st r e rt - - PowerPoint PPT Presentation

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st r e r t s

st r e rt - - PowerPoint PPT Presentation

Feb 12, 2023 373 likes •802 views

st r e rt s t s rrstt e rs

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SLIDE 1

◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ e

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐

❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❈❛♠♣✐♥❛s✱ ❇r❛③✐❧

❏✉❧② ✷✺✱ ✷✵✶✽ ✲ ■▼❊❈❈✱ ❯♥✐❝❛♠♣

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SLIDE 2

❈♦♥t❡♥ts

✶

◆♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

✷

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z ✲ ❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

✸

❚❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♦✉r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷ ✴ ✸✸

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SLIDE 3

❈♦♥t❡♥ts

✶

◆♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

✷

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z ✲ ❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

✸

❚❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♦✉r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✸ ✴ ✸✸

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SLIDE 4

❇❛s✐❝s ♦♥ ▲❡❡ ❝♦❞❡s

▲✐♥❡❛r ❝♦❞❡s ♦✈❡r Zq ❛♥❞ ♦✈❡r Z

▲❡t R = Z ♦r Zq✳ C ✐s ❛ ❝♦❞❡ ♦✈❡r R ✐❢ C ⊆ Rn ❢♦r s♦♠❡ n ∈ Z+✳ C ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r ❝♦❞❡ ✐❢ C ✐s ❛♥ ❛❞❞✐t✐✈❡ s✉❜❣r♦✉♣ ♦❢ Rn✳ ❆ ❧✐♥❡❛r ❝♦❞❡ C ⊆ Zn ✐s q✲♣❡r✐♦❞✐❝ ✐❢ qZn ⊆ C✳ ▲✐♥❡❛r ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

q

←

→ q✲♣❡r✐♦❞✐❝ ❧✐♥❡❛r ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝

d(x, y) := ♠✐♥{|x − y|, q − |x − y|} ✐❢ x, y ∈ Zq |x − y| ✐❢ x, y ∈ Z

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✹ ✴ ✸✸

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SLIDE 5

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝

d(x, y) := ♠✐♥{|x − y|, q − |x − y|} ✐❢ x, y ∈ Zq |x − y| ✐❢ x, y ∈ Z

❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ ♦✈❡r Z✾

❈♦♥s✐❞❡r x = ✼, y = ✷

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✺ ✴ ✸✸

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SLIDE 6

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝

d(x, y) := ♠✐♥{|x − y|, q − |x − y|} ✐❢ x, y ∈ Zq |x − y| ✐❢ x, y ∈ Z

❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ ♦✈❡r Z✾

❈♦♥s✐❞❡r x = ✼, y = ✷ ⇒ |x − y| = ✺

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✻ ✴ ✸✸

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SLIDE 7

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝

d(x, y) := ♠✐♥{|x − y|, q − |x − y|} ✐❢ x, y ∈ Zq |x − y| ✐❢ x, y ∈ Z

❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ ♦✈❡r Z✾

❈♦♥s✐❞❡r x = ✼, y = ✷ ⇒ |x − y| = ✺, q − |x − y| = ✹

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✼ ✴ ✸✸

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SLIDE 8

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝

d(x, y) := ♠✐♥{|x − y|, q − |x − y|} ✐❢ x, y ∈ Zq |x − y| ✐❢ x, y ∈ Z

❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ ♦✈❡r Z✾

❈♦♥s✐❞❡r x = ✼, y = ✷ ⇒ |x − y| = ✺, q − |x − y| = ✹ ⇒ d(✼, ✷) = ✹✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✽ ✴ ✸✸

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SLIDE 9

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝

d(x, y) := ♠✐♥{|x − y|, q − |x − y|} ✐❢ x, y ∈ Zq |x − y| ✐❢ x, y ∈ Z ❋♦r ✇♦r❞s x = (x✶, . . . , xn), y = (y✶, . . . , yn) ∈ Rn ✭R = Zq ♦r Z✮✿ d(x, y) :=

n

i=✶

d(xi, yi).

❚❤❡ ▲❡❡ ❜❛❧❧s

❋♦r x = (x✶, . . . , xn) ∈ Rn ✭R = Zq ♦r Z✮ ❛♥❞ e ≥ ✵✿ B(x, e) := {y ∈ Rn : d(x, y) ≤ e} = x + B(✵, e).

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✾ ✴ ✸✸

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SLIDE 10

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z✷

✾

❋✐❣✉r❡✳ B ((✵, ✵), ✵) = {(✵, ✵)}✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✵ ✴ ✸✸

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SLIDE 11

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z✷

✾

❋✐❣✉r❡✳ B ((✵, ✵), ✶) = {(✵, ✵), (✵, ±✶), (±✶, ✵)}✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✶ ✴ ✸✸

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SLIDE 12

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z✷

✾

❋✐❣✉r❡✳ B ((✵, ✵), ✷) = {(✵, ✵), (✵, ±✶), (±✶, ✵), (±✶, ±✶), (✵, ±✷), (±✷, ✵)}✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✷ ✴ ✸✸

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SLIDE 13

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z✷

✾

❋✐❣✉r❡✳ B ((✼, ✶), ✷) = (✼, ✶) + B ((✵, ✵), ✷)✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✸ ✴ ✸✸

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SLIDE 14

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z✷

✾

❋✐❣✉r❡✳ B ((✷, ✺), ✷) = (✷, ✺) + B ((✵, ✵), ✷)✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✹ ✴ ✸✸

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SLIDE 15

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s

C ⊆ Rn ✭R = Zq ♦r Z✮ ✐s ❛♥ e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡ ✐❢ Rn =

c∈C

B(c, e),

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❡r❢❡❝t ❝♦❞❡ ✐♥

✷ ✶✸

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✺ ✴ ✸✸

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SLIDE 16

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s

C ⊆ Rn ✭R = Zq ♦r Z✮ ✐s ❛♥ e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡ ✐❢ Rn =

c∈C

B(c, e),

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❡r❢❡❝t ❝♦❞❡ ✐♥ Z✷

✶✸

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✺ ✴ ✸✸

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SLIDE 17

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s

C ⊆ Rn ✭R = Zq ♦r Z✮ ✐s ❛♥ e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡ ✐❢ Rn =

c∈C

B(c, e),

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❡r❢❡❝t ❝♦❞❡ ✐♥ Z✷

✶✸

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✻ ✴ ✸✸

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SLIDE 18

❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Zq ❛♥❞ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z

▲✐♥❡❛r ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

q

←

→ q✲♣❡r✐♦❞✐❝ ❧✐♥❡❛r ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

❋♦r

✷ ✶✿ ▲✐♥❡❛r ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✲♣❡r✐♦❞✐❝ ❧✐♥❡❛r ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❋r♦♠ ❤❡r❡ ♦♥ ✇❡ ♦♥❧② ❝♦♥s✐❞❡r P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✼ ✴ ✸✸

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SLIDE 19

❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Zq ❛♥❞ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z

▲✐♥❡❛r ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

q

←

→ q✲♣❡r✐♦❞✐❝ ❧✐♥❡❛r ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

❋♦r q ≥ ✷e + ✶✿

▲✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡sC ⊆ Zn

q

←

→ q✲♣❡r✐♦❞✐❝ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

❋r♦♠ ❤❡r❡ ♦♥ ✇❡ ♦♥❧② ❝♦♥s✐❞❡r P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s

✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✼ ✴ ✸✸

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SLIDE 20

❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Zq ❛♥❞ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z

▲✐♥❡❛r ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

q

←

→ q✲♣❡r✐♦❞✐❝ ❧✐♥❡❛r ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

❋♦r q ≥ ✷e + ✶✿

▲✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡sC ⊆ Zn

q

←

→ q✲♣❡r✐♦❞✐❝ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s C ⊆ Zn

❋r♦♠ ❤❡r❡ ♦♥ ✇❡ ♦♥❧② ❝♦♥s✐❞❡r P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s C ⊆ Zn✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✼ ✴ ✸✸

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SLIDE 21

❈♦♥t❡♥ts

✶

◆♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

✷

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z ✲ ❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

✸

❚❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♦✉r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✽ ✴ ✸✸

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SLIDE 22

❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❡①✐st ❢♦r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿

❋♦r ❡✈❡r② e ≥ ✶ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡ C ⊆ Z✶✳ ❋♦r ❡✈❡r② e ≥ ✶ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡ C ⊆ Z✷✳ ❋♦r ❡✈❡r② n ≥ ✶ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✶✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡ C ⊆ Zn✳ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡✿ ❋♦r n ≥ ✸ ❛♥❞ e ≥ ✷✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✾ ✴ ✸✸

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SLIDE 23

❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

❙♦♠❡ r❡s✉❧ts t♦✇❛r❞s t❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✭❋✐①❡❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✮✿

✭●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ✶✾✼✵✮✿ ❋♦r n ≥ ✸ ✜①❡❞✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r en ≥ ✷ ✭en ✉♥s♣❡❝✐✜❡❞✮ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r e ≥ en✳ ✭●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ✶✾✼✵✮ en = ✷ ❤♦❧❞s ❢♦r n = ✸✳ ✭P♦st ✶✾✼✺ ❛♥❞ ❍♦r❛❦✲❑✐♠ ✷✵✶✽✮✿ en =

√ ✷ ✷ n − ✸ √ ✷−✷ ✹

❤♦❧❞s ❢♦r n ≥ ✻ ❛♥❞ en = n − ✶ ❤♦❧❞s ❢♦r ✸ ≤ n ≤ ✺✳ ✭▲❡♣✐stö ✶✾✽✶ ❛♥❞ ❍♦r❛❦✲❑✐♠ ✷✵✶✽✮✿ en = ♠❛①{ √ ✷.✶n − ✷, ✷✽✺}✳ ✭❙♣❛❝❛♣❛♥ ✷✵✵✼✮ en = ✷ ❤♦❧❞s ❢♦r n = ✹✳ ✭❍♦r❛❦ ✷✵✵✾✮ en = ✷ ❤♦❧❞s ❢♦r n = ✺✳

❙✉r✈❡② ♦❢ ♣❛♣❡rs ♦♥ t❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✿

P✳ ❍♦r❛❦✱ ❉✳ ❑✐♠✱ ✺✵ ②❡❛rs ♦❢ t❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✱ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢✳ ❚❤❡♦r② ✻✹✭✹✮✱ ✸✵✹✽✲✸✵✻✶✱ ✷✵✶✽✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✵ ✴ ✸✸

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SLIDE 24

❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

❙♦♠❡ r❡s✉❧ts t♦✇❛r❞s t❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✭❋✐①❡❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✮✿

✭●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ✶✾✼✵✮✿ ❋♦r n ≥ ✸ ✜①❡❞✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r en ≥ ✷ ✭en ✉♥s♣❡❝✐✜❡❞✮ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r e ≥ en✳ ✭●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ✶✾✼✵✮ en = ✷ ❤♦❧❞s ❢♦r n = ✸✳ ✭P♦st ✶✾✼✺ ❛♥❞ ❍♦r❛❦✲❑✐♠ ✷✵✶✽✮✿ en =

√ ✷ ✷ n − ✸ √ ✷−✷ ✹

❤♦❧❞s ❢♦r n ≥ ✻ ❛♥❞ en = n − ✶ ❤♦❧❞s ❢♦r ✸ ≤ n ≤ ✺✳ ✭▲❡♣✐stö ✶✾✽✶ ❛♥❞ ❍♦r❛❦✲❑✐♠ ✷✵✶✽✮✿ en = ♠❛①{ √ ✷.✶n − ✷, ✷✽✺}✳ ✭❙♣❛❝❛♣❛♥ ✷✵✵✼✮ en = ✷ ❤♦❧❞s ❢♦r n = ✹✳ ✭❍♦r❛❦ ✷✵✵✾✮ en = ✷ ❤♦❧❞s ❢♦r n = ✺✳

❙✉r✈❡② ♦❢ ♣❛♣❡rs ♦♥ t❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✿

P✳ ❍♦r❛❦✱ ❉✳ ❑✐♠✱ ✺✵ ②❡❛rs ♦❢ t❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✱ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢✳ ❚❤❡♦r② ✻✹✭✹✮✱ ✸✵✹✽✲✸✵✻✶✱ ✷✵✶✽✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✵ ✴ ✸✸

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SLIDE 25

❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

❙♦♠❡ r❡s✉❧ts t♦✇❛r❞s t❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✭❋✐①❡❞ r❛❞✐✉s✮✿

✭❍♦r❛❦✲●r♦ss❡❦ ✷✵✶✵✮ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r ✷✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r n ≤ ✶✷✳ ✭❑✐♠ ✷✵✶✼✮ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ✷✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ✐❢ #Bn(✷) = ✷n✷ + ✷n + ✶ ✐s ❛ ♣r✐♠❡ ♥✉♠❜❡r s❛t✐s❢②✐♥❣ ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ✭◗✉r❡s❤✐✲❈❛♠♣❡❧❧♦✲❈♦st❛ ✷✵✶✽✮ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r ✷✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ✈❛❧✉❡s ♦❢ n✳ ✭❩❤❛♥❣✲●❡ ✷✵✶✼✮ ❋♦r e = ✸ ❛♥❞ e = ✹ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r ✭♣♦ss✐❜❧② ✐♥✜♥✐t❡❧②✮ ♠❛♥② ✈❛❧✉❡s ♦❢ n✳

❖✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧t✿

■❢ ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ❞✐❣✐t ✶ ✐♥ ✐ts ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ✐♥ t❤❡ ✉♥✐t ♣❧❛❝❡ ✭❡✳❣✳ ✸ ✹✮✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ ❢♦r ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ✈❛❧✉❡s ♦❢ ✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✶ ✴ ✸✸

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SLIDE 26

❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

❙♦♠❡ r❡s✉❧ts t♦✇❛r❞s t❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✭❋✐①❡❞ r❛❞✐✉s✮✿

✭❍♦r❛❦✲●r♦ss❡❦ ✷✵✶✵✮ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r ✷✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r n ≤ ✶✷✳ ✭❑✐♠ ✷✵✶✼✮ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ✷✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ✐❢ #Bn(✷) = ✷n✷ + ✷n + ✶ ✐s ❛ ♣r✐♠❡ ♥✉♠❜❡r s❛t✐s❢②✐♥❣ ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ✭◗✉r❡s❤✐✲❈❛♠♣❡❧❧♦✲❈♦st❛ ✷✵✶✽✮ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r ✷✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ✈❛❧✉❡s ♦❢ n✳ ✭❩❤❛♥❣✲●❡ ✷✵✶✼✮ ❋♦r e = ✸ ❛♥❞ e = ✹ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r ✭♣♦ss✐❜❧② ✐♥✜♥✐t❡❧②✮ ♠❛♥② ✈❛❧✉❡s ♦❢ n✳

❖✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧t✿

■❢ e ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ❞✐❣✐t ✶ ✐♥ ✐ts ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ✐♥ t❤❡ ✉♥✐t ♣❧❛❝❡ ✭❡✳❣✳ e = ✸, ✹✮✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ✈❛❧✉❡s ♦❢ n✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✶ ✴ ✸✸

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SLIDE 27

❈♦♥t❡♥ts

✶

◆♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

✷

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z ✲ ❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

✸

❚❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♦✉r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✷ ✴ ✸✸

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SLIDE 28

◆♦t❛t✐♦♥

▲P▲(n, e) = {C ⊆ Zn : C ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡}✳ Bn(e) = {x ∈ Zn : d(x, ✵) ≤ e}✳ k(n, e) = #Bn(e) ✭= ♠✐♥{n,e}

i=✵

✷in

i

e

i

✮

p(n, e) = e

i=✶ ✷i r−i+✶ j=✶

j✷e−j

i−✶

n−✶

i−✶

✭= e

i=✵ ✷i✷k(n − ✶, e − i)✮

❈r✐t❡r✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❍♦r❛❦✲❆❧❇❞❛✐✇✐ ✷✵✶✷✮✳ ▲P▲ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ ❛♥❞ ❛ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ s✉❝❤ t❤❛t ✐s ❛ ❜✐❥❡❝t✐♦♥✳

❘❡♠❛r❦

❲❤❡♥ ✐s sq✉❛r❡✲❢r❡❡✱ ✇❡ ❝❛♥ t❛❦❡ ✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✸ ✴ ✸✸

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SLIDE 29

◆♦t❛t✐♦♥

▲P▲(n, e) = {C ⊆ Zn : C ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡}✳ Bn(e) = {x ∈ Zn : d(x, ✵) ≤ e}✳ k(n, e) = #Bn(e) ✭= ♠✐♥{n,e}

i=✵

✷in

i

e

i

✮

p(n, e) = e

i=✶ ✷i r−i+✶ j=✶

j✷e−j

i−✶

n−✶

i−✶

✭= e

i=✵ ✷i✷k(n − ✶, e − i)✮

❈r✐t❡r✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❍♦r❛❦✲❆❧❇❞❛✐✇✐ ✷✵✶✷✮✳ ▲P▲(n, e) = ∅ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ G ❛♥❞ ❛ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ φ : Zn → G s✉❝❤ t❤❛t φ|Bn(e) : Bn(e) → G ✐s ❛ ❜✐❥❡❝t✐♦♥✳

❘❡♠❛r❦

❲❤❡♥ ✐s sq✉❛r❡✲❢r❡❡✱ ✇❡ ❝❛♥ t❛❦❡ ✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✸ ✴ ✸✸

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SLIDE 30

◆♦t❛t✐♦♥

▲P▲(n, e) = {C ⊆ Zn : C ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡}✳ Bn(e) = {x ∈ Zn : d(x, ✵) ≤ e}✳ k(n, e) = #Bn(e) ✭= ♠✐♥{n,e}

i=✵

✷in

i

e

i

✮

p(n, e) = e

i=✶ ✷i r−i+✶ j=✶

j✷e−j

i−✶

n−✶

i−✶

✭= e

i=✵ ✷i✷k(n − ✶, e − i)✮

❈r✐t❡r✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❍♦r❛❦✲❆❧❇❞❛✐✇✐ ✷✵✶✷✮✳ ▲P▲(n, e) = ∅ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ G ❛♥❞ ❛ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ φ : Zn → G s✉❝❤ t❤❛t φ|Bn(e) : Bn(e) → G ✐s ❛ ❜✐❥❡❝t✐♦♥✳

❘❡♠❛r❦

❲❤❡♥ k(n, e) ✐s sq✉❛r❡✲❢r❡❡✱ ✇❡ ❝❛♥ t❛❦❡ G = Zk(n,e)✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✸ ✴ ✸✸

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SLIDE 31

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ ♣❛✐r ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r (n, e) s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐❢ ✐t ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ k(n, e) ≡ ✸ ♦r ✻ (♠♦❞ ✾), p(n, e) ≡ ✵ (♠♦❞ ✸) ❚❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ s❡t ♦❢ e ≥ ✶ ✐s t❤❡ s❡t ZG(e) = {n ≥ ✶ : (n, e) s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥}.

❚❤❡♦r❡♠ ✭❩❤❛♥❣✲●❡ ✷✵✶✼✮

■❢ n ∈ ZG(e) ❛♥❞ k(n, e) ✐s sq✉❛r❡✲❢r❡❡✱ t❤❡♥ ▲P▲(n, e) = ∅✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✭❩❤❛♥❣✲●❡ ✷✵✶✼✮

■❢ k(n, ✸) ✐s sq✉❛r❡❢r❡❡ ❛♥❞ n ≡ ✶✷ ♦r ✷✶ (♠♦❞ ✷✼) t❤❡♥ ▲P▲(n, ✸) = ∅✳ ■❢ k(n, ✹) ✐s sq✉❛r❡❢r❡❡ ❛♥❞ n ≡ ✸, ✺, ✷✶ ♦r ✷✸ (♠♦❞ ✷✼) t❤❡♥ ▲P▲(n, ✹) = ∅✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✹ ✴ ✸✸

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SLIDE 32

▲❡♠♠❛

■❢ G ✐s ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ ✇✐t❤ ♦r❞❡r |G| = mp ✇✐t❤ p ♣r✐♠❡ ❛♥❞ p ∤ m t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ❡♣✐♠♦r♣❤✐s♠ ψ : G → Zp✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ψ ✐s ❛♥ m✲t♦✲✶ ♠❛♣✳ ❩❤❛♥❣ ❛♥❞ ●❡ ✉s❡ t❤❡ ❝r✐t❡r✐♦♥ ♦❢ ❍♦r❛❦ ❛♥❞ ❆❧❇❞❛✐✇✐ ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡✐r t❤❡♦r❡♠✳ ❈♦♠♣♦s✐♥❣ t❤❡ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ❣✐✈❡♥ ❜② t❤✐s ❝r✐t❡r✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ❡♣✐♠♦r♣❤✐s♠ ✭✉s✐♥❣ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❧❡♠♠❛✮ ✇❡ ❝❛♥ s❦✐♣ t❤❡ sq✉❛r❡❢r❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ ❚❤❡♦r❡♠✿

❚❤❡♦r❡♠

■❢ n ∈ ZG(e)✱ t❤❡♥ ▲P▲(n, e) = ∅✳

❈♦r♦❧❧❛r②

■❢ n ≡ ✶✷ ♦r ✷✶ (♠♦❞ ✷✼) t❤❡♥ ▲P▲(n, ✸) = ∅✳ ■❢ n ≡ ✸, ✺, ✷✶ ♦r ✷✸ (♠♦❞ ✷✼) t❤❡♥ ▲P▲(n, ✹) = ∅✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✺ ✴ ✸✸

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SLIDE 33

◗✉❡st✐♦♥

❋♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ e ≥ ✶ ✐s ZG(e) = ∅❄ ❋♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ e ≥ ✶ ✐s ZG(e) ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ s❡t ❄ ❋♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ✶ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ✶ s✉❝❤ t❤❛t ✸ ✻ ♠♦❞ ✾ ❄

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✻ ✴ ✸✸

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SLIDE 34

◗✉❡st✐♦♥

❋♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ e ≥ ✶ ✐s ZG(e) = ∅❄ ❋♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ e ≥ ✶ ✐s ZG(e) ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ s❡t ❄ ❋♦r ✇❤✐❝❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ e ≥ ✶ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r n ≥ ✶ s✉❝❤ t❤❛t k(n, e) ≡ ✸, ✻ (♠♦❞ ✾)❄

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✻ ✴ ✸✸

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SLIDE 35

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✼ ✴ ✸✸

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SLIDE 36

❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r n ≥ ✶ s✉❝❤ t❤❛t k(n, e) ≡ ✸, ✻ (♠♦❞ ✾) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ e ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ❞✐❣✐t ✶ ✐♥ ✐ts ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❋♦r n ≥ ✶ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐ts ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ n = h−✶

i=✵ ni✸i ✇✐t❤ ❡❛❝❤

ni ∈ {✵, ✶, ✷}✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ δ✸ : Z+ → N ∪ {∞} ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② δ✸(n) = ♠❛①{i : ni = ✶} ✐❢ ni = ✶ ❢♦r s♦♠❡ i ≥ ✵, ∞ ✐❢ ni = ✶ ❢♦r ❛❧❧ i ≥ ✵. ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ n ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❞✐❣✐t ✶ t❤❡♥ δ✸(n) = ∞✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ δ✸(n) ✐s t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❞✐❣✐t ✶ ✐♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ n✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ δ✸(✷✹) = ∞ s✐♥❝❡ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✹ ✐s ✷✷✵(✸) = ✷ · ✸✷ + ✷ · ✸✶ + ✵ · ✸✵ ❛♥❞ δ✸(✻✹) = ✷ s✐♥❝❡ ✻✹ = ✷✶✵✶(✸) = ✷ · ✸✸ + ✶ · ✸✷ + ✵ · ✸✶ + ✶ · ✸✵✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✽ ✴ ✸✸

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SLIDE 37

❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r n ≥ ✶ s✉❝❤ t❤❛t k(n, e) ≡ ✸, ✻ (♠♦❞ ✾) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ e ❝♦♥t❛✐♥s ❛ ❞✐❣✐t ✶ ✐♥ ✐ts ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

❙♦♠❡ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

▲❡♠♠❛ ✶✳ ■❢ n = nt . . . n✵(✸) ❛♥❞ e = et . . . e✵(✸)✱ t❤❡♥ k(n, e) ≡ t

i=✵ k(ni, ei) (♠♦❞ ✸)✳

▲❡♠♠❛ ✷✳ ■❢ n = ✸m+✶ + ✸m✱ m ≥ ✷ t❤❡♥ k(n, e) ≡ ✶ − ✸

e

✸m−✶

+ ✸
e

✷·✸m−✶

− ✹
e

✸·✸m−✶

+ ✻
e

✻·✸m−✶

−

✹

e

✾·✸m−✶

+ ✸
e

✶✵·✸m−✶

− ✸
e

✶✶·✸m−✶

+
e

✶✷·✸m−✶

(♠♦❞ ✾)✳

▲❡♠♠❛ ✸✳ ▲❡t e = et . . . e✵(✸)✳ ❚❤❡♥✱

e

k·✸m−✶

≡

em+✷·✸✹+em+✶··✸✸+em·✸✷+em−✶·✸+em−✷

✵·✸✹+k✷·✸✸+k✶·✸✷+k✵·✸+✵

(♠♦❞ ✾)✳

▲❡♠♠❛ ✹✳ ▲❡t n = ✸m+✶ + ✸m✱ m ≥ ✷ ❛♥❞ δ✸(e) = m + ✶✳ ❚❤❡♥✱ k(n, e) ≡ ✸, ✻ (♠♦❞ ✾)✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷✾ ✴ ✸✸

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SLIDE 38

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t n = ✸m+✶ + ✸m✱ m ≥ ✷✱ e ≥ ✶ s✉❝❤ t❤❛t δ✸(e) = m + ✶✳ ❚❤❡♥✱ p(n, e) ≡ ✵ (♠♦❞ ✸)✳

❈♦r♦❧❧❛r②

■❢ δ✸(e) ≥ ✸✱ t❤❡♥ ❩●(e) = ∅ ✭s✐♥❝❡ ✸δ✸(e) + ✸δ✸(e)−✶ ∈ ❩●(e)✮✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

■❢ δ✸(e) ∈ {✶, ✷} t❤❡♥ t❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ s❡t ❩●(e) ❤❛s ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ❝♦♥s✐st ✐♥ ♣r♦✈✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢❛❝ts ❢♦r a, b ✇✐t❤ δ✸(b) = ∞✳ ✐✮ ■❢ a ∈ {✸, ✺} ❛♥❞ e = a + ✸✷b✱ t❤❡♥ ✶✷ ∈ ❩●(e)✳ ✐✐✮ ■❢ e = ✹ + ✸✷b✱ t❤❡♥ ✸ ∈ ❩●(e)✳ ✐✐✐✮ ■❢ ✾ ≤ a < ✶✽ ❛♥❞ e = a + ✸✸b✱ t❤❡♥ ✶✷ ∈ ❩●(e)✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

■❢ δ✸(e) = ✵ t❤❡♥ p(n, e) ≡ ✵ (♠♦❞ ✸)✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✸✵ ✴ ✸✸

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SLIDE 39

❚❤❡♦r❡♠

▲❡t E = {e ≥ ✶ : ✶ ≤ δ✸(e) < ∞} ❛♥❞ e ∈ E✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ✐♥ Zn ❢♦r ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ✈❛❧✉❡s ♦❢ n✳

❖❜s✳ E ❤❛s ❞❡♥s✐t② ♦♥❡ ❛s s✉❜s❡t ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡rs

▲❡t N ≥ ✶ ❛♥❞ h ≥ ✶ s✉❝❤ t❤❛t ✸h−✶ ≤ N < ✸h✳ ❲❡ ❤❛✈❡

✶ ≥#{e ≤ N : ✶ ≤ δ✸(e) < ∞} N =✶ − #{e ≤ N : δ✸(e) = ✵} N − #{e ≤ N : δ✸(e) = ∞} N ≥✶ − #{e < ✸h : δ✸(e) = ✵} ✸h−✶ − #{e < ✸h : δ✸(e) = ∞} ✸h−✶ = ✶ − ✷h−✶ ✸h−✶ − ✷h ✸h−✶

❙✐♥❝❡ h = ⌊❧♦❣✸(N)⌋ + ✶ → ∞ ✇❤❡♥ N → ∞✱ ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛❜♦✈❡✱ ❞❡♥s(E) = ✶✳

❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✸✶ ✴ ✸✸

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SLIDE 40

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SLIDE 41

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