t rts r - - PDF document

❆♥❛❧②t✐❝❛❧ ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐❝s

❖❧✐✈✐❡r ❋r✉❝❤❛rt

❬✶✺ s❡♣t❡♠❜r❡ ✷✵✵✾❪

❚❤❡ ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ t❤❡ t✉t♦r✐❛❧ ✐s t♦ ❣❡t ❢❛♠✐❧✐❛r ✇✐t❤ s♦♠❡ ❜❛s✐❝ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❛♥❞ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ♠✐❝r♦♠❛✲ ❣♥❡t✐s♠✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✇♦r❦ ❛r♦✉♥❞ ❛ ❇❧♦❝❤ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧✱ ❛♥❞ ❛ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❞❡❢❡❝t t♦ ❡①♣❧❛✐♥ ♣✐♥♥✐♥❣✲r❡❧❛t❡❞ ❝♦❡r❝✐✈✐t②✳ Pr❡❛♠❜❧❡✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❤♦rt❝✉ts ✿ ∂xθ ❢♦r ∂θ/∂x ❛♥❞ ∂n

xθ ❢♦r ∂nθ/∂xn✳

✶ ❋r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐s♠

▼♦st ♦❢ ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐❝ ♠♦❞❡❧✐♥❣ r❡❧✐❡s ♦♥ t✇♦ ❤②♣♦t❤❡s❡s ✿ ✕ ❚❤❡ s♣❛t✐❛❧ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥② ♣❤②s✐❝❛❧ q✉❛♥t✐t② ✭♠❛❣♥❡t✐❝ ♠♦♠❡♥ts ❡t❝✳✮ ✐s s❧♦✇ ❛t t❤❡ ❧❡♥❣t❤ s❝❛❧❡ ♦❢ ✐♥t❡r✲❛t♦♠✐❝ ❞✐st❛♥❝❡s✳ ❚❤✐s ❛❧❧♦✇s ♦♥❡ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ♣❤②s✐❝❛❧ s②st❡♠s ✐♥ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠❡❞✐✉♠ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛♥❞ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♦❢ ✐♥t❡❣r❛❧ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ✕ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ ✭✐✳❡✳ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♠❛❣♥❡t✐❝ ♠♦♠❡♥ts ♣❡r ✉♥✐t ✈♦❧✉♠❡✮ ❤❛s ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❛♥❞ ❝♦♥st❛♥t ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ✿ |M(r)| ≡ Ms✱ t❤❡ s♣♦♥t❛♥❡♦✉s ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥✳ ❆ ♠❛❥♦r ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐s♠ ✐s t♦ ❡①❤✐❜✐t st❛❜❧❡ ✭♦r ♠❡t❛st❛❜❧❡✮ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts ✉♥❞❡r st❛t✐❝ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❚❤❡s❡ ♠✐♥✐♠✐③❡ ❣❧♦❜❛❧❧② ✭r❡s♣✳ ❧♦❝❛❧❧②✮ t❤❡ t♦t❛❧ ❡♥❡r❣② ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ■♥ ♠♦st s✐t✉❛t✐♦♥s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❡♥❡r❣② ❝♦♠♣r✐s❡s ❛t ♠♦st ❢♦✉r t❡r♠s ✿ ♠❛❣♥❡t✐❝ ❛♥✐s♦tr♦♣② Ea = Kfa(θ, ϕ)✱ ❩❡❡♠❛♥ ❡♥❡r❣② EZ = −µ0MsH✱ s❡❧❢✲❞✐♣♦❧❛r ❡♥❡r❣② Ed = −(1/2)µ0MsHd ❛♥❞ ❡①❝❤❛♥❣❡ ❡♥❡r❣②✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢♦r♠ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❧✐♥❦ ✇✐t❤ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ q✉❛♥t✐t✐❡s ✐♥ t❤✐s ♣❛r❛❣r❛♣❤✳ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r ❡①❝❤❛♥❣❡ ❡♥❡r❣② ✐♥ ❛ ❍❡✐s❡♥❜❡r❣ ♠♦❞❡❧ ✿ E = −

i>j JSi.Sj✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ s✉♠♠❛t✐♦♥

❝♦♥❝❡r♥s ♥❡❛r✭❡st✮ ♥❡✐❣❤❜♦rs✳ J > 0 ❢♦r ❢❡rr♦♠❛❣♥❡ts✳ ■♥ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝r②st❛❧ ✇✐t❤ ❛t♦♠✐❝ s♣❛❝✐♥❣ a✱ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❡①❝❤❛♥❣❡ ❡♥❡r❣② ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s Eex = A(dxθ)2✱ ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❛♥❣❧❡ θ ♦❢ t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ✈❡❝t♦r ❤❛s ❛ s❧♦✇ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❛t♦♠✐❝ s✐t❡s✳ A ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❡①❝❤❛♥❣❡ ❝♦♥st❛♥t✱ ✇❤✐❝❤ ②♦✉ ✇✐❧❧ ❡①❤✐❜✐t ✐♥ t❡r♠s ♦❢ J ❛♥❞ a✳ ■♥ ❛ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❜♦❞② t❤✐s ❡♥❡r❣② ✐s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✿ Eex = A (∇m)2 . ✭✶✮ (∇m)2 ✐s ❛ s❤♦rt❝✉t ❢♦r

i

• j(∂xjmi)2 ✇❤❡r❡ mi ❛r❡ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥

m = Ms/Ms✳

✷ ❊✉❧❡r✲▲❛❣r❛♥❣❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❲❡ ✇✐❧❧ s❡❡❦ t♦ ❡①❤✐❜✐t ❛ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ t❤❛t ♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ ❡♥❡r❣② ❞❡♥s✐t② ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ❡♥t✐r❡ s②st❡♠ ✿ E =

• E(r)dr✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦❢ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s q✉❛♥t✐t②

✐♥t❡❣r❛t❡❞ ♦✈❡r s♣❛❝❡ ✐s ❛ ❝♦♠♠♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ s♦❧✈❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❊✉❧❡r✲▲❛❣r❛♥❣❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ✐♥ ❛ t❡①t❜♦♦❦ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❤❡r❡✳ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ q✉❛♥t✐t② ❞❡✜♥❡❞ ❛s F(θ, dxθ)✱ ✇❤❡r❡ x ✐s t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛♥❞ θ ❛ q✉❛♥t✐t② ❞❡✜♥❡❞ ❛t ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐s♠ ✇❡ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ ✿ µ▼❛❣ ✕ ✶

µ▼❛❣✕ ❖❧✐✈✐❡r ❋r✉❝❤❛rt F (θ, dxθ) = A (dxθ)2 + E(θ) ✭✷✮ E(θ) ♠❛② ❝♦♥t❛✐♥ ❛♥✐s♦tr♦♣②✱ ❞✐♣♦❧❛r ❛♥❞ ❩❡❡♠❛♥ t❡r♠s✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ q✉❛♥t✐t② ✿ F = B

A

F (θ, dxθ) dx + EA(θ) + EB(θ). ✭✸✮ A ❛♥❞ B ❛r❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ ✇❤✐❧❡ EA(θ) ❛♥❞ EB(θ) ❛r❡ s✉r❢❛❝❡ ❡♥❡r❣② t❡r♠s✳ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡s✐♠❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✈❛r✐❛t✐♦♥ δθ(x) ♦❢ θ✳ ❙❤♦✇ t❤❛t ❡①tr❡♠❛ ♦❢ F ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ✿ ∂θF − dx (∂dxθF) = ✭✹✮ dθEA − ∂dxθF|A = ✭✺✮ dθEB + ∂dxθF|B = ✭✻✮ ◆♦t✐❝❡ t❤❛t ❡q✉❛t✐♦♥s ❊q✳ ✭✺✮ ❛♥❞ ❊q✳ ✭✻✮ ❞✐✛❡r ✐♥ s✐❣♥ ❜❡❝❛✉s❡ ❛ s✉r❢❛❝❡ q✉❛♥t✐t② s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✉♥✐t ✈❡❝t♦r ♥♦r♠❛❧ t♦ t❤❡ s✉r❢❛❝❡✱ ✇✐t❤ ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ s❡♥s❡✱ s✉❝❤ ❛s t❤❡ ♦✉t✇❛r❞s ♥♦r♠❛❧✳ ❍❡r❡ t❤❡ ❛❜s❝✐ss❛ x ✐s ♦✉t✇❛r❞s ❢♦r ♣♦✐♥tB ❤♦✇❡✈❡r ✐♥✇❛r❞s ❛t A✳ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ ❡①♣❧❛♥❛t✐♦♥ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❛t ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ s✐❣♥ ♦❢ dxθ t❤❡ ❡①❝❤❛♥❣❡ t♦rq✉❡ ❡①❡rt❡❞ ♦♥ ❛ ♠♦♠❡♥t t♦ t❤❡ r✐❣❤t ✭❛t ♣♦✐♥t B✮ ✐s ♦♣♣♦s✐t❡ t♦ t❤❛t ❡①❡rt❡❞ t♦ t❤❡ ❧❡❢t ✭❛t ♣♦✐♥t A✮✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ t♦rq✉❡ ❡①❡rt❡❞ ❜② ❛ s✉r❢❛❝❡ ❛♥✐s♦tr♦♣② ❡♥❡r❣② s♦❧❡❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ θ✳

✸ ▼✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐❝ ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥

❆♣♣❧② t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐s♠ ❬❊q✳ ✭✷✮❪✳ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❊q✳ ✭✹✮ ❡①❤✐❜✐t ❛ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❧✐♥❦✐♥❣ E[θ(x)] ✇✐t❤ dxθ✳ ❊q✉❛t✐♦♥s ✺✲✻ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ EA(θ) ❛♥❞ EB(θ) ♠❛② ❜❡ s✉r❢❛❝❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ❛♥✐s♦tr♦♣②✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✳ ❉✐s❝✉ss t❤❡ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❈♦♠♠❡♥t t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❢r❡❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭❛❧❧ ❜✉❧❦ ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡ ❡♥❡r❣② t❡r♠s ✈❛♥✐s❤ ❛t A ❛♥❞ B✮✱ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❡♥❡r❣② ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ◆♦✇ ♦♥ ✇❡ s✇✐t❝❤ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ ♣❤②s✐❝s ♥♦t❛t✐♦♥ E ❢♦r t❤❡ t♦t❛❧ ❡♥❡r❣②✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ F✳ ❙❤♦✇ t❤❛t ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ✿ E = 2 θ(B)

θ(A)

• AE(θ) dθ

✭✼✮

✹ ❚❤❡ ❇❧♦❝❤ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧

▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢r❡❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ♠✐♠✐❝❦✐♥❣ t✇♦ ❡①t❡♥❞❡❞ ❞♦♠❛✐♥s ✇✐t❤ ♦♣♣♦s✐t❡ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ s❡♣❛r❛t❡❞ ❜② ❛ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ✇❤♦s❡ ♣r♦✜❧❡ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❞❡r✐✈❡ ❤❡r❡ ✿ θ(−∞) = 0 ❛♥❞ θ(+∞) = π✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❡ s✐♠♣❧❡st ❢♦r♠ ♦❢ ♠❛❣♥❡t✐❝ ❛♥✐s♦tr♦♣②✱ ✉♥✐❛①✐❛❧ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ✿ E(θ) = K sin2 θ✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ❣✐✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r ❜♦t❤ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ✇✐❞t❤ δ ❛♥❞ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ❡♥❡r❣② E✳ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ ❙■ ✉♥✐ts ❢♦r E ❄ ❉✐s❝✉ss t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡s❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ✐♥ r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ❛♥❞ ❡✛❡❝ts ♦❢ ❡①❝❤❛♥❣❡ ❛♥❞ ❛♥✐s♦tr♦♣②✳ ❇② ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❡①❤✐❜✐t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ ❞❡r✐✈❡ ♥♦✇ t❤❡ ❡①❛❝t ♣r♦✜❧❡ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ µ▼❛❣ ✕ ✷

µ▼❛❣✕ ❖❧✐✈✐❡r ❋r✉❝❤❛rt

Magnetization angle

• 8
• 6
• 4
• 2

2 4 6 8

Distance (in Λ units)

π π/2

❋✐❣✉r❡ ✶ ✕ ❇❧♦❝❤ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ♣r♦✜❧❡ ✿ t❤❡ ❡①❛❝t s♦❧✉t✐♦♥ ✭r❡❞ ❞♦ts✮ ✈❡rs✉s t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♣r♦✜❧❡ ✭❧✐♥❡✮✳ θ(x) = 2 arctan[exp(x/∆)] ✭✽✮ ❛♥❞ ✐ts ❡♥❡r❣② E✳ ❚❤❡ ♠♦st ❝♦♠♠♦♥ ✇❛② t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❇❧♦❝❤ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ✇✐❞t❤ δ❇❧ ✐s ❜② r❡♣❧❛❝✐♥❣ t❤❡ ❡①❛❝t θ(x) ❜② ✐ts ❧✐♥❡❛r ❛s②♠♣t♦t❡s ✭❋✐❣✉r❡ ✶✮✳ ❚♦ s❤♦rt❡♥ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✇❡ ♦❢t❡♥ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ∆ =

• A/K✱ ❝❛❧❧❡❞

t❤❡ ❇❧♦❝❤ ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❉❡r✐✈❡ δ❇❧ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ∆✳ ▲❡t ✉s str❡ss t✇♦ ✐ss✉❡s ✿ ✕ ❆s ♦❢t❡♥ ✐♥ ♣❤②s✐❝s ✇❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ ✐♥ t❤✐s s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡ t❤❛t ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ②✐❡❧❞s ❛ ❣♦♦❞ ✐♥s✐❣❤t ✐♥t♦ ❛ ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐❝ s✐t✉❛t✐♦♥✳ ■t ✐s ❛❧✇❛②s ✇♦rt❤✇❤✐❧❡ st❛rt✐♥❣ ✇✐t❤ s✉❝❤ ❛♥ ❛♥❛❧②s✐s ❜❡❢♦r❡ ✉♥❞❡rt❛❦✐♥❣ ❝♦♠♣❧❡① ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ♦r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❢♦r t❤❡ ❧❛tt❡r ♠❛② ❤✐❞❡ t❤❡ ♣❤②s✐❝s ❛t ♣❧❛②✳ ✕ ❲❡ ❤❛✈❡ ❡①❤✐❜✐t❡❞ ❤❡r❡ ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❧❡♥❣t❤ s❝❛❧❡ ✐♥ ♠❛❣♥❡t✐s♠✳ ❖t❤❡r ❧❡♥❣t❤ s❝❛❧❡s ♠❛② ♦❝❝✉r✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❡♥❡r❣② t❡r♠s ✐♥ ❜❛❧❛♥❝❡✳ ❚❤❡ ♣❤②s✐❝s ❛t ♣❧❛② ✇✐❧❧ ♦❢t❡♥ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ♦❢ ②♦✉r s②st❡♠ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ s❝❛❧❡s r❡❧❡✈❛♥t ✐♥ ②♦✉r ❝❛s❡✳ ❙t❛rt✐♥❣ ✇✐t❤ s✉❝❤ ❛♥ ❛♥❛❧②s✐s ✐s ❛❧s♦ ✇✐s❡✳

✺ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣✐♥♥✐♥❣

❲❡ r❡♠❛✐♥ ✐♥ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❡t ✉s ♠♦❞❡❧ ❛ ❧♦❝❛❧ ❞❡❢❡❝t ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❛ ♠❛❣♥❡t✐❝❛❧❧②✲s♦❢t ✭✐✳❡✳ ③❡r♦ ❛♥✐s♦tr♦♣②✮ ✐♥s❡rt✐♦♥ ♦❢ ✇✐❞t❤ δℓ✱ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ♣♦s✐t✐♦♥ x✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ δℓ ≪ ∆ ❞✐s❝✉ss ✇❤❛t ♠♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ✐s r❡❛s♦♥❛❜❧❡ t♦ ♠❛❦❡✳ ❉✐s❝✉ss t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛t t❤❡ ❞❡❢❡❝t ❡❞❣❡s✳ ❙❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡❢❡❝t ❛t ❧♦❝❛t✐♦♥ x r❡❛❞s ✿ E(x) = 4 √ AK

• 1 − 1

4 δℓ ∆ 1 cosh2(x/∆)

• ✭✾✮

❉r❛✇ ❛ s❝❤❡♠❛t✐❝ ❣r❛♣❤ ♦❢ E(x) ❛♥❞ ❞✐s♣❧❛② t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❧❡♥❣t❤ ♦r ❡♥❡r❣② s❝❛❧❡s✳ ❆♥ ❡①t❡r♥❛❧ ✜❡❧❞ ✐s t❤❡♥ ❛♣♣❧✐❡❞ ❛t ❛♥ ❛♥❣❧❡ cos θH ✇✐t❤ t❤❡ ❡❛s② ❛①✐s ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥s✳ ❆ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♣r♦✜❧❡ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ✭❊q✳ ✭✽✮✮ r❡♠❛✐♥s ✉♥❛✛❡❝t❡❞ ❜② t❤❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ✜❡❧❞ ✭r❡❣✐♠❡ ♦❢ ✇❡❛❦ ♣✐♥♥✐♥❣✮✱ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ✜❡❧❞ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧ ♦✈❡r t❤❡ ❞❡❢❡❝t r❡❛❞s ✿ µ▼❛❣ ✕ ✸

µ▼❛❣✕ ❖❧✐✈✐❡r ❋r✉❝❤❛rt Hp = Ha cos θH ∆K K δℓ ∆ 1 3 √ 3. ✭✶✵✮ ◆♦t✐❝❡ ✿ ✕ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦❢ t❤❡ ❇❧♦❝❤ ✇❛❧❧ ✇❛s ♥❛♠❡❞ ❛❢t❡r ❉✳ ❇❧♦❝❤ ✇❤♦ ♣✉❜❧✐s❤❡❞ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ✐♥ ✶✾✸✷❬✶❪✳ ✕ ❚❤❡ 1/ cos θH ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ ❝♦❡r❝✐✈✐t② ✐s ♦❢t❡♥ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ❛ ✇❡❛❦✲♣✐♥♥✐♥❣ ♠❡❝❤❛♥✐s♠✱ ❛ ❧❛✇ ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ❑♦♥❞♦rs❦✐ ♠♦❞❡❧❬✹❪✳ ✕ ❚❤✐s ♠♦❞❡❧ ❤❛❞ ❜❡❡♥ ✐♥✐t✐❛❧❧② ♣✉❜❧✐s❤❡❞ ✐♥ ✶✾✸✾ ❜② ❇❡❝❦❡r ❛♥❞ ❉ör✐♥❣❬✷❪✱ ❛♥❞ ✐s s✉♠♠❛r✐③❡❞ ■ ✐♥ t❤❡ ♥✐❝❡ ❜♦♦❦ ♦❢ ❙❦♦♠s❦② ❙✐♠♣❧❡ ♠♦❞❡❧s ♦❢ ▼❛❣♥❡t✐s♠❬✸❪✳ ✕ ❲❤✐❧❡ ❝♦❡r❝✐✈✐t② r❡q✉✐r❡s ❛ ❤✐❣❤ ❛♥✐s♦tr♦♣②✱ t❤❡ ❧❛tt❡r ✐s ♥♦t ❛ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❤✐❣❤ ❝♦❡r❝✐✈✐t②✳ ❚♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤✐s ♦♥❡ ♠✉st ♣r❡✈❡♥t ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ r❡✈❡rs❛❧ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ✐♥✐t✐❛t❡❞ ♦♥ ❞❡❢❡❝ts ✭str✉❝t✉r❛❧ ♦r ❣❡♦♠❡tr✐❝✮ ❛♥❞ s✇✐t❝❤ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ❜② ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧✳ ■♥ ❛ s❤♦rt✲❤❛♥❞ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦♥❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡s ❝♦❡r❝✐✈✐t② ♠❛❞❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❜② ❤✐♥❞❡r✐♥❣ ♥✉❝❧❡❛t✐♦♥✱ ♦r ❤✐♥❞❡r✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ♦❢ ❞♦♠❛✐♥ ✇❛❧❧s✳ ■♥ r❡❛❧✐t② ❜♦t❤ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ ❛r❡ ♦❢t❡♥ ✐♥t❡r♠✐①❡❞✳ ❍❡r❡ ✇❡ ♠♦❞❡❧❡❞ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣✐♥♥✐♥❣✳ ✕ ❙✐♠♣❧❡ ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐❝ ♠♦❞❡❧s ♦❢ ♥✉❝❧❡❛t✐♦♥ ♦♥ ❞❡❢❡❝ts❬✺❪ ✇❡r❡ t❤❡ ✜rst t♦ ❜❡ ❡①❤✐❜✐t❡❞ t♦ t❡♥t❛t✐✈❡❧② ❡①♣❧❛✐♥ t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥ ♣❛r❛❞♦①✱ ✐✳❡✳ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❝♦❡r❝✐✈✐t② ✐♥ ♠♦st s❛♠♣❧❡s ❛r❡ s♠❛❧❧❡r ♦r ♠✉❝❤ s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♣r❡❞✐❝t❡❞ ❜② t❤❡ ✐❞❡❛❧ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❝♦❤❡r❡♥t r♦t❛t✐♦♥❬✻❪✳

• ♦♦❞ r❡❢❡r❡♥❝❡s ❢♦r ♠✐❝r♦♠❛❣♥❡t✐s♠ ❛r❡ ❍✉❜❡rt ❛♥❞ ❙❝❤ä❢❡r✬s ❜♦♦❦❬✼❪ ✭✈❡r② ❧❛r❣❡ s❝♦♣❡✱ ♠❛♥② r❡❢❡✲

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