t P - - PowerPoint PPT Presentation

❖♥ t❤❡ ❘✐♥❣✲▲❲❊ ❛♥❞ P♦❧②♥♦♠✐❛❧✲▲❲❊ ♣r♦❜❧❡♠s

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❉❛♠✐❡♥ ❙t❡❤❧é ❆❧❡①❛♥❞r❡ ❲❛❧❧❡t ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽

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▲❛tt✐❝❡s ❛♥❞ ❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠s

▲❛tt✐❝❡

▲❡t b1, b2, . . . , bn ∈ Rn ❜❡ s♦♠❡ ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❡❝t♦rs✳ ❚❤❡ s❡t L(❇) = {x1b1+x2b2+· · ·+xnbn : xi ∈ Z} = ❇ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡♠✳

❆♣♣r♦① ❙❱Pγ

❋✐♥❞ ❛ ♥♦♥③❡r♦ x ∈ Zn s✳t✳ ||❇ · x|| < γ · min(||❇ · y|| : y ∈ Zn)✳ ✯ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ✜❣✉r❡s ❜♦rr♦✇❡❞ ❢r♦♠ ❆✳ ❲❛❧❧❡t

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✷ ✴ ✶✹

❍♦✇ t♦ ✉s❡ ❧❛tt✐❝❡s ❢♦r ❝r②♣t♦❄

❡✣❝✐❡♥❝②❄

▲❡❛r♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❊rr♦rs✿ ❙❡❛r❝❤✿ ❋✐♥❞ s✳ ❉❡❝✐s✐♦♥✿ ❉✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤✐s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ♦♥❡✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✸ ✴ ✶✹

❍♦✇ t♦ ✉s❡ ❧❛tt✐❝❡s ❢♦r ❝r②♣t♦❄

❡✣❝✐❡♥❝②❄

▲❡❛r♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❊rr♦rs✿ ❙❡❛r❝❤✿ ❋✐♥❞ s✳ ❉❡❝✐s✐♦♥✿ ❉✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤✐s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ♦♥❡✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✸ ✴ ✶✹

❍♦✇ t♦ ✉s❡ ❧❛tt✐❝❡s ❢♦r ❝r②♣t♦❄

❡✣❝✐❡♥❝②❄

▲❡❛r♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❊rr♦rs✿ ❙❡❛r❝❤✿ ❋✐♥❞ s✳ ❉❡❝✐s✐♦♥✿ ❉✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤✐s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ♦♥❡✳

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▼♦r❡ str✉❝t✉r❡✿ P▲❲❊✱ ❘▲❲❊✱ ❘▲❲❊∨ ❬❙❙❚❳✵✾❪✱❬▲P❘✶✵❪

f ♠♦♥✐❝✱ ❞❡❣✳ n✱ ✐rr❡❞✳ R := Z[x]/f ✜❡❧❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✿ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✿ ❙♣❛♥ ♦✉t♣✉t r✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ♦❢ ✱ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢

P▲❲❊ ❘▲❲❊ ❘▲❲❊ s ∈ Rq := R/qR

Bs,Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

a ← ֓ U(Rq) e ← ֓ DΣ (a, b = a · s + e ♠♦❞ qR)

❞✐str✐❜✉t✐♦♥

♠♦❞

❞✐str✐❜✉t✐♦♥

♠♦❞

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✶✹

▼♦r❡ str✉❝t✉r❡✿ P▲❲❊✱ ❘▲❲❊✱ ❘▲❲❊∨ ❬❙❙❚❳✵✾❪✱❬▲P❘✶✵❪

f ♠♦♥✐❝✱ ❞❡❣✳ n✱ ✐rr❡❞✳ R := Z[x]/f K := Q[x]/f n ✜❡❧❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✿ σj ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✿ σ(a) = (σ1(a), . . . , σn(a)) H = {(v1, . . . , vn) ∈ Rs1 × C2s2 : vi+s1+s2 = vi+s1} H = ❙♣❛♥{hi}i DH

Σ :

• x ←

֓ DΣ ♦✉t♣✉t xi · hi OK r✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ♦❢ K✱ O∨

K t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ OK

P▲❲❊ ❘▲❲❊ ❘▲❲❊ s ∈ Rq := R/qR

Bs,Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

a ← ֓ U(Rq) e ← ֓ DΣ (a, b = a · s + e ♠♦❞ qR)

❞✐str✐❜✉t✐♦♥

♠♦❞

❞✐str✐❜✉t✐♦♥

♠♦❞

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✶✹

▼♦r❡ str✉❝t✉r❡✿ P▲❲❊✱ ❘▲❲❊✱ ❘▲❲❊∨ ❬❙❙❚❳✵✾❪✱❬▲P❘✶✵❪

f ♠♦♥✐❝✱ ❞❡❣✳ n✱ ✐rr❡❞✳ R := Z[x]/f K := Q[x]/f n ✜❡❧❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✿ σj ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✿ σ(a) = (σ1(a), . . . , σn(a)) H = {(v1, . . . , vn) ∈ Rs1 × C2s2 : vi+s1+s2 = vi+s1} H = ❙♣❛♥{hi}i DH

Σ :

• x ←

֓ DΣ ♦✉t♣✉t xi · hi OK r✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ♦❢ K✱ O∨

K t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ OK

P▲❲❊ ❘▲❲❊ ❘▲❲❊∨ s ∈ Rq := R/qR s ∈ OK,q := OK/qOK s ∈ O∨

K,q := O∨ K/qO∨ K

Bs,Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

a ← ֓ U(Rq) e ← ֓ DΣ (a, b = a · s + e ♠♦❞ qR)

As,Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

a ← ֓ U(OK,q) e ← ֓ DH

Σ

(a, b = a · s + e ♠♦❞ qOK)

A∨

s,Σ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

a ← ֓ U(OK,q) e ← ֓ DH

Σ

(a, b = a · s + e ♠♦❞ qO∨

K)

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✹ ✴ ✶✹

❙t❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❛rt ❛♥❞ ❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s

❬▲❙✶✺❪ ❬❆❉✶✼❪ ❆♣♣r♦①❙❱P ✭OK✲✐❞❡❛❧s✮ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊∨ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ P▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ ▼P▲❲❊ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊∨ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊ s❡❛r❝❤ P▲❲❊ s❡❛r❝❤ ▼P▲❲❊ ❆♣♣r♦①❙■❱P ✭OK✲♠♦❞✉❧❡s✮ ❞❡❝✐s✐♦♥ ▼♦❞✉❧❡✲▲❲❊ ❬P❘❙✶✼❪ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✺ ✴ ✶✹

❙t❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❛rt ❛♥❞ ❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s

❬▲❙✶✺❪ ❬❆❉✶✼❪ ❆♣♣r♦①❙❱P ✭OK✲✐❞❡❛❧s✮ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊∨ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ P▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ ▼P▲❲❊ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊∨ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊ s❡❛r❝❤ P▲❲❊ s❡❛r❝❤ ▼P▲❲❊ ❆♣♣r♦①❙■❱P ✭OK✲♠♦❞✉❧❡s✮ ❞❡❝✐s✐♦♥ ▼♦❞✉❧❡✲▲❲❊ ❬P❘❙✶✼❪ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✺ ✴ ✶✹

❋r♦♠ ❘▲❲❊∨ t♦ ❘▲❲❊

❆ss✉♠❡ ∃ t ∈ (O∨

K)−1 s✉❝❤ t❤❛t [×t] : O∨ K,q ≃ OK,q✳

θt : OK,q × O∨

K,q

− → OK,q × OK,q (a, b) − → (a, tb mod q)

t♦ ■❢ ✿ ✱

❞✐❛❣ ❞✐❛❣

✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ■❢ ✉♥✐❢♦r♠✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❉♦❡s s✉❝❤ ❛ ❡①✐st❄ ❍♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s ❄

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✹

❋r♦♠ ❘▲❲❊∨ t♦ ❘▲❲❊

❆ss✉♠❡ ∃ t ∈ (O∨

K)−1 s✉❝❤ t❤❛t [×t] : O∨ K,q ≃ OK,q✳

θt : OK,q × O∨

K,q

− → OK,q × OK,q (a, b) − → (a, tb mod q)

A∨

s,Σ t♦ As′,Σ′

■❢ (a, b) ← ֓ A∨

s,Σ✿

tb = a(ts) + te✱ te ← ֓ DH

Σ′

Σ′ = ❞✐❛❣ [ |σi(t)| ] · Σ· ❞✐❛❣ [ |σi(t)| ] ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ■❢ (a, b) ← ֓ ✉♥✐❢♦r♠✿ (a, tb) ✉♥✐❢♦r♠ ❉♦❡s s✉❝❤ ❛ ❡①✐st❄ ❍♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s ❄

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✹

❋r♦♠ ❘▲❲❊∨ t♦ ❘▲❲❊

❆ss✉♠❡ ∃ t ∈ (O∨

K)−1 s✉❝❤ t❤❛t [×t] : O∨ K,q ≃ OK,q✳

θt : OK,q × O∨

K,q

− → OK,q × OK,q (a, b) − → (a, tb mod q)

A∨

s,Σ t♦ As′,Σ′

■❢ (a, b) ← ֓ A∨

s,Σ✿

tb = a(ts) + te✱ te ← ֓ DH

Σ′

Σ′ = ❞✐❛❣ [ |σi(t)| ] · Σ· ❞✐❛❣ [ |σi(t)| ] ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ■❢ (a, b) ← ֓ ✉♥✐❢♦r♠✿ (a, tb) ✉♥✐❢♦r♠ ❉♦❡s s✉❝❤ ❛ t ❡①✐st❄ ❍♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s ❄

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✹

❋r♦♠ ❘▲❲❊∨ t♦ ❘▲❲❊

❆ss✉♠❡ ∃ t ∈ (O∨

K)−1 s✉❝❤ t❤❛t [×t] : O∨ K,q ≃ OK,q✳

θt : OK,q × O∨

K,q

− → OK,q × OK,q (a, b) − → (a, tb mod q)

A∨

s,Σ t♦ As′,Σ′

■❢ (a, b) ← ֓ A∨

s,Σ✿

tb = a(ts) + te✱ te ← ֓ DH

Σ′

Σ′ = ❞✐❛❣ [ |σi(t)| ] · Σ· ❞✐❛❣ [ |σi(t)| ] ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ■❢ (a, b) ← ֓ ✉♥✐❢♦r♠✿ (a, tb) ✉♥✐❢♦r♠ ❉♦❡s s✉❝❤ ❛ t ❡①✐st❄ ❍♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s te❄

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✻ ✴ ✶✹

❈♦♥tr♦❧ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t

❬▲P❘✶✵❪

❈♦♠♣✉t❡ t ✐♥ poly(n)✲t✐♠❡ ✉s✐♥❣ ❈❘❚✳ ✓ ❊①✐st❡♥❝❡ ✕ ❙✐③❡

◆❡✇ r❡s✉❧t

❇② ●❛✉ss✐❛♥ s❛♠♣❧✐♥❣ ♦♥ ✱ ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ✇✐t❤ s♠❛❧❧ ✳✶ ❊①✐st❡♥❝❡ ❙✐③❡ ■❞❡❛✿ s❤♦✇ t❤❛t s❤♦rt ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ♥♦t ❛❧❧ tr❛♣♣❡❞ ✐♥ ❢♦r ❛ ❞✐✈✐s♦r ♦❢ ✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✼ ✴ ✶✹

❈♦♥tr♦❧ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t

❬▲P❘✶✵❪

❈♦♠♣✉t❡ t ✐♥ poly(n)✲t✐♠❡ ✉s✐♥❣ ❈❘❚✳ ✓ ❊①✐st❡♥❝❡ ✕ ❙✐③❡

◆❡✇ r❡s✉❧t

❇② ●❛✉ss✐❛♥ s❛♠♣❧✐♥❣ ♦♥ (O∨

K)−1✱

✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ t ✇✐t❤ s♠❛❧❧ σ(t)✳✶ ✓ ❊①✐st❡♥❝❡ ✓ ❙✐③❡ ■❞❡❛✿ s❤♦✇ t❤❛t s❤♦rt ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ♥♦t ❛❧❧ tr❛♣♣❡❞ ✐♥ (O∨

K)−1 · J ❢♦r J ❛ ❞✐✈✐s♦r ♦❢ (q)✳

✶■t r❡q✉✐r❡s ❛❞✈✐❝❡ ♦♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✼ ✴ ✶✹

❋r♦♠ ❘▲❲❊ t♦ P▲❲❊

◆❡✇ r❡s✉❧t

❲❡ ❝❛♥ ✜♥❞ t ✐♥ t❤❡ ❝♦♥❞✉❝t♦r ✐❞❡❛❧ CR := {t ∈ K : tOK ⊂ R} s✳t✳ [×t] : OK,q ≃ Rq ❛♥❞ σ(t) ✐s s♠❛❧❧✳

R

✓

• ?

OK

• CR
• ✓
• ■❢ CR ❝♦♣r✐♠❡ t♦ qOK t❤❡♥

OK,q ≃ CR/qCR ≃ Rq✳ t♦ ■❢ ✿ ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ■❢ ✉♥✐❢♦r♠✿ ✉♥✐❢♦r♠

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✽ ✴ ✶✹

❋r♦♠ ❘▲❲❊ t♦ P▲❲❊

◆❡✇ r❡s✉❧t

❲❡ ❝❛♥ ✜♥❞ t ✐♥ t❤❡ ❝♦♥❞✉❝t♦r ✐❞❡❛❧ CR := {t ∈ K : tOK ⊂ R} s✳t✳ [×t] : OK,q ≃ Rq ❛♥❞ σ(t) ✐s s♠❛❧❧✳

R

✓

• ?

OK

• CR
• ✓
• ■❢ CR ❝♦♣r✐♠❡ t♦ qOK t❤❡♥

OK,q ≃ CR/qCR ≃ Rq✳ θt : OK,q × OK,q

− → Rq × Rq (a, b) − → (ta, t2b mod q)

As,Σ t♦ Bs′,Σ′ ■❢ (a, b) ← ֓ As,Σ✿ t2b = (ta)(ts) + t2e ✉♥✐❢♦r♠ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ■❢ (a, b) ← ֓ ✉♥✐❢♦r♠✿ (ta, t2b) ✉♥✐❢♦r♠

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✽ ✴ ✶✹

■s t❤✐s r❡❛❧❧② P▲❲❊❄ ◆♦t ②❡t✳

e′ = t2e ← ֓ DH

Σt✱ ✇❤❡r❡ Σt = ❞✐❛❣[ |σi(t)|2 ] · Σ · ❞✐❛❣[ |σi(t)|2 ]✳

❚❤❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ✐s s♠❛❧❧ ✐♥ H✦ ▼✐♥❦♦✇s❦✐ ✈s✳ ❈♦❡✣❝✐❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✿ ✱ ✇✐t❤ ❚❤❡ ✬s ❛r❡ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✾ ✴ ✶✹

■s t❤✐s r❡❛❧❧② P▲❲❊❄ ◆♦t ②❡t✳

e′ = t2e ← ֓ DH

Σt✱ ✇❤❡r❡ Σt = ❞✐❛❣[ |σi(t)|2 ] · Σ · ❞✐❛❣[ |σi(t)|2 ]✳

❚❤❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ✐s s♠❛❧❧ ✐♥ H✦ ▼✐♥❦♦✇s❦✐ ✈s✳ ❈♦❡✣❝✐❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✿ σ(a) = Vf · a✱ ✇✐t❤ Vf =

     1 α1 α2

1

. . . αn−1

1

1 α2 α2

2

. . . αn−1

2

. . . . . . . . . 1 αn α2

n

. . . αn−1

n

    

❚❤❡ αi✬s ❛r❡ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ f✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✾ ✴ ✶✹

❍♦✇ s♠❛❧❧ ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣❄

◆❡✇ ♥♦✐s❡✿ Vf

−1σ(e′) ←

֓ DΣ′✱ ✇✐t❤ Σ′ = Vf

−⊤Σt V−1 f

❚❤❡ ❞✐st♦rs✐♦♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② V−1

f

❝♦✉❧❞ ❜❡✿ t♦♦ ❧❛r❣❡ r❡❛s♦♥❛❜❧❡ t♦♦ s❦❡✇

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✵ ✴ ✶✹

❍♦✇ t♦ ❣❡t ❛ s♠❛❧❧ ❞✐st♦rs✐♦♥❄

V−1

f ∞ s♠❛❧❧ ❢♦r f := Xn − c ∈ Z[X]✳

❈❛♥ ✇❡ ✜♥❞ ♠♦r❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s❄ ✱ ✇❤❡r❡ ✳ ■❞❡❛✿ ❚r② t♦ ❛♣♣❧② ❛ s♠❛❧❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ ❛♥❞ ❦❡❡♣ t❤❡ ♥♦r♠ s♠❛❧❧✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✶ ✴ ✶✹

❍♦✇ t♦ ❣❡t ❛ s♠❛❧❧ ❞✐st♦rs✐♦♥❄

V−1

f ∞ s♠❛❧❧ ❢♦r f := Xn − c ∈ Z[X]✳

❈❛♥ ✇❡ ✜♥❞ ♠♦r❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s❄ V−1

f

= Si,j ∆j

• i,j

✱ ✇❤❡r❡ ∆j =

k=j(αk − αj)✳

■❞❡❛✿ ❚r② t♦ ❛♣♣❧② ❛ s♠❛❧❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ ❛♥❞ ❦❡❡♣ t❤❡ ♥♦r♠ s♠❛❧❧✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✶ ✴ ✶✹

❍♦✇ t♦ ❣❡t ❛ s♠❛❧❧ ❞✐st♦rs✐♦♥❄

V−1

f ∞ s♠❛❧❧ ❢♦r f := Xn − c ∈ Z[X]✳

❈❛♥ ✇❡ ✜♥❞ ♠♦r❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s❄ V−1

f

= Si,j ∆j

• i,j

✱ ✇❤❡r❡ ∆j =

k=j(αk − αj)✳

■❞❡❛✿ ❚r② t♦ ❛♣♣❧② ❛ s♠❛❧❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ f ❛♥❞ ❦❡❡♣ t❤❡ ♥♦r♠ s♠❛❧❧✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✶ ✴ ✶✹

▲♦ts ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s

f = Xn − c ∈ Z[X] ❚❛❦❡ P = n/2

i=1 piXi ∈ Z[X]

P❡rt✉r❜❛t✐♦♥✿ g := f + P ❚❡❝❤♥✐q✉❡✿ ❘♦✉❝❤é t❤❡♦r❡♠

◆❡✇ r❡s✉❧t

❋♦r ❡✈❡r② s✉❝❤ g ∈ Z[X]✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t V−1

g ≤ poly(n)✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✷ ✴ ✶✹

❙❡❛r❝❤ t♦ ❞❡❝✐s✐♦♥

◆❡✇ r❡s✉❧t

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ♣♦❧②✳ t✐♠❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢r♦♠ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊✴❘▲❲❊∨ t♦ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊✴❘▲❲❊∨✳ ❚❡❝❤♥✐q✉❡✿ ♣r♦✈❡ ❛ ▲❍▲ ✈❛r✐❛♥t ♦✈❡r r✐♥❣s ❛♥❞ ✉s❡ ✐t t♦ ❝r❡❛t❡ ♥❡✇ s❛♠♣❧❡s ✜♥❞ ❣♦♦❞ ❛♣♣r♦①✳ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❖❍❈P t❡❝❤♥✐q✉❡ ❢r♦♠ ❬P❘❙✶✼❪ ✜♥❞ t❤❡ s❡❝r❡t

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✸ ✴ ✶✹

❙❡❛r❝❤ t♦ ❞❡❝✐s✐♦♥

◆❡✇ r❡s✉❧t

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ♣♦❧②✳ t✐♠❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢r♦♠ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊✴❘▲❲❊∨ t♦ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊✴❘▲❲❊∨✳ ❚❡❝❤♥✐q✉❡✿ ♣r♦✈❡ ❛ ▲❍▲ ✈❛r✐❛♥t ♦✈❡r r✐♥❣s ❛♥❞ ✉s❡ ✐t t♦ ❝r❡❛t❡ ♥❡✇ s❛♠♣❧❡s ✜♥❞ ❣♦♦❞ ❛♣♣r♦①✳ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❖❍❈P t❡❝❤♥✐q✉❡ ❢r♦♠ ❬P❘❙✶✼❪ ✜♥❞ t❤❡ s❡❝r❡t

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✸ ✴ ✶✹

❙❡❛r❝❤ t♦ ❞❡❝✐s✐♦♥

◆❡✇ r❡s✉❧t

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ♣♦❧②✳ t✐♠❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢r♦♠ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊✴❘▲❲❊∨ t♦ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊✴❘▲❲❊∨✳ ❚❡❝❤♥✐q✉❡✿ ♣r♦✈❡ ❛ ▲❍▲ ✈❛r✐❛♥t ♦✈❡r r✐♥❣s ❛♥❞ ✉s❡ ✐t t♦ ❝r❡❛t❡ ♥❡✇ s❛♠♣❧❡s ✜♥❞ ❣♦♦❞ ❛♣♣r♦①✳ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❖❍❈P t❡❝❤♥✐q✉❡ ❢r♦♠ ❬P❘❙✶✼❪ ✜♥❞ t❤❡ s❡❝r❡t

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✸ ✴ ✶✹

❬▲❙✶✺❪ ❬❆❉✶✼❪ ❆♣♣r♦①❙❱P ✭OK✲✐❞❡❛❧s✮ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊∨ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❘▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ P▲❲❊ ❞❡❝✐s✐♦♥ ▼P▲❲❊ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊∨ s❡❛r❝❤ ❘▲❲❊ s❡❛r❝❤ P▲❲❊ s❡❛r❝❤ ▼P▲❲❊ ❆♣♣r♦①❙■❱P ✭OK✲♠♦❞✉❧❡s✮ ❞❡❝✐s✐♦♥ ▼♦❞✉❧❡✲▲❲❊ ❬P❘❙✶✼❪ ❬❘❙❙❙✶✼❪ ❬❘❙❙❙✶✼❪

❚❤❛♥❦ ②♦✉✳

▼✐r✉♥❛ ❘♦s❝❛ ❊❯❘❖❈❘❨P❚ ✷✵✶✽ ✶✹ ✴ ✶✹