Sum nota)on NEU 466M Instructor: Professor Ila R. Fiete - - PowerPoint PPT Presentation

Sum ¡nota)on ¡

NEU ¡466M ¡ Instructor: ¡Professor ¡Ila ¡R. ¡Fiete ¡ Spring ¡2016 ¡

What ¡is ¡sum ¡nota)on? ¡

N

X

i=1

ai = (a1 + a2 + a3 + · · · + aN)

dummy ¡index ¡ lower ¡limit ¡of ¡index ¡ upper ¡limit ¡of ¡index ¡

Proper)es: ¡sums ¡involving ¡a ¡constant ¡

a: ¡constant ¡that ¡does ¡not ¡change ¡with ¡index ¡i ¡ ¡

N

X

i=1

a = Na

N

X

i=1

cai = c

N

X

i=1

ai

c: ¡constant ¡that ¡does ¡not ¡change ¡with ¡index ¡i, ¡ ¡ thus ¡can ¡slide ¡out ¡of ¡sum ¡

Proper)es: ¡sum ¡of ¡sums ¡

N

X

i=1

ai +

N

X

i=1

bi =

N

X

i=1

(ai + bi)

Proper)es: ¡products ¡of ¡sums ¡

ai ¡slides ¡into ¡sum ¡over ¡j ¡since ¡ ¡ it ¡does ¡not ¡depend ¡on ¡j ¡

N X

i=1

ai !2 = ✓ N X

i=1

ai ◆✓ N X

j=1

aj ◆ =

N

X

i=1

✓ N X

j=1

aiaj ◆ =

N

X

i=1 N

X

j=1

(aiaj) =

N

X

i,j=1

(aiaj)

do ¡not ¡repeat ¡dummy ¡index ¡ when ¡compu)ng ¡product ¡ ¡

• ver ¡sums ¡ ¡

rewri)ng ¡both ¡sums ¡over ¡i,j ¡ ¡ ¡ more ¡compactly ¡under ¡single ¡ sum ¡sign ¡ ¡

Verify: ¡products ¡of ¡sums ¡

N X

i=1

ai !2 = (a1 + a2 + · · · + aN)(a1 + a2 + · · · + aN) = a1a1 + a1a2 + a1a3 + · · · + a2a1 + a2a2 + · · · + aNa1 + aNa2 + · · · aNaN =

N

X

i,j=1

aiaj

Proper)es: ¡shiM ¡in ¡index ¡

N

X

i=M

ai =

N−M

X

i=0

ai+M

N

X

i=M

ai =

N+Q

X

i=M+Q

ai−Q

N

X

i=M

aibi+k =

N+k

X

j=M+k

aj−kbj

change-­‑of-­‑variables: ¡ j=i+k ¡