t P - PowerPoint PPT Presentation

❖♥ t❤❡ ❘✐♥❣✲▲❲❊ ❛♥❞ P♦❧②♥♦♠✐❛❧✲▲❲❊ ♣r♦❜❧❡♠s ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❉❛♠✐❡♥ ❙t❡❤❧é ❆❧❡①❛♥❞r❡ ❲❛❧❧❡t ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶ ✴ ✶✹

▲❛tt✐❝❡s ❛♥❞ ❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠s ▲❛tt✐❝❡ ▲❡t b 1 , b 2 , . . . , b n ∈ R n ❜❡ s♦♠❡ ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❡❝t♦rs✳ ❚❤❡ s❡t L ( ❇ ) = { x 1 b 1 + x 2 b 2 + · · · + x n b n : x i ∈ Z } = ❇ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡♠✳ ❆♣♣r♦① ❙❱P γ ❋✐♥❞ ❛ ♥♦♥③❡r♦ x ∈ Z n s✳t✳ || ❇ · x || < γ · min( || ❇ · y || : y ∈ Z n ) ✳ ✯ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ✜❣✉r❡s ❜♦rr♦✇❡❞ ❢r♦♠ ❆✳ ❲❛❧❧❡t ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✷ ✴ ✶✹

❡✣❝✐❡♥❝②❄ ▲❡❛r♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❊rr♦rs ✿ ❙❡❛r❝❤ ✿ ❋✐♥❞ s ✳ ❉❡❝✐s✐♦♥ ✿ ❉✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤✐s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ♦♥❡✳ ❍♦✇ t♦ ✉s❡ ❧❛tt✐❝❡s ❢♦r ❝r②♣t♦❄ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✸ ✴ ✶✹

❡✣❝✐❡♥❝②❄ ❍♦✇ t♦ ✉s❡ ❧❛tt✐❝❡s ❢♦r ❝r②♣t♦❄ ▲❡❛r♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❊rr♦rs ✿ ❙❡❛r❝❤ ✿ ❋✐♥❞ s ✳ ❉❡❝✐s✐♦♥ ✿ ❉✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤✐s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ♦♥❡✳ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✸ ✴ ✶✹

❍♦✇ t♦ ✉s❡ ❧❛tt✐❝❡s ❢♦r ❝r②♣t♦❄ ❡✣❝✐❡♥❝②❄ ▲❡❛r♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❊rr♦rs ✿ ❙❡❛r❝❤ ✿ ❋✐♥❞ s ✳ ❉❡❝✐s✐♦♥ ✿ ❉✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤✐s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ♦♥❡✳ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✸ ✴ ✶✹

✜❡❧❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✿ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✿ ❙♣❛♥ ♦✉t♣✉t r✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ♦❢ ✱ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ ❘▲❲❊ ❘▲❲❊ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♠♦❞ ♠♦❞ ▼♦r❡ str✉❝t✉r❡✿ P▲❲❊✱ ❘▲❲❊✱ ❘▲❲❊ ∨ ❬❙❙❚❳✵✾❪✱❬▲P❘✶✵❪ f ♠♦♥✐❝✱ ❞❡❣✳ n ✱ ✐rr❡❞✳ R := Z [ x ] /f P▲❲❊ s ∈ R q := R/qR B s, Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ a ← ֓ U ( R q ) e ← ֓ D Σ ( a, b = a · s + e ♠♦❞ qR ) ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✶✹

❘▲❲❊ ❘▲❲❊ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♠♦❞ ♠♦❞ ▼♦r❡ str✉❝t✉r❡✿ P▲❲❊✱ ❘▲❲❊✱ ❘▲❲❊ ∨ ❬❙❙❚❳✵✾❪✱❬▲P❘✶✵❪ K := Q [ x ] /f n ✜❡❧❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✿ σ j ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✿ σ ( a ) = ( σ 1 ( a ) , . . . , σ n ( a )) H = { ( v 1 , . . . , v n ) ∈ R s 1 × C 2 s 2 : v i + s 1 + s 2 = v i + s 1 } f ♠♦♥✐❝✱ ❞❡❣✳ n ✱ ✐rr❡❞✳ H = ❙♣❛♥ { h i } i R := Z [ x ] /f � x ← ֓ D Σ D H Σ : ♦✉t♣✉t � x i · h i O K r✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ♦❢ K ✱ O ∨ K t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ O K P▲❲❊ s ∈ R q := R/qR B s, Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ a ← ֓ U ( R q ) e ← ֓ D Σ ( a, b = a · s + e ♠♦❞ qR ) ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✶✹

▼♦r❡ str✉❝t✉r❡✿ P▲❲❊✱ ❘▲❲❊✱ ❘▲❲❊ ∨ ❬❙❙❚❳✵✾❪✱❬▲P❘✶✵❪ K := Q [ x ] /f n ✜❡❧❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✿ σ j ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✿ σ ( a ) = ( σ 1 ( a ) , . . . , σ n ( a )) H = { ( v 1 , . . . , v n ) ∈ R s 1 × C 2 s 2 : v i + s 1 + s 2 = v i + s 1 } f ♠♦♥✐❝✱ ❞❡❣✳ n ✱ ✐rr❡❞✳ H = ❙♣❛♥ { h i } i R := Z [ x ] /f � x ← ֓ D Σ D H Σ : ♦✉t♣✉t � x i · h i O K r✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ♦❢ K ✱ O ∨ K t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ O K ❘▲❲❊ ∨ P▲❲❊ ❘▲❲❊ s ∈ O ∨ K,q := O ∨ K /q O ∨ s ∈ O K,q := O K /q O K s ∈ R q := R/qR K A ∨ B s, Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ A s, Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ s, Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ a ← ֓ U ( R q ) a ← ֓ U ( O K,q ) a ← ֓ U ( O K,q ) ֓ D H ֓ D H e ← ֓ D Σ e ← e ← Σ Σ ( a, b = a · s + e ♠♦❞ q O ∨ ( a, b = a · s + e ♠♦❞ qR ) ( a, b = a · s + e ♠♦❞ q O K ) K ) ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✶✹

❙t❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❛rt ❛♥❞ ❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ❆♣♣r♦①❙■❱P ❆♣♣r♦①❙❱P ✭ O K ✲♠♦❞✉❧❡s✮ ✭ O K ✲✐❞❡❛❧s✮ ❬▲❙✶✺❪ ❬P❘❙✶✼❪ ❬❆❉✶✼❪ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊ ∨ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊ ∨ ▼♦❞✉❧❡✲▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ P▲❲❊ s❡❛r❝❤ P▲❲❊ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ❞❡❝✐s✐♦♥ s❡❛r❝❤ ▼P▲❲❊ ▼P▲❲❊ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✺ ✴ ✶✹

❙t❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❛rt ❛♥❞ ❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ❆♣♣r♦①❙■❱P ❆♣♣r♦①❙❱P ✭ O K ✲♠♦❞✉❧❡s✮ ✭ O K ✲✐❞❡❛❧s✮ ❬▲❙✶✺❪ ❬P❘❙✶✼❪ ❬❆❉✶✼❪ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊ ∨ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊ ∨ ▼♦❞✉❧❡✲▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ P▲❲❊ s❡❛r❝❤ P▲❲❊ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ❞❡❝✐s✐♦♥ s❡❛r❝❤ ▼P▲❲❊ ▼P▲❲❊ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✺ ✴ ✶✹

t♦ ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ■❢ ✉♥✐❢♦r♠✿ ■❢ ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ✱ ❞✐❛❣ ❞✐❛❣ ❍♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s ❄ ❉♦❡s s✉❝❤ ❛ ❡①✐st❄ ❋r♦♠ ❘▲❲❊ ∨ t♦ ❘▲❲❊ K ) − 1 s✉❝❤ t❤❛t [ × t ] : O ∨ ❆ss✉♠❡ ∃ t ∈ ( O ∨ K,q ≃ O K,q ✳ θ t : O K,q × O ∨ − → O K,q × O K,q K,q ( a, b ) ( a, t b mod q ) �− → ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✹

❍♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s ❄ ❉♦❡s s✉❝❤ ❛ ❡①✐st❄ ❋r♦♠ ❘▲❲❊ ∨ t♦ ❘▲❲❊ K ) − 1 s✉❝❤ t❤❛t [ × t ] : O ∨ ❆ss✉♠❡ ∃ t ∈ ( O ∨ K,q ≃ O K,q ✳ θ t : O K,q × O ∨ − → O K,q × O K,q K,q ( a, b ) ( a, t b mod q ) �− → A ∨ s, Σ t♦ A s ′ , Σ ′ ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ֓ A ∨ ■❢ ( a, b ) ← ֓ ✉♥✐❢♦r♠✿ ■❢ ( a, b ) ← s, Σ ✿ ( a, t b ) ✉♥✐❢♦r♠ ֓ D H t b = a ( t s ) + t e ✱ t e ← Σ ′ Σ ′ = ❞✐❛❣ [ | σ i ( t ) | ] · Σ · ❞✐❛❣ [ | σ i ( t ) | ] ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✹

❍♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s ❄ ❋r♦♠ ❘▲❲❊ ∨ t♦ ❘▲❲❊ K ) − 1 s✉❝❤ t❤❛t [ × t ] : O ∨ ❆ss✉♠❡ ∃ t ∈ ( O ∨ K,q ≃ O K,q ✳ θ t : O K,q × O ∨ − → O K,q × O K,q K,q ( a, b ) ( a, t b mod q ) �− → A ∨ s, Σ t♦ A s ′ , Σ ′ ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ֓ A ∨ ■❢ ( a, b ) ← ֓ ✉♥✐❢♦r♠✿ ■❢ ( a, b ) ← s, Σ ✿ ( a, t b ) ✉♥✐❢♦r♠ ֓ D H t b = a ( t s ) + t e ✱ t e ← Σ ′ Σ ′ = ❞✐❛❣ [ | σ i ( t ) | ] · Σ · ❞✐❛❣ [ | σ i ( t ) | ] ❉♦❡s s✉❝❤ ❛ t ❡①✐st❄ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✹

❋r♦♠ ❘▲❲❊ ∨ t♦ ❘▲❲❊ K ) − 1 s✉❝❤ t❤❛t [ × t ] : O ∨ ❆ss✉♠❡ ∃ t ∈ ( O ∨ K,q ≃ O K,q ✳ θ t : O K,q × O ∨ − → O K,q × O K,q K,q ( a, b ) ( a, t b mod q ) �− → A ∨ s, Σ t♦ A s ′ , Σ ′ ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ֓ A ∨ ■❢ ( a, b ) ← ֓ ✉♥✐❢♦r♠✿ ■❢ ( a, b ) ← s, Σ ✿ ( a, t b ) ✉♥✐❢♦r♠ ֓ D H t b = a ( t s ) + t e ✱ t e ← Σ ′ Σ ′ = ❞✐❛❣ [ | σ i ( t ) | ] · Σ · ❞✐❛❣ [ | σ i ( t ) | ] ❍♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s t e ❄ ❉♦❡s s✉❝❤ ❛ t ❡①✐st❄ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✹