Shear viscosity and entropy of a hadron gas presented by - - PowerPoint PPT Presentation

Shear ¡viscosity ¡and ¡entropy ¡

• f ¡a ¡hadron ¡gas ¡

presented ¡by ¡Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡

with ¡D. ¡Oliinychenko, ¡J. ¡Torres-­‑Rincon, ¡A. ¡Schäfer, ¡H. ¡Petersen ¡

FAIRNESS ¡Workshop, ¡Sitges, ¡Spain, ¡June ¡1st, ¡2017 ¡

Outline ¡

• 1. Intro: ¡Viscosity ¡of ¡the ¡hadron ¡gas ¡
• 2. Transport ¡
• SMASH ¡
• 3. Viscosity ¡consideraRons ¡
• Green-­‑Kubo ¡formalism ¡
• Test ¡case: ¡Pion ¡gas ¡
• 4. Entropy ¡consideraRons ¡
• 5. Results ¡
• Full ¡hadron ¡gas ¡viscosity ¡
• 6. Conclusion ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 2 ¡ 1/06/2017 ¡

What ¡is ¡the ¡hadron ¡gas? ¡

1/06/2017 ¡ 3 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡

Viscosity ¡in ¡heavy ¡ion ¡collisions ¡

• RHIC ¡and ¡LHC ¡

measured ¡large ¡ellipRc ¡ flow ¡at ¡the ¡high ¡ energies ¡ corresponding ¡to ¡what ¡ is ¡thought ¡to ¡be ¡QGP ¡

• Hydrodynamics ¡

relaRvely ¡successful ¡at ¡ explaining ¡this ¡with ¡ small ¡η/s ¡

• SRll ¡not ¡clear ¡what ¡the ¡

behavior ¡of ¡η/s ¡is ¡at ¡ low ¡energies ¡(FAIR, ¡ late ¡stage ¡RHIC/LHC) ¡

4 ¡

Luzum ¡& ¡Romatschke ¡10.1103/PhysRevC.78.034915 ¡

NPart ¡

V2 ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Luzum ¡& ¡Romatschke ¡10.1103/Phys. ¡Rev. ¡C ¡78.034915 ¡

What ¡is ¡viscosity? ¡

5 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

¡Viscosity ¡is ¡a ¡ measure ¡of ¡the ¡ fricRon ¡between ¡ layers ¡of ¡a ¡fluid ¡

Wikipedia-­‑Viscosity ¡

• Hydrodynamics ¡is ¡conservaRon ¡laws: ¡

¡

• With ¡1st ¡order ¡dissipaRve ¡correcRons ¡(Navier-­‑Stokes): ¡

...and ¡why ¡do ¡we ¡need ¡it? ¡

6 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

¡Viscosity ¡is ¡a ¡ measure ¡of ¡the ¡ fricRon ¡between ¡ layers ¡of ¡a ¡fluid ¡

Wikipedia-­‑Viscosity ¡

• Hydrodynamics ¡is ¡conservaRon ¡laws: ¡

¡

• With ¡1st ¡order ¡dissipaRve ¡correcRons ¡(Navier-­‑Stokes): ¡

...and ¡why ¡do ¡we ¡need ¡it? ¡

7 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

¡Viscosity ¡is ¡a ¡ measure ¡of ¡the ¡ fricRon ¡between ¡ layers ¡of ¡a ¡fluid ¡

Bulk ¡ Shear ¡

How ¡low ¡is ¡low? ¡

8 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

• A. ¡Adams, ¡L. ¡D. ¡Carr, ¡T. ¡Schäfer, ¡P. ¡Steinberg, ¡J ¡E ¡Thomas, ¡New ¡J. ¡Phys. ¡15 ¡(2013) ¡045022 ¡

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

T (GeV)

0.5 1 1.5 2

η/s

Romatschke&Pratt Song,Bass&Heinz QGP η/s=0.16 Song,Bass&Heinz QGP η/s=0.08 Demir&Bass /T~(0.0-0.2)

μB ¡

Previous ¡HG ¡viscosity ¡calculaRons ¡

1/06/2017 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 9 ¡

• ­‑Romatschke ¡& ¡Prah, ¡arXiV:1409.0010v1 ¡
• ­‑Song, ¡Bass ¡& ¡Heinz, ¡Phys. ¡Rev. ¡C83 ¡(2011) ¡024912 ¡
• ­‑Demir ¡& ¡Bass, ¡Phys.Rev.Leh. ¡102 ¡(2009) ¡172302 ¡

¡

MulRple ¡descripRons ¡inconsistent ¡with ¡each ¡other! ¡

η/s ¡ T(GeV) ¡

Transport ¡approaches ¡

• Transport ¡models ¡are ¡

3D ¡billiard ¡tables ¡

• But... ¡

– Balls ¡do ¡not ¡see ¡each ¡

• ther ¡as ¡being ¡the ¡

same ¡size ¡ – Balls ¡can ¡annihilate ¡ – Balls ¡can ¡decay ¡ – Balls ¡can ¡become ¡

• ther ¡balls ¡on ¡collision ¡

10 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Transport ¡approaches ¡

• Transport ¡models ¡are ¡

3D ¡billiard ¡tables ¡

• But... ¡

– Balls ¡do ¡not ¡see ¡each ¡

• ther ¡as ¡being ¡the ¡

same ¡size ¡ – Balls ¡can ¡annihilate ¡ – Balls ¡can ¡decay ¡ – Balls ¡can ¡become ¡

• ther ¡balls ¡on ¡collision ¡

11 ¡

(balls ¡are ¡parRcles) ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Transport ¡approaches ¡

• More ¡fundamentally, ¡transport ¡

effec$vely ¡solves ¡the ¡Boltzmann ¡ equa?on: ¡

¡where ¡fi(x,p) ¡is ¡the ¡one-­‑parRcle ¡ distribuRon ¡funcRon, ¡Fα ¡the ¡force ¡ experienced ¡by ¡parRcles ¡and ¡Ci

coll ¡is ¡the ¡

collision ¡term. ¡

¡

• Each ¡par?cles ¡species ¡is ¡represented ¡

with ¡point-­‑like ¡test ¡par?cles ¡

– The ¡default ¡is ¡1 ¡test ¡parRcle, ¡which ¡then ¡ corresponds ¡to ¡the ¡physical ¡parRcle ¡ – As ¡the ¡number ¡of ¡test ¡parRcles ¡per ¡ physical ¡parRcle ¡increases, ¡we ¡recover ¡the ¡ smooth ¡distribuRons ¡of ¡the ¡Boltzmann ¡ equaRon ¡

12 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

The ¡transport ¡code ¡: ¡SMASH ¡

• SMASH ¡is ¡a ¡new ¡

transport ¡code ¡

– Geometric ¡ collision ¡criterion ¡ – Cross-­‑secRons ¡ built ¡from ¡a ¡ resonance ¡model ¡ – All ¡PDG ¡ resonances ¡up ¡to ¡ a ¡mass ¡of ¡2.3 ¡GeV ¡ – 2-­‑to-­‑1 ¡and ¡2-­‑to-­‑2 ¡ collisions ¡

13 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Weil ¡et ¡al., ¡Phys. ¡Rev. ¡C94 ¡(2016) ¡no.5, ¡054905 ¡

N+π+ ¡ √s ¡(GeV) ¡

¡σ ¡(mb) ¡

500 1000 1500 2000 2500 3000

t (fm)

100 200 300 400 500

number of particles

π ρ Κ Ν Δ

Viscosity ¡in ¡SMASH ¡

• Box ¡calcula?ons ¡

simula?ng ¡infinite ¡ maKer ¡to ¡apply ¡the ¡ Green-­‑Kubo ¡procedure ¡ ¡

• MUST ¡have ¡thermal ¡& ¡

chemical ¡equilibrium ¡ – Baryon/anRbaryon ¡ annihilaRon ¡ implemented ¡to ¡ conserve ¡detailed ¡ balance ¡via ¡an ¡ average ¡decay ¡to ¡ 5π ¡

14 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Number ¡of ¡parRcles ¡ t ¡(fm) ¡

2 4 6 8 10 12 14

t (fm)

1x10-9 1x10-8 1x10-7 1x10-6 0.00001

C(t)

The ¡shear ¡viscosity ¡ is ¡calculated ¡from ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ where ¡ ¡ ¡ and ¡ ¡

15 ¡

N ¡is ¡the ¡number ¡of ¡Rme ¡steps, ¡and ¡Npart ¡the ¡number ¡of ¡parRcles ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Green-­‑Kubo ¡Formalism ¡

Tail ¡is ¡pure ¡noise! ¡

t ¡(fm) ¡ C ¡(t) ¡

It ¡has ¡been ¡shown ¡that ¡ the ¡correlaRon ¡ funcRon ¡in ¡ ¡ ¡ Follows ¡ ¡ ¡ So ¡that ¡ ¡

Green-­‑Kubo ¡Formalism ¡

16 ¡

2 4 6 8 10 12 14

t (fm)

1x10-9 1x10-8 1x10-7 1x10-6 0.00001

C(t)

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Follows ¡exponenRal ¡decay ¡

C ¡(t) ¡ t ¡(fm) ¡

Test ¡case ¡: ¡Pion ¡box ¡

17 ¡

10 20 30 40 50 60

t (fm)

0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3

T(GeV)

SMASH Temperature Initialization temperature

• Pions ¡in ¡a ¡(20 ¡fm)3 ¡box ¡

simulaRng ¡infinite ¡ maher ¡

¡

• Constant, ¡isotropic ¡σ ¡

¡

• Runs ¡for ¡tmax=200 ¡fm ¡

¡

• IniRalized ¡with ¡iniRal ¡

densiRes ¡consistent ¡ with ¡Boltzmann ¡ideal ¡ gas ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Box ¡is ¡thermal ¡

t ¡(fm) ¡ T ¡(GeV) ¡

• J. ¡Torres-­‑Rincon, ¡PhD ¡dissertaRon ¡(2012), ¡Hadronic ¡Transport ¡Coefficients ¡from ¡Effec@ve ¡Field ¡Theories ¡

18 ¡ 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

T (GeV)

0.05 0.1 0.15 0.2

η (GeV fm⁻²)

SMASH σ=20mb Chapman-Enskog σ=20mb 1/06/2017 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡

Pion ¡box ¡: ¡Temperature ¡dependence ¡

Maximum ¡difference ¡is ¡3% ¡

T ¡(GeV) ¡

η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡

0.2 0.4 0.6 0.8

m (GeV)

0.05 0.1 0.15 0.2

η (GeV fm⁻²)

SMASH T=150 MeV σ=20 mb Chapman-Enskog T=150 MeV σ=20 mb

Pion ¡box ¡: ¡Cross-­‑secRon/mass ¡ dependence ¡

19 ¡

Very ¡good ¡agreement ¡with ¡analyRcal ¡calculaRons! ¡

10 20 30 40 50 60

σ (mb)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

η (GeV fm⁻²)

SMASH T=150MeV Chapman-Enskog T=150MeV

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡ σ ¡(mb) ¡ m ¡(GeV) ¡

2 4 6 8 10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

T=150MeV T=125MeV T=100MeV

test ¡parRcles ¡ η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡

0.1 1 10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

T=150MeV

T=125MeV

T=100MeV

ρ/ρtherm ¡ η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡

20 ¡

100 1000 10000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

T=150MeV T=125MeV T=100MeV

number ¡of ¡events ¡ η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡

Main ¡take-­‑away: ¡

¡

The ¡method ¡is ¡relaRvely ¡ inelasRc ¡to ¡variaRons ¡of ¡most ¡ parameters; ¡maximum ¡error ¡ is ¡less ¡than ¡10% ¡

Pion ¡box ¡: ¡SystemaRcs ¡

1/06/2017 ¡

η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡ η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡ η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡

Number ¡of ¡events ¡ Test ¡parRcles ¡

ρ/ρtherm ¡

The ¡entropy ¡density ¡can ¡be ¡calculated ¡from ¡the ¡Gibbs ¡ formula: ¡ ¡ ¡ where ¡the ¡energy ¡density ¡and ¡pressure ¡can ¡be ¡taken ¡from ¡ the ¡average ¡shear-­‑stress ¡tensor ¡according ¡to: ¡ ¡ ¡ Assuming ¡a ¡nearly ¡ideal ¡gas, ¡one ¡can ¡fit ¡the ¡temperature ¡ and ¡chemical ¡potenRal ¡with ¡momentum ¡distribuRons: ¡ ¡ ¡ ¡

What ¡about ¡entropy? ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 21 ¡ 1/06/2017 ¡

The ¡entropy ¡density ¡can ¡be ¡calculated ¡from ¡the ¡Gibbs ¡ formula: ¡ ¡ ¡ where ¡the ¡energy ¡density ¡and ¡pressure ¡can ¡be ¡taken ¡from ¡ the ¡average ¡shear-­‑stress ¡tensor ¡according ¡to: ¡ ¡ ¡ Assuming ¡a ¡nearly ¡ideal ¡gas, ¡one ¡can ¡fit ¡the ¡temperature ¡ and ¡chemical ¡potenRal ¡with ¡momentum ¡distribuRons: ¡ ¡ ¡ ¡

What ¡about ¡entropy? ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 22 ¡ 1/06/2017 ¡

When ¡is ¡this ¡correct? ¡

200 400 600 800 1000

t (fm)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Tᵘᵛ (GeV fm⁻³)

T⁰ˣ Tˣˣ Tˣʸ

200 400 600 800 1000

t (fm)

• 0.05

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Tᵘᵛ (GeV fm⁻³)

T⁰⁰ T⁰ˣ Tˣˣ Tˣʸ

Energy ¡density ¡and ¡pressure ¡

23 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 28/03/2017 ¡

FluctuaRon ¡amplitude ¡is ¡indeed ¡ small ¡vs ¡avg. ¡p ¡and ¡e ¡

TUV ¡(GeV ¡fm-­‑3) ¡ t ¡(fm) ¡ t ¡(fm) ¡

200 400 600 800 1000

t (fm)

• 0.05

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Tᵘᵛ (GeV fm⁻³)

T⁰⁰ T⁰ˣ Tˣˣ Tˣʸ

Energy ¡density ¡and ¡pressure ¡

24 ¡

In ¡the ¡range ¡of ¡typical ¡ hadron ¡gas ¡equaRon ¡of ¡state ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

TUV ¡(GeV ¡fm-­‑3) ¡ t ¡(fm) ¡

500 1000 1500 2000 2500 3000

t (fm)

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

T (GeV)

• All ¡parRcles ¡and ¡

resonances ¡iniRalized ¡to ¡ thermal ¡mulRpliciRes ¡

• Must ¡wait ¡for ¡

equilibraRon ¡and ¡ compute ¡T, ¡μ ¡once ¡in ¡ equilibrium ¡from ¡most ¡ abundant ¡parRcles ¡

– T ¡fihed ¡from ¡weighted ¡ momentum ¡spectra ¡of ¡ π, ¡Κ ¡& ¡Ν ¡ – μB ¡obtained ¡from ¡ Ν ¡/ ¡anR-­‑Ν ¡raRo ¡

25 ¡

Hadron ¡Gas ¡(HG) ¡

Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

t ¡(fm) ¡ T ¡(GeV) ¡

HG: ¡ParRcle ¡list ¡

1/06/2017 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 26 ¡

N ¡ Δ ¡ Λ ¡ Σ ¡ Ξ ¡ Ω ¡ N938 ¡ N1462 ¡ N1515 ¡ N1535 ¡ N1655 ¡ N1675 ¡ N1685 ¡ N1700 ¡ N1710 ¡ N1720 ¡ N1875 ¡ N1900 ¡ N1990 ¡ N2000 ¡ N2190 ¡ N2220 ¡ N2250 ¡ ¡

¡

¡ ¡

Δ1232 ¡ Δ1620 ¡ Δ1700 ¡ Δ1905 ¡ Δ1910 ¡ Δ1920 ¡ Δ1930 ¡ Δ1950 ¡ Λ1116 ¡ Λ1405 ¡ Λ1520 ¡ Λ1600 ¡ Λ1670 ¡ Λ1690 ¡ Λ1800 ¡ Λ1810 ¡ Λ1820 ¡ Λ1830 ¡ Λ1890 ¡ Λ2100 ¡ Λ2110 ¡ Λ2350 ¡ Σ1189 ¡ Σ1385 ¡ Σ1660 ¡ Σ1670 ¡ Σ1750 ¡ Σ1775 ¡ Σ1915 ¡ Σ1940 ¡ Σ2030 ¡ Σ2250 ¡ Ξ1321 ¡ Ξ1532 ¡ Ξ1690 ¡ Ξ1820 ¡ Ξ1950 ¡ Ξ2030 ¡ Ω-­‑

1672 ¡

Ω-­‑

2252 ¡

Unflavored ¡ Strange ¡ π138 ¡ π1300 ¡ π1800 ¡ ¡ η548 ¡ η’958 ¡ η1295 ¡ η1405 ¡ η1475 ¡ ¡ σ800 ¡ ¡ ρ776 ¡ ρ1450 ¡ ρ1700 ¡ ¡ ω783 ¡ ω1420 ¡ ω1650 ¡ f0 ¡980 ¡ f0 ¡1370 ¡ f0 ¡1500 ¡ f0 ¡1710 ¡ ¡ a0 ¡980 ¡ a0 ¡1450 ¡ ¡ φ1019 ¡ φ1680 ¡ ¡ h1 ¡1170 ¡ ¡ b1 ¡1235 ¡ ¡ a1 ¡1260 ¡ f2 ¡1275 ¡ f2

’ 1525 ¡

f2 ¡1950 ¡ f2 ¡2010 ¡ f2 ¡2300 ¡ f2 ¡2340 ¡ ¡ f1 ¡1285 ¡ f1 ¡1420 ¡ ¡ a2 ¡1320 ¡ ¡ π1 ¡1400 ¡ π1 ¡1600 ¡ ¡ η2 ¡1645 ¡ ¡ ω3 ¡1670 ¡ π2 ¡1670 ¡ ¡ ρ3 ¡1690 ¡ ¡ φ3 ¡1850 ¡ ¡ a4 ¡2040 ¡ ¡ f4 ¡2050 ¡ K494 ¡ K*892 ¡ K1 ¡1270 ¡ K1 ¡1400 ¡ K*1410 ¡ K0*1430 ¡ K2*1430 ¡ K*1680 ¡ K2 ¡1770 ¡ K3*1780 ¡ K2 ¡1820 ¡ K4*2045 ¡

1/06/2017 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

T (GeV)

1 2 3 4

η/s

Romatschke&Pratt Song,Bass&Heinz QGP η/s=0.16 Song,Bass&Heinz QGP η/s=0.08 Demir&Bass μ/T~(0.0-0.2) Demir&Bass μ/T~(2.0-2.9) Full SMASH μ/T~(0.0) Full SMASH μ/T~(1.7-3.7)

27 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

HG: ¡Viscosity ¡Comparison ¡

T ¡(GeV) ¡

η/s ¡

Comparing ¡η ¡and ¡s ¡

28 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡

0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

T (GeV)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

η (GeV fm⁻²)

Full SMASH μ/T~(0.0) Full SMASH μ/T~(1.7-3.7) 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

T (GeV)

1 2 3 4 5 6 7

s (fm⁻³)

Demir UrQMD μ/Τ~(0.0-0.2) Full SMASH μ/T~(0.0) Full SMASH μ/T~(1.7-3.7)

Viscosity ¡decreases ¡slower ¡at ¡small ¡ temperatures; ¡explains ¡rise ¡of ¡η/s ¡

η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡

T ¡(GeV) ¡ T ¡(GeV) ¡

s ¡( ¡fm-­‑3) ¡

1/06/2017 ¡

Comparing ¡η ¡and ¡s ¡

29 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡

0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

T (GeV)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

η (GeV fm⁻²)

Full SMASH μ/T~(0.0) Full SMASH μ/T~(1.7-3.7) 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

T (GeV)

1 2 3 4 5 6 7

s (fm⁻³)

Demir UrQMD μ/Τ~(0.0-0.2) Full SMASH μ/T~(0.0) Full SMASH μ/T~(1.7-3.7)

Although ¡comparison ¡is ¡difficult, ¡ SMASH ¡entropy ¡density ¡slightly ¡ higher ¡than ¡previous ¡calculaRon ¡

η ¡(GeV ¡fm-­‑2) ¡ s ¡( ¡fm-­‑3) ¡

T ¡(GeV) ¡ T ¡(GeV) ¡

1/06/2017 ¡

Summary ¡& ¡Outlook ¡

• Inves?gated ¡temperature, ¡cross-­‑sec?on ¡and ¡mass ¡

dependence ¡of ¡the ¡shear ¡viscosity ¡in ¡an ¡elas?c ¡pion ¡box ¡

– Very ¡good ¡agreement ¡with ¡Chapman-­‑Enskog ¡approximaRon ¡(within ¡3%) ¡ – SystemaRcs ¡show ¡that ¡the ¡method ¡is ¡robust ¡to ¡variaRon ¡of ¡most ¡ parameters ¡

• Full ¡hadron ¡gas ¡η/s ¡calculated ¡

– Has ¡the ¡expected ¡decreasing ¡profile ¡ – Final ¡results ¡are ¡in ¡qualitaRve ¡agreement ¡with ¡previous ¡calculaRons, ¡but ¡ not ¡in ¡full ¡agreement ¡with ¡any ¡

• Outlook: ¡

– InvesRgaRon ¡of ¡a ¡π-­‑ρ-­‑σ ¡box ¡and ¡comparison ¡with ¡Chapman-­‑Enskog ¡analyRcal ¡ calculaRons ¡ – Comparison ¡of ¡SMASH/UrQMD ¡(viscosity, ¡entropy, ¡cross-­‑secRons) ¡ – More ¡thorough ¡invesRgaRon ¡of ¡the ¡µB, ¡µS ¡parameter ¡space ¡ – Other ¡transport ¡coefficients ¡(electrical ¡conducRvity, ¡bulk ¡viscosity, ¡etc.) ¡

30 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 1/06/2017 ¡

Backup ¡

1/06/2017 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 31 ¡

2 4 6 8 10 12 14

t (fm)

1x10-9 1x10-8 1x10-7 1x10-6 0.00001

C(t)

Green-­‑Kubo ¡Fit ¡

The ¡exponenRal ¡fit: ¡

• 1. Calculate ¡errors ¡
• n ¡an ¡averaged ¡

autocorrelator ¡ for ¡every ¡Rme ¡ difference ¡

• 2. Determine ¡a ¡

maximal ¡relaRve ¡ error ¡tolerance ¡ (4% ¡in ¡this ¡case) ¡

• 3. Calculate ¡C(0), ¡τ, ¡

and ¡finally ¡η ¡

1/06/2017 ¡ 32 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡

Follows ¡exponenRal ¡decay ¡

Viscosity ¡in ¡the ¡Hadron ¡gas ¡

¡ ¡ ¡What ¡about ¡low ¡ temperatures? ¡

1/06/2017 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 33 ¡

Romatschke ¡& ¡Prah, ¡arXiV:1409.0010v1 ¡

• Cascade ¡code ¡B3D, ¡

iniRalize ¡over ¡large ¡2D ¡area ¡ at ¡mid ¡rapidity, ¡with ¡Tμν ¡ modified ¡such ¡that ¡

• WriRng ¡evoluRon ¡

equaRon ¡using ¡Φ=-­‑πzz ¡ iniRalized ¡where ¡dΦ/dτ=0. ¡ ¡

Viscosity ¡in ¡the ¡Hadron ¡gas ¡

1/06/2017 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 34 ¡

¡ ¡ ¡What ¡about ¡low ¡ temperatures? ¡

Song, ¡Bass ¡& ¡Heinz, ¡Phys. ¡Rev. ¡C83 ¡(2011) ¡024912 ¡

• UrQMD ¡coupled ¡with ¡VISH2+1 ¡
• Progressively ¡lowering ¡the ¡

coupling ¡temperature ¡

• Each ¡step, ¡the ¡η/s ¡of ¡VISH2+1 ¡

is ¡adjusted ¡so ¡that ¡there ¡is ¡no ¡ pion ¡v2 ¡buildup ¡

• Take ¡this ¡η/s ¡to ¡be ¡the ¡

effecRve ¡UrQMD ¡η/s ¡at ¡this ¡ temperature ¡

• Non-­‑universal: ¡changing ¡the ¡

QGP ¡η/s ¡changes ¡the ¡results ¡

Viscosity ¡in ¡the ¡Hadron ¡gas ¡

1/06/2017 ¡ Jean-­‑Bernard ¡Rose ¡ 35 ¡

¡ ¡ ¡What ¡about ¡low ¡ temperatures? ¡

Demir ¡& ¡Bass, ¡Phys.Rev.Leh. ¡102 ¡(2009) ¡172302 ¡

• UrQMD ¡
• Box ¡calculaRon ¡
• Green-­‑Kubo ¡formalism ¡
• EssenRally ¡the ¡same ¡

procedure ¡that ¡we ¡used ¡