Mixing shear and dilation in marginal solids Brian Tighe with Ren - - PowerPoint PPT Presentation

Brian Tighe

Mixing shear and dilation in marginal solids

with René Pecnik and Ana Martin Calvo

• I. Dilation induced by shear
• II. Tuning shear compliance

with pre-tension

Mixing shear and dilation...

• I. Dilation induced by shear
• II. Tuning shear compliance

with pre-tension

Mixing shear and dilation...

Weaire

Hutzler

foam liquid

djl =

0.07 (BoIton

(a)

6 (o),

averaged

60,

(

• )

,

data

cljl <

Counterintuitive dilatancy

system expands

• r pressure increases
• O. Reynolds 1885

packings: system contracts

• r pressure decreases

networks:

Janmey et al. Nature Materials 2006 Conti & MacKintosh PRL 2008

Packings expand, networks contract: Why the difference?

Weaire & Hutzler, Phil. Mag. 2003

Ren, Dijksman & Behringer PRL 2013

Dilatancy enhanced near jamming

휙 ↗ RCP

ϵ L γ L normal stress p0

A nonlinear effect

✏ = 1 2Rp 2 + . . .

symmetry:

Rp = ✓ @2✏ @2 ◆

γ

Reynolds dilatancy coefficient

Weaire & Hutzler, Phil. Mag. 2003 Ren, Dijksman & Behringer, PRL 2013

Reynolds coefficient

Weaire & Hutzler, Phil. Mag. 2003 BPT, Gran. Matt. 2013

dU = −p dV − σV dγ

energy

dH = V dp − σV dγ

“enthalpy” ϵ L γ L

✓∂V ∂γ ◆

p

= − ✓∂ σV ∂p ◆

γ

Maxwell

expression for Rp assume a hyperelastic solid:

Rp = ✓∂G ∂p ◆

γ

− G E

Reynolds coefficient

shear modulus G > 0 Young’s modulus E > 0 typically E > G

Weaire & Hutzler, Phil. Mag. 2003 BPT, Gran. Matt. 2013

Rp = ✓∂G ∂p ◆

γ

− G E

magnitude >> 1 in marginal solids

Reynolds coefficient

shear modulus G > 0 Young’s modulus E > 0 typically E > G

' ✓∂G ∂p ◆

γ does compression stiffen or soften the shear modulus?

Weaire & Hutzler, Phil. Mag. 2003 BPT, Gran. Matt. 2013

• Soft spheres

Rp ∼ 1 p1/2 > 0

packings expand

Rp ' ✓∂G ∂p ◆

γ

G ∼ p1/2

O’Hern, Silbert, Liu & Nagel, PRE 2003

(Hookean)

BPT, Gran. Matt. 2013

Weaire

Hutzler

foam liquid

djl =

0.07 (BoIton

(a)

6 (o),

averaged

60,

(

• )

,

data

cljl <

Packings expand:

verified in model foams

Weaire & Hutzler, Phil. Mag. 2003

'

% . Y

E , 0.05

'0.1 . 1 5 . 2 0.25 0.3 . 3 5 0.4 . 4 5

G.Y

Hencky strain

• sn~otic

with foam softivare n/(y/R) undefortned

~ l 1 , ~

=

. 8 , I 7

6 > q~,,. n,,,,,,

j3(al).

shear strain pressure

• 1. Physical intuition?
• 2. What about networks?

• I. Dilation induced by shear
• II. Tuning shear compliance

with pre-tension

Mixing shear and dilation...

Tuning with tension

• unloaded state = floppy = tunable!

rest length

• keff ∼ p

p > 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f/fmax z < zc z > zc p = 10-1 p = 10-3 p = 0 tension coordination

Networks

rigid floppy

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f/fmax z < zc z > zc p = 10-1 p = 10-3 p = 0 tension coordination

Networks

ON OFF

Manipulating marginal matter

Brown et al, PNAS 2010

jammed = ON unjammed = OFF

jamming transition as a switch

z < zc p = 10-1 p = 10-3 p = 0

tension p

measure G

Rigidity induced by tension

rigidity: jamming transition as a switch ...or a knob

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

10-4 0.001 0.01 0.1 0.001 0.005 0.010 0.050 0.100 p G

Shear modulus

connectivity 4.5 4.0 3.5

z

modulus tension

G(p, z) |z − zc|µ = G ✓ p |z − zc|λ ◆

critical scaling

G p

Critical scaling

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

0.01 1 100 0.001 0.01 0.1 1 10 pê»Dz l Gê»Dz m l = 2.2, m = 1.1

G ∼ |∆z|µ

µ = 1.1 λ = 2.1

p/|∆z|λ

G/|∆z|µ

c.f. Thorpe et al., J. Non-Xtalline Solids 2000 Wyart, Liang, Kabla & Mahadevan, PRL 2008 Ellenbroek, Zeravcic & Van Hecke, EPL 2009 Zaccone & Scossa-Romano, PRB 2011 Broedersz, Mao, Lubensky & MacKintosh Nat. Mat. 2011 Tighe, PRL 2012

Critical scaling

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

0.01 1 100 0.001 0.01 0.1 1 10 pê»Dz l Gê»Dz m l = 2.2, m = 1.1

µ = 1.1 λ = 2.1

p/|∆z|λ

G/|∆z|µ

G ∼ pµ/λ

Critical scaling

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

0.01 1 100 0.001 0.01 0.1 1 10 pê»Dz l Gê»Dz m l = 2.2, m = 1.1

µ = 1.1 λ = 2.1

p/|∆z|λ

G/|∆z|µ

G ∼ p/|∆z|λ−µ

Critical scaling

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

0.01 1 100 0.001 0.01 0.1 1 10 pê»Dz l Gê»Dz m l = 2.2, m = 1.1

µ = 1.1 λ = 2.1

p/|∆z|λ

G/|∆z|µ

reversible tuning with tension diverging susceptibility

G ∼ ∆z

tensile load p excess coordination ∆z = z − zc

G ∼ p1/2

• nly rigid

under tension

G ∼ p/∆z

critical regime “classical” jammed solid

Spectra

frequency ω

gap: Düring et al, Soft Matter 2012

Density of States (DOS) tension

z < zc

Spectra

frequency ω area floppy modes

gap: Düring et al, Soft Matter 2012

Density of States (DOS)

∼ |∆z|

zero tension finite frequency modes

z < zc

Spectra

frequency ω

gap: Düring et al, Soft Matter 2012

Density of States (DOS) finite frequency modes area ~

p keff ∼ √p

tension

z < zc

|∆z|

0.01 0.05 0.10 0.50 1.00 5.00 10.00 0.05 0.10 0.20 0.50 1.00 2.00 frequency w DOS p = 10-3

Spectra

z → zc

p = 10-3 DOS frequency ω

0.001 0.01 0.1 1 10 0.05 0.10 0.50 1.00 5.00 10.00 frequency w DOS z = 3.54

Spectra

pressure

z = 3.5 DOS frequency ω

z < zc

1 G ∼ 1 N X

n

1 ω2

n

G ∼ p |∆z|

w/ high susceptibility modulus ↔ modes

∂G ∂p ∼ 1 |∆z|

Simple scaling argument

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

0.01 1 100 0.001 0.01 0.1 1 10 pê»Dz l Gê»Dz m

Critical scaling

µ = 1.1 λ = 2.1

p/|∆z|λ

G/|∆z|µ

G = G0∆z p 1 + c p/∆z2

upper branch:

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á ÁÁ Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

0.01 1 100 0.001 0.01 0.1 1 10 pê»Dz l Gê»Dz m

Critical scaling

µ = 1.1 λ = 2.1

p/|∆z|λ

(G − G|p→0)/|∆z|µ

Network dilatancy

networks contract

Rp ' ✓∂G ∂p ◆

γ

BPT, Gran. Matt. 2013

• Rp ∼ − 1

G < 0

G ∝ ∆z r 1 − const · p ∆z2

note sign convention

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı

0.001 0.01 0.1 1 10 100 10-7 10-5 0.001 0.1 10 1000 gêG0 dpêG0

2

Network dilatancy

finite size effect: Goodrich, Dagois-Bohy et al. (in prep) 2 1 constant normal stress: constant volume:

Rp ∼ 1/G

RV ∼ const

Intuiting dilatancy near jamming

compression destabilizes networks contract compression stabilizes

Rp ' ∂G ∂p > 0

packings expand

Rp ∼ ∂G ∂p < 0

Relating networks and packings

G ∝ ∆z r 1 − const · p ∆z2

stability:

∆z ≥ const · p1/2 G > 0

higher pressure = more contacts

effective volume fraction ! connectivity z

Katgert & Van Hecke, EPL 2010

G ∼ p1/2

• cf. Wyart et al, PRE 2005

Dilatancy and strain stiffening

G(∆z, p, γ) = G0(∆z, p) f(γ/γ∗)

Ansatz:

dilatant strain

strain γ y = x

ϵ L γ L

✏ = R2/2

γ∗ = 2/R

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1 2 5 10 20 50 gêG0n GêG0 n = 1.1

Dilatancy and strain stiffening

p = 10-3 ...10-1 ∆z = 0.01 ... 0.5 strain stiffening linear response cf Wyart et al., PRL 2008

1 1

γ/[G0(∆z, p)]ν G/G0(∆z, p)

ν = 1.1

Nonlinear bulk modulus

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á · · · · · · · · · · · · Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û Û ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

10-4 0.01 1 100 0.01 0.1 1 10 100 pê»Dz l pêeê»Dz m l = 2.2, m = 1.1

µ = 1.1 λ = 2.1 Kapp ≡ p/✏

p/|∆z|λ

Kapp/|∆z|µ

c.f. Sheinman, Broedersz, MacKintosh, PRE 2012 Wyart, Liang, Kabla, Mahadevan, PRL 2008

z < zc p = 10-1 p = 10-3 p = 0

packings expand / networks contract tunable shear modulus enhanced near jamming

P h D a n d P

• s

t d

• c

p

• s

i t i

• n

s a v a i l a b l e