tr O r r - - PowerPoint PPT Presentation

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• ❡♦♠❡tr② ✲ ✢❛❣ ♠❛♥✐❢♦❧❞

❆❧❣❡❜r❛ ✲ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ✐❞❡❛❧s✱ ❛❜❡❧✐❛♥ ✐❞❡❛❧s ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s ✲ ❝r②st❛❧s✱ ✐❞❡♥t✐t✐❡s✱ ❈♦①❡t❡r ❣r♦✉♣s ❈❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥

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• ✐✈❡♥

❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ F✲❛❧❣❡❜r❛ H✱ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ θ : H → H✱ ❛♥❞ ❡❧❡♠❡♥ts z0 ∈ H ❛♥❞ z1 ∈ H×✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛ ✭●❲❆✮ ✐s

• ♦❛❧✿ ❙t✉❞② ❈❛t❡❣♦r②

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

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• ✐✈❡♥

❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ F✲❛❧❣❡❜r❛ H✱ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ θ : H → H✱ ❛♥❞ ❡❧❡♠❡♥ts z0 ∈ H ❛♥❞ z1 ∈ H×✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛ ✭●❲❆✮ ✐s W(H, θ, z0, z1) := Hd, u/(uh = θ(h)u, hd = dθ(h), ud = z0+dz1).

• ♦❛❧✿ ❙t✉❞② ❈❛t❡❣♦r②

♦✈❡r ❛ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆✳ ❯♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦✱ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛✳

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s

• ✐✈❡♥

❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ F✲❛❧❣❡❜r❛ H✱ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ θ : H → H✱ ❛♥❞ ❡❧❡♠❡♥ts z0 ∈ H ❛♥❞ z1 ∈ H×✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛ ✭●❲❆✮ ✐s W(H, θ, z0, z1) := Hd, u/(uh = θ(h)u, hd = dθ(h), ud = z0+dz1).

• ♦❛❧✿ ❙t✉❞② ❈❛t❡❣♦r② O ♦✈❡r ❛ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆✳

❯♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦✱ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛✳

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ✭❝♦♥t✳✮

❚r✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ♦❝❝✉r ✐♥ ♠❛♥② s❡tt✐♥❣s✿ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✿ ❙♠✐t❤ st✉❞✐❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ sl2✿ Ce, f, h/ ([h, e] = 2e, [h, f] = −2f, [e, f] = z0(h)). ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s✿ ❲✐tt❡♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✼✲♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ U(sl2)✳ ▲❡ ❇r✉②♥✿ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ sl2✲❛❧❣❡❜r❛s✳ ◗✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✿ ❏✐♥❣✲❩❤❛♥❣ st✉❞✐❡❞ ♥♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡✱ ♥♦♥✲❝♦❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❜✐❛❧❣❡❜r❛s t❤❛t ✲❞❡❢♦r♠ ✳ ❑❛❝✿ ✏❞✐s♣✐♥ ▲✐❡ s✉♣❡r❛❧❣❡❜r❛ ✑✳ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s✿ ❇❡♥❦❛rt✕❘♦❜② st✉❞✐❡❞ ✏❞♦✇♥✱ ✉♣ ♦♣❡r❛t♦rs✑ ♦♥ ♣♦s❡ts✿ ✭❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✮ ❞♦✇♥✲✉♣ ❛❧❣❡❜r❛s✳ ❋♦r ❛❧❧ ♦❢ t❤❡s❡ ❛❧❣❡❜r❛s✱ ❛♥❞ ✳

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

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❚r✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ♦❝❝✉r ✐♥ ♠❛♥② s❡tt✐♥❣s✿ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✿ ❙♠✐t❤ st✉❞✐❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ sl2✿ Ce, f, h/ ([h, e] = 2e, [h, f] = −2f, [e, f] = z0(h)). ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s✿ ❲✐tt❡♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✼✲♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ U(sl2)✳ ▲❡ ❇r✉②♥✿ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ sl2✲❛❧❣❡❜r❛s✳ ◗✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✿ ❏✐♥❣✲❩❤❛♥❣ st✉❞✐❡❞ ♥♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡✱ ♥♦♥✲❝♦❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❜✐❛❧❣❡❜r❛s t❤❛t q✲❞❡❢♦r♠ U(gl2), U(sl2)✳ ❑❛❝✿ ✏❞✐s♣✐♥ ▲✐❡ s✉♣❡r❛❧❣❡❜r❛ B[0, 1]✑✳ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s✿ ❇❡♥❦❛rt✕❘♦❜② st✉❞✐❡❞ ✏❞♦✇♥✱ ✉♣ ♦♣❡r❛t♦rs✑ ♦♥ ♣♦s❡ts✿ ✭❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✮ ❞♦✇♥✲✉♣ ❛❧❣❡❜r❛s✳ ❋♦r ❛❧❧ ♦❢ t❤❡s❡ ❛❧❣❡❜r❛s✱ ❛♥❞ ✳

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ✭❝♦♥t✳✮

❚r✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ♦❝❝✉r ✐♥ ♠❛♥② s❡tt✐♥❣s✿ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✿ ❙♠✐t❤ st✉❞✐❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ sl2✿ Ce, f, h/ ([h, e] = 2e, [h, f] = −2f, [e, f] = z0(h)). ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s✿ ❲✐tt❡♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✼✲♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ U(sl2)✳ ▲❡ ❇r✉②♥✿ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ sl2✲❛❧❣❡❜r❛s✳ ◗✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✿ ❏✐♥❣✲❩❤❛♥❣ st✉❞✐❡❞ ♥♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡✱ ♥♦♥✲❝♦❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❜✐❛❧❣❡❜r❛s t❤❛t q✲❞❡❢♦r♠ U(gl2), U(sl2)✳ ❑❛❝✿ ✏❞✐s♣✐♥ ▲✐❡ s✉♣❡r❛❧❣❡❜r❛ B[0, 1]✑✳ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s✿ ❇❡♥❦❛rt✕❘♦❜② st✉❞✐❡❞ ✏❞♦✇♥✱ ✉♣ ♦♣❡r❛t♦rs✑ ♦♥ ♣♦s❡ts✿ ✭❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✮ ❞♦✇♥✲✉♣ ❛❧❣❡❜r❛s✳ ❋♦r ❛❧❧ ♦❢ t❤❡s❡ ❛❧❣❡❜r❛s✱ ❛♥❞ ✳

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❚r✐❛♥❣✉❧❛r ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ✭❝♦♥t✳✮

❚r✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ♦❝❝✉r ✐♥ ♠❛♥② s❡tt✐♥❣s✿ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✿ ❙♠✐t❤ st✉❞✐❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ sl2✿ Ce, f, h/ ([h, e] = 2e, [h, f] = −2f, [e, f] = z0(h)). ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s✿ ❲✐tt❡♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✼✲♣❛r❛♠❡t❡r ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ U(sl2)✳ ▲❡ ❇r✉②♥✿ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ sl2✲❛❧❣❡❜r❛s✳ ◗✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✿ ❏✐♥❣✲❩❤❛♥❣ st✉❞✐❡❞ ♥♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡✱ ♥♦♥✲❝♦❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❜✐❛❧❣❡❜r❛s t❤❛t q✲❞❡❢♦r♠ U(gl2), U(sl2)✳ ❑❛❝✿ ✏❞✐s♣✐♥ ▲✐❡ s✉♣❡r❛❧❣❡❜r❛ B[0, 1]✑✳ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s✿ ❇❡♥❦❛rt✕❘♦❜② st✉❞✐❡❞ ✏❞♦✇♥✱ ✉♣ ♦♣❡r❛t♦rs✑ ♦♥ ♣♦s❡ts✿ ✭❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✮ ❞♦✇♥✲✉♣ ❛❧❣❡❜r❛s✳ ❋♦r ❛❧❧ ♦❢ t❤❡s❡ ❛❧❣❡❜r❛s✱ H = F[h] ∋ z0 ❛♥❞ z1 ∈ F×✳

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

✏◗✉❛♥t✉♠✑ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s

❋❛♠✐❧✐❡s ♦❢ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❡①❛♠♣❧❡s✱ ✇✐t❤ H ❛ ❣r♦✉♣ ❛❧❣❡❜r❛✿ ◗✉❛♥t✉♠ sl2✿ H = F[K±1]✳ ❉r✐♥❢❡❧❞ ❞♦✉❜❧❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣❛rt ♦❢ Uq(sl2)✿ H = F[K±1, L±1]✳ ❚❤❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧✑ ❛❧❣❡❜r❛s ❞❡❢♦r♠ ❀ t❤❡ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❛❧❣❡❜r❛s ❞❡❢♦r♠ ✳ ❆r❡ t❤❡r❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡s❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧✑ ❛♥❞ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s❄ ❨❡s✿ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❢❛♠✐❧✐❡s ❛r❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐ts✑ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❢❛♠✐❧✐❡s✿

✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

✏◗✉❛♥t✉♠✑ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s

❋❛♠✐❧✐❡s ♦❢ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❡①❛♠♣❧❡s✱ ✇✐t❤ H ❛ ❣r♦✉♣ ❛❧❣❡❜r❛✿ ◗✉❛♥t✉♠ sl2✿ H = F[K±1]✳ ❉r✐♥❢❡❧❞ ❞♦✉❜❧❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣❛rt ♦❢ Uq(sl2)✿ H = F[K±1, L±1]✳ ❚❤❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧✑ ❛❧❣❡❜r❛s ❞❡❢♦r♠ U(sl2)❀ t❤❡ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❛❧❣❡❜r❛s ❞❡❢♦r♠ Uq(sl2)✳ ❆r❡ t❤❡r❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡s❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧✑ ❛♥❞ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s❄ ❨❡s✿ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❢❛♠✐❧✐❡s ❛r❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐ts✑ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❢❛♠✐❧✐❡s✿

✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

✏◗✉❛♥t✉♠✑ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s

❋❛♠✐❧✐❡s ♦❢ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❡①❛♠♣❧❡s✱ ✇✐t❤ H ❛ ❣r♦✉♣ ❛❧❣❡❜r❛✿ ◗✉❛♥t✉♠ sl2✿ H = F[K±1]✳ ❉r✐♥❢❡❧❞ ❞♦✉❜❧❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣❛rt ♦❢ Uq(sl2)✿ H = F[K±1, L±1]✳ ❚❤❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧✑ ❛❧❣❡❜r❛s ❞❡❢♦r♠ U(sl2)❀ t❤❡ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❛❧❣❡❜r❛s ❞❡❢♦r♠ Uq(sl2)✳ ❆r❡ t❤❡r❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡s❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧✑ ❛♥❞ ✏q✉❛♥t✉♠✑ ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s❄ ❨❡s✿ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❢❛♠✐❧✐❡s ❛r❡ ✏❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐ts✑ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❢❛♠✐❧✐❡s✿

✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡❢♦r♠❛t✐♦♥✲q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ❡q✉❛❧s q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥✲❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① s❝❛❧❛rs γ ∈ F, z1 ∈ F×✱ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ z0 = z0(h) ∈ F[h]✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ W(F[h], θ, z0(h), z1)✱ ✇✐t❤ θ(h) := h + γ✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✐s tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ♦✈❡r ✱ ❛♥❞ ❛♥❞ ❛r❡ ✐♥t❡❣❡rs✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ✏q✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✑ ✇❤❡r❡ ✳ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ s✉❜r✐♥❣ ♦❢ ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡❣✉❧❛r ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t ✳ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✳ ❚❤❡♥ ✳

✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡❢♦r♠❛t✐♦♥✲q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ❡q✉❛❧s q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥✲❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① s❝❛❧❛rs γ ∈ F, z1 ∈ F×✱ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ z0 = z0(h) ∈ F[h]✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ W(F[h], θ, z0(h), z1)✱ ✇✐t❤ θ(h) := h + γ✳ ❙✉♣♣♦s❡ q ✐s tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ♦✈❡r F✱ ❛♥❞ l = 0 ❛♥❞ m, n ❛r❡ ✐♥t❡❣❡rs✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ✏q✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✑ Wq(l, m, n) := W

• F(q)[K±1], θ, qmKnz0(γ(1 − K)

l(q − 1) ), z1

• ,

✇❤❡r❡ θ(K) = q−lK✳ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ s✉❜r✐♥❣ ♦❢ ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡❣✉❧❛r ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t ✳ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✳ ❚❤❡♥ ✳

✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡❢♦r♠❛t✐♦♥✲q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ❡q✉❛❧s q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥✲❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① s❝❛❧❛rs γ ∈ F, z1 ∈ F×✱ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ z0 = z0(h) ∈ F[h]✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ W(F[h], θ, z0(h), z1)✱ ✇✐t❤ θ(h) := h + γ✳ ❙✉♣♣♦s❡ q ✐s tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ♦✈❡r F✱ ❛♥❞ l = 0 ❛♥❞ m, n ❛r❡ ✐♥t❡❣❡rs✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ✏q✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✑ Wq(l, m, n) := W

• F(q)[K±1], θ, qmKnz0(γ(1 − K)

l(q − 1) ), z1

• ,

✇❤❡r❡ θ(K) = q−lK✳ ▲❡t R ❜❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ s✉❜r✐♥❣ ♦❢ F(q) ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡❣✉❧❛r ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t q = 1✳ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✳ ❚❤❡♥ ✳

✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡❢♦r♠❛t✐♦♥✲q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ❡q✉❛❧s q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥✲❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① s❝❛❧❛rs γ ∈ F, z1 ∈ F×✱ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ z0 = z0(h) ∈ F[h]✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ W(F[h], θ, z0(h), z1)✱ ✇✐t❤ θ(h) := h + γ✳ ❙✉♣♣♦s❡ q ✐s tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ♦✈❡r F✱ ❛♥❞ l = 0 ❛♥❞ m, n ❛r❡ ✐♥t❡❣❡rs✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ✏q✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✑ Wq(l, m, n) := W

• F(q)[K±1], θ, qmKnz0(γ(1 − K)

l(q − 1) ), z1

• ,

✇❤❡r❡ θ(K) = q−lK✳ ▲❡t R ❜❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ s✉❜r✐♥❣ ♦❢ F(q) ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡❣✉❧❛r ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t q = 1✳ ▲❡t WR

q (l, m, n) ❜❡ t❤❡ R✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ Wq(l, m, n)

❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② u, d, K±1, (K − 1)/(q − 1)✳ ❚❤❡♥ ✳

✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡❢♦r♠❛t✐♦♥✲q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ❡q✉❛❧s q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥✲❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① s❝❛❧❛rs γ ∈ F, z1 ∈ F×✱ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ z0 = z0(h) ∈ F[h]✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ W(F[h], θ, z0(h), z1)✱ ✇✐t❤ θ(h) := h + γ✳ ❙✉♣♣♦s❡ q ✐s tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ♦✈❡r F✱ ❛♥❞ l = 0 ❛♥❞ m, n ❛r❡ ✐♥t❡❣❡rs✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ✏q✉❛♥t✉♠ ❛❧❣❡❜r❛✑ Wq(l, m, n) := W

• F(q)[K±1], θ, qmKnz0(γ(1 − K)

l(q − 1) ), z1

• ,

✇❤❡r❡ θ(K) = q−lK✳ ▲❡t R ❜❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ s✉❜r✐♥❣ ♦❢ F(q) ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡❣✉❧❛r ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t q = 1✳ ▲❡t WR

q (l, m, n) ❜❡ t❤❡ R✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ Wq(l, m, n)

❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② u, d, K±1, (K − 1)/(q − 1)✳ ❚❤❡♥ W(F[h], θ, z0(h), z1) ∼ = WR

q (l, m, n)/(q − 1)WR q (l, m, n)✳

✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❙❦❡t❝❤ ♦❢ ♣r♦♦❢

❙❡t WR

± t♦ ❜❡ R[u], R[d] r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ WR 0 t♦ ❜❡ t❤❡

R✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ F(q)[K±1] ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② K±1, K−1

q−1 ✳

❚❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠❛♣ : WR

− ⊗R WR 0 ⊗R WR + → Wq(l, m, n)

✐s ❛♥ R✲❛❧❣❡❜r❛ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ▲❡t ✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉r❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ ✲❛❧❣❡❜r❛s ❚♦ s❤♦✇✿ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ✐s ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ❊♥♦✉❣❤ t♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ ❛❢t❡r ❝❤❛♥❣✐♥❣ s❝❛❧❛rs t♦ ✱ ❛♥ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✜❡❧❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ✳ ◆♦✇ ✜♥❞ ❛ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ t❤❛t ✐s s✐♠♣❧❡ ♦✈❡r ✱ ❤❡♥❝❡ ✐♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳ ✭❘❡q✉✐r❡s ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❜❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② ✳✮

✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❙❦❡t❝❤ ♦❢ ♣r♦♦❢

❙❡t WR

± t♦ ❜❡ R[u], R[d] r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ WR 0 t♦ ❜❡ t❤❡

R✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ F(q)[K±1] ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② K±1, K−1

q−1 ✳

❚❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠❛♣ : WR

− ⊗R WR 0 ⊗R WR + → Wq(l, m, n)

✐s ❛♥ R✲❛❧❣❡❜r❛ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ▲❡t W1 := WR

q (l, m, n)/(q − 1)WR q (l, m, n)✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛

s✉r❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ F✲❛❧❣❡❜r❛s π : W(F[h], θ, z0(h), z1) ։ W1 (u → u, d → d, h → γ(1 − K) l(q − 1) ). ❚♦ s❤♦✇✿ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ✐s ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ❊♥♦✉❣❤ t♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ ❛❢t❡r ❝❤❛♥❣✐♥❣ s❝❛❧❛rs t♦ ✱ ❛♥ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✜❡❧❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ✳ ◆♦✇ ✜♥❞ ❛ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ t❤❛t ✐s s✐♠♣❧❡ ♦✈❡r ✱ ❤❡♥❝❡ ✐♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳ ✭❘❡q✉✐r❡s ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❜❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② ✳✮

✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❙❦❡t❝❤ ♦❢ ♣r♦♦❢

❙❡t WR

± t♦ ❜❡ R[u], R[d] r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ WR 0 t♦ ❜❡ t❤❡

R✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ F(q)[K±1] ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② K±1, K−1

q−1 ✳

❚❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠❛♣ : WR

− ⊗R WR 0 ⊗R WR + → Wq(l, m, n)

✐s ❛♥ R✲❛❧❣❡❜r❛ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ▲❡t W1 := WR

q (l, m, n)/(q − 1)WR q (l, m, n)✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛

s✉r❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ F✲❛❧❣❡❜r❛s π : W(F[h], θ, z0(h), z1) ։ W1 (u → u, d → d, h → γ(1 − K) l(q − 1) ). ❚♦ s❤♦✇✿ π r❡str✐❝t❡❞ t♦ F[d] ✐s ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ❊♥♦✉❣❤ t♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ ❛❢t❡r ❝❤❛♥❣✐♥❣ s❝❛❧❛rs t♦ Fu✱ ❛♥ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✜❡❧❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ F✳ ◆♦✇ ✜♥❞ ❛ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ t❤❛t ✐s s✐♠♣❧❡ ♦✈❡r ✱ ❤❡♥❝❡ ✐♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳ ✭❘❡q✉✐r❡s ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❜❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② ✳✮

✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❙❦❡t❝❤ ♦❢ ♣r♦♦❢

❙❡t WR

± t♦ ❜❡ R[u], R[d] r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ WR 0 t♦ ❜❡ t❤❡

R✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ F(q)[K±1] ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② K±1, K−1

q−1 ✳

❚❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠❛♣ : WR

− ⊗R WR 0 ⊗R WR + → Wq(l, m, n)

✐s ❛♥ R✲❛❧❣❡❜r❛ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ▲❡t W1 := WR

q (l, m, n)/(q − 1)WR q (l, m, n)✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛

s✉r❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ F✲❛❧❣❡❜r❛s π : W(F[h], θ, z0(h), z1) ։ W1 (u → u, d → d, h → γ(1 − K) l(q − 1) ). ❚♦ s❤♦✇✿ π r❡str✐❝t❡❞ t♦ F[d] ✐s ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ❊♥♦✉❣❤ t♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ ❛❢t❡r ❝❤❛♥❣✐♥❣ s❝❛❧❛rs t♦ Fu✱ ❛♥ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✜❡❧❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ F✳ ◆♦✇ ✜♥❞ ❛ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ MFu

1 (λ) t❤❛t ✐s s✐♠♣❧❡ ♦✈❡r

Fu ⊗F W1✱ ❤❡♥❝❡ ✐♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳ ✭❘❡q✉✐r❡s ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❜❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O✳✮

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

A := W(H, θ, z0, z1) = tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆✳

✶ P❇❲ ♣r♦♣❡rt②✿ ❚❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠❛♣

: F[d] ⊗ H ⊗ F[u] → A ✐s ❛ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳

✷ ❈❛t❡❣♦r②

✐s t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s t❤❛t ❛r❡✿

✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞✱ ✲s❡♠✐s✐♠♣❧❡✱ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✲✇❡✐❣❤t s♣❛❝❡s✱ ❛♥❞ ❛❝ts ❧♦❝❛❧❧② ♥✐❧♣♦t❡♥t❧② ♦♥ ❡❛❝❤ ♠♦❞✉❧❡✳

✸ ❲❡✐❣❤ts ❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡rs ✭❛❧❣❡❜r❛ ♠❛♣s✮

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✱ t❤❡ ✲✇❡✐❣❤t s♣❛❝❡ ♦❢ ❛ ♠♦❞✉❧❡ ✐s

✺ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ❛ ♠♦❞✉❧❡

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

A := W(H, θ, z0, z1) = tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆✳

✶ P❇❲ ♣r♦♣❡rt②✿ ❚❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠❛♣

: F[d] ⊗ H ⊗ F[u] → A ✐s ❛ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳

✷ ❈❛t❡❣♦r② O ✐s t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s t❤❛t ❛r❡✿

✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞✱ H✲s❡♠✐s✐♠♣❧❡✱ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ H✲✇❡✐❣❤t s♣❛❝❡s✱ ❛♥❞ u ❛❝ts ❧♦❝❛❧❧② ♥✐❧♣♦t❡♥t❧② ♦♥ ❡❛❝❤ ♠♦❞✉❧❡✳

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✱ t❤❡ ✲✇❡✐❣❤t s♣❛❝❡ ♦❢ ❛ ♠♦❞✉❧❡ ✐s

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Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

A := W(H, θ, z0, z1) = tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆✳

✶ P❇❲ ♣r♦♣❡rt②✿ ❚❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠❛♣

: F[d] ⊗ H ⊗ F[u] → A ✐s ❛ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳

✷ ❈❛t❡❣♦r② O ✐s t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s t❤❛t ❛r❡✿

✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞✱ H✲s❡♠✐s✐♠♣❧❡✱ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ H✲✇❡✐❣❤t s♣❛❝❡s✱ ❛♥❞ u ❛❝ts ❧♦❝❛❧❧② ♥✐❧♣♦t❡♥t❧② ♦♥ ❡❛❝❤ ♠♦❞✉❧❡✳

✸ ❲❡✐❣❤ts ❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡rs ✭❛❧❣❡❜r❛ ♠❛♣s✮

H := {λ : H → F}✳

✹ ●✐✈❡♥

✱ t❤❡ ✲✇❡✐❣❤t s♣❛❝❡ ♦❢ ❛ ♠♦❞✉❧❡ ✐s

✺ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ❛ ♠♦❞✉❧❡

❛r❡ ✳

✾ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

A := W(H, θ, z0, z1) = tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆✳

✶ P❇❲ ♣r♦♣❡rt②✿ ❚❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠❛♣

: F[d] ⊗ H ⊗ F[u] → A ✐s ❛ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳

✷ ❈❛t❡❣♦r② O ✐s t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s t❤❛t ❛r❡✿

✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞✱ H✲s❡♠✐s✐♠♣❧❡✱ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ H✲✇❡✐❣❤t s♣❛❝❡s✱ ❛♥❞ u ❛❝ts ❧♦❝❛❧❧② ♥✐❧♣♦t❡♥t❧② ♦♥ ❡❛❝❤ ♠♦❞✉❧❡✳

✸ ❲❡✐❣❤ts ❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡rs ✭❛❧❣❡❜r❛ ♠❛♣s✮

H := {λ : H → F}✳

✹ ●✐✈❡♥ λ ∈

H✱ t❤❡ λ✲✇❡✐❣❤t s♣❛❝❡ ♦❢ ❛ ♠♦❞✉❧❡ M ✐s Mλ := {m ∈ M : h · m = λ(h)m, ∀h ∈ H}.

✺ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ❛ ♠♦❞✉❧❡ M ❛r❡ wt M := {λ ∈

H : Mλ = 0}✳

✾ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ❋♦r ❛❧❧ ✇❡✐❣❤ts λ ∈ H✱ ✐❢ n ∈ Z ❛♥❞ λ ≡ λ ◦ θn ♦♥ ❛❧❧ ♦❢ H✱ t❤❡♥ n = 0✳ ✭❙♦ θ ✐s ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ♦r❞❡r✳✮ ■♠♣♦rt❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ❈❛t❡❣♦r② ✿ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s✿ ❊❛❝❤ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ s✐♠♣❧❡ q✉♦t✐❡♥t ✳ ❆❧s♦ ❧✐❡s ✐♥ ✳ ❆❧❧ s✐♠♣❧❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✳ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ❄ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❄

• ❡♥❡r❛❧ ❢❛❝t✿ ❈❛t❡❣♦r②

✐s ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❛❧❧ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✳ ❍♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ❄

✶✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ❋♦r ❛❧❧ ✇❡✐❣❤ts λ ∈ H✱ ✐❢ n ∈ Z ❛♥❞ λ ≡ λ ◦ θn ♦♥ ❛❧❧ ♦❢ H✱ t❤❡♥ n = 0✳ ✭❙♦ θ ✐s ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ♦r❞❡r✳✮ ■♠♣♦rt❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ❈❛t❡❣♦r② O✿ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s✿ M(λ) := A/(A · u + A · ker λ), λ ∈ H. ❊❛❝❤ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ s✐♠♣❧❡ q✉♦t✐❡♥t L(λ)✳ ❆❧s♦ ❧✐❡s ✐♥ ✳ ❆❧❧ s✐♠♣❧❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✳ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ❄ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❄

• ❡♥❡r❛❧ ❢❛❝t✿ ❈❛t❡❣♦r②

✐s ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❛❧❧ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✳ ❍♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ❄

✶✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ❋♦r ❛❧❧ ✇❡✐❣❤ts λ ∈ H✱ ✐❢ n ∈ Z ❛♥❞ λ ≡ λ ◦ θn ♦♥ ❛❧❧ ♦❢ H✱ t❤❡♥ n = 0✳ ✭❙♦ θ ✐s ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ♦r❞❡r✳✮ ■♠♣♦rt❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ❈❛t❡❣♦r② O✿ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s✿ M(λ) := A/(A · u + A · ker λ), λ ∈ H. ❊❛❝❤ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ s✐♠♣❧❡ q✉♦t✐❡♥t L(λ)✳ ❆❧s♦ ❧✐❡s ✐♥ O✳ ❆❧❧ s✐♠♣❧❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ O ❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ L(λ)✳ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ❄ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❄

• ❡♥❡r❛❧ ❢❛❝t✿ ❈❛t❡❣♦r②

✐s ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❛❧❧ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✳ ❍♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ❄

✶✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ❋♦r ❛❧❧ ✇❡✐❣❤ts λ ∈ H✱ ✐❢ n ∈ Z ❛♥❞ λ ≡ λ ◦ θn ♦♥ ❛❧❧ ♦❢ H✱ t❤❡♥ n = 0✳ ✭❙♦ θ ✐s ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ♦r❞❡r✳✮ ■♠♣♦rt❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ❈❛t❡❣♦r② O✿ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s✿ M(λ) := A/(A · u + A · ker λ), λ ∈ H. ❊❛❝❤ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ s✐♠♣❧❡ q✉♦t✐❡♥t L(λ)✳ ❆❧s♦ ❧✐❡s ✐♥ O✳ ❆❧❧ s✐♠♣❧❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ O ❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ L(λ)✳ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ M(λ)❄ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ M(λ)❄

• ❡♥❡r❛❧ ❢❛❝t✿ ❈❛t❡❣♦r② O ✐s ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

❛❧❧ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✳ ❍♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ❄

✶✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ❋♦r ❛❧❧ ✇❡✐❣❤ts λ ∈ H✱ ✐❢ n ∈ Z ❛♥❞ λ ≡ λ ◦ θn ♦♥ ❛❧❧ ♦❢ H✱ t❤❡♥ n = 0✳ ✭❙♦ θ ✐s ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ♦r❞❡r✳✮ ■♠♣♦rt❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ❈❛t❡❣♦r② O✿ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s✿ M(λ) := A/(A · u + A · ker λ), λ ∈ H. ❊❛❝❤ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ s✐♠♣❧❡ q✉♦t✐❡♥t L(λ)✳ ❆❧s♦ ❧✐❡s ✐♥ O✳ ❆❧❧ s✐♠♣❧❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ O ❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ L(λ)✳ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ M(λ)❄ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ M(λ)❄

• ❡♥❡r❛❧ ❢❛❝t✿ ❈❛t❡❣♦r② O ✐s ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

❛❧❧ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✳ ❍♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ M(λ)❄

✶✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s

A = W(H, θ, z0, z1). ❋❛❝ts✿

✶ wt M(λ) = {λ ◦ θn : n ≥ 0}✳ ✷ ●✐✈❡♥ λ ∈

H ❛♥❞ n ∈ Z✱ ❞❡✜♥❡ n ∗ λ := λ ◦ θ−n✳ ❚❤✉s✱ wt M(λ) = {(−n) ∗ λ : n ≥ 0}✳ ❆❧❧ ✭♥♦♥③❡r♦✮ ✇❡✐❣❤t ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t✐❡s ❛r❡ 1✳

✸

❛s ❢r❡❡ ✲♠♦❞✉❧❡s✳

✶✶ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s

A = W(H, θ, z0, z1). ❋❛❝ts✿

✶ wt M(λ) = {λ ◦ θn : n ≥ 0}✳ ✷ ●✐✈❡♥ λ ∈

H ❛♥❞ n ∈ Z✱ ❞❡✜♥❡ n ∗ λ := λ ◦ θ−n✳ ❚❤✉s✱ wt M(λ) = {(−n) ∗ λ : n ≥ 0}✳ ❆❧❧ ✭♥♦♥③❡r♦✮ ✇❡✐❣❤t ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t✐❡s ❛r❡ 1✳

✸ M(λ) ∼

= F[d] ❛s ❢r❡❡ F[d]✲♠♦❞✉❧❡s✳

✶✶ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ✭❝♦♥t✳✮

❋♦r n ∈ N✱ ❞❡✜♥❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡❞ ❡❧❡♠❡♥ts zn ∈ H✿ z′

n := n−1

• i=0

θi(z1), z′

0 := 1,

• zn :=

n−1

• j=0

θj(z0z′

n−1−j).

❆❧s♦ ❞❡✜♥❡ zn ❢♦r ♥♦♥✲♣♦s✐t✐✈❡ n ∈ Z✿

• z0 := 0,
• z−n := θ−n(

zn) (n > 0). Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❋♦r ❛❧❧ ✇❡✐❣❤ts ✱ t❤❡ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ ✐s ✉♥✐s❡r✐❛❧✱ ✇✐t❤ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ s❡r✐❡s ✇❤❡r❡ ❝♦♠♣r✐s❡ t❤❡ s❡t ✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❢♦r ❛❧❧ ✳

✶✷ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ✭❝♦♥t✳✮

❋♦r n ∈ N✱ ❞❡✜♥❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡❞ ❡❧❡♠❡♥ts zn ∈ H✿ z′

n := n−1

• i=0

θi(z1), z′

0 := 1,

• zn :=

n−1

• j=0

θj(z0z′

n−1−j).

❆❧s♦ ❞❡✜♥❡ zn ❢♦r ♥♦♥✲♣♦s✐t✐✈❡ n ∈ Z✿

• z0 := 0,
• z−n := θ−n(

zn) (n > 0). Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❋♦r ❛❧❧ ✇❡✐❣❤ts λ ∈ H✱ t❤❡ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ M(λ) ✐s ✉♥✐s❡r✐❛❧✱ ✇✐t❤ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ s❡r✐❡s M(λ) ⊃ M((−n1) ∗ λ) ⊃ M((−n2) ∗ λ) ⊃ · · · , ✇❤❡r❡ 0 < n1 < n2 < · · · ❝♦♠♣r✐s❡ t❤❡ s❡t {n > 0 : λ( zn) = 0}✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❢♦r ❛❧❧ ✳

✶✷ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ✭❝♦♥t✳✮

❋♦r n ∈ N✱ ❞❡✜♥❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡❞ ❡❧❡♠❡♥ts zn ∈ H✿ z′

n := n−1

• i=0

θi(z1), z′

0 := 1,

• zn :=

n−1

• j=0

θj(z0z′

n−1−j).

❆❧s♦ ❞❡✜♥❡ zn ❢♦r ♥♦♥✲♣♦s✐t✐✈❡ n ∈ Z✿

• z0 := 0,
• z−n := θ−n(

zn) (n > 0). Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❋♦r ❛❧❧ ✇❡✐❣❤ts λ ∈ H✱ t❤❡ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ M(λ) ✐s ✉♥✐s❡r✐❛❧✱ ✇✐t❤ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ s❡r✐❡s M(λ) ⊃ M((−n1) ∗ λ) ⊃ M((−n2) ∗ λ) ⊃ · · · , ✇❤❡r❡ 0 < n1 < n2 < · · · ❝♦♠♣r✐s❡ t❤❡ s❡t {n > 0 : λ( zn) = 0}✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ [M(λ) : L(µ)] ≤ 1 ❢♦r ❛❧❧ λ, µ ∈ H✳

✶✷ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ T ⊂ H✱ ❧❡t OT ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♦❜❥❡❝ts✱ ❛❧❧ ♦❢ ✇❤♦s❡ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs L(µ) s❛t✐s❢②✿ µ ∈ T✳ ❈❛t❡❣♦r② s❛t✐s✜❡s ♠❛♥② ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ ✳ ❚❤✐s ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ ✱ ✇❤♦s❡ ❝❧❛ss❡s ❛r❡ t❤❡ ✳ ❋♦r ❛♥② s✉❝❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛♥② ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♠♦❞✉❧❡ ✭❡✳❣✳✱ ✮✱ ❛❧❧ s✐♠♣❧❡ ❢❛❝t♦rs ♦❢ ❧✐❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝❧❛ss✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✏✜♥❡st✑ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s✿ ❋♦r ♠❛♥② ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ ✳

✶✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ T ⊂ H✱ ❧❡t OT ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♦❜❥❡❝ts✱ ❛❧❧ ♦❢ ✇❤♦s❡ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs L(µ) s❛t✐s❢②✿ µ ∈ T✳ ❈❛t❡❣♦r② O s❛t✐s✜❡s ♠❛♥② ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

• H =
• i∈I

Ti, O =

• i∈I

OTi, ✇✐t❤ Ti ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ i✳ ❚❤✐s ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ ✱ ✇❤♦s❡ ❝❧❛ss❡s ❛r❡ t❤❡ ✳ ❋♦r ❛♥② s✉❝❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛♥② ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♠♦❞✉❧❡ ✭❡✳❣✳✱ ✮✱ ❛❧❧ s✐♠♣❧❡ ❢❛❝t♦rs ♦❢ ❧✐❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝❧❛ss✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✏✜♥❡st✑ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s✿ ❋♦r ♠❛♥② ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ ✳

✶✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ T ⊂ H✱ ❧❡t OT ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♦❜❥❡❝ts✱ ❛❧❧ ♦❢ ✇❤♦s❡ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs L(µ) s❛t✐s❢②✿ µ ∈ T✳ ❈❛t❡❣♦r② O s❛t✐s✜❡s ♠❛♥② ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

• H =
• i∈I

Ti, O =

• i∈I

OTi, ✇✐t❤ Ti ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ i✳ ❚❤✐s ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ H✱ ✇❤♦s❡ ❝❧❛ss❡s ❛r❡ t❤❡ Ti✳ ❋♦r ❛♥② s✉❝❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛♥② ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♠♦❞✉❧❡ ✭❡✳❣✳✱ ✮✱ ❛❧❧ s✐♠♣❧❡ ❢❛❝t♦rs ♦❢ ❧✐❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝❧❛ss✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✏✜♥❡st✑ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s✿ ❋♦r ♠❛♥② ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ ✳

✶✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ T ⊂ H✱ ❧❡t OT ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♦❜❥❡❝ts✱ ❛❧❧ ♦❢ ✇❤♦s❡ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs L(µ) s❛t✐s❢②✿ µ ∈ T✳ ❈❛t❡❣♦r② O s❛t✐s✜❡s ♠❛♥② ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

• H =
• i∈I

Ti, O =

• i∈I

OTi, ✇✐t❤ Ti ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ i✳ ❚❤✐s ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ H✱ ✇❤♦s❡ ❝❧❛ss❡s ❛r❡ t❤❡ Ti✳ ❋♦r ❛♥② s✉❝❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛♥② ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♠♦❞✉❧❡ M ∈ O ✭❡✳❣✳✱ M = M(λ)✮✱ ❛❧❧ s✐♠♣❧❡ ❢❛❝t♦rs ♦❢ M ❧✐❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝❧❛ss✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✏✜♥❡st✑ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s✿ ❋♦r ♠❛♥② ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ ✳

✶✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ T ⊂ H✱ ❧❡t OT ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♦❜❥❡❝ts✱ ❛❧❧ ♦❢ ✇❤♦s❡ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs L(µ) s❛t✐s❢②✿ µ ∈ T✳ ❈❛t❡❣♦r② O s❛t✐s✜❡s ♠❛♥② ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

• H =
• i∈I

Ti, O =

• i∈I

OTi, ✇✐t❤ Ti ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ i✳ ❚❤✐s ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ H✱ ✇❤♦s❡ ❝❧❛ss❡s ❛r❡ t❤❡ Ti✳ ❋♦r ❛♥② s✉❝❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛♥② ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♠♦❞✉❧❡ M ∈ O ✭❡✳❣✳✱ M = M(λ)✮✱ ❛❧❧ s✐♠♣❧❡ ❢❛❝t♦rs ♦❢ M ❧✐❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝❧❛ss✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✏✜♥❡st✑ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s✿ λ [λ] := {(−n) ∗ λ : n ∈ Z, λ( zn) = 0} ⊂ H. ❋♦r ♠❛♥② ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ ✳

✶✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ T ⊂ H✱ ❧❡t OT ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♦❜❥❡❝ts✱ ❛❧❧ ♦❢ ✇❤♦s❡ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs L(µ) s❛t✐s❢②✿ µ ∈ T✳ ❈❛t❡❣♦r② O s❛t✐s✜❡s ♠❛♥② ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

• H =
• i∈I

Ti, O =

• i∈I

OTi, ✇✐t❤ Ti ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ i✳ ❚❤✐s ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ H✱ ✇❤♦s❡ ❝❧❛ss❡s ❛r❡ t❤❡ Ti✳ ❋♦r ❛♥② s✉❝❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛♥② ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♠♦❞✉❧❡ M ∈ O ✭❡✳❣✳✱ M = M(λ)✮✱ ❛❧❧ s✐♠♣❧❡ ❢❛❝t♦rs ♦❢ M ❧✐❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝❧❛ss✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✏✜♥❡st✑ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s✿ λ [λ] := {(−n) ∗ λ : n ∈ Z, λ( zn) = 0} ⊂ H. ❋♦r ♠❛♥② ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ tr✐❛♥❣✉❧❛r ●❲❆s ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ [λ] ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ λ ∈ H✳

✶✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② s✐♠♣❧❡s

❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ❛ss✉♠❡✿

✶ ❚❤❡r❡ ❞♦ ♥♦t ❡①✐st λ ∈

H ❛♥❞ n > 0 s✉❝❤ t❤❛t λ ≡ λ ◦ θn✳

✷ ❚❤❡ s❡t [λ] ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ λ ∈

H✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ ✐s ❛ ❞✐r❡❝t s✉♠ ♦❢ ❜❧♦❝❦s✳ ◆♦✇ ✜① ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ ✳ ❚❤❡♥✱ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ❛❜❡❧✐❛♥ ❝❛t❡❣♦r② ✇✐t❤ ❡♥♦✉❣❤ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❛♥❞ ✐♥❥❡❝t✐✈❡s✳ ❚❤❡ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦✈❡rs ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡s ✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❡①❛❝t✱ ❝♦♥tr❛✈❛r✐❛♥t ❞✉❛❧✐t② ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r ♦❢ t❤❛t ✏✜①❡s✑ ✱ ❛♥❞ s❡♥❞s t♦ t❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ ✳ ✲ ❢♦r ❛ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ q✉❛s✐✲❤❡r❡❞✐t❛r② ❛❧❣❡❜r❛ ✳

✶✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② s✐♠♣❧❡s

❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ❛ss✉♠❡✿

✶ ❚❤❡r❡ ❞♦ ♥♦t ❡①✐st λ ∈

H ❛♥❞ n > 0 s✉❝❤ t❤❛t λ ≡ λ ◦ θn✳

✷ ❚❤❡ s❡t [λ] ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ λ ∈

H✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ O =

[λ]⊂ H O[λ] ✐s ❛ ❞✐r❡❝t s✉♠ ♦❢

❜❧♦❝❦s✳ ◆♦✇ ✜① λ ∈ H ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ [λ] = {λ1, . . . , λn}✳ ❚❤❡♥✱ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ❛❜❡❧✐❛♥ ❝❛t❡❣♦r② ✇✐t❤ ❡♥♦✉❣❤ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❛♥❞ ✐♥❥❡❝t✐✈❡s✳ ❚❤❡ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦✈❡rs ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡s ✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❡①❛❝t✱ ❝♦♥tr❛✈❛r✐❛♥t ❞✉❛❧✐t② ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r ♦❢ t❤❛t ✏✜①❡s✑ ✱ ❛♥❞ s❡♥❞s t♦ t❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ ✳ ✲ ❢♦r ❛ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ q✉❛s✐✲❤❡r❡❞✐t❛r② ❛❧❣❡❜r❛ ✳

✶✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② s✐♠♣❧❡s

❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ❛ss✉♠❡✿

✶ ❚❤❡r❡ ❞♦ ♥♦t ❡①✐st λ ∈

H ❛♥❞ n > 0 s✉❝❤ t❤❛t λ ≡ λ ◦ θn✳

✷ ❚❤❡ s❡t [λ] ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ λ ∈

H✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ O =

[λ]⊂ H O[λ] ✐s ❛ ❞✐r❡❝t s✉♠ ♦❢

❜❧♦❝❦s✳ ◆♦✇ ✜① λ ∈ H ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ [λ] = {λ1, . . . , λn}✳ ❚❤❡♥✱ O[λ] ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ❛❜❡❧✐❛♥ ❝❛t❡❣♦r② ✇✐t❤ ❡♥♦✉❣❤ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❛♥❞ ✐♥❥❡❝t✐✈❡s✳ ❚❤❡ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦✈❡rs ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡s ✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❡①❛❝t✱ ❝♦♥tr❛✈❛r✐❛♥t ❞✉❛❧✐t② ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r ♦❢ t❤❛t ✏✜①❡s✑ ✱ ❛♥❞ s❡♥❞s t♦ t❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ ✳ ✲ ❢♦r ❛ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ q✉❛s✐✲❤❡r❡❞✐t❛r② ❛❧❣❡❜r❛ ✳

✶✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② s✐♠♣❧❡s

❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ❛ss✉♠❡✿

✶ ❚❤❡r❡ ❞♦ ♥♦t ❡①✐st λ ∈

H ❛♥❞ n > 0 s✉❝❤ t❤❛t λ ≡ λ ◦ θn✳

✷ ❚❤❡ s❡t [λ] ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ λ ∈

H✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ O =

[λ]⊂ H O[λ] ✐s ❛ ❞✐r❡❝t s✉♠ ♦❢

❜❧♦❝❦s✳ ◆♦✇ ✜① λ ∈ H ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ [λ] = {λ1, . . . , λn}✳ ❚❤❡♥✱ O[λ] ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ❛❜❡❧✐❛♥ ❝❛t❡❣♦r② ✇✐t❤ ❡♥♦✉❣❤ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❛♥❞ ✐♥❥❡❝t✐✈❡s✳ ❚❤❡ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ O[λ] ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦✈❡rs P(µ) ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡s {L(µ) : µ ∈ [λ]}✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❡①❛❝t✱ ❝♦♥tr❛✈❛r✐❛♥t ❞✉❛❧✐t② ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r ♦❢ t❤❛t ✏✜①❡s✑ ✱ ❛♥❞ s❡♥❞s t♦ t❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ ✳ ✲ ❢♦r ❛ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ q✉❛s✐✲❤❡r❡❞✐t❛r② ❛❧❣❡❜r❛ ✳

✶✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② s✐♠♣❧❡s

❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ❛ss✉♠❡✿

✶ ❚❤❡r❡ ❞♦ ♥♦t ❡①✐st λ ∈

H ❛♥❞ n > 0 s✉❝❤ t❤❛t λ ≡ λ ◦ θn✳

✷ ❚❤❡ s❡t [λ] ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ λ ∈

H✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ O =

[λ]⊂ H O[λ] ✐s ❛ ❞✐r❡❝t s✉♠ ♦❢

❜❧♦❝❦s✳ ◆♦✇ ✜① λ ∈ H ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ [λ] = {λ1, . . . , λn}✳ ❚❤❡♥✱ O[λ] ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ❛❜❡❧✐❛♥ ❝❛t❡❣♦r② ✇✐t❤ ❡♥♦✉❣❤ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❛♥❞ ✐♥❥❡❝t✐✈❡s✳ ❚❤❡ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ O[λ] ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦✈❡rs P(µ) ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡s {L(µ) : µ ∈ [λ]}✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❡①❛❝t✱ ❝♦♥tr❛✈❛r✐❛♥t ❞✉❛❧✐t② ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r F ♦❢ O[λ] t❤❛t ✏✜①❡s✑ L(µ)✱ ❛♥❞ s❡♥❞s P(µ) t♦ t❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ L(µ)✳ ✲ ❢♦r ❛ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ q✉❛s✐✲❤❡r❡❞✐t❛r② ❛❧❣❡❜r❛ ✳

✶✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲❡②❧ ❛❧❣❡❜r❛s ❇❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❈❛t❡❣♦r② O

❇❧♦❝❦s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② s✐♠♣❧❡s

❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ❛ss✉♠❡✿

✶ ❚❤❡r❡ ❞♦ ♥♦t ❡①✐st λ ∈

H ❛♥❞ n > 0 s✉❝❤ t❤❛t λ ≡ λ ◦ θn✳

✷ ❚❤❡ s❡t [λ] ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❛❧❧ λ ∈

H✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳✱ ✷✵✶✺✮ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ O =

[λ]⊂ H O[λ] ✐s ❛ ❞✐r❡❝t s✉♠ ♦❢

❜❧♦❝❦s✳ ◆♦✇ ✜① λ ∈ H ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ [λ] = {λ1, . . . , λn}✳ ❚❤❡♥✱ O[λ] ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤✱ ❛❜❡❧✐❛♥ ❝❛t❡❣♦r② ✇✐t❤ ❡♥♦✉❣❤ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❛♥❞ ✐♥❥❡❝t✐✈❡s✳ ❚❤❡ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ O[λ] ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦✈❡rs P(µ) ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡s {L(µ) : µ ∈ [λ]}✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❡①❛❝t✱ ❝♦♥tr❛✈❛r✐❛♥t ❞✉❛❧✐t② ❡♥❞♦❢✉♥❝t♦r F ♦❢ O[λ] t❤❛t ✏✜①❡s✑ L(µ)✱ ❛♥❞ s❡♥❞s P(µ) t♦ t❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ L(µ)✳ O[λ] ∼ = A[λ]✲Mod ❢♦r ❛ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ q✉❛s✐✲❤❡r❡❞✐t❛r② ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] := EndO(⊕n

j=1P(λj))op✳

✶✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❋✉t✉r❡ ❣♦❛❧s

❘❡st ♦❢ t❤❡ t❛❧❦✿ ❲♦r❦ ✐♥ ❛ ✏✜♥✐t❡✑ ❜❧♦❝❦ O[λ]✳

✶ ❯♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♦❜❥❡❝ts ✭❡✳❣✳✱

❝❧❛ss✐❢② ❛❧❧ s✉❜♠♦❞✉❧❡s✮✱ ❛♥❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳

✷ ❯♥❞❡rst❛♥❞ t✐❧t✐♥❣ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦✳ ✸ ❯♥❞❡rst❛♥❞ ❛❧❧ ❊①t✬s ❜❡t✇❡❡♥ s✐♠♣❧❡s✱ ❱❡r♠❛s✱ ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s✳ ✹ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛

✳

✺ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ❞✉❛❧ ♦❢

✳

✶✺ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❋✉t✉r❡ ❣♦❛❧s

❘❡st ♦❢ t❤❡ t❛❧❦✿ ❲♦r❦ ✐♥ ❛ ✏✜♥✐t❡✑ ❜❧♦❝❦ O[λ]✳

✶ ❯♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♦❜❥❡❝ts ✭❡✳❣✳✱

❝❧❛ss✐❢② ❛❧❧ s✉❜♠♦❞✉❧❡s✮✱ ❛♥❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳

✷ ❯♥❞❡rst❛♥❞ t✐❧t✐♥❣ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦✳ ✸ ❯♥❞❡rst❛♥❞ ❛❧❧ ❊①t✬s ❜❡t✇❡❡♥ s✐♠♣❧❡s✱ ❱❡r♠❛s✱ ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s✳ ✹ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛

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✺ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ❞✉❛❧ ♦❢

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❋✉t✉r❡ ❣♦❛❧s

❘❡st ♦❢ t❤❡ t❛❧❦✿ ❲♦r❦ ✐♥ ❛ ✏✜♥✐t❡✑ ❜❧♦❝❦ O[λ]✳

✶ ❯♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♦❜❥❡❝ts ✭❡✳❣✳✱

❝❧❛ss✐❢② ❛❧❧ s✉❜♠♦❞✉❧❡s✮✱ ❛♥❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳

✷ ❯♥❞❡rst❛♥❞ t✐❧t✐♥❣ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦✳ ✸ ❯♥❞❡rst❛♥❞ ❛❧❧ ❊①t✬s ❜❡t✇❡❡♥ s✐♠♣❧❡s✱ ❱❡r♠❛s✱ ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s✳ ✹ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛

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❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❋✉t✉r❡ ❣♦❛❧s

❘❡st ♦❢ t❤❡ t❛❧❦✿ ❲♦r❦ ✐♥ ❛ ✏✜♥✐t❡✑ ❜❧♦❝❦ O[λ]✳

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❝❧❛ss✐❢② ❛❧❧ s✉❜♠♦❞✉❧❡s✮✱ ❛♥❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳

✷ ❯♥❞❡rst❛♥❞ t✐❧t✐♥❣ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦✳ ✸ ❯♥❞❡rst❛♥❞ ❛❧❧ ❊①t✬s ❜❡t✇❡❡♥ s✐♠♣❧❡s✱ ❱❡r♠❛s✱ ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s✳ ✹ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ]✳ ✺ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ❞✉❛❧ ♦❢ A[λ]✳ ✶✺ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❱❡r♠❛ ✢❛❣ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s

◆♦t❛t✐♦♥✿ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❛r❡ ✉♥✐s❡r✐❛❧✱ s♦ s✉♣♣♦s❡ M(λn) ⊃ M(λn−1) ⊃ · · · ⊃ M(λ1) ⊃ 0, ✇✐t❤ s✉❜q✉♦t✐❡♥ts L(λn), . . . , L(λ1) r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤✉s✱ λn > λn−1 > · · · > λ1✳ ◆♦✇ ❞❡✜♥❡ Mj := M(λj), Lj := L(λj), Pj := P(λj). Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋♦r ❛❧❧ 1 ≤ j ≤ n✱ Mj ❤❛s ❛ ✜♥✐t❡ ✜❧tr❛t✐♦♥ Mj ⊃ Mj−1 ⊃ · · · ⊃ M1 ⊃ 0, ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss✐✈❡ s✉❜q✉♦t✐❡♥ts Lk ❢♦r 1 ≤ k ≤ j✳ ❉✉❛❧❧②✱ ❡✈❡r② ❤❛s ❛ ✜♥✐t❡ ✜❧tr❛t✐♦♥ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss✐✈❡ s✉❜q✉♦t✐❡♥ts ❢♦r ✳

✶✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❱❡r♠❛ ✢❛❣ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s

◆♦t❛t✐♦♥✿ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡s ❛r❡ ✉♥✐s❡r✐❛❧✱ s♦ s✉♣♣♦s❡ M(λn) ⊃ M(λn−1) ⊃ · · · ⊃ M(λ1) ⊃ 0, ✇✐t❤ s✉❜q✉♦t✐❡♥ts L(λn), . . . , L(λ1) r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤✉s✱ λn > λn−1 > · · · > λ1✳ ◆♦✇ ❞❡✜♥❡ Mj := M(λj), Lj := L(λj), Pj := P(λj). Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋♦r ❛❧❧ 1 ≤ j ≤ n✱ Mj ❤❛s ❛ ✜♥✐t❡ ✜❧tr❛t✐♦♥ Mj ⊃ Mj−1 ⊃ · · · ⊃ M1 ⊃ 0, ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss✐✈❡ s✉❜q✉♦t✐❡♥ts Lk ❢♦r 1 ≤ k ≤ j✳ ❉✉❛❧❧②✱ ❡✈❡r② Pj ❤❛s ❛ ✜♥✐t❡ ✜❧tr❛t✐♦♥ Pj ⊃ Pj+1 ⊃ · · · ⊃ Pn ⊃ 0, ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss✐✈❡ s✉❜q✉♦t✐❡♥ts Mk ❢♦r j ≤ k ≤ n✳

✶✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❘❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❙✉♣♣♦s❡ 0 < j < k ≤ n✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡ Mk/Mj ✐♥ O✿ 0 → Pj+1 → Pj ⊕ Pk+1 → Pk → Mk/Mj → 0, ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❛t Pn+1 = 0✳ ■❢ ✱ t❤❡♥ t❤❡ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ ❤❛s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥✿ ❚❤❡ ♣r♦♦❢s ✉s❡ t❤❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡ ✱ ❛s t❤❡ ✲❞✐r❡❝t s✉♠♠❛♥❞ ♦❢ t❤❡ ✲♠♦❞✉❧❡ ✳ ✭❍❛s ✳✮ ❆❧s♦ ✉s❡ st❛♥❞❛r❞ ❢❛❝ts ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ❝❛t❡❣♦r② ✿

✶✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❘❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❙✉♣♣♦s❡ 0 < j < k ≤ n✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡ Mk/Mj ✐♥ O✿ 0 → Pj+1 → Pj ⊕ Pk+1 → Pk → Mk/Mj → 0, ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❛t Pn+1 = 0✳ ■❢ 0 = j < k ≤ n✱ t❤❡♥ t❤❡ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ Mk ❤❛s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥✿ 0 → Pk+1 → Pk → Mk → 0, ∀1 ≤ k ≤ n. ❚❤❡ ♣r♦♦❢s ✉s❡ t❤❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡ ✱ ❛s t❤❡ ✲❞✐r❡❝t s✉♠♠❛♥❞ ♦❢ t❤❡ ✲♠♦❞✉❧❡ ✳ ✭❍❛s ✳✮ ❆❧s♦ ✉s❡ st❛♥❞❛r❞ ❢❛❝ts ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ❝❛t❡❣♦r② ✿

✶✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❘❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❙✉♣♣♦s❡ 0 < j < k ≤ n✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡ Mk/Mj ✐♥ O✿ 0 → Pj+1 → Pj ⊕ Pk+1 → Pk → Mk/Mj → 0, ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❛t Pn+1 = 0✳ ■❢ 0 = j < k ≤ n✱ t❤❡♥ t❤❡ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ Mk ❤❛s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥✿ 0 → Pk+1 → Pk → Mk → 0, ∀1 ≤ k ≤ n. ❚❤❡ ♣r♦♦❢s ✉s❡ t❤❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡ Pj✱ ❛s t❤❡ [λ]✲❞✐r❡❝t s✉♠♠❛♥❞ ♦❢ t❤❡ A✲♠♦❞✉❧❡ A/(Auλn−λj+1 + A · ker(λj)) ∈ O✳ ✭❍❛s 1Pj ∈ (Pj)λj✳✮ ❆❧s♦ ✉s❡ st❛♥❞❛r❞ ❢❛❝ts ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ❝❛t❡❣♦r② ✿

✶✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❘❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❙✉♣♣♦s❡ 0 < j < k ≤ n✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡ Mk/Mj ✐♥ O✿ 0 → Pj+1 → Pj ⊕ Pk+1 → Pk → Mk/Mj → 0, ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ t❤❛t Pn+1 = 0✳ ■❢ 0 = j < k ≤ n✱ t❤❡♥ t❤❡ ❱❡r♠❛ ♠♦❞✉❧❡ Mk ❤❛s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥✿ 0 → Pk+1 → Pk → Mk → 0, ∀1 ≤ k ≤ n. ❚❤❡ ♣r♦♦❢s ✉s❡ t❤❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡ Pj✱ ❛s t❤❡ [λ]✲❞✐r❡❝t s✉♠♠❛♥❞ ♦❢ t❤❡ A✲♠♦❞✉❧❡ A/(Auλn−λj+1 + A · ker(λj)) ∈ O✳ ✭❍❛s 1Pj ∈ (Pj)λj✳✮ ❆❧s♦ ✉s❡ st❛♥❞❛r❞ ❢❛❝ts ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ❝❛t❡❣♦r② O[λ]✿ dim HomO(Pj, −) = [− : Lj], dim HomO(Pj, Lk) = δj,k.

✶✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❊①t✲❢♦r♠✉❧❛s

❈❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ ❧♦t ♦❢ ❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❜❧♦❝❦✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① 1 ≤ j < k ≤ n + 1 ❛♥❞ 0 ≤ s < r ≤ n✳ ❚❤❡♥✱

✶

dim Extl

O(Mr, Pj/Pk) = δl,01(r < k) + δl,11(r < j)✳

✷

✳

✸ ❋♦r ❛❧❧

❛♥❞ ✱ ✐❢ ❀ ✐❢ ❀ ✐❢ ❛♥❞ ❀ ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❯s❡s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs ♦❢ ✱ ❛♥❞ ❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛r❣✉♠❡♥ts✳

✶✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❊①t✲❢♦r♠✉❧❛s

❈❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ ❧♦t ♦❢ ❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❜❧♦❝❦✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① 1 ≤ j < k ≤ n + 1 ❛♥❞ 0 ≤ s < r ≤ n✳ ❚❤❡♥✱

✶

dim Extl

O(Mr, Pj/Pk) = δl,01(r < k) + δl,11(r < j)✳

✷

dim Extl

O(Pj/Pk, Mr/Ms)

= δl,01(s < j ≤ r) + δl,11(s < k ≤ r)✳

✸ ❋♦r ❛❧❧

❛♥❞ ✱ ✐❢ ❀ ✐❢ ❀ ✐❢ ❛♥❞ ❀ ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❯s❡s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs ♦❢ ✱ ❛♥❞ ❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛r❣✉♠❡♥ts✳

✶✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❊①t✲❢♦r♠✉❧❛s

❈❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ ❧♦t ♦❢ ❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❜❧♦❝❦✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① 1 ≤ j < k ≤ n + 1 ❛♥❞ 0 ≤ s < r ≤ n✳ ❚❤❡♥✱

✶

dim Extl

O(Mr, Pj/Pk) = δl,01(r < k) + δl,11(r < j)✳

✷

dim Extl

O(Pj/Pk, Mr/Ms)

= δl,01(s < j ≤ r) + δl,11(s < k ≤ r)✳

✸ ❋♦r ❛❧❧ 1 ≤ j, k ≤ n ❛♥❞ l > 0✱

Extl

O(Lj, Lk) =

           F, ✐❢ |j − k| = l = 0❀ F, ✐❢ |j − k| = l = 1❀ F, ✐❢ j = k = 1 ❛♥❞ l = 2❀ 0, ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❯s❡s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs ♦❢ ✱ ❛♥❞ ❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛r❣✉♠❡♥ts✳

✶✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❊①t✲❢♦r♠✉❧❛s

❈❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ ❧♦t ♦❢ ❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❜❧♦❝❦✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① 1 ≤ j < k ≤ n + 1 ❛♥❞ 0 ≤ s < r ≤ n✳ ❚❤❡♥✱

✶

dim Extl

O(Mr, Pj/Pk) = δl,01(r < k) + δl,11(r < j)✳

✷

dim Extl

O(Pj/Pk, Mr/Ms)

= δl,01(s < j ≤ r) + δl,11(s < k ≤ r)✳

✸ ❋♦r ❛❧❧ 1 ≤ j, k ≤ n ❛♥❞ l > 0✱

Extl

O(Lj, Lk) =

           F, ✐❢ |j − k| = l = 0❀ F, ✐❢ |j − k| = l = 1❀ F, ✐❢ j = k = 1 ❛♥❞ l = 2❀ 0, ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❯s❡s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❏♦r❞❛♥✲❍♦❧❞❡r ❢❛❝t♦rs ♦❢ Pj✱ ❛♥❞ ❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛r❣✉♠❡♥ts✳

✶✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

Pr♦❥❡❝t✐✈❡s✱ ❱❡r♠❛s✱ ❛♥❞ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❍✐❣❤❡st ✇❡✐❣❤t ♠♦❞✉❧❡s ✭♦r t❤❡✐r ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ s❡r✐❡s✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s✿ Pj/Pk =

k−1 k−2 ···

j

k−2 ··· ··· j−1

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ 4 3 2 1 3 2 1 2 1 1

Mk/Mj =

k

k−1

✳ ✳ ✳

j+1

F(Mk/Mj) =

k

k−1 ··· j+1

✶✾ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s

❲❛♥t t♦ st✉❞② t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op, ✇❤❡r❡ P[λ] =

• 1≤j≤n

Pj. ❋✐rst st✉❞② t❤❡ ❧❛r❣❡r ❛❧❣❡❜r❛ ✇❤❡r❡ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

• ✐✈❡♥ ✐♥t❡❣❡rs

✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❤♦rt ❡①❛❝t s❡q✉❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦ ✿ ■♥ ✏♣✐❝t✉r❡s✑✱ ❛❞❞s ❛ ✭t♦♣♠♦st✮ r♦✇ t♦ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠✳

✷✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s

❲❛♥t t♦ st✉❞② t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op, ✇❤❡r❡ P[λ] =

• 1≤j≤n

Pj. ❋✐rst st✉❞② t❤❡ ❧❛r❣❡r ❛❧❣❡❜r❛

• A[λ] = EndO(

P[λ])op, ✇❤❡r❡

• P[λ] =
• 1≤j<k≤n+1

Pj/Pk. Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

• ✐✈❡♥ ✐♥t❡❣❡rs

✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❤♦rt ❡①❛❝t s❡q✉❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦ ✿ ■♥ ✏♣✐❝t✉r❡s✑✱ ❛❞❞s ❛ ✭t♦♣♠♦st✮ r♦✇ t♦ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠✳

✷✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s

❲❛♥t t♦ st✉❞② t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op, ✇❤❡r❡ P[λ] =

• 1≤j≤n

Pj. ❋✐rst st✉❞② t❤❡ ❧❛r❣❡r ❛❧❣❡❜r❛

• A[λ] = EndO(

P[λ])op, ✇❤❡r❡

• P[λ] =
• 1≤j<k≤n+1

Pj/Pk. Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

• ✐✈❡♥ ✐♥t❡❣❡rs 1 ≤ j ≤ k ≤ n✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❤♦rt ❡①❛❝t

s❡q✉❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦ O[λ]✿ 0 → Pj/Pk

f++

j,k

− → Pj+1/Pk+1 → F(Mk/Mj) → 0. ■♥ ✏♣✐❝t✉r❡s✑✱ ❛❞❞s ❛ ✭t♦♣♠♦st✮ r♦✇ t♦ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠✳

✷✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s

❲❛♥t t♦ st✉❞② t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op, ✇❤❡r❡ P[λ] =

• 1≤j≤n

Pj. ❋✐rst st✉❞② t❤❡ ❧❛r❣❡r ❛❧❣❡❜r❛

• A[λ] = EndO(

P[λ])op, ✇❤❡r❡

• P[λ] =
• 1≤j<k≤n+1

Pj/Pk. Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

• ✐✈❡♥ ✐♥t❡❣❡rs 1 ≤ j ≤ k ≤ n✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❤♦rt ❡①❛❝t

s❡q✉❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦ O[λ]✿ 0 → Pj/Pk

f++

j,k

− → Pj+1/Pk+1 → F(Mk/Mj) → 0. ■♥ ✏♣✐❝t✉r❡s✑✱ f++

jk

❛❞❞s ❛ ✭t♦♣♠♦st✮ r♦✇ t♦ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠✳

✷✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

▼♦r❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♠❛♣s ✐♥ A[λ]✿ f−•

jk : Pj/Pk ֒

→ Pj−1/Pk, f•−

jk : Pj/Pk ։ Pj/Pk−1.

❆❞❞ t❤❡ r✐❣❤t♠♦st ❝♦❧✉♠♥✱ ❛♥❞ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ❧❡❢t♠♦st ❝♦❧✉♠♥✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❋✐① ✐♥t❡❣❡rs

✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r ❣❡♥❡r❛t❡s t❤❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡ ♦❢ ✳

✷ ❚❤❡ ♠❛♣s

❣❡♥❡r❛t❡ t❤❡ ✲❛❧❣❡❜r❛ ✳

✷✶ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

▼♦r❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♠❛♣s ✐♥ A[λ]✿ f−•

jk : Pj/Pk ֒

→ Pj−1/Pk, f•−

jk : Pj/Pk ։ Pj/Pk−1.

❆❞❞ t❤❡ r✐❣❤t♠♦st ❝♦❧✉♠♥✱ ❛♥❞ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ❧❡❢t♠♦st ❝♦❧✉♠♥✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❋✐① ✐♥t❡❣❡rs 1 ≤ {r, s} ≤ j ≤ k ≤ n + 1✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢

t❤❡ ✈❡❝t♦r dλj−λsuλj−λr1Pr/Pk ∈ Pr/Pk ❣❡♥❡r❛t❡s t❤❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡ Ps/Ps+k−j ♦❢ Pj/Pk ֒ → Pr/Pk✳

✷ ❚❤❡ ♠❛♣s

❣❡♥❡r❛t❡ t❤❡ ✲❛❧❣❡❜r❛ ✳

✷✶ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

▼♦r❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♠❛♣s ✐♥ A[λ]✿ f−•

jk : Pj/Pk ֒

→ Pj−1/Pk, f•−

jk : Pj/Pk ։ Pj/Pk−1.

❆❞❞ t❤❡ r✐❣❤t♠♦st ❝♦❧✉♠♥✱ ❛♥❞ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ❧❡❢t♠♦st ❝♦❧✉♠♥✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❋✐① ✐♥t❡❣❡rs 1 ≤ {r, s} ≤ j ≤ k ≤ n + 1✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢

t❤❡ ✈❡❝t♦r dλj−λsuλj−λr1Pr/Pk ∈ Pr/Pk ❣❡♥❡r❛t❡s t❤❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡ Ps/Ps+k−j ♦❢ Pj/Pk ֒ → Pr/Pk✳

✷ ❚❤❡ ♠❛♣s f++

jk , f−• jk , f•− jk ❣❡♥❡r❛t❡ t❤❡ F✲❛❧❣❡❜r❛

• A[λ] = EndO(

P[λ])op✳

✷✶ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦❞✉❝❡ ❛ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ] = EndO( P[λ])op❄ ❉❡✜♥❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶

✐s ❛ ✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ ✳

✷ ❯♥❞❡r t❤✐s ❣r❛❞✐♥❣ ♦♥

✱ ✱ ❛♥❞

✸ ■❢

✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ s✉✐t❛❜❧❡ ✱

✷✷ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦❞✉❝❡ ❛ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ] = EndO( P[λ])op❄ ❉❡✜♥❡

ϕ(t)

(r,s),(j,k) :=

f −•

j+1,k ◦ · · · ◦ f −• k−t,k

• k−j−t
• f ++

k−t−1,k−1 ◦ · · · ◦ f ++ r,r+t

• k−r−t
• f •−

r,r+t+1 ◦ · · · ◦ f •− r,s

• s−r−t

.

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶

✐s ❛ ✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ ✳

✷ ❯♥❞❡r t❤✐s ❣r❛❞✐♥❣ ♦♥

✱ ✱ ❛♥❞

✸ ■❢

✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ s✉✐t❛❜❧❡ ✱

✷✷ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦❞✉❝❡ ❛ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ] = EndO( P[λ])op❄ ❉❡✜♥❡

ϕ(t)

(r,s),(j,k) :=

f −•

j+1,k ◦ · · · ◦ f −• k−t,k

• k−j−t
• f ++

k−t−1,k−1 ◦ · · · ◦ f ++ r,r+t

• k−r−t
• f •−

r,r+t+1 ◦ · · · ◦ f •− r,s

• s−r−t

.

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ {ϕ(t)

(r,s),(j,k) : r < s, j < k, t ≤ min(s − r, k − r, k − j)}

✐s ❛ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ]✳

✷ ❯♥❞❡r t❤✐s ❣r❛❞✐♥❣ ♦♥

✱ ✱ ❛♥❞

✸ ■❢

✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ s✉✐t❛❜❧❡ ✱

✷✷ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦❞✉❝❡ ❛ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ] = EndO( P[λ])op❄ ❉❡✜♥❡

ϕ(t)

(r,s),(j,k) :=

f −•

j+1,k ◦ · · · ◦ f −• k−t,k

• k−j−t
• f ++

k−t−1,k−1 ◦ · · · ◦ f ++ r,r+t

• k−r−t
• f •−

r,r+t+1 ◦ · · · ◦ f •− r,s

• s−r−t

.

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ {ϕ(t)

(r,s),(j,k) : r < s, j < k, t ≤ min(s − r, k − r, k − j)}

✐s ❛ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ]✳

✷ ❯♥❞❡r t❤✐s ❣r❛❞✐♥❣ ♦♥

A[λ]✱ deg f++

jk

= deg f−•

jk = 1✱ ❛♥❞

deg f•−

jk = 0,

deg ϕ(t)

(r,s),(j,k) = 2(k − t) − r − j.

✸ ■❢

✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ s✉✐t❛❜❧❡ ✱

✷✷ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ Pr♦❥❡❝t✐✈❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❊①t✬s ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

• r❛❞❡❞ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ q✉♦t✐❡♥ts ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦❞✉❝❡ ❛ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ] = EndO( P[λ])op❄ ❉❡✜♥❡

ϕ(t)

(r,s),(j,k) :=

f −•

j+1,k ◦ · · · ◦ f −• k−t,k

• k−j−t
• f ++

k−t−1,k−1 ◦ · · · ◦ f ++ r,r+t

• k−r−t
• f •−

r,r+t+1 ◦ · · · ◦ f •− r,s

• s−r−t

.

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ {ϕ(t)

(r,s),(j,k) : r < s, j < k, t ≤ min(s − r, k − r, k − j)}

✐s ❛ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ]✳

✷ ❯♥❞❡r t❤✐s ❣r❛❞✐♥❣ ♦♥

A[λ]✱ deg f++

jk

= deg f−•

jk = 1✱ ❛♥❞

deg f•−

jk = 0,

deg ϕ(t)

(r,s),(j,k) = 2(k − t) − r − j.

✸ ■❢ 1 ≤ a < b ≤ n + 1✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ s✉✐t❛❜❧❡ u, t✱

ϕ(u)

(j,k),(a,b) ◦ ϕ(t) (r,s),(j,k) = 1(u + t + j − k > 0)ϕ(u+t+j−k) (r,s),(a,b) .

✷✷ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

Pr❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛

Pr♦✈✐❞❡s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛ EndO(⊕j<kPj/Pk)✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(⊕jPj)op❄ ✭❘❡❝❛❧❧ t❤❛t O[λ] ∼ = A[λ]✲Mod✳✮ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❚❤❡ ♠❛♣s

❢♦r♠ ❛ ✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ ✳ ✭❉✐♠❡♥s✐♦♥ ✳✮

✷ ❚❤❡

✲q✉✐✈❡r ♦❢ ✐s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ ♦❢ t❤❡ ✲q✉✐✈❡r ✳

✸ ▲❛❜❡❧ t❤❡ ❛rr♦✇s ❛s

❛♥❞ ✳ ❚❤❡♥ ✱ ✱ ❛♥❞ ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ ♣❛t❤ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ t❤❡ q✉✐✈❡r ✇✐t❤ r❡❧❛t✐♦♥s

✷✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

Pr❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛

Pr♦✈✐❞❡s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛ EndO(⊕j<kPj/Pk)✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(⊕jPj)op❄ ✭❘❡❝❛❧❧ t❤❛t O[λ] ∼ = A[λ]✲Mod✳✮ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❚❤❡ ♠❛♣s {ϕ(t)

(r,n+1),(j,n+1) : t ≤ n + 1 − max(r, j)} ❢♦r♠ ❛

Z✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ]✳ ✭❉✐♠❡♥s✐♦♥ = 12 + · · · + n2✳✮

✷ ❚❤❡

✲q✉✐✈❡r ♦❢ ✐s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ ♦❢ t❤❡ ✲q✉✐✈❡r ✳

✸ ▲❛❜❡❧ t❤❡ ❛rr♦✇s ❛s

❛♥❞ ✳ ❚❤❡♥ ✱ ✱ ❛♥❞ ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ ♣❛t❤ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ t❤❡ q✉✐✈❡r ✇✐t❤ r❡❧❛t✐♦♥s

✷✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

Pr❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛

Pr♦✈✐❞❡s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛ EndO(⊕j<kPj/Pk)✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(⊕jPj)op❄ ✭❘❡❝❛❧❧ t❤❛t O[λ] ∼ = A[λ]✲Mod✳✮ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❚❤❡ ♠❛♣s {ϕ(t)

(r,n+1),(j,n+1) : t ≤ n + 1 − max(r, j)} ❢♦r♠ ❛

Z✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ]✳ ✭❉✐♠❡♥s✐♦♥ = 12 + · · · + n2✳✮

✷ ❚❤❡ Ext✲q✉✐✈❡r ♦❢ A[λ] ✐s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ An ♦❢ t❤❡ An✲q✉✐✈❡r

[1] → [2] → · · · → [n]✳

✸ ▲❛❜❡❧ t❤❡ ❛rr♦✇s ❛s γi : [i + 1] → [i] ❛♥❞ δi : [i] → [i + 1]✳

❚❤❡♥ ✱ ✱ ❛♥❞ ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ ♣❛t❤ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ t❤❡ q✉✐✈❡r ✇✐t❤ r❡❧❛t✐♦♥s

✷✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

Pr❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛

Pr♦✈✐❞❡s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛ EndO(⊕j<kPj/Pk)✳ ❲❤❛t ✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(⊕jPj)op❄ ✭❘❡❝❛❧❧ t❤❛t O[λ] ∼ = A[λ]✲Mod✳✮ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❚❤❡ ♠❛♣s {ϕ(t)

(r,n+1),(j,n+1) : t ≤ n + 1 − max(r, j)} ❢♦r♠ ❛

Z✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ A[λ]✳ ✭❉✐♠❡♥s✐♦♥ = 12 + · · · + n2✳✮

✷ ❚❤❡ Ext✲q✉✐✈❡r ♦❢ A[λ] ✐s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ An ♦❢ t❤❡ An✲q✉✐✈❡r

[1] → [2] → · · · → [n]✳

✸ ▲❛❜❡❧ t❤❡ ❛rr♦✇s ❛s γi : [i + 1] → [i] ❛♥❞ δi : [i] → [i + 1]✳

❚❤❡♥ γi = f−•

i+1,n−1✱ δi = f++ i,n+1✱ ❛♥❞ Aop [λ] ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡

♣❛t❤ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ t❤❡ q✉✐✈❡r An ✇✐t❤ r❡❧❛t✐♦♥s δi ◦ γi = γi+1 ◦ δi+1 ∀0 < i < n − 1, δn−1 ◦ γn−1 = 0.

✷✸ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❑♦s③✉❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op ✐s ❑♦s③✉❧✱ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n = |[λ]|✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ●❲❆✱ ❜❧♦❝❦s ✇✐t❤ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡s ❛r❡ ▼♦r✐t❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ Pr♦♦❢✿ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ ✿ ✳ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ ✿ ✐s ❣r❛❞❡❞✱ q✉❛❞r❛t✐❝❀ ✳ ◆♦✇ ✉s❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❑♦s③✉❧✐t② ❬❇●❙❪✳

✷✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❑♦s③✉❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op ✐s ❑♦s③✉❧✱ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n = |[λ]|✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ●❲❆✱ ❜❧♦❝❦s ✇✐t❤ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡s ❛r❡ ▼♦r✐t❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ Pr♦♦❢✿ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ ✿ ✳ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ ✿ ✐s ❣r❛❞❡❞✱ q✉❛❞r❛t✐❝❀ ✳ ◆♦✇ ✉s❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❑♦s③✉❧✐t② ❬❇●❙❪✳

✷✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❑♦s③✉❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op ✐s ❑♦s③✉❧✱ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n = |[λ]|✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ●❲❆✱ ❜❧♦❝❦s ✇✐t❤ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡s ❛r❡ ▼♦r✐t❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ Pr♦♦❢✿ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ A[λ]✿ H(A[λ], t)j,k =

n

• u=max(j,k)

t2u−j−k✳ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ ✿ ✐s ❣r❛❞❡❞✱ q✉❛❞r❛t✐❝❀ ✳ ◆♦✇ ✉s❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❑♦s③✉❧✐t② ❬❇●❙❪✳

✷✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❑♦s③✉❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op ✐s ❑♦s③✉❧✱ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n = |[λ]|✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ●❲❆✱ ❜❧♦❝❦s ✇✐t❤ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡s ❛r❡ ▼♦r✐t❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ Pr♦♦❢✿ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ A[λ]✿ H(A[λ], t)j,k =

n

• u=max(j,k)

t2u−j−k✳ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ E(A[λ]) = Ext•

O(P[λ], P[λ])✿

H(E(A[λ]), t) = Toeplitz(1+t2, t, 0, . . . , 0)−t2E11 ✐s ❣r❛❞❡❞✱ q✉❛❞r❛t✐❝❀ ✳ ◆♦✇ ✉s❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❑♦s③✉❧✐t② ❬❇●❙❪✳

✷✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❑♦s③✉❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op ✐s ❑♦s③✉❧✱ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n = |[λ]|✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ●❲❆✱ ❜❧♦❝❦s ✇✐t❤ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡s ❛r❡ ▼♦r✐t❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ Pr♦♦❢✿ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ A[λ]✿ H(A[λ], t)j,k =

n

• u=max(j,k)

t2u−j−k✳ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ E(A[λ]) = Ext•

O(P[λ], P[λ])✿

H(E(A[λ]), t) = Toeplitz(1+t2, t, 0, . . . , 0)−t2E11 = H(A[λ], t)−1. ✐s ❣r❛❞❡❞✱ q✉❛❞r❛t✐❝❀ ✳ ◆♦✇ ✉s❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❑♦s③✉❧✐t② ❬❇●❙❪✳

✷✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❑♦s③✉❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op ✐s ❑♦s③✉❧✱ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n = |[λ]|✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ●❲❆✱ ❜❧♦❝❦s ✇✐t❤ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡s ❛r❡ ▼♦r✐t❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ Pr♦♦❢✿ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ A[λ]✿ H(A[λ], t)j,k =

n

• u=max(j,k)

t2u−j−k✳ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ E(A[λ]) = Ext•

O(P[λ], P[λ])✿

H(E(A[λ]), t) = Toeplitz(1+t2, t, 0, . . . , 0)−t2E11 = H(A[λ], t)−1. A[λ] ✐s ❣r❛❞❡❞✱ q✉❛❞r❛t✐❝❀ A[λ][0] = spanF{idPj : 1 ≤ j ≤ n}✳ ◆♦✇ ✉s❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❑♦s③✉❧✐t② ❬❇●❙❪✳

✷✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❑♦s③✉❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A[λ] = EndO(P[λ])op ✐s ❑♦s③✉❧✱ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n = |[λ]|✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ●❲❆✱ ❜❧♦❝❦s ✇✐t❤ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡s ❛r❡ ▼♦r✐t❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ Pr♦♦❢✿ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ A[λ]✿ H(A[λ], t)j,k =

n

• u=max(j,k)

t2u−j−k✳ ❍✐❧❜❡rt ♠❛tr✐① ♦❢ E(A[λ]) = Ext•

O(P[λ], P[λ])✿

H(E(A[λ]), t) = Toeplitz(1+t2, t, 0, . . . , 0)−t2E11 = H(A[λ], t)−1. A[λ] ✐s ❣r❛❞❡❞✱ q✉❛❞r❛t✐❝❀ A[λ][0] = spanF{idPj : 1 ≤ j ≤ n}✳ ◆♦✇ ✉s❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❑♦s③✉❧✐t② ❬❇●❙❪✳

✷✹ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❙✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s

❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ A[λ] ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❢r♦♠ ❞❡t❛✐❧❡❞ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ ♠♦❞✉❧❡s Pj/Pk✳ ❈❛♥ ❛❧s♦ ❝❧❛ss✐❢② ❛❧❧ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ t❤❡s❡ ♠♦❞✉❧❡s✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① ✳

✶ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❜✐❥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢

✱ ❛♥❞ str✐❝t❧② ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ✱ ❢♦r s♦♠❡ ✳

✷ ❊✈❡r② s✉❝❤ s✉❜♠♦❞✉❧❡ ✐s ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ❛♥❞ ❤❛s ❛ ❱❡r♠❛

✢❛❣✱ ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡s❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ✐s ✳

✷✺ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❙✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s

❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ A[λ] ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❢r♦♠ ❞❡t❛✐❧❡❞ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ♠❛♣s ❜❡t✇❡❡♥ ♠♦❞✉❧❡s Pj/Pk✳ ❈❛♥ ❛❧s♦ ❝❧❛ss✐❢② ❛❧❧ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ t❤❡s❡ ♠♦❞✉❧❡s✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① 1 ≤ j < k ≤ n + 1✳

✶ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❜✐❥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ Pj/Pk✱

❛♥❞ str✐❝t❧② ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs k − 1 ≥ ml > ml−1 > · · · > m1 ≥ 1✱ ❢♦r s♦♠❡ 0 ≤ l ≤ k − j✳

✷ ❊✈❡r② s✉❝❤ s✉❜♠♦❞✉❧❡ ✐s ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ❛♥❞ ❤❛s ❛ ❱❡r♠❛

✢❛❣✱ ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡s❡ s✉❜♠♦❞✉❧❡s ✐s

k−j

• l=0

k − 1 l

• ✳

✷✺ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❙✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

❚❤❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ N ⊂ Pj/Pk✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✜❧tr❛t✐♦♥✿ 0 ⊂ N ∩ (Pk−1/Pk) ⊂ N ∩ (Pk−2/Pk) ⊂ · · · ⊂ N ∩ (Pj/Pk). ❚❤❡♥ ❡❛❝❤ s✉❜q✉♦t✐❡♥t ✐s ❛ s✉❜♠♦❞✉❧❡ ❢♦r s♦♠❡ ✳ ▲❡❛❞s t♦ tr❛♥s❢❡r ♠❛♣ ✳ ❆❧s♦ ❧❡❛❞s t♦ ❞✐❛❣r❛♠ ♠❛♣ ❢r♦♠ t♦ ❛ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ ✳ ❊✳❣✳✱ ❞✐❛❣r❛♠ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✱ ✇✐t❤ ✿

✷✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❙✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

❚❤❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ N ⊂ Pj/Pk✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✜❧tr❛t✐♦♥✿ 0 ⊂ N ∩ (Pk−1/Pk) ⊂ N ∩ (Pk−2/Pk) ⊂ · · · ⊂ N ∩ (Pj/Pk). ❚❤❡♥ ❡❛❝❤ s✉❜q✉♦t✐❡♥t ✐s ❛ s✉❜♠♦❞✉❧❡ Mmr ⊂ Mk−r ❢♦r s♦♠❡ r✳ ▲❡❛❞s t♦ tr❛♥s❢❡r ♠❛♣ ✳ ❆❧s♦ ❧❡❛❞s t♦ ❞✐❛❣r❛♠ ♠❛♣ ❢r♦♠ t♦ ❛ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ ✳ ❊✳❣✳✱ ❞✐❛❣r❛♠ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✱ ✇✐t❤ ✿

✷✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❙✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

❚❤❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ N ⊂ Pj/Pk✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✜❧tr❛t✐♦♥✿ 0 ⊂ N ∩ (Pk−1/Pk) ⊂ N ∩ (Pk−2/Pk) ⊂ · · · ⊂ N ∩ (Pj/Pk). ❚❤❡♥ ❡❛❝❤ s✉❜q✉♦t✐❡♥t ✐s ❛ s✉❜♠♦❞✉❧❡ Mmr ⊂ Mk−r ❢♦r s♦♠❡ r✳ ▲❡❛❞s t♦ tr❛♥s❢❡r ♠❛♣ N Ψ(N) = (ml, . . . , m1)✳ ❆❧s♦ ❧❡❛❞s t♦ ❞✐❛❣r❛♠ ♠❛♣ ❢r♦♠ t♦ ❛ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ ✳ ❊✳❣✳✱ ❞✐❛❣r❛♠ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✱ ✇✐t❤ ✿

✷✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❙✉❜♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ✭❝♦♥t✳✮

❚❤❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ N ⊂ Pj/Pk✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✜❧tr❛t✐♦♥✿ 0 ⊂ N ∩ (Pk−1/Pk) ⊂ N ∩ (Pk−2/Pk) ⊂ · · · ⊂ N ∩ (Pj/Pk). ❚❤❡♥ ❡❛❝❤ s✉❜q✉♦t✐❡♥t ✐s ❛ s✉❜♠♦❞✉❧❡ Mmr ⊂ Mk−r ❢♦r s♦♠❡ r✳ ▲❡❛❞s t♦ tr❛♥s❢❡r ♠❛♣ N Ψ(N) = (ml, . . . , m1)✳ ❆❧s♦ ❧❡❛❞s t♦ ❞✐❛❣r❛♠ ♠❛♣ YT ❢r♦♠ N t♦ ❛ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ YT (N)✳ ❊✳❣✳✱ ❞✐❛❣r❛♠ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ (5, 3, 2)✱ ✇✐t❤ Ψ−1((5, 3, 2)) ⊂ P3/P6✿ 5 4 3 2 3 2 1 2 1 1

✷✻ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ ♠❛♣✿ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❲❤❛t ♣r♦♣❡rt✐❡s ❞♦❡s t❤❡ ♠❛♣ N → YT (N) s❛t✐s❢②❄ ❘❡❝❛❧❧✿ ❛❧❧ ♠♦❞✉❧❡s Pr/Ps ❡♠❜❡❞ ✐♥t♦ P1 ✭❧❛r❣❡st ♣r♦❥❡❝t✐✈❡✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❙✉♣♣♦s❡ ✳

✶ ❋♦r ❡❛❝❤

✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ✐♥ ♥✉♠❜❡r❡❞ ✱ ♣r❡❝✐s❡❧② ❡q✉❛❧s ✳

✷ ◗✉♦t✐❡♥t✐♥❣ ❡q✉❛❧s ❡①❝✐s✐♦♥✿

✱ ❛♥❞ ❞✉❛❧✐t② ❡q✉❛❧s tr❛♥s♣♦s❡✿ ✳

✸ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱

✳

✷✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ ♠❛♣✿ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❲❤❛t ♣r♦♣❡rt✐❡s ❞♦❡s t❤❡ ♠❛♣ N → YT (N) s❛t✐s❢②❄ ❘❡❝❛❧❧✿ ❛❧❧ ♠♦❞✉❧❡s Pr/Ps ❡♠❜❡❞ ✐♥t♦ P1 ✭❧❛r❣❡st ♣r♦❥❡❝t✐✈❡✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❙✉♣♣♦s❡ N′ ⊂ N ⊂ P1✳

✶ ❋♦r ❡❛❝❤ 1 ≤ j ≤ n✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ✐♥ YT (N) ♥✉♠❜❡r❡❞

j✱ ♣r❡❝✐s❡❧② ❡q✉❛❧s [N : Lj]✳

✷ ◗✉♦t✐❡♥t✐♥❣ ❡q✉❛❧s ❡①❝✐s✐♦♥✿

✱ ❛♥❞ ❞✉❛❧✐t② ❡q✉❛❧s tr❛♥s♣♦s❡✿ ✳

✸ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱

✳

✷✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ ♠❛♣✿ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❲❤❛t ♣r♦♣❡rt✐❡s ❞♦❡s t❤❡ ♠❛♣ N → YT (N) s❛t✐s❢②❄ ❘❡❝❛❧❧✿ ❛❧❧ ♠♦❞✉❧❡s Pr/Ps ❡♠❜❡❞ ✐♥t♦ P1 ✭❧❛r❣❡st ♣r♦❥❡❝t✐✈❡✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❙✉♣♣♦s❡ N′ ⊂ N ⊂ P1✳

✶ ❋♦r ❡❛❝❤ 1 ≤ j ≤ n✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ✐♥ YT (N) ♥✉♠❜❡r❡❞

j✱ ♣r❡❝✐s❡❧② ❡q✉❛❧s [N : Lj]✳

✷ ◗✉♦t✐❡♥t✐♥❣ ❡q✉❛❧s ❡①❝✐s✐♦♥✿ YT (N/N′) = YT (N) \ YT (N′)✱

❛♥❞ ❞✉❛❧✐t② ❡q✉❛❧s tr❛♥s♣♦s❡✿ YT (F(N)) = YT (N)T ✳

✸ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱

✳

✷✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ ♠❛♣✿ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❲❤❛t ♣r♦♣❡rt✐❡s ❞♦❡s t❤❡ ♠❛♣ N → YT (N) s❛t✐s❢②❄ ❘❡❝❛❧❧✿ ❛❧❧ ♠♦❞✉❧❡s Pr/Ps ❡♠❜❡❞ ✐♥t♦ P1 ✭❧❛r❣❡st ♣r♦❥❡❝t✐✈❡✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❙✉♣♣♦s❡ N′ ⊂ N ⊂ P1✳

✶ ❋♦r ❡❛❝❤ 1 ≤ j ≤ n✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ✐♥ YT (N) ♥✉♠❜❡r❡❞

j✱ ♣r❡❝✐s❡❧② ❡q✉❛❧s [N : Lj]✳

✷ ◗✉♦t✐❡♥t✐♥❣ ❡q✉❛❧s ❡①❝✐s✐♦♥✿ YT (N/N′) = YT (N) \ YT (N′)✱

❛♥❞ ❞✉❛❧✐t② ❡q✉❛❧s tr❛♥s♣♦s❡✿ YT (F(N)) = YT (N)T ✳

✸ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱ YT (F(N/N ′)) = YT (N)T \ YT (N′)T ✳ ✷✼ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❚✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s

❚✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s T s❛t✐s❢②✿ ❜♦t❤ T, F(T) ❤❛✈❡ ❛ ❱❡r♠❛ ✢❛❣✳ ❲❤✐❝❤ ❞✐❛❣r❛♠s ✇♦✉❧❞ ♦♥❡ ❣❡t❄ ❉❡✜♥❡ t♦ ❜❡ t❤❡ ❧❛❜❡❧❧❡❞ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❞✐❛❣r❛♠✿

✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳

❚❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❚❤❡ ♣❛rt✐❛❧✴✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ t✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❛r❡ ❢♦r ✳

✷ ❊❛❝❤

✐s s❡❧❢✲❞✉❛❧✳

✸ ❚❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ s❡t ✳

✷✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❚✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s

❚✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s T s❛t✐s❢②✿ ❜♦t❤ T, F(T) ❤❛✈❡ ❛ ❱❡r♠❛ ✢❛❣✳ ❲❤✐❝❤ ❞✐❛❣r❛♠s ✇♦✉❧❞ ♦♥❡ ❣❡t❄ ❉❡✜♥❡ YT k t♦ ❜❡ t❤❡ ❧❛❜❡❧❧❡❞ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❞✐❛❣r❛♠✿

k

k−1 k−2· · · 2 1 k−1 k−2· · ·· · · 1 k−2 ✳

✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ 2 1 1

❚❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ P1/Pk+1✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❚❤❡ ♣❛rt✐❛❧✴✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ t✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

❛r❡ ❢♦r ✳

✷ ❊❛❝❤

✐s s❡❧❢✲❞✉❛❧✳

✸ ❚❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ s❡t ✳

✷✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❚✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s

❚✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s T s❛t✐s❢②✿ ❜♦t❤ T, F(T) ❤❛✈❡ ❛ ❱❡r♠❛ ✢❛❣✳ ❲❤✐❝❤ ❞✐❛❣r❛♠s ✇♦✉❧❞ ♦♥❡ ❣❡t❄ ❉❡✜♥❡ YT k t♦ ❜❡ t❤❡ ❧❛❜❡❧❧❡❞ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❞✐❛❣r❛♠✿

k

k−1 k−2· · · 2 1 k−1 k−2· · ·· · · 1 k−2 ✳

✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ 2 1 1

❚❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ P1/Pk+1✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❚❤❡ ♣❛rt✐❛❧✴✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ t✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦ O[λ]

❛r❡ Tk := P1/Pk+1 ❢♦r 1 ≤ k ≤ n✳

✷ ❊❛❝❤ Tk ✐s s❡❧❢✲❞✉❛❧✳ ✸ ❚❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦

♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ s❡t ✳

✷✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❚✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s

❚✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s T s❛t✐s❢②✿ ❜♦t❤ T, F(T) ❤❛✈❡ ❛ ❱❡r♠❛ ✢❛❣✳ ❲❤✐❝❤ ❞✐❛❣r❛♠s ✇♦✉❧❞ ♦♥❡ ❣❡t❄ ❉❡✜♥❡ YT k t♦ ❜❡ t❤❡ ❧❛❜❡❧❧❡❞ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❞✐❛❣r❛♠✿

k

k−1 k−2· · · 2 1 k−1 k−2· · ·· · · 1 k−2 ✳

✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ 2 1 1

❚❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ P1/Pk+1✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮

✶ ❚❤❡ ♣❛rt✐❛❧✴✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ t✐❧t✐♥❣ ♠♦❞✉❧❡s ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦ O[λ]

❛r❡ Tk := P1/Pk+1 ❢♦r 1 ≤ k ≤ n✳

✷ ❊❛❝❤ Tk ✐s s❡❧❢✲❞✉❛❧✳ ✸ ❚❤❡ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❤✉❧❧ ✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦ O[λ] ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♠♦❞✉❧❡ Lk ✐s

❡q✉❛❧ t♦ F(Pk) ∼ = Tn/Tk−1✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ s❡t T0 := 0✳

✷✽ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❉❡✜♥❡ ❛ s✉❜✲tr✐❛♥❣✉❧❛r ❨♦✉♥❣ t❛❜❧❡❛✉ ✭❙❚❨❚✮ t♦ ❜❡ ❛ ❞✐❛❣r❛♠ X t❤❛t s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿

✶

❦ ⊂ X ⊂ YT k ❢♦r s♦♠❡ k ≥ 1✳

✷ X ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳ ✸ ❋♦r ❡✈❡r② r♦✇ R ❛♥❞ ❝♦❧✉♠♥ C ♦❢ YT k✱ t❤❡ s✉❜✲❞✐❛❣r❛♠s

X ∩ R ❛♥❞ X ∩ C ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳

✹ ■❢ c ✐s ❛ ❝❡❧❧ ✐♥ YT k \ X✱ t❤❡♥ X ❝❛♥♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ ❝❡❧❧s

✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❛❜♦✈❡ c ❛♥❞ t♦ t❤❡ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❧❡❢t ♦❢ c✱ ✐❢ ❜♦t❤ ❝❡❧❧s ❡①✐st ✐♥ YT k✳ ❍❡r❡ ✐s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ❙❚❨❚✿ ❊q✉❛❧s ✳

✷✾ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❉❡✜♥❡ ❛ s✉❜✲tr✐❛♥❣✉❧❛r ❨♦✉♥❣ t❛❜❧❡❛✉ ✭❙❚❨❚✮ t♦ ❜❡ ❛ ❞✐❛❣r❛♠ X t❤❛t s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿

✶

❦ ⊂ X ⊂ YT k ❢♦r s♦♠❡ k ≥ 1✳

✷ X ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳ ✸ ❋♦r ❡✈❡r② r♦✇ R ❛♥❞ ❝♦❧✉♠♥ C ♦❢ YT k✱ t❤❡ s✉❜✲❞✐❛❣r❛♠s

X ∩ R ❛♥❞ X ∩ C ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳

✹ ■❢ c ✐s ❛ ❝❡❧❧ ✐♥ YT k \ X✱ t❤❡♥ X ❝❛♥♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ ❝❡❧❧s

✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❛❜♦✈❡ c ❛♥❞ t♦ t❤❡ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❧❡❢t ♦❢ c✱ ✐❢ ❜♦t❤ ❝❡❧❧s ❡①✐st ✐♥ YT k✳ ❍❡r❡ ✐s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ❙❚❨❚✿ ❊q✉❛❧s YT (Ψ−1((6, 4, 3, 2))/Ψ−1((4, 3))) ⊂ YT (P3/P7)✳ 6 5 4 3 2 2 1 1

✷✾ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

▼♦r♣❤✐s♠s ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✳ ❉❡✜♥❡ ❛ ♠❛♣ ♦❢ ❙❚❨❚s : X → Y t♦ ❜❡ ❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✭✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✮ ♦❢ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ X✱ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿

✶

❢♦r ❛❧❧ ❝❡❧❧s c ∈ X✱ ❡✐t❤❡r ϕ(c) ✐s ❛ ❝❡❧❧ ✐♥ Y ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r✱ ϕ(c) ✐s ❞✐s❥♦✐♥t ❢r♦♠ Y ✳

✷

Y ∩ ϕ(YT (X)) ✐s ♥♦♥❡♠♣t②✳

❉❡✜♥❡ ❛ ♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❙❚❨❚s t♦ ❜❡ ❛♥② ❢♦r♠❛❧ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❛♣s ✳ ❍♦✇ ❞♦ t❤❡s❡ ✏r✐❣✐❞✲❜♦❞② ♠♦t✐♦♥s✑ ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s r❡❧❛t❡ t♦ ♠♦r♣❤✐s♠s ❜❡t✇❡❡♥ ♦❜❥❡❝ts❄

✸✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

▼♦r♣❤✐s♠s ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✳ ❉❡✜♥❡ ❛ ♠❛♣ ♦❢ ❙❚❨❚s : X → Y t♦ ❜❡ ❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✭✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✮ ♦❢ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ X✱ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿

✶

❢♦r ❛❧❧ ❝❡❧❧s c ∈ X✱ ❡✐t❤❡r ϕ(c) ✐s ❛ ❝❡❧❧ ✐♥ Y ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r✱ ϕ(c) ✐s ❞✐s❥♦✐♥t ❢r♦♠ Y ✳

✷

Y ∩ ϕ(YT (X)) ✐s ♥♦♥❡♠♣t②✳

❉❡✜♥❡ ❛ ♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❙❚❨❚s : X → Y t♦ ❜❡ ❛♥② ❢♦r♠❛❧ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❛♣s : X → Y ✳ ❍♦✇ ❞♦ t❤❡s❡ ✏r✐❣✐❞✲❜♦❞② ♠♦t✐♦♥s✑ ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s r❡❧❛t❡ t♦ ♠♦r♣❤✐s♠s ❜❡t✇❡❡♥ ♦❜❥❡❝ts❄

✸✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

▼♦r♣❤✐s♠s ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✳ ❉❡✜♥❡ ❛ ♠❛♣ ♦❢ ❙❚❨❚s : X → Y t♦ ❜❡ ❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✭✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✮ ♦❢ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ X✱ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿

✶

❢♦r ❛❧❧ ❝❡❧❧s c ∈ X✱ ❡✐t❤❡r ϕ(c) ✐s ❛ ❝❡❧❧ ✐♥ Y ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r✱ ϕ(c) ✐s ❞✐s❥♦✐♥t ❢r♦♠ Y ✳

✷

Y ∩ ϕ(YT (X)) ✐s ♥♦♥❡♠♣t②✳

❉❡✜♥❡ ❛ ♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❙❚❨❚s : X → Y t♦ ❜❡ ❛♥② ❢♦r♠❛❧ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❛♣s : X → Y ✳ ❍♦✇ ❞♦ t❤❡s❡ ✏r✐❣✐❞✲❜♦❞② ♠♦t✐♦♥s✑ ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s r❡❧❛t❡ t♦ ♠♦r♣❤✐s♠s ❜❡t✇❡❡♥ ♦❜❥❡❝ts❄

✸✵ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❈❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① 1 ≤ r < s ≤ n + 1 ❛♥❞ 1 ≤ j < k ≤ n + 1✳ ❚❤❡ ❙❚❨❚ ♠❛♣s ❢r♦♠ YT (Pr/Ps) t♦ YT (PJ/Pk) ❝❛♥ ❜❡ ♣r❡❝✐s❡❧② ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✜♥✐t❡ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ♠♦r♣❤✐s♠ s♣❛❝❡✿ ϕ(t)

(r,s),(j,k),

1 ≤ t ≤ min(s − r, k − r, k − j). ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛♣ ❡q✉❛❧s t❤❡ ▼❛♥❤❛tt❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ✏❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❝❡❧❧s✑ ♦❢ t❤❡ ❙❚❨❚s✳ ❉❡❣r❡❡ ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡①tr❛ r♦✇s✴❝♦❧✉♠♥s ❛❞❞❡❞✳ ❊❛❝❤ ❛❞❞✐t✐♦♥ ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ ▼❛♥❤❛tt❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜② ✳

✸✶ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❈❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① 1 ≤ r < s ≤ n + 1 ❛♥❞ 1 ≤ j < k ≤ n + 1✳ ❚❤❡ ❙❚❨❚ ♠❛♣s ❢r♦♠ YT (Pr/Ps) t♦ YT (PJ/Pk) ❝❛♥ ❜❡ ♣r❡❝✐s❡❧② ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✜♥✐t❡ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ♠♦r♣❤✐s♠ s♣❛❝❡✿ ϕ(t)

(r,s),(j,k),

1 ≤ t ≤ min(s − r, k − r, k − j). ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛♣ ϕ(t)

(r,s),(j,k) ❡q✉❛❧s t❤❡ ▼❛♥❤❛tt❛♥

❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ✏❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❝❡❧❧s✑ ♦❢ t❤❡ ❙❚❨❚s✳ ❉❡❣r❡❡ ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡①tr❛ r♦✇s✴❝♦❧✉♠♥s ❛❞❞❡❞✳ ❊❛❝❤ ❛❞❞✐t✐♦♥ ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ ▼❛♥❤❛tt❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜② ✳

✸✶ ✴ ✸✹

❋✐rst r❡s✉❧ts ❚❤❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ❝❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ❑♦s③✉❧✐t② ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

• ❲❆s ❝❛t❡❣♦r✐❢② ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❈❛t❡❣♦r✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❨♦✉♥❣ ❞✐❛❣r❛♠s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤❛r❡✲❚✐❦❛r❛❞③❡✱ ✷✵✶✺✮ ❋✐① 1 ≤ r < s ≤ n + 1 ❛♥❞ 1 ≤ j < k ≤ n + 1✳ ❚❤❡ ❙❚❨❚ ♠❛♣s ❢r♦♠ YT (Pr/Ps) t♦ YT (PJ/Pk) ❝❛♥ ❜❡ ♣r❡❝✐s❡❧② ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✜♥✐t❡ Z+✲❣r❛❞❡❞ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ♠♦r♣❤✐s♠ s♣❛❝❡✿ ϕ(t)

(r,s),(j,k),

1 ≤ t ≤ min(s − r, k − r, k − j). ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛♣ ϕ(t)

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O(N, N′)✱ ✇❤❡♥

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O(N, N′)✱ ✇❤❡♥

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