Student: Stefano Ascenzi Advisor: Luigi Stella-INAF-OAR - - PowerPoint PPT Presentation

Student: ¡Stefano ¡Ascenzi ¡ Advisor: ¡Luigi ¡Stella-­‑INAF-­‑OAR ¡ Co-­‑advisor: ¡Simone ¡Dall’Osso ¡

¡

• Pulsar: ¡populaBons ¡and ¡distribuBon ¡
• AccreBon ¡onto ¡magneBzed ¡compact ¡objects ¡
• The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model ¡for ¡magneBcally-­‑

threaded ¡accreBon ¡disks ¡ ¡

• Beyond ¡the ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model ¡

Outline ¡

1 ¡

Pulsar: ¡Popula0ons ¡and ¡Distribu0on ¡

The ¡P-­‑P(dot) ¡diagram ¡is ¡one ¡of ¡the ¡best ¡ tool ¡to ¡study ¡the ¡different ¡radio ¡pulsar ¡

• populaBons. ¡

Neutron ¡Stars ¡(NS) ¡are ¡oQen ¡observed ¡ as ¡Pulsar: ¡pulsaBng ¡sources ¡in ¡radio, ¡X ¡

• r ¡ ¡ ¡ ¡ ¡wavebands ¡with ¡stable ¡periods. ¡

γ 2 ¡

The ¡oldest ¡NSs ¡are ¡in ¡binary ¡systems ¡ and ¡have ¡millisecond ¡periods ¡ (millisecond ¡pulsars). ¡ ¡ Their ¡evoluBon ¡is ¡described ¡by ¡the ¡ recycling ¡scenario ¡

Pulsar: ¡Popula0ons ¡and ¡Distribu0on ¡

3 ¡

Pulsar: ¡Popula0ons ¡and ¡Distribu0on ¡

ACCRETING ¡MILLISECOND ¡PULSARS ¡(AMXPs) ¡

¡

• Transient ¡Sources, ¡powered ¡by ¡accreBon ¡outbursts ¡

¡

• Usually ¡faint ¡outburst ¡luminosiBes ¡ ¡

¡

• Ultra-­‑compact ¡binaries ¡are ¡common. ¡40% ¡of ¡the ¡total ¡AMXP ¡populaBon. ¡
• Very ¡small ¡donors ¡preferred, ¡with ¡masses ¡below ¡ ¡

¡

0.2MSun ≈1036erg / s

4 ¡

MP ¡spin ¡frequency ¡distribu0on ¡ Cutoff ¡at ¡730 ¡Hz. ¡Why? ¡ ¡ ¡

Papiao ¡et ¡al. ¡(2014) ¡

Rouled-­‑out ¡explanaBons ¡

Intrinsic ¡limit ¡of ¡the ¡ NS ¡structure ¡ InstrumentaBon ¡ Bias ¡ NSs ¡sustain ¡ frequencies ¡up ¡to ¡ 2000 ¡Hz ¡for ¡ reasonable ¡EOS ¡ X-­‑ray ¡observatories ¡ (as ¡RXTE) ¡are ¡not ¡ effected ¡by ¡loss ¡of ¡ sensiBviBes ¡at ¡ these ¡frequencies ¡ The ¡upper ¡limit ¡may ¡be ¡due ¡to ¡a ¡spin-­‑equilibrium, ¡ which ¡the ¡NS ¡aaains ¡when ¡a ¡spin-­‑down ¡torque ¡ balances ¡the ¡accreBon ¡spin-­‑up ¡

Radio-­‑pulsar ¡ AccreBng ¡X-­‑ray ¡Pulsars ¡

Pulsar: ¡Popula0ons ¡and ¡Distribu0on ¡

PSR ¡J1748-­‑2446ad ¡ 5 ¡

MP ¡spin ¡frequency ¡distribu0on ¡ Spin-­‑Down ¡Torque ¡

GravitaBonal ¡Waves ¡ (GW) ¡(Bildsten ¡1998) ¡ Disk-­‑Magnetosphere ¡ interacBon ¡ (White-­‑Zhang ¡1997) ¡ Requires ¡a ¡relaBon ¡ between ¡magneBc ¡ field ¡and ¡mass ¡ accreBon ¡rate ¡ Requires ¡too ¡high ¡ deformaBon ¡of ¡the ¡NS ¡ ¡ (Haskell ¡& ¡Patruno ¡ 2011) ¡

Pulsar: ¡Popula0ons ¡and ¡Distribu0on ¡

Papiao ¡et ¡al. ¡(2014) ¡ Radio-­‑pulsar ¡ AccreBng ¡X-­‑ray ¡Pulsars ¡

PSR ¡J1748-­‑2446ad ¡ 6 ¡

r

m ≈ rA (0) = !

M −2/7µ 4/7(2GM)−1/7

Magnetospheric ¡ Radius ¡

N0 = ! M GMr

m

Accre0on ¡onto ¡Neutron ¡Stars ¡

Spin-­‑up ¡ Torque ¡ Magnetosphere ¡ Disk ¡

Romanova ¡et. ¡al ¡2008 ¡ Accre0on ¡Column ¡

µ Ω 7 ¡

Accre0on ¡onto ¡Neutron ¡Stars ¡

Corota0on ¡ Radius ¡ r

c = (GMΩs −2)1/3

Accre0on ¡

r

m < r c

Propeller ¡

r

m > r c

Bernardini ¡et ¡al. ¡2013 ¡ 8 ¡

The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model ¡(1979) ¡is ¡an ¡advanced ¡descripBon ¡of ¡the ¡disk-­‑magnetosphere ¡coupling ¡

The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡Model ¡

TransiBon ¡Zone ¡ ¡ Boundary ¡Layer ¡ External ¡TransiBon ¡ Zone ¡ Magnetosphere ¡

r

0 Boundary ¡Layer ¡external ¡radius ¡

r

m Magnetospheric ¡radius ¡

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡1979 ¡

9 ¡

The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡Model ¡

HP: ¡

• Steady-­‑state ¡and ¡axial ¡symmetry ¡
• Dominant ¡Azimuthal ¡velocity ¡
• NeglecBng ¡Radial ¡MagneBc ¡Field ¡
• Purely ¡radial ¡electric ¡Field ¡
• ¡Thin ¡Disk ¡
• Narrow ¡Boundary-­‑layer, ¡i.e. ¡ ¡ ε ≡δ0 / r

0 <<1

Boundary ¡Layer ¡

10 ¡

Boundary ¡layer ¡structure ¡

d dr ( ! Mdr2Ω) = r2Ω d ! Md dr " # $ % & '+ BφBzr2 vr dvr dr " # $ % & ' = −GM r2 +Ω2r − 1 ρ dp dr + 1 4πρ {( ! ∇∧ ! B)∧ ! B}⋅ ˆ r ! ∇∧ ! B = 4π c ! J ! J =σ eff ! E + ! v c ∧ ! B " # $ % & ' d " Md dr = 4πrρg(r) p = Cpρ h r ! " # $ % &

2 GM

r ! " # $ % & 1 3 caT 4 ρh2k = J 2 σ eff p = ρ 2kBT mp ! " # # $ % & &

VerBcal ¡structure ¡ Radial ¡Structure ¡

! Md = 4πrh vr ρ σ eff = c2 4π ! " # $ % &h−1r−1 Ω−Ωs

( )

−1γφ

dω dx = Cω b2 F ur dur dx = −1−ω 2 2 +Cω (1+γ 2

φ )ur 2b2

F(ω −ωs) db dx = −Cb b3/4u9/8

r

F1/8 ω −ωs

( )

9/8

dF dx = 0.125 γφ

−8/27Cb 8/27Cω 1/27Cp 19/54

( )g(x) F

ur γφ = Bφ Bz

Dimensionless ¡equaBons ¡ Gate ¡funcBon ¡ g(x) = 1 0 ≤ x ≤ xm (x0 − x)2(x0 − xm)−2 xm ≤ x ≤ x0 # $ % & % x0 − xm = 0.6 x0 =δ /δ0

The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡Model ¡

11 ¡

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡gate ¡func0on ¡ ¡

Radial ¡flux ¡does ¡not ¡vanish! ¡

F ∝ur

Flux ¡for ¡different ¡ gate ¡funcBons ¡

δ0 = 0.031 γφ

−16/27Cb 16/27Cω 2/27Cp −8/27

( )r

The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡Model ¡

1.0 ¡ 0.5 ¡ 0.0 ¡

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡ gate ¡funcBon ¡

x ¡ Dimensionless ¡ radial ¡variable ¡

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡1979 ¡

12 ¡

My ¡Solu0on ¡

The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡Model ¡

MagneBc ¡Field ¡ Angular ¡Velocity ¡ Radial ¡Velocity ¡ Radial ¡Flux ¡of ¡ maaer ¡ Gate ¡FuncBon ¡

13 ¡

Accre0on ¡Torque ¡

Spin-­‑up ¡ Spin-­‑down ¡

N = N0 + Nout = n(ωs)N0 N0 ≈ ! M GMr Nout = γφBz

2r2 dr r rs

∫

The ¡accreBon ¡torque ¡vanish ¡at ¡a ¡precise ¡frequency ¡called ¡“spin ¡equilibrium” ¡frequency ¡ ωc ≈ 0.35

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡

P

eq ≈ 2.67 !

M17

−3/7µ30 6/7

The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡Model ¡

Spin-­‑ Equilibrium ¡

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡1979 ¡ Vietri ¡2008 ¡

14 ¡

Accre0on ¡disks ¡close ¡to ¡the ¡stellar ¡surface ¡

ε =δ0 / r

0 <<1

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡hypothesis ¡

ε <1% r

0 ≈103km

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model ¡ Are ¡they ¡saBsfied ¡for ¡accreBng ¡ millisecond ¡pulsars? ¡ If ¡the ¡spin-­‑equilibrium ¡holds ¡

r

0 = ωc

( )

2/3 r c = 0.5r c

r

c =1683

M 1.4Msun ! " # $ % &

1/3

νs

−2/3km

νs = 600 − 700Hz

r

c ≈ 23km

Comparable ¡ with ¡NS ¡typical ¡ radius ¡

Beyond ¡the ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model ¡

15 ¡

dω dx = Cω b2 F + 6Cω x0b2 F − 2ω " # $ % & 'ε ur dur dx = −1−ω 2 2x0 +Cω γφ

2 +1

( )u2

rb2

F ω −ωs

( )

− ε 2x0 x0 − 2x

( )+ω 2 2x0 − x ( )

( ) * ++12 Cωx0u2

rb2

F ω −ωs

( )

ε db dx = −Cb b3/4u9/8

r

F1/8 ω −ωs

( )

9/8 x0 9/16 1+ 37

16 x0 − 5 2 x " # $ % & 'ε ( ) , * +

• dF

dx = 0.114 γφ

−8/27Cb 8/27Cω 1/27Cp 19/54

( )g(x)

F x0

1/2ur

1+ x0 − 3 2 x " # $ % & 'ε ( ) , * +

• δ0 = 0.026 γφ

−16/27Cb 16/27Cω 2/27Cp −8/27

( )r

A ¡new ¡generalized ¡model ¡

r

0 = 0.39 γφ 11/27Cb 16/27Cω −25/27Cp −8/27

( )

2/7 r(0) A

HP: ¡ ¡ Same ¡of ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model, ¡ ¡ but ¡ ¡ ¡ First ¡order ¡terms ¡included ¡ ε ≈10−1

r

0 ≈10km

r

in = r 0 1− x0ε

( )

r = r

0 1−(x0 − x)ε

[ ]

Beyond ¡the ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model ¡

16 ¡

My ¡Solu0on ¡

Beyond ¡the ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model ¡

MagneBc ¡Field ¡ Angular ¡Velocity ¡ Radial ¡Velocity ¡ Radial ¡Flux ¡of ¡ Maaer ¡ Gate ¡FuncBon ¡ Boundary ¡layer ¡(10^6 ¡cm) ¡outer ¡radius ¡ Boundary ¡layer ¡(10^4 ¡cm) ¡width ¡

δ

r

17 ¡

Beyond ¡the ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡model ¡

The ¡angular ¡velocity ¡is ¡ sub-­‑keplerian! ¡ 18 ¡

Conclusions ¡

• Extension ¡to ¡higher ¡perturbaBve ¡order ¡of ¡the ¡Ghosh ¡and ¡Lamb ¡

model ¡(needed ¡for ¡applicaBon ¡to ¡AMXPs). ¡ ¡

• Appropriate ¡shape ¡of ¡the ¡gate ¡funcBon ¡
• Weaker ¡magneBc ¡screening, ¡well-­‑behaved ¡radial ¡flux ¡of ¡maaer. ¡
• Thinner ¡BL ¡than ¡in ¡GL ¡model ¡ ¡à ¡ ¡ ¡first ¡order ¡approx. ¡realisitc ¡given ¡

that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡< ¡0.1 ¡

RESULTS ¡ FUTURE ¡DEVELOPMENTS ¡

¡

• CalculaBon ¡of ¡the ¡torque ¡funcBon ¡in ¡the ¡current ¡expansion ¡
• DerivaBon ¡of ¡the ¡corresponding ¡equilibrium ¡spin ¡in ¡the ¡expanded ¡

GL ¡model ¡

• Higher ¡orders ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡to ¡confirm ¡the ¡trends ¡

¡

ε ε

• Bildsten, ¡L., ¡1998, ¡Ap. ¡J., ¡501, ¡L89-­‑L93 ¡ ¡
• Chakrabarty, ¡D. ¡et ¡al., ¡2003, ¡Nature, ¡424, ¡42-­‑44 ¡ ¡
• Elsner, ¡R.F., ¡Lamb, ¡F.K. ¡1976, ¡Nature, ¡262, ¡356. ¡1977, ¡Ap.J., ¡215, ¡897 ¡ ¡
• Ghosh,P., ¡Lamb, ¡F. ¡K., ¡and ¡Pethick, ¡C.J. ¡1977, ¡Ap. ¡J., ¡217, ¡578 ¡ ¡
• Ghosh, ¡P., ¡Lamb, ¡F. ¡K. ¡1979, ¡Ap. ¡J., ¡232, ¡259-­‑276 ¡ ¡
• Ghosh, ¡P., ¡Lamb, ¡F. ¡K. ¡1979, ¡Ap. ¡J., ¡234, ¡296-­‑316 ¡
• Haskell, ¡B., ¡Patruno, ¡A., ¡2011, ¡Ap. ¡J., ¡738, ¡L14 ¡

¡

• Papiao, ¡A. ¡et ¡al., ¡2014, ¡Nature, ¡501, ¡517-­‑520 ¡ ¡
• Patruno, ¡A., ¡2010, ¡Ap. ¡J., ¡722, ¡909-­‑918 ¡
• Patruno, ¡A., ¡Waas, ¡A.L., ¡2013, ¡arXiv:1206.2727 ¡ ¡
• White, ¡N.E., ¡Zhang, ¡W., ¡1997, ¡Ap. ¡J., ¡490, ¡L87, ¡L90 ¡ ¡

¡ ¡

Bibliography ¡

The ¡Ghosh ¡& ¡Lamb ¡boundary-­‑layer ¡has ¡4 ¡structure ¡constants: ¡ ¡ ¡

γφ

Cp

Cω = 2γφ r r(0)

A

! " # $ % &

−7/2 δ0

r ! " # $ % & Cb = 61/8γφ

7/8Cp 1/2

r rA

(0)

! " # $ % &

7/16 δ0

r ! " # $ % &

25/16

ψ −5/4

DeviaBon ¡from ¡the ¡hydrostaBc ¡ equilibrium ¡ MagneBc ¡Pinch ¡

ψ ≡ 9 ! M 2 32π 2 " # $ % & ' k ac " # $ % & ' GMr

( )

1/2

2kB GMmp " # $ $ % & ' '

4

( ) * * + ,

• 1/10

∝r1/20

Constrain ¡on ¡the ¡Structure ¡Constants ¡ ¡

Ghosh ¡& ¡Lamb ¡ My ¡model ¡

γφ

8/27Cb −8/27Cω 25/54Cp 4/27 = 0.125b0 −1

γφ

8/27Cb −8/27Cω 25/54Cp 4/27 + 0.148γφ −8/27Cb 8/27Cω 29/54Cp −4/27 = 0.114b0 −1

Appendix ¡A: ¡Structure ¡Constants ¡

ω ≡ Ω ΩK(r

0)

ur ≡ −vr 2GM r $ % & ' ( )

−1/2

ε−1/2 b ≡ Bz Bz(r

m)

F ≡ ! Md ! M

x ≡ r −r

m

δ0

Appendix ¡B: ¡Dimensionless ¡Variables ¡

Dimensionless ¡radial ¡variable ¡ ¡ ¡ Free ¡fall ¡velocity ¡ Mass ¡accreBon ¡rate ¡ MagneBc ¡field ¡at ¡the ¡magnetosphere ¡ Keplerian ¡velocity ¡at ¡the ¡boundary-­‑layer ¡

• uter ¡radius ¡

Boundary ¡layer ¡typical ¡scale ¡

Appendix ¡C: ¡Numerical ¡Integra0on ¡

Constraint ¡on ¡the ¡ structure ¡constants ¡ Inward ¡numerical ¡ integraBon ¡ TranslaBon ¡of ¡the ¡ integraBon ¡domain ¡ Tuning ¡of ¡the ¡iniBal ¡ condiBons ¡(shooBng ¡ method) ¡