s tr ts - - PowerPoint PPT Presentation

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M = X ❜❡ ❛♥ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✳ ❘❡❝❛❧❧✿

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M = X ❜❡ ❛♥ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✳ ❘❡❝❛❧❧✿

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M = X ❜❡ ❛♥ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✳ ❘❡❝❛❧❧✿

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⇒ s = te ❢♦r s♦♠❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t e❀

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▲❡t M = InvX | ui = vi (i ∈ I)✱ ❛♥❞ w ∈ (X ∪ X −✶)∗✳ ❚♦ ❜✉✐❧❞ SA(w)✱ ✶✳ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ w❀ ✷✳ ❡①♣❛♥❞✿ ✐❢ ♦♥❡ s✐❞❡ ♦❢ ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ✐s r❡❛❞❛❜❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♦t❤❡r ✐s ♥♦t✱ ❛❞❞ ✐t t♦ t❤❡ ❣r❛♣❤❀ ✸✳ ❢♦❧❞✿ ✐❢ u

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❆♥ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞ M ❛❝ts ♦♥ ❛ s❡t A ❜② ♣❛rt✐❛❧ ❜✐❥❡❝t✐♦♥s ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ϕ: M → SIM(A)✳ ❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r ♦❢ a✿ Stab(a) = {m ∈ M : a · m = a}✳ ◆♦t❡✿ ✐❢ ✱ ❛♥❞ ✱ t❤❡♥ ✐s ❛♥ ✐♥✈❡rs❡ s✉❜♠♦♥♦✐❞ t❤❛t ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♣✇❛r❞s ✐♥ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r✿ ❝❧♦s❡❞ ✐♥✈❡rs❡ s✉❜♠♦♥♦✐❞ ❝❧♦s❡❞ ✐♥✈❡rs❡ s✉❜♠♦♥♦✐❞s st❛❜✐❧✐③❡rs ✉♥❞❡r s♦♠❡ ❛❝t✐♦♥

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◆♦t❛t✐♦♥✿ ❢♦r N ⊆ M✱ Nω := t❤❡ ✉♣✲❝❧♦s✉r❡ ♦❢ N ▲❡t ✳ ❚❤❡ ✲❝♦s❡t ❣r❛♣❤ ♦❢ ✿

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◆♦t❡✿ ✐❢ ✐s ❛ ❣r♦✉♣✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ❙❝❤r❡✐❡r ❣r❛♣❤ ❚❤❡ ✲❝♦s❡t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ♦❢ ✐s ✳ ◆♦t❡✿

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◆♦t❛t✐♦♥✿ ❢♦r N ⊆ M✱ Nω := t❤❡ ✉♣✲❝❧♦s✉r❡ ♦❢ N ▲❡t H ≤ω M✳ ❚❤❡ ω✲❝♦s❡t ❣r❛♣❤ ΓH ♦❢ H✿ V (Γ) = {(Hm)ω : m ∈ M}, E(Γ) = {(Hm)ω

x

− →(Hmx)ω : m ∈ M, x ∈ X ∪ X −✶}. ◆♦t❡✿ ✐❢ M ✐s ❛ ❣r♦✉♣✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ❙❝❤r❡✐❡r ❣r❛♣❤ ❚❤❡ ✲❝♦s❡t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ♦❢ ✐s ✳ ◆♦t❡✿

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• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

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◆♦t❛t✐♦♥✿ ❢♦r N ⊆ M✱ Nω := t❤❡ ✉♣✲❝❧♦s✉r❡ ♦❢ N ▲❡t H ≤ω M✳ ❚❤❡ ω✲❝♦s❡t ❣r❛♣❤ ΓH ♦❢ H✿ V (Γ) = {(Hm)ω : m ∈ M}, E(Γ) = {(Hm)ω

x

− →(Hmx)ω : m ∈ M, x ∈ X ∪ X −✶}. ◆♦t❡✿ ✐❢ M ✐s ❛ ❣r♦✉♣✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ❙❝❤r❡✐❡r ❣r❛♣❤ ❚❤❡ ω✲❝♦s❡t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ♦❢ H ✐s AH = (H, ΓH, H)✳ ◆♦t❡✿ L(AH) = H

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠

▲❡t M = InvX | ui = vi (i ∈ I)✱ ❛♥❞ Y ⊆ (X ∪ X −✶)∗✳ ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠✿ w ∈ Y ω❄ ◆♦t❡✿ t❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s s♦❧✈❛❜❧❡ ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✳

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▲❡t M = InvX | ui = vi (i ∈ I)✱ ❛♥❞ Y ⊆ (X ∪ X −✶)∗✳ ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠✿ w ∈ Y ω❄ ◆♦t❡✿ t❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s s♦❧✈❛❜❧❡ ⇐ ⇒ L(AY ω) ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✳

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

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❚♦ ❜✉✐❧❞ AY ω✱ ✶✳ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ Y ❀ ✷✳ ❡①♣❛♥❞✿ ✐❢ ♦♥❡ s✐❞❡ ♦❢ ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ✐s r❡❛❞❛❜❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♦t❤❡r ✐s ♥♦t✱ ❛❞❞ ✐t t♦ t❤❡ ❣r❛♣❤❀ ✸✳ ❢♦❧❞✿ ✐❢ u

x

− →v✶ ❛♥❞ u

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− →v✷✱ ✐❞❡♥t✐❢② v✶ ❛♥❞ v✷❀ ✹✳ r❡♣❡❛t ✭✷✮ ❛♥❞ ✭✸✮ ✉♥t✐❧ t❤❡ ❣r❛♣❤ st❛❜✐❧✐③❡s ✭♣♦ss✐❜❧② ❢♦r❡✈❡r✮✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❡❛❦✐♥✱ ❙③✳✮

❚❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✐s ✳

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❚♦ ❜✉✐❧❞ AY ω✱ ✶✳ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ Y ❀ ✷✳ ❡①♣❛♥❞✿ ✐❢ ♦♥❡ s✐❞❡ ♦❢ ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ✐s r❡❛❞❛❜❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♦t❤❡r ✐s ♥♦t✱ ❛❞❞ ✐t t♦ t❤❡ ❣r❛♣❤❀ ✸✳ ❢♦❧❞✿ ✐❢ u

x

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x

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❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❡❛❦✐♥✱ ❙③✳✮

❚❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✐s AY ω✳

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◆♦t❡✿ L(✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥) = ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts Y ❛♥❞ Y −✶✳ ❈❧❡❛r❧②✱ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✳ ■❢ ✱ t❤❡♥

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✶

✭ ✶✮ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❜② ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❢♦❧❞✐♥❣s ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛❢t❡r t❤❡ ✏s❛♠❡✑ st❡♣s✳ ❍❡♥❝❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✳

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• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

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❚❤❡ ♣r♦♦❢

◆♦t❡✿ L(✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥) = ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts Y ❛♥❞ Y −✶✳ ❈❧❡❛r❧②✱ L(❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥) ⊆ AY ω✳ ■❢ ✱ t❤❡♥

✶

✶

✭ ✶✮ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❜② ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❢♦❧❞✐♥❣s ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛❢t❡r t❤❡ ✏s❛♠❡✑ st❡♣s✳ ❍❡♥❝❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❚❤❡ ♣r♦♦❢

◆♦t❡✿ L(✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥) = ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts Y ❛♥❞ Y −✶✳ ❈❧❡❛r❧②✱ L(❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥) ⊆ AY ω✳ ■❢ w ∈ L(AY ω)✱ t❤❡♥ w ≥ y = yǫ✶

✶ · · · yǫn n ✭yi ∈ Y , ǫi = ±✶✮

✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❜② ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❢♦❧❞✐♥❣s ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛❢t❡r t❤❡ ✏s❛♠❡✑ st❡♣s✳ ❍❡♥❝❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✳

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• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

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❚❤❡ ♣r♦♦❢

◆♦t❡✿ L(✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥) = ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts Y ❛♥❞ Y −✶✳ ❈❧❡❛r❧②✱ L(❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥) ⊆ AY ω✳ ■❢ w ∈ L(AY ω)✱ t❤❡♥ w ≥ y = yǫ✶

✶ · · · yǫn n ✭yi ∈ Y , ǫi = ±✶✮

= ⇒ w ∈ L(SA(y)) ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❜② ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❢♦❧❞✐♥❣s ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛❢t❡r t❤❡ ✏s❛♠❡✑ st❡♣s✳ ❍❡♥❝❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

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❚❤❡ ♣r♦♦❢

◆♦t❡✿ L(✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥) = ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts Y ❛♥❞ Y −✶✳ ❈❧❡❛r❧②✱ L(❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥) ⊆ AY ω✳ ■❢ w ∈ L(AY ω)✱ t❤❡♥ w ≥ y = yǫ✶

✶ · · · yǫn n ✭yi ∈ Y , ǫi = ±✶✮

= ⇒ w ∈ L(SA(y)) = ⇒ w ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ Lin(y) ❜② ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❢♦❧❞✐♥❣s ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛❢t❡r t❤❡ ✏s❛♠❡✑ st❡♣s✳ ❍❡♥❝❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

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❚❤❡ ♣r♦♦❢

◆♦t❡✿ L(✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥) = ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts Y ❛♥❞ Y −✶✳ ❈❧❡❛r❧②✱ L(❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥) ⊆ AY ω✳ ■❢ w ∈ L(AY ω)✱ t❤❡♥ w ≥ y = yǫ✶

✶ · · · yǫn n ✭yi ∈ Y , ǫi = ±✶✮

= ⇒ w ∈ L(SA(y)) = ⇒ w ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ Lin(y) ❜② ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❢♦❧❞✐♥❣s = ⇒ w ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛❢t❡r t❤❡ ✏s❛♠❡✑ st❡♣s✳ ❍❡♥❝❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✳

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• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

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❚❤❡ ♣r♦♦❢

◆♦t❡✿ L(✢♦✇❡r ❛✉t♦♠❛t♦♥) = ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts Y ❛♥❞ Y −✶✳ ❈❧❡❛r❧②✱ L(❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥) ⊆ AY ω✳ ■❢ w ∈ L(AY ω)✱ t❤❡♥ w ≥ y = yǫ✶

✶ · · · yǫn n ✭yi ∈ Y , ǫi = ±✶✮

= ⇒ w ∈ L(SA(y)) = ⇒ w ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ Lin(y) ❜② ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛♥❞ ❢♦❧❞✐♥❣s = ⇒ w ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛❢t❡r t❤❡ ✏s❛♠❡✑ st❡♣s✳ ❍❡♥❝❡ L(❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥) = L(AY ω) = ⇒ ❧✐♠✐t ❛✉t♦♠❛t♦♥ ∼ = AY ω✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

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❲❤✐❧❡ st✉❞②✐♥❣ ✐♠♠❡rs✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ CW ✲❝♦♠♣❧❡①❡s✱ t❤❡ ❞❡✜♥❡❞ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s✿ MX,P = InvX∪P | ρ✷ = ρ, ρ = ρwρ : ρ ∈ P, ✇❤❡r❡ wρ ∈ (X∪X −✶)∗,

❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❡❛❦✐♥✱ ❙③✳✮

■❢ ❛♥❞ ❛r❡ ✜♥✐t❡✱ ✶✳ ❛❧❧ ❙❝❤üt③❡♥❜❡r❣❡r ❣r❛♣❤s ❛r❡ ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♥str✉❝t❛❜❧❡❀ ✷✳ ✐❢ ✐s ✜♥✐t❡✱ t❤❡ ✲❝♦s❡t ❣r❛♣❤ ♦❢ ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♥str✉❝t❛❜❧❡✳ ◆♦t❡✿ t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❣r♦✉♣ ❤♦♠♦r♣❤✐❝ ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❝❛♥ ❜❡ ❛♥② ❣r♦✉♣✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

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❲❤✐❧❡ st✉❞②✐♥❣ ✐♠♠❡rs✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ CW ✲❝♦♠♣❧❡①❡s✱ t❤❡ ❞❡✜♥❡❞ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s✿ MX,P = InvX∪P | ρ✷ = ρ, ρ = ρwρ : ρ ∈ P, ✇❤❡r❡ wρ ∈ (X∪X −✶)∗,

❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❡❛❦✐♥✱ ❙③✳✮

■❢ X ❛♥❞ P ❛r❡ ✜♥✐t❡✱ ✶✳ ❛❧❧ ❙❝❤üt③❡♥❜❡r❣❡r ❣r❛♣❤s ❛r❡ ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♥str✉❝t❛❜❧❡❀ ✷✳ ✐❢ Y ✐s ✜♥✐t❡✱ t❤❡ ω✲❝♦s❡t ❣r❛♣❤ ♦❢ Y ω ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♥str✉❝t❛❜❧❡✳ ◆♦t❡✿ t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❣r♦✉♣ ❤♦♠♦r♣❤✐❝ ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❝❛♥ ❜❡ ❛♥② ❣r♦✉♣✳

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❲❤✐❧❡ st✉❞②✐♥❣ ✐♠♠❡rs✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ CW ✲❝♦♠♣❧❡①❡s✱ t❤❡ ❞❡✜♥❡❞ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s✿ MX,P = InvX∪P | ρ✷ = ρ, ρ = ρwρ : ρ ∈ P, ✇❤❡r❡ wρ ∈ (X∪X −✶)∗,

❚❤❡♦r❡♠ ✭▼❡❛❦✐♥✱ ❙③✳✮

■❢ X ❛♥❞ P ❛r❡ ✜♥✐t❡✱ ✶✳ ❛❧❧ ❙❝❤üt③❡♥❜❡r❣❡r ❣r❛♣❤s ❛r❡ ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♥str✉❝t❛❜❧❡❀ ✷✳ ✐❢ Y ✐s ✜♥✐t❡✱ t❤❡ ω✲❝♦s❡t ❣r❛♣❤ ♦❢ Y ω ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♥str✉❝t❛❜❧❡✳ ◆♦t❡✿ t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❣r♦✉♣ ❤♦♠♦r♣❤✐❝ ✐♠❛❣❡ ♦❢ MX,P ❝❛♥ ❜❡ ❛♥② ❣r♦✉♣✳

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❆ ❣❡♦❞❡s✐❝ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐❢ ❛❧❧ ❣❡♦❞❡s✐❝ ♣♦❧②❣♦♥s ❛r❡ δ✲t❤✐♥✳ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✿ ❛❧❧ ❙❝❤üt③❡♥❜❡r❣❡r ❣r❛♣❤s ❛r❡ ♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✭❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ s②st❡♠✮ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✿ ✈✐rt✉❛❧❧② ❢r❡❡ ❣r♦✉♣s ♦r✐❡♥t❛❜❧❡ s✉r❢❛❝❡ ✐♥✈✳ ♠♦♥♦✐❞s ♦❢ ❣❡♥✉s ✷

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❆ ❣❡♦❞❡s✐❝ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐❢ ❛❧❧ ❣❡♦❞❡s✐❝ ♣♦❧②❣♦♥s ❛r❡ δ✲t❤✐♥✳ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✿ ❛❧❧ ❙❝❤üt③❡♥❜❡r❣❡r ❣r❛♣❤s ❛r❡ ♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✭❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ s②st❡♠✮ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✿

◮ ✈✐rt✉❛❧❧② ❢r❡❡ ❣r♦✉♣s ◮ ♦r✐❡♥t❛❜❧❡ s✉r❢❛❝❡ ✐♥✈✳ ♠♦♥♦✐❞s ♦❢ ❣❡♥✉s ≥ ✷

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❈♦♥❡ t②♣❡s

▲❡t (X, d) ❜❡ ❛ ❣❡♦❞❡s✐❝ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✱ x✵, x ∈ X✳ ❚❤❡ ❝♦♥❡ ♦❢ x ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ x✵✿ C(x✵, x) = {y ∈ X : d(x✵, y) = d(x✵, x) + d(x, y)}✳

❚❤❡♦r❡♠

■♥ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❣r♦✉♣s✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❣❡♦❞❡s✐❝ ✇♦r❞s ✭❂❧❛❜❡❧s ♦❢ ❣❡♦❞❡s✐❝ ♣❛t❤s✮ ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳ ■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢✿ ✶✳ ✐❢ ✐s ❛♥ ❛✉t♦♠❛t♦♥ r❡❝♦❣♥✐③✐♥❣ ❣❡♦❞❡s✐❝ ✇♦r❞s✱ ❛♥❞ ✶ ✶ ✱ t❤❡♥ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞✳ ✷✳ t❤❡ ❝♦♥❡ ♦❢ ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❛ ✭❧❛r❣❡ ❡♥♦✉❣❤✮ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥❡ t②♣❡s

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❈♦♥❡ t②♣❡s

▲❡t (X, d) ❜❡ ❛ ❣❡♦❞❡s✐❝ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✱ x✵, x ∈ X✳ ❚❤❡ ❝♦♥❡ ♦❢ x ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ x✵✿ C(x✵, x) = {y ∈ X : d(x✵, y) = d(x✵, x) + d(x, y)}✳

❚❤❡♦r❡♠

■♥ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❣r♦✉♣s✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❣❡♦❞❡s✐❝ ✇♦r❞s ✭❂❧❛❜❡❧s ♦❢ ❣❡♦❞❡s✐❝ ♣❛t❤s✮ ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳ ■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢✿ ✶✳ ✐❢ A ✐s ❛♥ ❛✉t♦♠❛t♦♥ r❡❝♦❣♥✐③✐♥❣ ❣❡♦❞❡s✐❝ ✇♦r❞s✱ ❛♥❞ C(✶, u) ∼ = C(✶, v)✱ t❤❡♥ u ❛♥❞ v ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞✳ ✷✳ t❤❡ ❝♦♥❡ ♦❢ g ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❛ ✭❧❛r❣❡ ❡♥♦✉❣❤✮ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ g = ⇒ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥❡ t②♣❡s

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❆ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡s✉❧t

▲❡t M = X ❜❡ ❛♥ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✳ Geo(w) := s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❣❡♦❞❡s✐❝ ✇♦r❞s ✐♥ S(w) ❢r♦♠ ww−✶✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❙✐❧✈❛✮

♠❛② ♥♦t ❜❡ r❛t✐♦♥❛❧✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ ✐s ♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝✳ Pr♦♦❢✿ ❝♦♥s✐❞❡r

✶

✷

✶

✷

✶

✶ ❛♥❞

✶ ✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❆ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡s✉❧t

▲❡t M = X ❜❡ ❛♥ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✳ Geo(w) := s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❣❡♦❞❡s✐❝ ✇♦r❞s ✐♥ S(w) ❢r♦♠ ww−✶✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❙✐❧✈❛✮

Geo(w) ♠❛② ♥♦t ❜❡ r❛t✐♦♥❛❧✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ M ✐s ♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝✳ Pr♦♦❢✿ ❝♦♥s✐❞❡r Inva, b, c | aa−✶bn✷cc−✶b−n✷ = aa−✶ (n ≥ ✶) ❛♥❞ Geo(aa−✶)✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❇✉t✿

❚❤❡♦r❡♠ ✭❙✐❧✈❛✱ ❙③✳✮

■❢ M = InvX | ri = si (i = ✶, . . . , m) ✐s ❛ ✜♥✐t❡❧② ♣r❡s❡♥t❡❞ δ✲♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✱ t❤❡♥ Geo(w) ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳ ■❞❡❛ ♦❢ ♣r♦♦❢✿ ❚❛❦❡ ✱ ♣✉t

✵ ✶✳

✱ ❧❡t ❜❡ s✳ t✳

✵

✳ ❞❡t❡r♠✐♥❡s

✵

✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ❝♦♥❡ t②♣❡s✳

❙tr♦♥❣ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

❋✐♥✐t❡❧② ♣r❡s❡♥t❡❞ ✲♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s ❤❛✈❡ s♦❧✈❛❜❧❡ ✇♦r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✇✐t❤ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t✮✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❇✉t✿

❚❤❡♦r❡♠ ✭❙✐❧✈❛✱ ❙③✳✮

■❢ M = InvX | ri = si (i = ✶, . . . , m) ✐s ❛ ✜♥✐t❡❧② ♣r❡s❡♥t❡❞ δ✲♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✱ t❤❡♥ Geo(w) ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳ ■❞❡❛ ♦❢ ♣r♦♦❢✿ ❚❛❦❡ S(w)✱ ♣✉t x✵ = ww−✶✳ K := max |ri|, |si|✱ ❧❡t x ❜❡ s✳ t✳ d(x✵, x) ≥ δ + K✳ Dδ+K(x) ❞❡t❡r♠✐♥❡s C(x✵, x) = ⇒ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ❝♦♥❡ t②♣❡s✳

❙tr♦♥❣ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

❋✐♥✐t❡❧② ♣r❡s❡♥t❡❞ ✲♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s ❤❛✈❡ s♦❧✈❛❜❧❡ ✇♦r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✇✐t❤ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t✮✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♣r♦❜❧❡♠ P♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s

❇✉t✿

❚❤❡♦r❡♠ ✭❙✐❧✈❛✱ ❙③✳✮

■❢ M = InvX | ri = si (i = ✶, . . . , m) ✐s ❛ ✜♥✐t❡❧② ♣r❡s❡♥t❡❞ δ✲♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞✱ t❤❡♥ Geo(w) ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳ ■❞❡❛ ♦❢ ♣r♦♦❢✿ ❚❛❦❡ S(w)✱ ♣✉t x✵ = ww−✶✳ K := max |ri|, |si|✱ ❧❡t x ❜❡ s✳ t✳ d(x✵, x) ≥ δ + K✳ Dδ+K(x) ❞❡t❡r♠✐♥❡s C(x✵, x) = ⇒ ✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ❝♦♥❡ t②♣❡s✳

❙tr♦♥❣ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

❋✐♥✐t❡❧② ♣r❡s❡♥t❡❞ δ✲♣♦❧②❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✐♥✈❡rs❡ ♠♦♥♦✐❞s ❤❛✈❡ s♦❧✈❛❜❧❡ ✇♦r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✇✐t❤ δ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t✮✳

◆ór❛ ❙③❛❦á❝s

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✐♥✈❡rs❡ s❡♠✐❣r♦✉♣ t❤❡♦r②