷ G✸

❙♣✐❞❡rs✬ ✇❡❜s

• ❘✐♣♣♦♥ ❛♥❞ ❙t❛❧❧❛r❞ s❤♦✇❡❞ t❤❛t ✇❤❡♥ I(f ) ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ❙❲ t❤❡♥ ✐t

✐s ❛ ❙❲✳

• ■♥ ♠♦st ❡①❛♠♣❧❡s ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t A(f ) ✐s ❛ ❙❲ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t

I(f ) ✐s ❛ ❙❲✳

• ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ I(f ) ✐s ❛

❙❲ ✇❤❡r❡❛s A(f ) ✐s ♥♦t✱ ❞✉❡ t♦ ❘✐♣♣♦♥ ❛♥❞ ❙t❛❧❧❛r❞✳

❋❛t♦✉✬s ✇❡❜

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▲❡t f (z) = z + ✶ + e−z. ❚❤❡♥ I(f ) ✐s ❛ ❙❲✳ ❙❦❡t❝❤ ♦❢ Pr♦♦❢✳ ■❞❡❛✿ ❯s❡ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳ ▲❡t ❜❡ ❛ t✳❡✳❢✳ ❛♥❞ ❜❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ s❡q✉❡♥❝❡ s✉❝❤ t❤❛t✿ ✭✶✮ ❛s ✱ ✭✷✮ t❤❡ ❞✐s❝ ✵ ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❝②❝❧❡ ♦❢ ❢♦r ❛❧❧ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t

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▲❡t ❜❡ ❛ t✳❡✳❢✳ ■❢ s❛t✐s✜❡s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ ❤❛s ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ t❤❡♥ ✐s ❛ ❙❲✳

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▲❡t f (z) = z + ✶ + e−z. ❚❤❡♥ I(f ) ✐s ❛ ❙❲✳ ❙❦❡t❝❤ ♦❢ Pr♦♦❢✳ ■❞❡❛✿ ❯s❡ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳ ▲❡t ❜❡ ❛ t✳❡✳❢✳ ❛♥❞ ❜❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ s❡q✉❡♥❝❡ s✉❝❤ t❤❛t✿ ✭✶✮ ❛s ✱ ✭✷✮ t❤❡ ❞✐s❝ ✵ ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❝②❝❧❡ ♦❢ ❢♦r ❛❧❧ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t

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▲❡t ❜❡ ❛ t✳❡✳❢✳ ■❢ s❛t✐s✜❡s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ ❤❛s ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ t❤❡♥ ✐s ❛ ❙❲✳

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▲❡t f (z) = z + ✶ + e−z. ❚❤❡♥ I(f ) ✐s ❛ ❙❲✳ ❙❦❡t❝❤ ♦❢ Pr♦♦❢✳ ■❞❡❛✿ ❯s❡ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳ ▲❡t f ❜❡ ❛ t✳❡✳❢✳ ❛♥❞ (an) ❜❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ s❡q✉❡♥❝❡ s✉❝❤ t❤❛t✿ ✭✶✮ an → ∞ ❛s n → ∞✱ ✭✷✮ t❤❡ ❞✐s❝ D(✵, an) ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❝②❝❧❡ ♦❢ f , ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N. ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t I(f , (an)) = {z ∈ C : |f n(z)| ≥ an, n ∈ N}.

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▲❡t ❜❡ ❛ t✳❡✳❢✳ ■❢ s❛t✐s✜❡s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ ❤❛s ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ t❤❡♥ ✐s ❛ ❙❲✳

❋❛t♦✉✬s ✇❡❜

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▲❡t f (z) = z + ✶ + e−z. ❚❤❡♥ I(f ) ✐s ❛ ❙❲✳ ❙❦❡t❝❤ ♦❢ Pr♦♦❢✳ ■❞❡❛✿ ❯s❡ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧t ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳ ▲❡t f ❜❡ ❛ t✳❡✳❢✳ ❛♥❞ (an) ❜❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ s❡q✉❡♥❝❡ s✉❝❤ t❤❛t✿ ✭✶✮ an → ∞ ❛s n → ∞✱ ✭✷✮ t❤❡ ❞✐s❝ D(✵, an) ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❝②❝❧❡ ♦❢ f , ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N. ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t I(f , (an)) = {z ∈ C : |f n(z)| ≥ an, n ∈ N}.

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▲❡t f ❜❡ ❛ t✳❡✳❢✳ ■❢ (an) s❛t✐s✜❡s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ I(f , (an))c ❤❛s ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ t❤❡♥ I(f ) ✐s ❛ ❙❲✳

❋❛t♦✉✬s ✇❡❜

◆♦✇ ✇❡ ❛♣♣❧② ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳ ❚❛❦❡ an = n + ✻ ✷ , n ∈ N. ❚❤❡♥ ✭✶✮ (n + ✻)/✷ → ∞ ❛s n → ∞✱ ✭✷✮ D(✵, ((n + ✻)/✷)) ⊃ D(✵, ✼/✷) ⊃ ±πi, n ∈ N, ❛♥❞ ✭✸✮ ❆❧❧ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ I(f , ((n + ✻)/✷))c ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❍❡♥❝❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ⇒ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳

❋❛t♦✉✬s ✇❡❜

• ❡♥❡r❛❧✐s❛t✐♦♥

❆ s✐♠✐❧❛r ❛r❣✉♠❡♥t ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (z) = ✷z + ✷ − ❧♦❣ ✷ − ez t❤❛t ✇❛s ✜rst st✉❞✐❡❞ ❜② ❇❡r❣✇❡✐❧❡r ❤❛s t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦♣❡rt②✱ t❤❛t ✐s✱ I(f ) ✐s ❛ s♣✐❞❡r✬s ✇❡❜✳ ❲❡ ❞❡❞✉❝❡ t❤❛t t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❢♦r ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✇❤❡r❡ s❛t✐s❢② s♦♠❡ s♣❡❝✐✜❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳

• ❡♥❡r❛❧✐s❛t✐♦♥

❆ s✐♠✐❧❛r ❛r❣✉♠❡♥t ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (z) = ✷z + ✷ − ❧♦❣ ✷ − ez t❤❛t ✇❛s ✜rst st✉❞✐❡❞ ❜② ❇❡r❣✇❡✐❧❡r ❤❛s t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦♣❡rt②✱ t❤❛t ✐s✱ I(f ) ✐s ❛ s♣✐❞❡r✬s ✇❡❜✳ ❲❡ ❞❡❞✉❝❡ t❤❛t t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❢♦r ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ z → az + b + cedz, ✇❤❡r❡ a, b, c, d ∈ R s❛t✐s❢② s♦♠❡ s♣❡❝✐✜❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳

❊♥❞♣♦✐♥ts

■♥ ✶✾✽✽ ▼❛②❡r s❤♦✇❡❞ t❤❛t ❢♦r t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❢❛♠✐❧② fa(z) = ez + a, a < −✶, t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ J(fa) ✐s t♦t❛❧❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ✉♥✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts ✇✐t❤ ∞ ✐s ❛ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ s❡t✳ ❆❧❤❛❜✐❜ ❛♥❞ ❘❡♠♣❡✲●✐❧❧❡♥ r❡❝❡♥t❧② s❤♦✇❡❞ t❤❛t t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ s❡t ♦❢ ❡s❝❛♣✐♥❣ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ J(fa). ❚❤❡ ❏✉❧✐❛ s❡t ❢♦r ❋❛t♦✉✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛❧s♦ ❛ ❈❛♥t♦r ❜♦✉q✉❡t ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t ♦❢ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ ✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② ▼❛②❡r✬s r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❛❧s♦ ❢♦r ❋❛t♦✉✬s ❢✉♥❝t✐♦♥✳

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▲❡t ✶ ❚❤❡♥ ✐s t♦t❛❧❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜✉t ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ r❡s✉❧t ♦❢ ❇❛r❛➠s❦✐✳

❊♥❞♣♦✐♥ts

■♥ ✶✾✽✽ ▼❛②❡r s❤♦✇❡❞ t❤❛t ❢♦r t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❢❛♠✐❧② fa(z) = ez + a, a < −✶, t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ J(fa) ✐s t♦t❛❧❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ✉♥✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts ✇✐t❤ ∞ ✐s ❛ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ s❡t✳ ❆❧❤❛❜✐❜ ❛♥❞ ❘❡♠♣❡✲●✐❧❧❡♥ r❡❝❡♥t❧② s❤♦✇❡❞ t❤❛t t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ s❡t ♦❢ ❡s❝❛♣✐♥❣ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ J(fa). ❚❤❡ ❏✉❧✐❛ s❡t ❢♦r ❋❛t♦✉✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛❧s♦ ❛ ❈❛♥t♦r ❜♦✉q✉❡t ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t ♦❢ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ J(f )✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② E(f ). ▼❛②❡r✬s r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❛❧s♦ ❢♦r ❋❛t♦✉✬s ❢✉♥❝t✐♦♥✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸

▲❡t f (z) = z + ✶ + e−z. ❚❤❡♥ E(f ) ✐s t♦t❛❧❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜✉t E(f ) ∪ {∞} ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ r❡s✉❧t ♦❢ ❇❛r❛➠s❦✐✳

❊♥❞♣♦✐♥ts

❚❤❡ ❢❛❝t t❤❛t I(f ) ✐s ❛ ❙❲ ❢♦r ❋❛t♦✉✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❧❡❛❞s t♦ ❛ r❡s✉❧t ❛❜♦✉t t❤❡ ♥♦♥✲❡s❝❛♣✐♥❣ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ J(f )✱ ˆ E(f ) = E(f ) \ I(f ).

❚❤❡♦r❡♠ ✹

▲❡t f (z) = z + ✶ + e−z. ❚❤❡♥ ˆ E(f ) ∪ {∞} ✐s t♦t❛❧❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞✳

Pr♦♦❢✳

❙✉♣♣♦s❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ✳ ❙✐♥❝❡ ✐s ❛ ❙❲✱ ❛♥② ♥♦♥✲❡s❝❛♣✐♥❣ ❡♥❞♣♦✐♥t ✐s s❡♣❛r❛t❡❞ ❢r♦♠ ❜② ❛ ❵❧♦♦♣✬ ✐♥ ❛♥❞ s♦ t❤✐s ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠✉st ❧✐❡ ✐♥ ❙✐♥❝❡✱ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✸✱ ✐s t♦t❛❧❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞✱✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

❊♥❞♣♦✐♥ts

❚❤❡ ❢❛❝t t❤❛t I(f ) ✐s ❛ ❙❲ ❢♦r ❋❛t♦✉✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❧❡❛❞s t♦ ❛ r❡s✉❧t ❛❜♦✉t t❤❡ ♥♦♥✲❡s❝❛♣✐♥❣ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ J(f )✱ ˆ E(f ) = E(f ) \ I(f ).

❚❤❡♦r❡♠ ✹

▲❡t f (z) = z + ✶ + e−z. ❚❤❡♥ ˆ E(f ) ∪ {∞} ✐s t♦t❛❧❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞✳

Pr♦♦❢✳

❙✉♣♣♦s❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ˆ E(f ) ∪ {∞}✳ ❙✐♥❝❡ I(f ) ✐s ❛ ❙❲✱ ❛♥② ♥♦♥✲❡s❝❛♣✐♥❣ ❡♥❞♣♦✐♥t ✐s s❡♣❛r❛t❡❞ ❢r♦♠ ∞ ❜② ❛ ❵❧♦♦♣✬ ✐♥ I(f ) ❛♥❞ s♦ t❤✐s ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠✉st ❧✐❡ ✐♥ ˆ E(f ) ⊂ E(f ). ❙✐♥❝❡✱ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✸✱ E(f ) ✐s t♦t❛❧❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞✱✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

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