trt t r - - PowerPoint PPT Presentation

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⊢ ❛, ❛⊥ ✐♥✐ ⊢ Γ, ❆ ⊢ ∆, ❆⊥ ⊢ Γ, ∆ ❝✉t ⊢ ✶ ✶ ⊢ Γ, ❆ ⊢ ∆, ❇ ⊢ Γ, ∆, ❆ ⊗ ❇ ⊗ ⊢ Γ, ❆✶ ⊢ Γ, ❆✶ ⊕ ❆✷ ⊕✶ ⊢ Γ, ❆✷ ⊢ Γ, ❆✶ ⊕ ❆✷ ⊕✷ ⊢ Γ, ⊤ ⊤ ⊢ Γ ⊢ Γ, ⊥ ⊥ ⊢ Γ, ❆, ❇ ⊢ Γ, ❆ ❇ ⊢ Γ, ❆ ⊢ Γ, ❇ ⊢ Γ, ❆ ❇

• ⊢ Γ, ❆[t/①]

⊢ Γ, ∃①.❆ ∃ ⊢ Γ, ❆[❝/①] ⊢ Γ, ∀①.❆ ∀ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❝ ✐s ♥❡✇ ⊢ ? Γ, ❇ ⊢ ? Γ, ! ❇ ! ⊢ Γ, ❇ ⊢ Γ, ? ❇ ? ❞ ⊢ Γ ⊢ Γ, ? ❇ ? ✇ ⊢ Γ, ? ❇, ? ❇ ⊢ Γ, ? ❇ ? ❝ ♣♦s✐t✐✈❡✴♥❡❣❛t✐✈❡ ❞✉❛❧✐t②

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

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❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

• ❛♠❡s ❛♥❞ ▲♦❣✐❝ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣

❆ ✈❡r② ♥❛t✉r❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ❜❛❝❦ t♦ ✶✾✽✻ ✭❱❛♥ ❊♠❞❡♥✱ ✶✾✽✻✮❀ ❨❡t✱ ♠✉❝❤ ❧❡ss ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ t❤❛♥ t❤❡ ❣❛♠❡✲s❡♠❛♥t✐❝❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣❀ ▲✉❞✐❝s ❬●✐r❛r❞✱ ✷✵✵✶❪ ❣✐✈❡s ❛ st❛t✉s t♦ ♣❛rt✐❛❧ ♣r♦♦❢s✿

❚❤❡r❡ ❛r❡ ♣❛rt✐❛❧ ♣r♦♦❢s❀ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❜♦t❤ ♣r♦♦❢s ❛♥❞ ❝♦✉♥t❡r✲♣r♦♦❢s✿ t❤❡ ❞❡s✐❣♥s❀ ▲✉❞✐❝s t❤❡♦r② ✐s ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡❀ ❆ ❣♦♦❞ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❧♦❣✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣❄ ❙♦♠❡ ❧✉❞✐❝s ❦❡②✇♦r❞s✿ ♠♦♥✐s♠✱ ❢♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ❧♦❝❛t✐♦♥s✱ t❡sts t❤r♦✉❣❤ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ❜❡❤❛✈✐♦✉rs✱ ✳✳✳

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤✱ ✐♥ Pr✐♥❝✐♣❧❡

❚❡st ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t ■ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❡❛r❝❤ ❙♣❛❝❡ ◆ E✶ ❚ E✷ ❊ ❘ E✸ ❆ ❈ E✹ E✺ ❚ ■ E✻ ❖ ◆ ❉✉❛❧✐t② t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✴✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❡❛r❝❤ s♣❛❝❡✳

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤✱ ✐♥ Pr✐♥❝✐♣❧❡

❚❡st ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t ■ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❡❛r❝❤ ❙♣❛❝❡ ◆ E✶ ❚ E✷ ❊ տր ❘ ↑ ↑ E✸ ❆ տ↑ր ❈ D E✹ E✺ ❚ ■ E✻ ❖ ◆ ❉✉❛❧✐t② t❡st ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✴✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❡❛r❝❤ s♣❛❝❡✳

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

❋ ::= ❋ ⊗ ❋ | ❋ ⊕ ❋ | ✶ | ✵ ✭♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦♠✉❧❛s✮ ❋ ❋ | ❋ ❋ | ⊥ | ⊤ ✭♥❡❣❛t✐✈❡ ❢♦♠✉❧❛s✮ ⊢ Γ, ❆ ⊢ ∆, ❆⊥ ⊢ Γ, ∆ ❝✉t ⊢ Γ, ❆ ⊢ ∆, ❇ ⊢ Γ, ∆, ❆ ⊗ ❇ ⊗ ⊢ Γ, ❆✐ ⊢ Γ, ❆✵ ⊕ ❆✶ ⊕✐ ✐ ∈ {✵, ✶} ⊢ ✶ ✶ ⊢ Γ, ❆ ⊢ Γ, ❇ ⊢ Γ, ❆ ❇

• ⊢ Γ, ❆, ❇

⊢ Γ, ❆ ❇ ⊢ Γ, ⊤ ⊤ ⊢ Γ ⊢ Γ, ⊥ ⊥ ■♥ ✱ ❝♦♥t❛✐♥s ♥♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛✳ ▼❆▲▲ ❢♦r♠✉❧❛s ✇✐❧❧ ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❛❞r❡ss❡s t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡s✿ ✶✵

✶✵ ✶ ✶✶

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

❋ ::= ❋ ⊗ ❋ | ❋ ⊕ ❋ | ✶ | ✵ ✭♣♦s✐t✐✈❡ ❢♦♠✉❧❛s✮ ❋ ❋ | ❋ ❋ | ⊥ | ⊤ ✭♥❡❣❛t✐✈❡ ❢♦♠✉❧❛s✮ ⊢ Γ, ❆ ⊢ ∆, ❆⊥ ⊢ Γ, ∆ ❝✉t ⊢ Γ ⊢ Γ, ❆ ⊢ ∆, ❇ ⊢ Γ, ∆, ❆ ⊗ ❇ ⊗ ⊢ Γ, ❆✐ ⊢ Γ, ❆✵ ⊕ ❆✶ ⊕✐ ✐ ∈ {✵, ✶} ⊢ ✶ ✶ ⊢ Γ, ❆ ⊢ Γ, ❇ ⊢ Γ, ❆ ❇

• ⊢ Γ, ❆, ❇

⊢ Γ, ❆ ❇ ⊢ Γ, ⊤ ⊤ ⊢ Γ ⊢ Γ, ⊥ ⊥ ■♥ ✱ Γ ❝♦♥t❛✐♥s ♥♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛✳ ▼❆▲▲ ❢♦r♠✉❧❛s ✇✐❧❧ ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❛❞r❡ss❡s t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡s✿ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶)

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✐ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✐ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✐ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) , ✐ ∈ {✵, ✶} ❯s❡❞ t♦ ❜✉✐❧❞✱ ❜② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥✿

✐

✶✵

✶✵ ✶ ✶✶ ✵

✶✶✵

✶ ✶✶✶

❝✉t

❝✉t ❡❧✐♠

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

D✐ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✐ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✐ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) , ✐ ∈ {✵, ✶} ❯s❡❞ t♦ ❜✉✐❧❞✱ ❜② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥✿ D✐ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) D ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊢ ❝✉t ↓❝✉t−❡❧✐♠ ⊢

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

■♥t❡r❛❝t✐♥❣ ✇✐t❤ D✐ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✐ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✐ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) , ✐ ∈ {✵, ✶} ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ♦r t♦ D = ⊢ ✶✶✵ ✶ ⊢ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

✵ ✵

✶✶✵

✶ ✶✶✶ ✵

❇✉t ✉s❡s ❛ ✿ ✐t ✐s ❛ ❢❛✐❧✉r❡✳ ❍♦✇ t♦ ❛✈♦✐❞ t❤✐s s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❢♦r ❄

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

■♥t❡r❛❝t✐♥❣ ✇✐t❤ D✐ = ⊢ ✶✵ ✶ ⊢ ⊢ ⊥✶✐ ⊥ ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊕✐ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) , ✐ ∈ {✵, ✶} ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ♦r t♦ D = ⊢ ✶✶✵ ✶ ⊢ ✶✶✶ ✶ ⊢ ✶✶✵ ✶ ✶✶✶

• ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✶

D′ = ⊢ ⊢ ⊥✵ ⊥ ⊢ ⊥✵ ⊕ (✶✶✵ ✶ ✶✶✶) ⊕✵ ❇✉t D′ ✉s❡s ❛ ✿ ✐t ✐s ❛ ❢❛✐❧✉r❡✳ ❍♦✇ t♦ ❛✈♦✐❞ t❤✐s s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❢♦r D′❄

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

▼❆▲▲ ❛♥❞ ■P❙ ✐♥ ▼❆▲▲

▲✉❞✐❝s ❝♦♥t❛✐♥s ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts t♦ r❡♣r❡s❡♥t ▼❆▲▲ ♣r♦♦❢s✳ ❖♥❡ ❝♦✉❧❞ ❛❞❞ ♥❡✇ t❡sts t♦ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✿ D✷ = ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) |✶ ❆❞❞✐♥❣ D✷ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ❢♦r❜✐❞❞❡♥ t❤❡ s❡❛r❝❤ t❤❛t ❧❡❛❞s t♦ ❛ ❢❛✐❧✉r❡ ❜② ❢♦r❝✐♥❣ t❤❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ⊕✶✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ ✶ ✿ ❙❧✐❝❡ ♦❢ t❤❡ r✉❧❡✳ ✶

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

❋r♦♠ ▼❆▲▲ t♦ ❉❡s✐❣♥s

▲✉❞✐❝s ❝♦♥t❛✐♥s ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts t♦ r❡♣r❡s❡♥t ▼❆▲▲ ♣r♦♦❢s✳ ❖♥❡ ❝♦✉❧❞ ❛❞❞ ♥❡✇ t❡sts t♦ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✿ D✷ = ⊢ ⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶ ⊢ ✶✵ (⊥✶✵ ⊕✶ ⊥✶✶) |✶ ❚❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ r✉❧❡ |✶ ✐s ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ r✉❧❡ ✇✐t❤ ❛❝t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐♥❞❡①❡❞ ❜② ♣r♦❞✉❝✐♥❣ ♦♥❡ s✉❜❢♦r♠✉❧❛ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ ✶✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ (, ✶)−✿ ❙❧✐❝❡ ♦❢ t❤❡ r✉❧❡✳

• (, ✶)−

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

❋r♦♠ ▼❆▲▲ t♦ ❉❡s✐❣♥s✳

Di = ⊢ 10 1 ⊢

• ⊢ ⊥1i ⊥

⊢ ⊥10 ⊕1 ⊥11 ⊕i ⊢ 10 (⊥10 ⊕1 ⊥11) , i ∈ {0, 1} − →

,{0} ∅ ,{1} 1 {i} 1i,{∅}

• 1

D = ⊢ 110 1 ⊢ 111 1 ⊢ 110 1 111

• ⊢ ⊥0 ⊕ (110 1 111) ⊕1

− →

• {1}

1,{0} 10 ∅ 1,{1} 11 ∅

❚❤♦s❡ ❞❡s✐❣♥s ❝❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✳ ❇✉t ✇❤② t♦ ❣♦ t❤r♦✉❣❤ ▼❆▲▲ ❛♥❞ ♥♦t ❞✐r❡❝t❧② ✐♥t❡r❛❝t✭✐✈❡❧② s❡❛r❝❤✮ ✐♥ ▲✉❞✐❝s❄

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

❙❝❤❡♠❡ ♦❢ ■P❙ ♦♥ ❛♥ ❊①❛♠♣❧❡✳

E = ξ,{0,1,2}

ξ0 {1} ξ01,I01 ξ1 {1} ξ11,I11

• 1

❚❤✐s ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❡❛r❝❤ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ✐s ❞❡✜♥❡❞ t❤❛♥❦s t♦ ❛♥ ❛❜str❛❝t ♠❛❝❤✐♥❡✱ t❤❡ ❙▲❆▼✳

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

❙❝❤❡♠❡ ♦❢ ■P❙ ♦♥ ❛♥ ❊①❛♠♣❧❡✳

E = ξ,{0,1,2}

ξ0 {1} ξ01,I01 ξ1 {1} ξ11,I11

• 1

D0 = ∅ D1 = κ+

1

D2 = κ+

1

κ−

2

D3 = κ+

1

κ−

2

κ+

3

D4 = κ+

1

κ−

2

κ+

3

κ−

4

D5 = κ+

1

κ−

2

κ+

3

κ−

4

κ+

5

❚❤✐s ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❡❛r❝❤ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ✐s ❞❡✜♥❡❞ t❤❛♥❦s t♦ ❛♥ ❛❜str❛❝t ♠❛❝❤✐♥❡✱ t❤❡ ❙▲❆▼✳

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

❇❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣✱ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡❧②

❚❡st ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❡❛r❝❤ ❙♣❛❝❡ ■ ◆ E✶ ❚ E✷ ❊ տր ❘ ↑ ↑ E✸ ❆ տ↑ր ❈ D E✹ E✺ ❚ ■ E✻ ❖ ◆ ❯s✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣❛t❤s ❢♦r

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

❇❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣✱ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡❧②

❚❡st ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❡❛r❝❤ ❙♣❛❝❡ ■ ◆ E✶ ❚ E✷ ❊ տր ❘ ↑ ↑ E✸ ❆ տ↑ր ❈ D E✹ E✺ ❚ ■ E✻ Backtrack(D) ❖ ◆ ❯s✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣❛t❤s ❢♦r D

❆❧❡①✐s ❙❛✉r✐♥ ▲❛♠❜❞❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❚♦r✐♥♦ ✭❝✉rr❡♥t❧②✮ P❛rs✐❢❛❧✱ ■◆❘■❆ ❙❛❝❧❛② ✫ ➱❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭✉♥t✐❧ r❡❝❡♥t❧②✮ ❆♥ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❛s Pr♦♦❢✲❙❡❛r❝❤

❚♦✇❛r❞s ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❈♦♥tr♦❧✳

◆❡①t st❡♣✿ ❈♦♥s✐❞❡r ♦t❤❡r ✉s✉❛❧ ♣r✉♥✐♥❣ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s ✐♥ Pr♦❧♦❣ ❛♥❞ ❛♥❞ s❡❡ ❤♦✇ ✧✐♥t❡r❛❝t✐✈❡✧ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡✿ ✦✴✵ s♦❢t ❝✉t ♦t❤❡r ❜❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣ ♠♦❞✐✜❡rs ✐♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❜❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣ ✳✳✳

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