t Prtsrt r r qt - - PowerPoint PPT Presentation

❖♥ t❤❡ P❛rt❤❛s❛r❛t❤② ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r q✉❛♥t✐③❡❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✢❛❣ ♠❛♥✐❢♦❧❞s

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❯♥✐✈❡rs✐té ❈❧❡r♠♦♥t ❆✉✈❡r❣♥❡

✧■♥❞❡① ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❙✐♥❣✉❧❛r ❙tr✉❝t✉r❡s✧✱ ❚♦✉❧♦✉s❡✱ ❏✉♥❡ ✷✵✶✼

✶ ✴ ✶✽

❲❤❛t ✐s t❤❡ P❛rt❤❛s❛r❛t❤② ❢♦r♠✉❧❛❄

• ✐✈❡♥ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ M = G/K ✇✐t❤ ❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦r D✱ ✐t ❡①♣r❡ss❡s

D✷ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❈❛s✐♠✐r ♦❢ G✱ ♥❛♠❡❧② D✷ = ΩG + ✶ ✽❙❝❛❧M. ❆❧❧♦✇s t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ✈✐❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ♦❢ G✳ ❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ❤❛✈❡ ❛♥ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ s②♠♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✳

• ♦❛❧✿ s♣❡❝tr❛❧ tr✐♣❧❡s ❢♦r q✉❛♥t✐③❡❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✢❛❣ ♠❛♥✐❢♦❧❞s✳ Pr♦✈❡

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✷ ✴ ✶✽

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• ✐✈❡♥ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ M = G/K ✇✐t❤ ❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦r D✱ ✐t ❡①♣r❡ss❡s

D✷ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❈❛s✐♠✐r ♦❢ G✱ ♥❛♠❡❧② D✷ = ΩG + ✶ ✽❙❝❛❧M. ❆❧❧♦✇s t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ✈✐❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ♦❢ G✳ ❲❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ❤❛✈❡ ❛♥ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ s②♠♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✳

• ♦❛❧✿ s♣❡❝tr❛❧ tr✐♣❧❡s ❢♦r q✉❛♥t✐③❡❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✢❛❣ ♠❛♥✐❢♦❧❞s✳ Pr♦✈❡

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✷ ✴ ✶✽

❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ✢❛❣ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ✐s ❛ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s s♣❛❝❡ G/P✱ ✇❤❡r❡ P ✐s ❛ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ s✉❜❣r♦✉♣ ✭❝♦♥t❛✐♥s ❛ ❇♦r❡❧ s✉❜❣r♦✉♣✮✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❝❧❛ss✐✜❡❞ ❜② s✉❜s❡ts S ⊆ Π ♦❢ s✐♠♣❧❡ r♦♦ts✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❛ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ g = u− ⊕ l ⊕ u+ ❛s l✲♠♦❞✉❧❡s✱ ✇❤❡r❡ l = h ⊕

• α∈∆(l)

gα, u± =

• α∈∆(u+)

g±α. ❚❤❡s❡ ❛r❡ s✉❜❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ g✳ ❙♦♠❡ ♥❛♠❡s✿ p = l ⊕ u+ ✐s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ s✉❜❛❧❣❡❜r❛✱ l ✐s t❤❡ ▲❡✈✐ ❢❛❝t♦r ❛♥❞ u+ ✐s t❤❡ ♥✐❧r❛❞✐❝❛❧✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r ♣❛r❛❜♦❧✐❝s ♦❢ ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡ t②♣❡✳ ❖♥❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✐s t❤❛t ✐s ❛❜❡❧✐❛♥✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✐s ❛ s②♠♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ t❤❡ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ✳

✸ ✴ ✶✽

❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ✢❛❣ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ✐s ❛ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s s♣❛❝❡ G/P✱ ✇❤❡r❡ P ✐s ❛ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ s✉❜❣r♦✉♣ ✭❝♦♥t❛✐♥s ❛ ❇♦r❡❧ s✉❜❣r♦✉♣✮✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❝❧❛ss✐✜❡❞ ❜② s✉❜s❡ts S ⊆ Π ♦❢ s✐♠♣❧❡ r♦♦ts✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❛ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ g = u− ⊕ l ⊕ u+ ❛s l✲♠♦❞✉❧❡s✱ ✇❤❡r❡ l = h ⊕

• α∈∆(l)

gα, u± =

• α∈∆(u+)

g±α. ❚❤❡s❡ ❛r❡ s✉❜❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ g✳ ❙♦♠❡ ♥❛♠❡s✿ p = l ⊕ u+ ✐s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ s✉❜❛❧❣❡❜r❛✱ l ✐s t❤❡ ▲❡✈✐ ❢❛❝t♦r ❛♥❞ u+ ✐s t❤❡ ♥✐❧r❛❞✐❝❛❧✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r ♣❛r❛❜♦❧✐❝s ♦❢ ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡ t②♣❡✳ ❖♥❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✐s t❤❛t u+ ✐s ❛❜❡❧✐❛♥✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ G/P ✐s ❛ s②♠♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ t❤❡ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s [u+, u−] ⊂ l✳

✸ ✴ ✶✽

❆ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ s✉❜❛❧❣❡❜r❛ p ✐s ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡ ✐✛ S = Π\{αt} ❛♥❞ αt ❤❛s ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ✶ ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡st r♦♦t ♦❢ g✳ ❆❧❣✳ ❉②♥❦✐♥ ❞✐❛❣r❛♠ ◆♦♠❡♥❝❧❛t✉r❡ Ar

✶ ✷ k r − ✶ r

• r❛ss♠❛♥♥✐❛♥

Br

✶ ✷ r − ✷ r − ✶ r

❖❞❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ q✉❛❞r✐❝ Cr

✶ ✷ r − ✷ r − ✶ r

▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ●r❛ss♠❛♥♥✐❛♥ Dr

✶ ✷ r − ✷ r − ✶ r

❊✈❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ q✉❛❞r✐❝ Dr

✶ ✷ r − ✷ r − ✶ r

❖rt❤♦❣♦♥❛❧ ●r❛ss♠❛♥♥✐❛♥ E✻

✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻

❈❛②❧❡② ♣❧❛♥❡ E✼

✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼

❯♥♥❛♠❡❞

✹ ✴ ✶✽

❚❤❡s❡ s♣❛❝❡s ❛r❡ ❝♦♠♣❛❝t ❑ä❤❧❡r ♠❛♥✐❢♦❧❞s✳ P✉t ❛♥ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ♦♥ Ω(✵,•)✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❉♦❧❜❡❛✉❧t✲❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦rs D = ¯ ∂ + ¯ ∂∗✳ ❈♦♥❝r❡t❡❧② ♣✐❝❦ ❞✉❛❧ ❜❛s❡s {vi}i ∈ u+ ❛♥❞ {wi}i ∈ u−✳ ❲❡ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ u+ ✇✐t❤ s♦♠❡ r♦♦t ✈❡❝t♦rs {Eξi}i ∈ g✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ð =

• ξi∈∆(u+)

Eξi ⊗ γ−(wi) ∈ U(g) ⊗ ❈❧. ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t ð = ¯ ∂∗✳ ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ D = ð + ð∗ ∈ U(g) ⊗ ❈❧. ◆♦✇ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❝♦♠♣✉t❡

✷✳ ❙✐♥❝❡ ✷

✵ ✇❡ ❤❛✈❡

✷

✺ ✴ ✶✽

❚❤❡s❡ s♣❛❝❡s ❛r❡ ❝♦♠♣❛❝t ❑ä❤❧❡r ♠❛♥✐❢♦❧❞s✳ P✉t ❛♥ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ♦♥ Ω(✵,•)✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❉♦❧❜❡❛✉❧t✲❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦rs D = ¯ ∂ + ¯ ∂∗✳ ❈♦♥❝r❡t❡❧② ♣✐❝❦ ❞✉❛❧ ❜❛s❡s {vi}i ∈ u+ ❛♥❞ {wi}i ∈ u−✳ ❲❡ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ u+ ✇✐t❤ s♦♠❡ r♦♦t ✈❡❝t♦rs {Eξi}i ∈ g✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ð =

• ξi∈∆(u+)

Eξi ⊗ γ−(wi) ∈ U(g) ⊗ ❈❧. ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t ð = ¯ ∂∗✳ ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ D = ð + ð∗ ∈ U(g) ⊗ ❈❧. ◆♦✇ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❝♦♠♣✉t❡ D✷✳ ❙✐♥❝❡ ¯ ∂✷ = ✵ ✇❡ ❤❛✈❡ D✷ = ðð∗ + ð∗ð.

✺ ✴ ✶✽

❊①♣❧✐❝✐t❡❧② ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ D✷ =

• i,j

EξiFξj ⊗ γ−(wi)γ+(vj) +

• i,j

FξiEξj ⊗ γ+(vi)γ−(wj). ❈❛♥ ❢♦r❣❡t ❛❜♦✉t t❡r♠s ✐♥ ❈❧✱ s✐♥❝❡ t❤❡s❡ ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ♦♣❡r❛t♦rs✳ ❲r✐t❡ ✐❢ ✇✐t❤ ❈❧✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❣❡t

✷

◆❡①t ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ r❡❧❛t✐♦♥s ✶ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛r❡ ✉s✐♥❣ ❞✉❛❧ ❜❛s❡s ✇❡ ❤❛✈❡ ✳ ❍❡♥❝❡

✷

✶

✻ ✴ ✶✽

❊①♣❧✐❝✐t❡❧② ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ D✷ =

• i,j

EξiFξj ⊗ γ−(wi)γ+(vj) +

• i,j

FξiEξj ⊗ γ+(vi)γ−(wj). ❈❛♥ ❢♦r❣❡t ❛❜♦✉t t❡r♠s ✐♥ U(l) ⊗ ❈❧✱ s✐♥❝❡ t❤❡s❡ ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ♦♣❡r❛t♦rs✳ ❲r✐t❡ A ∼ B ✐❢ A − B = C ✇✐t❤ C ∈ U(l) ⊗ ❈❧✳ ❙✐♥❝❡ [u+, u−] ⊂ l ✇❡ ❣❡t D✷ ∼

• i,j

EξiFξj ⊗ (γ−(wi)γ+(vj) + γ+(vj)γ−(wi)). ◆❡①t ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ r❡❧❛t✐♦♥s ✶ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛r❡ ✉s✐♥❣ ❞✉❛❧ ❜❛s❡s ✇❡ ❤❛✈❡ ✳ ❍❡♥❝❡

✷

✶

✻ ✴ ✶✽

❊①♣❧✐❝✐t❡❧② ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ D✷ =

• i,j

EξiFξj ⊗ γ−(wi)γ+(vj) +

• i,j

FξiEξj ⊗ γ+(vi)γ−(wj). ❈❛♥ ❢♦r❣❡t ❛❜♦✉t t❡r♠s ✐♥ U(l) ⊗ ❈❧✱ s✐♥❝❡ t❤❡s❡ ❛r❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ♦♣❡r❛t♦rs✳ ❲r✐t❡ A ∼ B ✐❢ A − B = C ✇✐t❤ C ∈ U(l) ⊗ ❈❧✳ ❙✐♥❝❡ [u+, u−] ⊂ l ✇❡ ❣❡t D✷ ∼

• i,j

EξiFξj ⊗ (γ−(wi)γ+(vj) + γ+(vj)γ−(wi)). ◆❡①t ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ r❡❧❛t✐♦♥s γ−(w)γ+(v) + γ+(v)γ−(w) = w, v✶, w ∈ u−, v ∈ u+. ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛r❡ ✉s✐♥❣ ❞✉❛❧ ❜❛s❡s ✇❡ ❤❛✈❡ wi, vj = δij✳ ❍❡♥❝❡ D✷ ∼

• i

EξiFξi ⊗ ✶.

✻ ✴ ✶✽

❋✐♥❛❧❧② ✇❡ ❤❛✈❡ C ∼

i EξiFξi✱ ✇❤❡r❡ C ✐s t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❈❛s✐♠✐r ♦❢ g✳

❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✭s✐♠♣❧✐✜❡❞✮ P❛rt❤❛s❛r❛t❤② ❢♦r♠✉❧❛ D✷ ∼ C ⊗ ✶. ❚❤✐s ✐s t❤❡ ❦✐♥❞ ♦❢ r❡s✉❧t t❤❛t ✇❡ ❛r❡ ❛❢t❡r ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❛s❡✳ ❋✐rst ♦❢ ❛❧❧ ✇❡ ♥❡❡❞ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t str✉❝t✉r❡s ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ❤❡r❡ ✭♠♦st ♦❢ t❤❡s❡ ❛r❡ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥✮✳ ❚♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ s✐♠♣❧❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r

✷✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡✱ ✇❡ ♥❡❡❞✿ ✶ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✐③❡❞ ❡♥✈❡❧♦♣✐♥❣ ❛❧❣❡❜r❛

✱

✷ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ ❈❧ ✳

✼ ✴ ✶✽

❋✐♥❛❧❧② ✇❡ ❤❛✈❡ C ∼

i EξiFξi✱ ✇❤❡r❡ C ✐s t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❈❛s✐♠✐r ♦❢ g✳

❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✭s✐♠♣❧✐✜❡❞✮ P❛rt❤❛s❛r❛t❤② ❢♦r♠✉❧❛ D✷ ∼ C ⊗ ✶. ❚❤✐s ✐s t❤❡ ❦✐♥❞ ♦❢ r❡s✉❧t t❤❛t ✇❡ ❛r❡ ❛❢t❡r ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❛s❡✳ ❋✐rst ♦❢ ❛❧❧ ✇❡ ♥❡❡❞ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ q✉❛♥t✉♠ ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t str✉❝t✉r❡s ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ❤❡r❡ ✭♠♦st ♦❢ t❤❡s❡ ❛r❡ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥✮✳ ❚♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ s✐♠♣❧❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r D✷✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡✱ ✇❡ ♥❡❡❞✿

✶ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✐③❡❞ ❡♥✈❡❧♦♣✐♥❣ ❛❧❣❡❜r❛ Uq(g)✱ ✷ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ ❈❧q✳

✼ ✴ ✶✽

U(g) Uq(g) ❍♦♣❢ ❛❧❣❡❜r❛ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥, ♠❛tr✐① ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ✐rr❡♣s Cq[G]. ❲❤❡♥ q ∈ C ✐s ♥♦t ❛ r♦♦t ♦❢ ✉♥✐t② t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② t❤❡ s❛♠❡✳ ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ Uq(l)✲♠♦❞✉❧❡ u+✳ ❚❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ✲♠♦❞✉❧❡s ✐s ❜r❛✐❞❡❞✱ s♦ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠s ■♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡ t❤✐s ✐s s✐♠♣❧② t❤❡ ✢✐♣ ♠❛♣✳ ❬❇❡r❡♥st❡✐♥✱ ❩✇✐❝❦♥❛❣❧ ✭✵✺✮❪ ❞❡✜♥❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡①t❡r✐♦r ❛❧❣❡❜r❛ ❜② ❦❡r ✐❞ ❦❡r ✐❞ s♣❛♥ ♦❢ ❡✐❣❡♥s♣❛❝❡s ♦❢ ✇✐t❤ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐s ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♦♥❡ ✭❜✉t ♥♦t ❤❡r❡✮✳

✽ ✴ ✶✽

U(g) Uq(g) ❍♦♣❢ ❛❧❣❡❜r❛ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥, ♠❛tr✐① ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ✐rr❡♣s Cq[G]. ❲❤❡♥ q ∈ C ✐s ♥♦t ❛ r♦♦t ♦❢ ✉♥✐t② t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② t❤❡ s❛♠❡✳ ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ Uq(l)✲♠♦❞✉❧❡ u+✳ ❚❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ Uq(g)✲♠♦❞✉❧❡s ✐s ❜r❛✐❞❡❞✱ s♦ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠s

• RV ,W : V ⊗ W → W ⊗ V .

■♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡ t❤✐s ✐s s✐♠♣❧② t❤❡ ✢✐♣ ♠❛♣✳ ❬❇❡r❡♥st❡✐♥✱ ❩✇✐❝❦♥❛❣❧ ✭✵✺✮❪ ❞❡✜♥❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡①t❡r✐♦r ❛❧❣❡❜r❛ ❜② ❦❡r ✐❞ ❦❡r ✐❞ s♣❛♥ ♦❢ ❡✐❣❡♥s♣❛❝❡s ♦❢ ✇✐t❤ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐s ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♦♥❡ ✭❜✉t ♥♦t ❤❡r❡✮✳

✽ ✴ ✶✽

U(g) Uq(g) ❍♦♣❢ ❛❧❣❡❜r❛ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥, ♠❛tr✐① ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ✐rr❡♣s Cq[G]. ❲❤❡♥ q ∈ C ✐s ♥♦t ❛ r♦♦t ♦❢ ✉♥✐t② t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② t❤❡ s❛♠❡✳ ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ Uq(l)✲♠♦❞✉❧❡ u+✳ ❚❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ Uq(g)✲♠♦❞✉❧❡s ✐s ❜r❛✐❞❡❞✱ s♦ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠s

• RV ,W : V ⊗ W → W ⊗ V .

■♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡ t❤✐s ✐s s✐♠♣❧② t❤❡ ✢✐♣ ♠❛♣✳ ❬❇❡r❡♥st❡✐♥✱ ❩✇✐❝❦♥❛❣❧ ✭✵✺✮❪ ❞❡✜♥❡ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❡①t❡r✐♦r ❛❧❣❡❜r❛ ❜② Λq(V ) = T(V )/❦❡r(σV ,V − ✐❞). ❦❡r(σV ,V − ✐❞) = s♣❛♥ ♦❢ ❡✐❣❡♥s♣❛❝❡s ♦❢ RV ,V ✇✐t❤ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐s ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♦♥❡ ✭❜✉t ♥♦t ❤❡r❡✮✳

✽ ✴ ✶✽

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲✉s③t✐❣ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ q✉❛♥t✉♠ r♦♦t ✈❡❝t♦rs✱ ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡ ❛ P❇❲✲❜❛s✐s ♦❢ Uq(g)✳ ❲❤❛t ❛❜♦✉t t❤❡ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛❄ ❬❑rä❤♠❡r✱ ❚✉❝❦❡r✲❙✐♠♠♦♥s ✭✶✺✮❪ ❞❡✜♥❡ ❛ ❝❡rt❛✐♥ q✉❛♥t✉♠ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ ❈❧q ⊆ ❊♥❞(Λq(u+))✳ ❚❤❡♥ t❤❡② ❞❡✜♥❡ ❉♦❧❜❡❛✉❧t✲❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦rs D = ð + ð∗ ∈ Uq(g) ⊗ ❈❧q, ✇❤❡r❡ ð ∈ Uq(g) ⊗ ❈❧q ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ð =

• i

S−✶(Eξi) ⊗ γ−(wi). ❖♥❡ ♦❢ t❤❡✐r ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts ✐s t❤❛t

✷

✵ ✇❤❡♥ ✐s ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡✳ ❚❤❡♥

✷

✳ ❲❤❛t ❡❧s❡ ❝❛♥ ❜❡ s❛✐❞❄

✾ ✴ ✶✽

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲✉s③t✐❣ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ q✉❛♥t✉♠ r♦♦t ✈❡❝t♦rs✱ ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡ ❛ P❇❲✲❜❛s✐s ♦❢ Uq(g)✳ ❲❤❛t ❛❜♦✉t t❤❡ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛❄ ❬❑rä❤♠❡r✱ ❚✉❝❦❡r✲❙✐♠♠♦♥s ✭✶✺✮❪ ❞❡✜♥❡ ❛ ❝❡rt❛✐♥ q✉❛♥t✉♠ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ ❈❧q ⊆ ❊♥❞(Λq(u+))✳ ❚❤❡♥ t❤❡② ❞❡✜♥❡ ❉♦❧❜❡❛✉❧t✲❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦rs D = ð + ð∗ ∈ Uq(g) ⊗ ❈❧q, ✇❤❡r❡ ð ∈ Uq(g) ⊗ ❈❧q ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ð =

• i

S−✶(Eξi) ⊗ γ−(wi). ❖♥❡ ♦❢ t❤❡✐r ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts ✐s t❤❛t ð✷ = ✵ ✇❤❡♥ u+ ✐s ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡✳ ❚❤❡♥ D✷ = ðð∗ + ð∗ð✳ ❲❤❛t ❡❧s❡ ❝❛♥ ❜❡ s❛✐❞❄

✾ ✴ ✶✽

❚♦ ♣r♦❝❡❡❞ ✇❡ ♥❡❡❞ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ Uq(g)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ✐♥ t❤❡ ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡ ❝❛s❡✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ✇❤❡r❡ ❛♥❞ ❤t ❤t ✳ ❙✐♠✐❧❛r r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r

✶

✳ ❲♦r❞ ♦❢ ❝❛✉t✐♦♥✿ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❍❡r❡ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❛❝ts ❛❞❥♦✐♥t❧② ♦♥ t❤❡ t✇✐st❡❞ ❙❝❤✉❜❡rt ❝❡❧❧ ✐♥ t❤❡ ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡ ❝❛s❡ ❬❩✇✐❝❦♥❛❣❧ ✭✵✾✮❪✳

✶✵ ✴ ✶✽

❚♦ ♣r♦❝❡❡❞ ✇❡ ♥❡❡❞ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ Uq(g)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ξ, ξ′ ∈ ∆(u+) ✐♥ t❤❡ ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡ ❝❛s❡✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ EξE ∗

ξ′ − q−(ξ,ξ′)E ∗ ξ′Eξ ∼

• η,η′

cη,η′

ξ,ξ′ E ∗ η Eη′,

✇❤❡r❡ η, η′ ∈ ∆(u+) ❛♥❞ ❤t(η′) < ❤t(ξ)✳ ❙✐♠✐❧❛r r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r Ei = S−✶(Eξi)✳ ❲♦r❞ ♦❢ ❝❛✉t✐♦♥✿ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❍❡r❡ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t Uq(l) ❛❝ts ❛❞❥♦✐♥t❧② ♦♥ t❤❡ t✇✐st❡❞ ❙❝❤✉❜❡rt ❝❡❧❧ ✐♥ t❤❡ ❝♦♠✐♥✉s❝✉❧❡ ❝❛s❡ ❬❩✇✐❝❦♥❛❣❧ ✭✵✾✮❪✳

✶✵ ✴ ✶✽

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

✶ ❲❡ ❤❛✈❡ D✷ ∼ i,j EiE∗ j ⊗ Tij✱ ✇❤❡r❡ Tij ∈ ❈❧q ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

Tij = γ−(wi)γ−(wj)∗ +

• k,ℓ

bij

kℓγ−(wk)∗γ−(wℓ),

bij

kℓ ∈ C. ✷ ❙✉♣♣♦s❡ D✷ ∼ i Ci ⊗ Ti✱ ✇❤❡r❡ Ci ∈ Uq(g) ❛r❡ ❝❡♥tr❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts✳

❚❤❡♥ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡ Tij = ✵ ❢♦r i = j ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥✳ ❍❡♥❝❡ ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ♦❢ P❛rt❤❛s❛r❛t❤②✲t②♣❡ ✐s t♦ ❤❛✈❡ ❝❡rt❛✐♥ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ ❈❧q✳

✶✶ ✴ ✶✽

❙♦ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❢♦❝✉s ♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ ♣❛rt✳ ❍♦✇ ✐s ✐t ❞❡✜♥❡❞❄ ❈❧❛ss✐❝❛❧❧② ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ Λ(u−) ⊗ Λ(u+) ∼ = ❊♥❞(Λ(u+)). ❚❤❡ t✇♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛❝t ❜② ✐♥t❡r✐♦r ❛♥❞ ❡①t❡r✐♦r ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✳ ❑rä❤♠❡r ❛♥❞ ❚✉❝❦❡r✲❙✐♠♠♦♥s s❤♦✇ t❤❛t ❛❧s♦ ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❛s❡ ❊♥❞ ❚❤✐s ❞❡✜♥❡s t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ ❈❧ ❛❝t✐♥❣ ♦♥ ✳ ❚❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ ✐s ♦❜✈✐♦✉s✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞ ❢♦r ✇❡ ❤❛✈❡

✶✷ ✴ ✶✽

❙♦ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❢♦❝✉s ♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ ♣❛rt✳ ❍♦✇ ✐s ✐t ❞❡✜♥❡❞❄ ❈❧❛ss✐❝❛❧❧② ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ Λ(u−) ⊗ Λ(u+) ∼ = ❊♥❞(Λ(u+)). ❚❤❡ t✇♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛❝t ❜② ✐♥t❡r✐♦r ❛♥❞ ❡①t❡r✐♦r ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✳ ❑rä❤♠❡r ❛♥❞ ❚✉❝❦❡r✲❙✐♠♠♦♥s s❤♦✇ t❤❛t ❛❧s♦ ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❝❛s❡ Λq(u−) ⊗ Λq(u+) ∼ = ❊♥❞(Λq(u+)). ❚❤✐s ❞❡✜♥❡s t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛ ❈❧q ❛❝t✐♥❣ ♦♥ Λq(u+)✳ ❚❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ Λq(u+) ✐s ♦❜✈✐♦✉s✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞ ❢♦r Λq(u−) ✇❡ ❤❛✈❡ w, γ−(y)x = w ∧ y, x, y, w ∈ Λq(u−), x ∈ Λq(u+).

✶✷ ✴ ✶✽

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ ❛ ❝♦♥st❛♥t Uq(l)✲✐♥✈❛r✐❛♥t ♣❛✐r✐♥❣ ·, · : u− ⊗ u+ → C✳ ❍♦✇ t♦ ❡①t❡♥❞ t♦ ❡①t❡r✐♦r ❛❧❣❡❜r❛s❄ ❈❛♥ ♥❛t✉r❛❧❧② ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛ ♣❛✐r✐♥❣ ♦❢ t❡♥s♦r ❛❧❣❡❜r❛s ❜② yk ⊗ · · · ⊗ y✶, x✶ ⊗ · · · ⊗ xkT = y✶, x✶ · · · yk, xk. ❖♥❡ ❝❛♥ ✐❞❡♥t✐❢② Λq(u±) ✇✐t❤ ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ T(u±) ✈✐❛ s♦♠❡ ♠❛♣s π± ❬❈❤✐r✈❛s✐t✉✱ ❚✉❝❦❡r✲❙✐♠♠♦♥s ✭✶✹✮❪✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ♣❛✐r✐♥❣ y, xΛ = π−✶

− (y), π−✶ + (x)T,

y ∈ Λq(u−), x ∈ Λq(u+). ■♥ ❡❛❝❤ ❞❡❣r❡❡ ✇❡ ❝❛♥ r❡s❝❛❧❡ t❤❡ ♣❛✐r✐♥❣ ❜② ❛ ❝♦♥st❛♥t✳ ❈❧❛ss✐❝❛❧❧② ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ r❡s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ k! ✐♥ ❞❡❣r❡❡ k ✭❢r♦♠ ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐③❛t✐♦♥✮✳

✶✸ ✴ ✶✽

■♥❞❡❡❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧❧② ❛ ♥❛t✉r❛❧ ♣❛✐r✐♥❣ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t yk ∧ · · · ∧ y✶, x✶ ∧ · · · ∧ xk = ❞❡t    y✶, x✶ · · · y✶, xk ✳ ✳ ✳ ✳✳✳ ✳ ✳ ✳ yk, x✶ · · · yk, xk    . ❍♦✇❡✈❡r t❤✐s ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ ✐❢ ✇❡ ✇❛♥t Uq(l)✲✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✳ ❚❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✐s ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❢♦r t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝ts✳ ❙✉♠♠❛r✐③✐♥❣ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts✿ ♣❛✐r✐♥❣s {λk}N

k=✶,

✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝ts {λ′

k}N k=✶.

❋♦r t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ D✷ t❤❡s❡ ♥✉♠❜❡rs ♦♥❧② ❛♣♣❡❛r ✐♥ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ck = |λk|✷/λ′

k✱ s✐♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❡①♣r❡ss✐♦♥s✳

✶✹ ✴ ✶✽

❲❤❛t ❛❜♦✉t ❡①❛♠♣❧❡s❄ ❚❤❡ ❡❛s✐❡st ❝❧❛ss ✐s t❤❛t ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ s♣❛❝❡s✳ ▲❡t ✉s ✇r✐t❡ D✷ = D✷

D + D✷ O ❢♦r ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❛♥❞ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ♣❛rts✳

▲❡♠♠❛ ❲❡ ❤❛✈❡ D✷

O ∼ ✵ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ck+✶ ck

=

ck ck−✶ q−✷✳

❚❤❡ ♥❛✐✈❡ ❝❤♦✐❝❡ ck = ✶ ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡✱ ✉♥❧✐❦❡ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❙✉♣♣♦s❡ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡ t❤❛t

✵ ✶✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ✷

✶✳ ❍❡r❡ ✐s ❛ ❝❡♥tr❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t ❤❛s ❝♦♠♣❛❝t r❡s♦❧✈❡♥t✳ ❚❤✐s r❡♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❬❉✬❆♥❞r❡❛✱ ❉❛❜r♦✇s❦✐ ✭✶✵✮❪✳

✶✺ ✴ ✶✽

❲❤❛t ❛❜♦✉t ❡①❛♠♣❧❡s❄ ❚❤❡ ❡❛s✐❡st ❝❧❛ss ✐s t❤❛t ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ s♣❛❝❡s✳ ▲❡t ✉s ✇r✐t❡ D✷ = D✷

D + D✷ O ❢♦r ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❛♥❞ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ♣❛rts✳

▲❡♠♠❛ ❲❡ ❤❛✈❡ D✷

O ∼ ✵ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ck+✶ ck

=

ck ck−✶ q−✷✳

❚❤❡ ♥❛✐✈❡ ❝❤♦✐❝❡ ck = ✶ ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡✱ ✉♥❧✐❦❡ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❙✉♣♣♦s❡ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡ t❤❛t c✵ = c✶✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ D✷ ∼ Cq ⊗ ✶✳ ❍❡r❡ Cq ✐s ❛ ❝❡♥tr❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ Uq(g)✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ Cq ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t D ❤❛s ❝♦♠♣❛❝t r❡s♦❧✈❡♥t✳ ❚❤✐s r❡♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❬❉✬❆♥❞r❡❛✱ ❉❛❜r♦✇s❦✐ ✭✶✵✮❪✳

✶✺ ✴ ✶✽

❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ t❤❛♥ ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ ❢♦r ❡①t❡r✐♦r ❛♥❞ ✐♥t❡r✐♦r ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ eiii + iiei − q(q − q−✶)

i−✶

• j=✶

ejij = ✶. ❚❤❡ ❡①tr❛ t❡r♠s ✈❛♥✐s❤ ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝❛s❡ q → ✶✳ ❈❧❡❛r❧② t❤❡✐r ♣r❡s❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ tr❛❝❡❞ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ ❜r❛✐❞✐♥❣✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ❣✐✈❡s ˆ R(ei ⊗ ej) = ej ⊗ ei + (q − q−✶)ei ⊗ ej, i < j. ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ q✉❛♥t✉♠ r♦♦t ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ❛❧s♦ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❇✉t t❤❡② t❛❦❡ ❡①❛❝t❧② t❤❡ r✐❣❤t ❢♦r♠ t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ✇✐t❤ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❛❜♦✈❡ t♦ ❣✐✈❡ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ D✷ ∼ Cq ⊗ ✶✳

✶✻ ✴ ✶✽

❉♦❡s t❤✐s ❤♦❧❞ ❢♦r ❛❧❧ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✢❛❣ ♠❛♥✐❢♦❧❞s❄ ▲♦♦❦ ❢♦r ❛ ❧♦✇✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦✉♥t❡r✲❡①❛♠♣❧❡✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r C✷ = sp(✹) ❛♥❞ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ❧♦♥❣ r♦♦t α✷✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ∆(l) = {±α✶}, ∆(u+) = {α✷, α✶ + α✷, ✷α✶ + α✷}. ❍❡♥❝❡ t❤❡ s❡♠✐s✐♠♣❧❡ ♣❛rt ♦❢ l ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ sl(✷) ❛♥❞ u+ ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❥♦✐♥t ♠♦❞✉❧❡ ♦❢ sl(✷)✳ ▲♦♥❣ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s s❤♦✇ t❤❛t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❣❡t ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ♦❢ P❛rt❤❛s❛r❛t❤②✲t②♣❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ r❡❣❛r❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♣❛❝t r❡s♦❧✈❡♥t ♦❢ r❡♠❛✐♥s ♦♣❡♥ ❤❡r❡✳

✶✼ ✴ ✶✽

❉♦❡s t❤✐s ❤♦❧❞ ❢♦r ❛❧❧ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✢❛❣ ♠❛♥✐❢♦❧❞s❄ ▲♦♦❦ ❢♦r ❛ ❧♦✇✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦✉♥t❡r✲❡①❛♠♣❧❡✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r C✷ = sp(✹) ❛♥❞ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ❧♦♥❣ r♦♦t α✷✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ∆(l) = {±α✶}, ∆(u+) = {α✷, α✶ + α✷, ✷α✶ + α✷}. ❍❡♥❝❡ t❤❡ s❡♠✐s✐♠♣❧❡ ♣❛rt ♦❢ l ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ sl(✷) ❛♥❞ u+ ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❥♦✐♥t ♠♦❞✉❧❡ ♦❢ sl(✷)✳ ▲♦♥❣ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s s❤♦✇ t❤❛t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ γ−(wi)γ−(wj)∗ = −

• k,ℓ

bkℓ

ij γ−(wk)∗γ−(wℓ),

i = j. ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❣❡t ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ♦❢ P❛rt❤❛s❛r❛t❤②✲t②♣❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ r❡❣❛r❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♣❛❝t r❡s♦❧✈❡♥t ♦❢ D r❡♠❛✐♥s ♦♣❡♥ ❤❡r❡✳

✶✼ ✴ ✶✽

❙♦ ✇❤❛t ❣♦❡s ✇r♦♥❣❄ ◆♦t ❝❧❡❛r✦ ❋♦r ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ s♣❛❝❡s l = sl(N) ✭s❡♠✐s✐♠♣❧❡ ♣❛rt✮ ❛♥❞ u+ ✐s t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❍❡❝❦❡ r❡❧❛t✐♦♥ ( ˆ R − q)( ˆ R + q−✶) = ✵. ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❛❞❥♦✐♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ q✉❛❞r❛t✐❝ r❡❧❛t✐♦♥ ❢♦r ˆ R✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r t❤❡r❡ ✐s ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✳ P♦♦r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ✧q✉❛❞r❛t✐❝✧ ❈❛s✐♠✐rs ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳ ❍✐❣❤❡r ♦r❞❡r t❡r♠s ✐♥ t❤❡ ❉♦❧❜❡❛✉❧t✲❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦rs❄

✶✽ ✴ ✶✽