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❆❞✈❡rs❛r② ❤❛s ❛❝❝❡ss t♦ s✐❣♥✐♥❣ ♦r❛❝❧❡ ❛♥❞ ♦r❛❝❧❡

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❆❞✈❡rs❛r② ❤❛s ❛❝❝❡ss t♦ s✐❣♥✐♥❣ ♦r❛❝❧❡ ❛♥❞ ♦r❛❝❧❡ O(s❦)(❤) r❡t✉r♥✐♥❣ ❤(s❦) ❆❞✈❡rs❛r② ♦✉t♣✉ts ❢♦r❣❡r② ❙✐❣♥s❦(♠∗) ❢♦r ♠∗ ♦❢ ❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ♠∗ ♥♦t ❛s❦❡❞ t♦ t❤❡ s✐❣♥✐♥❣ ♦r❛❝❧❡✳

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❖♥❡✲♠♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

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♠♦r❡ ❙ ❆

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✸ ❆ ♦✉t♣✉ts ♠✶

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❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠✐

✶ ❢♦r ❡✈❡r② ✐ ♠✶ ♠♥ ❛r❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❞✐st✐♥❝t ♠✐ ✇❡r❡ ♥♦t ❛s❦❡❞ t♦ ❙✐❣♥s❦ ♥ ✶

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❖♥❡✲♠♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

s✐❣♥❛t✉r❡ s❝❤❡♠❡ ❙ = (●❡♥, ❙✐❣♥, ❱❡r)✱ ❛❞✈❡rs❛r② ❆

❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆

(❦, λ, γ)

✶ ❆ ✐s ❣✐✈❡♥ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❦❡② ✈❦ ✷ ❆ ❝❛♥ q✉❡r② ❙✐❣♥✭s❦✱ ✮ ❛♥❞

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✸ ❆ ♦✉t♣✉ts ♠✶

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❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠✐

✶ ❢♦r ❡✈❡r② ✐ ♠✶ ♠♥ ❛r❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❞✐st✐♥❝t ♠✐ ✇❡r❡ ♥♦t ❛s❦❡❞ t♦ ❙✐❣♥s❦ ♥ ✶

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❖♥❡✲♠♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

s✐❣♥❛t✉r❡ s❝❤❡♠❡ ❙ = (●❡♥, ❙✐❣♥, ❱❡r)✱ ❛❞✈❡rs❛r② ❆

❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆

(❦, λ, γ)

✶ ❆ ✐s ❣✐✈❡♥ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❦❡② ✈❦ ✷ ❆ ❝❛♥ q✉❡r② ❙✐❣♥✭s❦✱ ·✮ ❛♥❞ O(s❦) ✸ ❆ ♦✉t♣✉ts ♠✶

♠♥

❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠✐

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❖♥❡✲♠♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

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❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆

(❦, λ, γ)

✶ ❆ ✐s ❣✐✈❡♥ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❦❡② ✈❦ ✷ ❆ ❝❛♥ q✉❡r② ❙✐❣♥✭s❦✱ ·✮ ❛♥❞ O(s❦) ✸ ❆ ♦✉t♣✉ts (♠✶, σ✶), . . . , (♠♥, σ♥)

❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠✐

✶ ❢♦r ❡✈❡r② ✐ ♠✶ ♠♥ ❛r❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❞✐st✐♥❝t ♠✐ ✇❡r❡ ♥♦t ❛s❦❡❞ t♦ ❙✐❣♥s❦ ♥ ✶

◆✐❡❧s❡♥✱ ❱❡♥t✉r✐✱ ❩♦tt❛r❡❧ ✭✮ ▲❡❛❦❛❣❡ ❢r♦♠ ❙❤♦rt ❙✐❣♥❛t✉r❡s ▼❛r❝❤ ✷✼t❤✱ ✷✵✶✹ ✼ ✴ ✷✶

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❖♥❡✲♠♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

s✐❣♥❛t✉r❡ s❝❤❡♠❡ ❙ = (●❡♥, ❙✐❣♥, ❱❡r)✱ ❛❞✈❡rs❛r② ❆

❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆

(❦, λ, γ)

✶ ❆ ✐s ❣✐✈❡♥ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❦❡② ✈❦ ✷ ❆ ❝❛♥ q✉❡r② ❙✐❣♥✭s❦✱ ·✮ ❛♥❞ O(s❦) ✸ ❆ ♦✉t♣✉ts (♠✶, σ✶), . . . , (♠♥, σ♥)

❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ⇐ ⇒ ❱❡r(♠✐, σ✐) = ✶ ❢♦r ❡✈❡r② ✐ ♠✶, . . . , ♠♥ ❛r❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❞✐st✐♥❝t ♠✐ ✇❡r❡ ♥♦t ❛s❦❡❞ t♦ ❙✐❣♥s❦ ♥ ≥ ⌊λ/(γ|σ|)⌋ + ✶

◆✐❡❧s❡♥✱ ❱❡♥t✉r✐✱ ❩♦tt❛r❡❧ ✭✮ ▲❡❛❦❛❣❡ ❢r♦♠ ❙❤♦rt ❙✐❣♥❛t✉r❡s ▼❛r❝❤ ✷✼t❤✱ ✷✵✶✹ ✼ ✴ ✷✶

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❘❡♠❛r❦ ♦♥ P❛r❛♠❡t❡rs

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γ ❂ ✶ ✐♠♣❧✐❡s ♦♣t✐♠❛❧ s❡❝✉r✐t② λ ❂ ✵ ✐♠♣❧✐❡s ♥ ❂ ✶ ✲❃ st❛♥❞❛r❞ ✉♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t② ✇✐t❤♦✉t ❧❡❛❦❛❣❡ λ < |σ| ✐♠♣❧✐❡s ♥ ❂ ✶ ✲❃ st❛♥❞❛r❞ ❧❡❛❦❛❣❡ r❡s✐❧✐❡♥❝❡ λ > |σ| ✏❣r❛❝❡❢✉❧✑ ❞❡❣r❛❞❛t✐♦♥ ❜❡st ✇❡ ❝❛♥ ❛s❦ ❢♦r✿ ❆ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❧❡❛❦ ❛t ❧❡❛st s✐❣♥❛t✉r❡s s❡❝✉r✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❆ ❝❛♥♥♦t ❢♦r❣❡r ❡✈❡♥ ❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❛t

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❘❡♠❛r❦ ♦♥ P❛r❛♠❡t❡rs

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γ ❂ ✶ ✐♠♣❧✐❡s ♦♣t✐♠❛❧ s❡❝✉r✐t② λ ❂ ✵ ✐♠♣❧✐❡s ♥ ❂ ✶ ✲❃ st❛♥❞❛r❞ ✉♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t② ✇✐t❤♦✉t ❧❡❛❦❛❣❡ λ < |σ| ✐♠♣❧✐❡s ♥ ❂ ✶ ✲❃ st❛♥❞❛r❞ ❧❡❛❦❛❣❡ r❡s✐❧✐❡♥❝❡ λ > |σ| ✏❣r❛❝❡❢✉❧✑ ❞❡❣r❛❞❛t✐♦♥ ❜❡st ✇❡ ❝❛♥ ❛s❦ ❢♦r✿ ❆ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❧❡❛❦ ❛t ❧❡❛st s✐❣♥❛t✉r❡s s❡❝✉r✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❆ ❝❛♥♥♦t ❢♦r❣❡r ❡✈❡♥ ❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❛t

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❘❡♠❛r❦ ♦♥ P❛r❛♠❡t❡rs

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γ ❂ ✶ ✐♠♣❧✐❡s ♦♣t✐♠❛❧ s❡❝✉r✐t② λ ❂ ✵ ✐♠♣❧✐❡s ♥ ❂ ✶ ✲❃ st❛♥❞❛r❞ ✉♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t② ✇✐t❤♦✉t ❧❡❛❦❛❣❡ λ < |σ| ✐♠♣❧✐❡s ♥ ❂ ✶ ✲❃ st❛♥❞❛r❞ ❧❡❛❦❛❣❡ r❡s✐❧✐❡♥❝❡ λ > |σ| ✏❣r❛❝❡❢✉❧✑ ❞❡❣r❛❞❛t✐♦♥ ❜❡st ✇❡ ❝❛♥ ❛s❦ ❢♦r✿ ❆ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❧❡❛❦ ❛t ❧❡❛st ⌊λ/|σ|⌋ s✐❣♥❛t✉r❡s s❡❝✉r✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❆ ❝❛♥♥♦t ❢♦r❣❡r ❡✈❡♥ ❛ s✐❣♥❛t✉r❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❛t

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❘❡♠❛r❦ ♦♥ P❛r❛♠❡t❡rs

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❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ ♣r♦❞✉❝❡ ♥ ❢♦r❣❡r✐❡s ❜❛❞ ✐❢ ❢♦r❣❡r✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ❛t ✇✐❧❧ ❣♦♦❞ ✐❢ ❢♦r❣❡r✐❡s ❛r❡ ❞❡❝✐❞❡❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❧❡❛❦❛❣❡ ♣❤❛s❡

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❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ ♣r♦❞✉❝❡ ♥ ❢♦r❣❡r✐❡s ❜❛❞ ✐❢ ❢♦r❣❡r✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ❛t ✇✐❧❧ ❣♦♦❞ ✐❢ ❢♦r❣❡r✐❡s ❛r❡ ❞❡❝✐❞❡❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❧❡❛❦❛❣❡ ♣❤❛s❡

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❧♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❆ ❛❢t❡r ❧❡❛❦❛❣❡ ♣❤❛s❡ ❛♥❞ ♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❛ s❡t ◗∗ ◗∗ ❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡s ❆ ❝❛♥ ❢♦r❣❡ t❤❡♥ ❛❧❧ ❢♦r❣❡r✐❡s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❧❡❛❦❛❣❡

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■s ❖♥❡ ▼♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t② ❚♦♦ ❲❡❛❦❄

❛❞✈❡rs❛r② ❝❛♥ ♣r♦❞✉❝❡ ♥ ❢♦r❣❡r✐❡s ❜❛❞ ✐❢ ❢♦r❣❡r✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ❛t ✇✐❧❧ ❣♦♦❞ ✐❢ ❢♦r❣❡r✐❡s ❛r❡ ❞❡❝✐❞❡❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❧❡❛❦❛❣❡ ♣❤❛s❡

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❧♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ❆ ❛❢t❡r ❧❡❛❦❛❣❡ ♣❤❛s❡ ❛♥❞ ♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❛ s❡t ◗∗ ◗∗ ❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡s ❆ ❝❛♥ ❢♦r❣❡ ⇓ t❤❡♥ ❛❧❧ ❢♦r❣❡r✐❡s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❧❡❛❦❛❣❡

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❆ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✲❜❛s❡❞ ❙❡❝✉r✐t② ◆♦t✐♦♥

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❊①♣♦♥❡

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❛♥❞ ♦✉t♣✉ts ♠ ❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠ ✶ ♠ ◗ ◗ ❙✐♠✉❧❛t♦r ❞❡t❡r♠✐♥❡s s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❧❡❛❦❛❣❡

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❆ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✲❜❛s❡❞ ❙❡❝✉r✐t② ◆♦t✐♦♥

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❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆✶,❆✷ (❦, λ, γ)

✶ ❆✶ ✐s ❣✐✈❡♥ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❦❡② ✈❦ ✷ ❆✶ ❝❛♥ q✉❡r② ❙✐❣♥✭s❦✱ ✮ ❛♥❞

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✹ ❆✷ ✐s ❣✐✈❡♥ st ❛♥❞ ◗

❛♥❞ ♦✉t♣✉ts ♠ ❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠ ✶ ♠ ◗ ◗ ❙✐♠✉❧❛t♦r ❞❡t❡r♠✐♥❡s s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❧❡❛❦❛❣❡

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❆ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✲❜❛s❡❞ ❙❡❝✉r✐t② ◆♦t✐♦♥

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❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆✶,❆✷ (❦, λ, γ)

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❛♥❞ ♦✉t♣✉ts ♠ ❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠ ✶ ♠ ◗ ◗ ❙✐♠✉❧❛t♦r ❞❡t❡r♠✐♥❡s s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❧❡❛❦❛❣❡

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❆ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✲❜❛s❡❞ ❙❡❝✉r✐t② ◆♦t✐♦♥

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❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

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❛♥❞ ♦✉t♣✉ts ♠ ❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠ ✶ ♠ ◗ ◗ ❙✐♠✉❧❛t♦r ❞❡t❡r♠✐♥❡s s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❧❡❛❦❛❣❡

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❆ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✲❜❛s❡❞ ❙❡❝✉r✐t② ◆♦t✐♦♥

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❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆✶,❆✷ (❦, λ, γ)

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❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ❱❡r ♠ ✶ ♠ ◗ ◗ ❙✐♠✉❧❛t♦r ❞❡t❡r♠✐♥❡s s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❧❡❛❦❛❣❡

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❆ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✲❜❛s❡❞ ❙❡❝✉r✐t② ◆♦t✐♦♥

❈♦str❛✐♥❡❞ ❖♥❡✲♠♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆✶,❆✷ (❦, λ, γ)

✶ ❆✶ ✐s ❣✐✈❡♥ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❦❡② ✈❦ ✷ ❆✶ ❝❛♥ q✉❡r② ❙✐❣♥✭s❦✱ ·✮ ❛♥❞ O(s❦) ✸ ❙ ✐s ❣✐✈❡♥ ❆✶✬s st❛t❡ st ❛♥❞ ♦✉t♣✉ts ◗∗ st |◗∗| ≤ ⌊λ/(γ|σ|)⌋ ✹ ❆✷ ✐s ❣✐✈❡♥ st ❛♥❞ ◗∗ ❛♥❞ ♦✉t♣✉ts (♠, σ)

❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ⇐ ⇒ ❱❡r(♠, σ) = ✶ ♠ / ∈ ◗ ∪ ◗∗ ❙✐♠✉❧❛t♦r ❞❡t❡r♠✐♥❡s s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❧❡❛❦❛❣❡

◆✐❡❧s❡♥✱ ❱❡♥t✉r✐✱ ❩♦tt❛r❡❧ ✭✮ ▲❡❛❦❛❣❡ ❢r♦♠ ❙❤♦rt ❙✐❣♥❛t✉r❡s ▼❛r❝❤ ✷✼t❤✱ ✷✵✶✹ ✶✵ ✴ ✷✶

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❆ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✲❜❛s❡❞ ❙❡❝✉r✐t② ◆♦t✐♦♥

❈♦str❛✐♥❡❞ ❖♥❡✲♠♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

❊①♣♦♥❡−♠♦r❡

❙,❆✶,❆✷ (❦, λ, γ)

✶ ❆✶ ✐s ❣✐✈❡♥ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❦❡② ✈❦ ✷ ❆✶ ❝❛♥ q✉❡r② ❙✐❣♥✭s❦✱ ·✮ ❛♥❞ O(s❦) ✸ ❙ ✐s ❣✐✈❡♥ ❆✶✬s st❛t❡ st ❛♥❞ ♦✉t♣✉ts ◗∗ st |◗∗| ≤ ⌊λ/(γ|σ|)⌋ ✹ ❆✷ ✐s ❣✐✈❡♥ st ❛♥❞ ◗∗ ❛♥❞ ♦✉t♣✉ts (♠, σ)

❊①♣ ♦✉t♣✉ts ✶ ⇐ ⇒ ❱❡r(♠, σ) = ✶ ♠ / ∈ ◗ ∪ ◗∗ ❙✐♠✉❧❛t♦r ❞❡t❡r♠✐♥❡s s✐❣♥❛t✉r❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❧❡❛❦❛❣❡

◆✐❡❧s❡♥✱ ❱❡♥t✉r✐✱ ❩♦tt❛r❡❧ ✭✮ ▲❡❛❦❛❣❡ ❢r♦♠ ❙❤♦rt ❙✐❣♥❛t✉r❡s ▼❛r❝❤ ✷✼t❤✱ ✷✵✶✹ ✶✵ ✴ ✷✶

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❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

❈♦str❛✐♥❡❞ ♦♥❡✲♠♦r❡ ✉♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❖♥❡✲♠♦r❡ ✉♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

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◆✐❡❧s❡♥✱ ❱❡♥t✉r✐✱ ❩♦tt❛r❡❧ ✭✮ ▲❡❛❦❛❣❡ ❢r♦♠ ❙❤♦rt ❙✐❣♥❛t✉r❡s ▼❛r❝❤ ✷✼t❤✱ ✷✵✶✹ ✶✶ ✴ ✷✶

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❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

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◆✐❡❧s❡♥✱ ❱❡♥t✉r✐✱ ❩♦tt❛r❡❧ ✭✮ ▲❡❛❦❛❣❡ ❢r♦♠ ❙❤♦rt ❙✐❣♥❛t✉r❡s ▼❛r❝❤ ✷✼t❤✱ ✷✵✶✹ ✶✶ ✴ ✷✶

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◆❡✇ ❙❡❝✉r✐t② ◆♦t✐♦♥s

  • ❡♥❡r✐❝ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥

❈♦♥❝r❡t❡ ■♥st❛♥t✐❛t✐♦♥

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

◆✐❡❧s❡♥✱ ❱❡♥t✉r✐✱ ❩♦tt❛r❡❧ ✭✮ ▲❡❛❦❛❣❡ ❢r♦♠ ❙❤♦rt ❙✐❣♥❛t✉r❡s ▼❛r❝❤ ✷✼t❤✱ ✷✵✶✹ ✶✷ ✴ ✷✶

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Pr♦♦❢ ❙❦❡t❝❤ ❈♦♥t✐♥✉❡❞

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❆ ❈♦♥❝r❡t❡ ■♥st❛♥t✐❛t✐♦♥

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SLIDE 74

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❆ ❈♦♥❝r❡t❡ ■♥st❛♥t✐❛t✐♦♥

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