st r e rt - PowerPoint PPT Presentation

◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ e ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❈❛♠♣✐♥❛s✱ ❇r❛③✐❧ ❏✉❧② ✷✺✱ ✷✵✶✽ ✲ ■▼❊❈❈✱ ❯♥✐❝❛♠♣

❈♦♥t❡♥ts ◆♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ✶ P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z ✲ ❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✷ ❚❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♦✉r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ✸ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✷ ✴ ✸✸

❈♦♥t❡♥ts ◆♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ✶ P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z ✲ ❚❤❡ ●♦❧♦♠❜✲❲❡❧❝❤ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✷ ❚❤❡ ❩❤❛♥❣✲●❡ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ♦✉r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ✸ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✸ ✴ ✸✸

❇❛s✐❝s ♦♥ ▲❡❡ ❝♦❞❡s ▲✐♥❡❛r ❝♦❞❡s ♦✈❡r Z q ❛♥❞ ♦✈❡r Z ▲❡t R = Z ♦r Z q ✳ C ✐s ❛ ❝♦❞❡ ♦✈❡r R ✐❢ C ⊆ R n ❢♦r s♦♠❡ n ∈ Z + ✳ C ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r ❝♦❞❡ ✐❢ C ✐s ❛♥ ❛❞❞✐t✐✈❡ s✉❜❣r♦✉♣ ♦❢ R n ✳ ❆ ❧✐♥❡❛r ❝♦❞❡ C ⊆ Z n ✐s q ✲♣❡r✐♦❞✐❝ ✐❢ q Z n ⊆ C ✳ � ▲✐♥❡❛r ❝♦❞❡s � q ✲♣❡r✐♦❞✐❝ ❧✐♥❡❛r � � ← → C ⊆ Z n ❝♦❞❡s C ⊆ Z n q ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ � ♠✐♥ {| x − y | , q − | x − y |} ✐❢ x , y ∈ Z q d ( x , y ) := | x − y | ✐❢ x , y ∈ Z ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✹ ✴ ✸✸

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ � ♠✐♥ {| x − y | , q − | x − y |} ✐❢ x , y ∈ Z q d ( x , y ) := | x − y | ✐❢ x , y ∈ Z ❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ ♦✈❡r Z ✾ ❈♦♥s✐❞❡r x = ✼ , y = ✷ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✺ ✴ ✸✸

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ � ♠✐♥ {| x − y | , q − | x − y |} ✐❢ x , y ∈ Z q d ( x , y ) := | x − y | ✐❢ x , y ∈ Z ❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ ♦✈❡r Z ✾ ❈♦♥s✐❞❡r x = ✼ , y = ✷ ⇒ | x − y | = ✺ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✻ ✴ ✸✸

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ � ♠✐♥ {| x − y | , q − | x − y |} ✐❢ x , y ∈ Z q d ( x , y ) := | x − y | ✐❢ x , y ∈ Z ❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ ♦✈❡r Z ✾ ❈♦♥s✐❞❡r x = ✼ , y = ✷ ⇒ | x − y | = ✺ , q − | x − y | = ✹ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✼ ✴ ✸✸

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ � ♠✐♥ {| x − y | , q − | x − y |} ✐❢ x , y ∈ Z q d ( x , y ) := | x − y | ✐❢ x , y ∈ Z ❊①❛♠♣❧❡✿ ❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ ♦✈❡r Z ✾ ❈♦♥s✐❞❡r x = ✼ , y = ✷ ⇒ | x − y | = ✺ , q − | x − y | = ✹ ⇒ d ( ✼ , ✷ ) = ✹✳ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✽ ✴ ✸✸

❚❤❡ ▲❡❡ ♠❡tr✐❝ � ♠✐♥ {| x − y | , q − | x − y |} ✐❢ x , y ∈ Z q d ( x , y ) := | x − y | ✐❢ x , y ∈ Z ❋♦r ✇♦r❞s x = ( x ✶ , . . . , x n ) , y = ( y ✶ , . . . , y n ) ∈ R n ✭ R = Z q ♦r Z ✮✿ n � d ( x , y ) := d ( x i , y i ) . i = ✶ ❚❤❡ ▲❡❡ ❜❛❧❧s ❋♦r x = ( x ✶ , . . . , x n ) ∈ R n ✭ R = Z q ♦r Z ✮ ❛♥❞ e ≥ ✵✿ B ( x , e ) := { y ∈ R n : d ( x , y ) ≤ e } = x + B ( ✵ , e ) . ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✾ ✴ ✸✸

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z ✷ ✾ ❋✐❣✉r❡✳ B (( ✵ , ✵ ) , ✵ ) = { ( ✵ , ✵ ) } ✳ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✵ ✴ ✸✸

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z ✷ ✾ ❋✐❣✉r❡✳ B (( ✵ , ✵ ) , ✶ ) = { ( ✵ , ✵ ) , ( ✵ , ± ✶ ) , ( ± ✶ , ✵ ) } ✳ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✶ ✴ ✸✸

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z ✷ ✾ ❋✐❣✉r❡✳ B (( ✵ , ✵ ) , ✷ ) = { ( ✵ , ✵ ) , ( ✵ , ± ✶ ) , ( ± ✶ , ✵ ) , ( ± ✶ , ± ✶ ) , ( ✵ , ± ✷ ) , ( ± ✷ , ✵ ) } ✳ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✷ ✴ ✸✸

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z ✷ ✾ ❋✐❣✉r❡✳ B (( ✼ , ✶ ) , ✷ ) = ( ✼ , ✶ ) + B (( ✵ , ✵ ) , ✷ ) ✳ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✸ ✴ ✸✸

▲❡❡ ❜❛❧❧s ✐♥ Z ✷ ✾ ❋✐❣✉r❡✳ B (( ✷ , ✺ ) , ✷ ) = ( ✷ , ✺ ) + B (( ✵ , ✵ ) , ✷ ) ✳ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✹ ✴ ✸✸

✷ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❡r❢❡❝t ❝♦❞❡ ✐♥ ✶✸ P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s C ⊆ R n ✭ R = Z q ♦r Z ✮ ✐s ❛♥ e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡ ✐❢ R n = � B ( c , e ) , c ∈ C ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✺ ✴ ✸✸

P❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s C ⊆ R n ✭ R = Z q ♦r Z ✮ ✐s ❛♥ e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡ ✐❢ R n = � B ( c , e ) , c ∈ C ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣❡r❢❡❝t ❝♦❞❡ ✐♥ Z ✷ ✶✸ ❈❧❛✉❞✐♦ ◗✉r❡s❤✐ ✭❯♥✐❝❛♠♣✮ ◆♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r e ✲♣❡r❢❡❝t ▲❡❡ ❝♦❞❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜❛s❡✲✸ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✺✴✵✼✴✷✵✶✽ ✶✺ ✴ ✸✸