stt s r r sr - PowerPoint PPT Presentation

❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s P❡t❡r ❇♦②✈❛❧❡♥❦♦✈ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ■♥❢♦r♠❛t✐❝s✱ ❇✉❧❣❛r✐❛♥ ❆❝❛❞❡♠② ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ❙♦✜❛✱ ❇✉❧❣❛r✐❛ ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤✿ P✳ ❉r❛❣♥❡✈ ✭❉❡♣t✳ ▼❛t❤✳ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ■P❋❲✱ ❋♦rt ❲❛②♥❡✱ ■◆✱ ❯❙❆✮ ❉✳ ❍❛r❞✐♥✱ ❊✳ ❙❛✛ ✭❉❡♣t✳ ▼❛t❤✳✱ ❱❛♥❞❡r❜✐❧t ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ◆❛s❤✈✐❧❧❡✱ ❚◆✱ ❯❙❆✮ ▼❛②❛ ❙t♦②❛♥♦✈❛ ❉❡♣t✳ ▼❛t❤✳ ■♥❢✳ ❙♦✜❛ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❙♦✜❛✱ ❇✉❧❣❛r✐❛ ▼✐❞✇❡st❡r♥ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❆♥❛❧②s✐s✱ ❖❝t♦❜❡r ✼✲✾✱ ✷✵✶✻✱ ❋♦rt ❲❛②♥❡✱ ❯❙❆ P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ❋♦rt ❲❛②♥❡ ✷✵✶✻ ✶ ✴ ✸✶

❊♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ✭✶✮ ▲❡t S n − ✶ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ ✐♥ R n ✳ ❆ ✜♥✐t❡ ♥♦♥❡♠♣t② s❡t C ⊂ S n − ✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ✭❡①t❡♥❞❡❞ r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞✮ ❢✉♥❝t✐♦♥ h ( t ) : [ − ✶ , ✶ ] → [ ✵ , + ∞ ] ✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ h ✲❡♥❡r❣② ✭♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡♥❡r❣②✮ ♦❢ ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡ C ❜② E ( n , C ; h ) := ✶ � h ( � x , y � ) , | C | x , y ∈ C , x � = y ✇❤❡r❡ � x , y � ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ x ❛♥❞ y ✳ ❚❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ h ✐s ❝❛❧❧❡❞ k ✲❛❜s♦❧✉t❡❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♥ [ − ✶ , ✶ ) ✐❢ ✐ts ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s h ( i ) ( t ) ✱ i = ✵ , ✶ , . . . , k ✱ ❛r❡ ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❧ ✵ ≤ i ≤ k ❛♥❞ ❡✈❡r② t ∈ [ − ✶ , ✶ ) ✳ P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ❋♦rt ❲❛②♥❡ ✷✵✶✻ ✷ ✴ ✸✶

❊♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ✭✷✮ Pr♦❜❧❡♠ ▼✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡♥❡r❣② ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② | C | ♦❢ C ✐s ✜①❡❞❀ t❤❛t ✐s✱ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ E ( n , M ; h ) := ✐♥❢ { E ( n , C ; h ) : | C | = M } t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♣♦ss✐❜❧❡ h ✲❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡ ♦❢ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② M ✳ P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ❋♦rt ❲❛②♥❡ ✷✵✶✻ ✸ ✴ ✸✶

❊♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ✭✸✮ ❙♦♠❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ♣♦t❡♥t✐❛❧s✿ ❘✐❡s③ α ✲♣♦t❡♥t✐❛❧✿ h ( t ) = ( ✷ − ✷ t ) − α/ ✷ = | x − y | − α ✱ α > ✵❀ ◆❡✇t♦♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧✿ h ( t ) = ( ✷ − ✷ t ) − ( n − ✷ ) / ✷ = | x − y | − ( n − ✷ ) ❀ ▲♦❣ ♣♦t❡♥t✐❛❧✿ h ( t ) = − ( ✶ / ✷ ) ❧♦❣ ( ✷ − ✷ t ) = − ❧♦❣ | x − y | ❀ ●❛✉ss✐❛♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧✿ h ( t ) = ❡①♣ ( ✷ t − ✷ ) = ❡①♣ ( −| x − y | ✷ ) ❀ ❑♦r❡✈❛❛r ♣♦t❡♥t✐❛❧✿ h ( t ) = ( ✶ + r ✷ − ✷ rt ) − ( n − ✷ ) / ✷ ✱ ✵ < r < ✶✳ P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ❋♦rt ❲❛②♥❡ ✷✵✶✻ ✹ ✴ ✸✶

❙♦♠❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s P✳ ❉❡❧s❛rt❡✱ ❏✳✲▼✳ ●♦❡t❤❛❧s✱ ❏✳ ❏✳ ❙❡✐❞❡❧✱ ❙♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s✱ ●❡♦♠✳ ❉❡❞✐❝❛t❛ ✻ ✱ ♣♣✳ ✸✻✸✲✸✽✽✱ ✶✾✼✼✳ ❱✳ ❆✳ ❨✉❞✐♥✱ ▼✐♥✐♠❛❧ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ ♣♦✐♥t s②st❡♠ ♦❢ ❝❤❛r❣❡s✱ ❉✐s❝r✳ ▼❛t❤✳ ❆♣♣❧✳ ✸ ✱ ♣♣✳ ✼✺✲✽✶✱ ✶✾✾✸✳ ❱✳ ■✳ ▲❡✈❡♥s❤t❡✐♥✱ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s✱ ❍❛♥❞❜♦♦❦ ♦❢ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r② ✱ ❱✳ ❙✳ P❧❡ss ❛♥❞ ❲✳ ❈✳ ❍✉✛♠❛♥✱ ❊❞s✳✱ ❊❧s❡✈✐❡r✱ ❆♠st❡r❞❛♠✱ ❈❤✳ ✻✱ ♣♣✳ ✹✾✾✕✻✹✽✱ ✶✾✾✽✳ ❍✳ ❈♦❤♥✱ ❆✳ ❑✉♠❛r✱ ❯♥✐✈❡rs❛❧❧② ♦♣t✐♠❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ♦♥ s♣❤❡r❡s✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆▼❙✱ ✷✵ ✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✾✾✲✶✹✽✱ ✷✵✵✻✳ P✳ ❇♦②✈❛❧❡♥❦♦✈✱ P✳ ❉r❛❣♥❡✈✱ ❉✳ ❍❛r❞✐♥✱ ❊✳ ❙❛✛✱ ▼✳ ❙t♦②❛♥♦✈❛✱ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❢♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ✭❛r①✐✈✶✺✵✸✳✵✼✷✷✽✮✱ t♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❈♦♥str✉❝t✐✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳ P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ❋♦rt ❲❛②♥❡ ✷✵✶✻ ✺ ✴ ✸✶

❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ✭❯▲❇✮ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t n ✱ M ∈ ( D ( n , τ ) , D ( n , τ + ✶ )] ❛♥❞ h ❜❡ ✜①❡❞✳ ❚❤❡♥ k − ✶ k � � E ( n , M ; h ) ≥ M ρ i h ( α i ) , E ( n , M ; h ) ≥ M γ i h ( β i ) . i = ✵ i = ✵ ❚❤❡s❡ ❜♦✉♥❞s ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ ✑❣♦♦❞✑ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ❛t ♠♦st τ ✳ ◆♦t❡ t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧✐t② ❢❡❛t✉r❡ ✕ ρ i , α i ✭r❡s♣✳ γ i , β i ✮ ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ h ✳ ◆❡①t ✕ t♦ ❡①♣❧❛✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ t❤❡✐r ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❛♥❞ t♦ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞ ✐♥ ❝❡rt❛✐♥ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♣r♦❝❡ss✳ P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ❋♦rt ❲❛②♥❡ ✷✵✶✻ ✻ ✴ ✸✶

●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❋♦r ✜①❡❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ n ✱ t❤❡ ✭♥♦r♠❛❧✐③❡❞✮ ●❡❣❡♥❜❛✉❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② P ( n ) ✵ ( t ) := ✶✱ P ( n ) ✶ ( t ) := t ❛♥❞ t❤❡ t❤r❡❡✲t❡r♠ r❡❝✉rr❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ( i + n − ✷ ) P ( n ) i + ✶ ( t ) := ( ✷ i + n − ✷ ) t P ( n ) ( t ) − i P ( n ) i − ✶ ( t ) ❢♦r i ≥ ✶ . i ◆♦t❡ t❤❛t { P ( n ) ( t ) } ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✐♥ [ − ✶ , ✶ ] ✇✐t❤ ❛ ✇❡✐❣❤t i ( ✶ − t ✷ ) ( n − ✸ ) / ✷ ❛♥❞ s❛t✐s❢② P ( n ) ( ✶ ) = ✶ ❢♦r ❛❧❧ i ❛♥❞ n ✳ i ❲❡ ❤❛✈❡ P ( n ) ( t ) = P (( n − ✸ ) / ✷ , ( n − ✸ ) / ✷ ) ( t ) / P (( n − ✸ ) / ✷ , ( n − ✸ ) / ✷ ) ( ✶ ) ✱ ✇❤❡r❡ i i i P ( α,β ) ( t ) ❛r❡ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✐♥ st❛♥❞❛r❞ ♥♦t❛t✐♦♥✳ i P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ❋♦rt ❲❛②♥❡ ✷✵✶✻ ✼ ✴ ✸✶