st r r P - - PowerPoint PPT Presentation

❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉

❥♦✐♥t ✇✐t❤ ❊r✐♥ P✳ ❏✳ P❡❛rs❡✱ ▲✉❦❡ ●✳ ❘♦❣❡rs✱ ❍✉♦✲❏✉♥ ❘✉❛♥✱ ❘♦❜❡rt ❙✳ ❙tr✐❝❤❛rt③

❆♣r✐❧ ✶✽✱ ✷✵✶✶

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆♥ ✐t❡r❛t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②st❡♠ ✭✐✳❢✳s✳✮ ✐s ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ❋✶ ❋◆ ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ♦♥

❞✳

❋♦r s✉❝❤ ❛♥ ✐✳❢✳s✳ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ❑ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❑ ❋✶ ❑ ❋◆ ❑ ▲❡t ❜❡ ❛ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ ❑ ❆ ✶ ◆

◆ ✐ ✶

❋

✶ ✐

❆

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆♥ ✐t❡r❛t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②st❡♠ ✭✐✳❢✳s✳✮ ✐s ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ {❋✶, . . . , ❋◆} ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ♦♥ R❞✳ ❋♦r s✉❝❤ ❛♥ ✐✳❢✳s✳ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ❑ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❑ ❋✶ ❑ ❋◆ ❑ ▲❡t ❜❡ ❛ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ ❑ ❆ ✶ ◆

◆ ✐ ✶

❋

✶ ✐

❆

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆♥ ✐t❡r❛t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②st❡♠ ✭✐✳❢✳s✳✮ ✐s ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ {❋✶, . . . , ❋◆} ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ♦♥ R❞✳ ❋♦r s✉❝❤ ❛♥ ✐✳❢✳s✳ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ❑ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❑ = ❋✶(❑)

• · · ·
• ❋◆(❑).

▲❡t ❜❡ ❛ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ ❑ ❆ ✶ ◆

◆ ✐ ✶

❋

✶ ✐

❆

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆♥ ✐t❡r❛t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②st❡♠ ✭✐✳❢✳s✳✮ ✐s ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ {❋✶, . . . , ❋◆} ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ♦♥ R❞✳ ❋♦r s✉❝❤ ❛♥ ✐✳❢✳s✳ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ❑ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❑ = ❋✶(❑)

• · · ·
• ❋◆(❑).

▲❡t µ ❜❡ ❛ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ ❑ µ(❆) = ✶ ◆

◆

• ✐=✶

µ(❋ −✶

✐

(❆)).

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

P❈❋ ❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❑ ✐s ❛ ♣♦st✲❝r✐t✐❝❛❧❧② ✜♥✐t❡ ✭P❈❋✮ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❜s❡t ❱✵ ①✶ ①◆ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❋ ❑ ❋ ❑ ❋ ❱✵ ❋ ❱✵ ❱✵ ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧✳ ❑ ❋ ❑ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♥ ♠✲❝❡❧❧ ✐❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ✐s ♠✳ ❱♠ ❋ ❱✵ ❛r❡ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♠✲❣r❛♣❤ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❑ ❚❤❡ s❡t ❱

♠ ❱♠ ✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ ❑✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

P❈❋ ❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❑ ✐s ❛ ♣♦st✲❝r✐t✐❝❛❧❧② ✜♥✐t❡ ✭P❈❋✮ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❜s❡t ❱✵ ⊆ {①✶, . . . , ①◆} s❛t✐s❢②✐♥❣ ❋ω(❑)

• ❋ω′(❑) ⊆ ❋ω(❱✵)
• ❋ω′(❱✵).

❱✵ ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧✳ ❑ ❋ ❑ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♥ ♠✲❝❡❧❧ ✐❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ✐s ♠✳ ❱♠ ❋ ❱✵ ❛r❡ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♠✲❣r❛♣❤ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❑ ❚❤❡ s❡t ❱

♠ ❱♠ ✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ ❑✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

P❈❋ ❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❑ ✐s ❛ ♣♦st✲❝r✐t✐❝❛❧❧② ✜♥✐t❡ ✭P❈❋✮ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❜s❡t ❱✵ ⊆ {①✶, . . . , ①◆} s❛t✐s❢②✐♥❣ ❋ω(❑)

• ❋ω′(❑) ⊆ ❋ω(❱✵)
• ❋ω′(❱✵).

❱✵ ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧✳ ❑ ❋ ❑ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♥ ♠✲❝❡❧❧ ✐❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ✐s ♠✳ ❱♠ ❋ ❱✵ ❛r❡ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♠✲❣r❛♣❤ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❑ ❚❤❡ s❡t ❱

♠ ❱♠ ✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ ❑✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

P❈❋ ❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❑ ✐s ❛ ♣♦st✲❝r✐t✐❝❛❧❧② ✜♥✐t❡ ✭P❈❋✮ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❜s❡t ❱✵ ⊆ {①✶, . . . , ①◆} s❛t✐s❢②✐♥❣ ❋ω(❑)

• ❋ω′(❑) ⊆ ❋ω(❱✵)
• ❋ω′(❱✵).

❱✵ ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧✳ ❑ω = ❋ω(❑) ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♥ ♠✲❝❡❧❧ ✐❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ω ✐s ♠✳ ❱♠ ❋ ❱✵ ❛r❡ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♠✲❣r❛♣❤ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❑ ❚❤❡ s❡t ❱

♠ ❱♠ ✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ ❑✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

P❈❋ ❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❑ ✐s ❛ ♣♦st✲❝r✐t✐❝❛❧❧② ✜♥✐t❡ ✭P❈❋✮ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❜s❡t ❱✵ ⊆ {①✶, . . . , ①◆} s❛t✐s❢②✐♥❣ ❋ω(❑)

• ❋ω′(❑) ⊆ ❋ω(❱✵)
• ❋ω′(❱✵).

❱✵ ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧✳ ❑ω = ❋ω(❑) ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♥ ♠✲❝❡❧❧ ✐❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ω ✐s ♠✳ ❱♠ =

ω ❋ω(❱✵) ❛r❡ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♠✲❣r❛♣❤

❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❑ ❚❤❡ s❡t ❱

♠ ❱♠ ✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ ❑✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

P❈❋ ❋r❛❝t❛❧s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❑ ✐s ❛ ♣♦st✲❝r✐t✐❝❛❧❧② ✜♥✐t❡ ✭P❈❋✮ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s❡t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❜s❡t ❱✵ ⊆ {①✶, . . . , ①◆} s❛t✐s❢②✐♥❣ ❋ω(❑)

• ❋ω′(❑) ⊆ ❋ω(❱✵)
• ❋ω′(❱✵).

❱✵ ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧✳ ❑ω = ❋ω(❑) ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♥ ♠✲❝❡❧❧ ✐❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ω ✐s ♠✳ ❱♠ =

ω ❋ω(❱✵) ❛r❡ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ♠✲❣r❛♣❤

❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❑ ❚❤❡ s❡t ❱∗ =

♠ ❱♠ ✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ ❑✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❊♥❡r❣② ✳✳✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r ❡♥❡r❣② ❢♦r♠ ✉

◆ ✐ ✶

r

✶ ✐

✉ ❋✐ ❚❤✐s ❢♦r♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s t❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❡♥❡r❣② ❛t ❧❡✈❡❧ ♠✿

♠ ✉ ①♠②

❝①② ✉ ① ✉ ②

✷

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❊♥❡r❣② ✳✳✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r ❡♥❡r❣② ❢♦r♠ E(✉) =

◆

• ✐=✶

r−✶

✐

E(✉ ◦ ❋✐). ❚❤✐s ❢♦r♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s t❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❡♥❡r❣② ❛t ❧❡✈❡❧ ♠✿

♠ ✉ ①♠②

❝①② ✉ ① ✉ ②

✷

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❊♥❡r❣② ✳✳✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r ❡♥❡r❣② ❢♦r♠ E(✉) =

◆

• ✐=✶

r−✶

✐

E(✉ ◦ ❋✐). ❚❤✐s ❢♦r♠ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s t❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❡♥❡r❣② ❛t ❧❡✈❡❧ ♠✿ E♠(✉) =

• ① ˜

♠②

❝①②(✉(①) − ✉(②))✷.

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

✳✳✳ ❛♥❞ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✇❡❛❦❧② ✉ ✈ ✈ ✉❞ ❚❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✉ ① ❧✐♠

♠

❝♠ ①

♠ ①

✇❤❡r❡

♠ ✐s t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ♠✲❧❡✈❡❧ ❣r❛♣❤✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

✳✳✳ ❛♥❞ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✇❡❛❦❧② E(✉, ✈) = −

• ✈∆✉❞µ.

❚❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✉ ① ❧✐♠

♠

❝♠ ①

♠ ①

✇❤❡r❡

♠ ✐s t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ♠✲❧❡✈❡❧ ❣r❛♣❤✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

✳✳✳ ❛♥❞ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✇❡❛❦❧② E(✉, ✈) = −

• ✈∆✉❞µ.

❚❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ ❢♦r♠✉❧❛ ∆✉(①) = ❧✐♠

♠→∞ ❝♠(①)∆♠(①),

✇❤❡r❡ ∆♠ ✐s t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ♠✲❧❡✈❡❧ ❣r❛♣❤✳

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

◆♦r♠❛❧ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ ♥♦r♠❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛t ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t q ✐s ❞❡✜♥❡❞ ∂♥✉(q) = ❧✐♠

♠→∞

✶ r♠

✐

• ② ˜

♠q

(✉(q) − ✉(②)).

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

▼❛✐♥ ❘❡s✉❧t

❚❤❡♦r❡♠ ❆ss✉♠❡ t❤❛t λ ✐s ♥♦t ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ ∆✱ ❛♥❞ ♥❡✐t❤❡r ✐s

✶ ◆♠ rωλ✱ ❢♦r ❛♥② ✜♥✐t❡ ✇♦r❞ ω✳ ❋♦r t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♦♥ ❑ ✇✐t❤

❉✐r✐❝❤❧❡t ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ (λ − ∆)✉ = ❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ❘(λ)(①, ②)✿ ✉(②) =

• ❘(λ)(①, ②)❢ (②)❞µ(②).

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❋♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧

❋❛❝t ❚❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐s ❜✉✐❧t ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❋✐rst ✇❡ s♦❧✈❡ t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t ❧❡✈❡❧ ✶✿

♣

✵ ♦♥ ❡❛❝❤ ❑❥ ❋❥ ❑

♣

q

♣q

❢♦r ♣ ❱✶ ❱✵ ❛♥❞ q ❱✶ ❚❤❡♥ ✇❡ ❜✉✐❧❞ ❛ ♠❛tr✐① ❇ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥tr✐❡s ❇♣q

♥ ♣

q

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❋♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧

❋❛❝t ❚❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐s ❜✉✐❧t ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❋✐rst ✇❡ s♦❧✈❡ t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t ❧❡✈❡❧ ✶✿

• (λ − ∆)ψ(λ)

♣

= ✵, ♦♥ ❡❛❝❤ ❑❥ = ❋❥(❑), ψ(λ)

♣ (q) = δ♣q,

❢♦r ♣ ∈ ❱✶ \ ❱✵ ❛♥❞ q ∈ ❱✶. ❚❤❡♥ ✇❡ ❜✉✐❧❞ ❛ ♠❛tr✐① ❇ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥tr✐❡s ❇♣q

♥ ♣

q

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❋♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧

❋❛❝t ❚❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐s ❜✉✐❧t ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❋✐rst ✇❡ s♦❧✈❡ t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t ❧❡✈❡❧ ✶✿

• (λ − ∆)ψ(λ)

♣

= ✵, ♦♥ ❡❛❝❤ ❑❥ = ❋❥(❑), ψ(λ)

♣ (q) = δ♣q,

❢♦r ♣ ∈ ❱✶ \ ❱✵ ❛♥❞ q ∈ ❱✶. ❚❤❡♥ ✇❡ ❜✉✐❧❞ ❛ ♠❛tr✐① ❇(λ) ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡♥tr✐❡s ❇(λ)

♣q =

• ∂♥ψ(λ)

♣ (q).

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❚❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✭❝♦♥t✬❞✮

❋❛❝t ■❢ ✐s ♥♦t ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ t❤❡♥ ❇ ✐s ❛♥ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ♠❛tr✐①✳ ▲❡t ● ❜❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦♥ ❇ ✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ♠❛♣ ① ②

♣ q ❱✶ ❱✵

• ♣q

♣

①

q

② ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❘ ① ② r✇

✶ ◆♠ r✇

❋

✶ ✇ ① ❋ ✶ ✇ ②

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❚❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✭❝♦♥t✬❞✮

❋❛❝t ■❢ λ ✐s ♥♦t ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ t❤❡♥ ❇(λ) ✐s ❛♥ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ♠❛tr✐①✳ ▲❡t ● ❜❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦♥ ❇ ✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ♠❛♣ ① ②

♣ q ❱✶ ❱✵

• ♣q

♣

①

q

② ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❘ ① ② r✇

✶ ◆♠ r✇

❋

✶ ✇ ① ❋ ✶ ✇ ②

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❚❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✭❝♦♥t✬❞✮

❋❛❝t ■❢ λ ✐s ♥♦t ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ t❤❡♥ ❇(λ) ✐s ❛♥ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ♠❛tr✐①✳ ▲❡t ● (λ) ❜❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦♥ ❇(λ)✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ♠❛♣ ① ②

♣ q ❱✶ ❱✵

• ♣q

♣

①

q

② ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❘ ① ② r✇

✶ ◆♠ r✇

❋

✶ ✇ ① ❋ ✶ ✇ ②

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❚❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✭❝♦♥t✬❞✮

❋❛❝t ■❢ λ ✐s ♥♦t ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ t❤❡♥ ❇(λ) ✐s ❛♥ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ♠❛tr✐①✳ ▲❡t ● (λ) ❜❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦♥ ❇(λ)✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ♠❛♣ Ψ(λ)(①, ②) =

• ♣,q∈❱✶\❱✵
• (λ)

♣q ψ(λ) ♣ (①)ψ(λ) q (②).

❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❘ ① ② r✇

✶ ◆♠ r✇

❋

✶ ✇ ① ❋ ✶ ✇ ②

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❚❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✭❝♦♥t✬❞✮

❋❛❝t ■❢ λ ✐s ♥♦t ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ t❤❡♥ ❇(λ) ✐s ❛♥ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ♠❛tr✐①✳ ▲❡t ● (λ) ❜❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦♥ ❇(λ)✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ♠❛♣ Ψ(λ)(①, ②) =

• ♣,q∈❱✶\❱✵
• (λ)

♣q ψ(λ) ♣ (①)ψ(λ) q (②).

❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ r❡s♦❧✈❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❘(λ)(①, ②) =

• ω

r✇Ψ(

✶ ◆♠ r✇λ)(❋ −✶

✇ ①, ❋ −✶ ✇ ②).

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❊①❛♠♣❧❡✿ ❯♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧

❊①❛♠♣❧❡ ❋♦r t❤❡ ✉♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ψ(λ)(①) = ✶ s✐♥❤

√ λ ✷

• s✐♥❤

√ λ① ① ≤ ✶

✷

s✐♥❤ √ λ(✶ − ①) ① ≥ ✶

✷

, ① ② s✐♥❤

✷

✷ ❝♦s❤

✷

① ② ❛♥❞ ❘ ① ②

♠ ✵ ♠

✶ ✷♠

✹♠ ❋ ✶① ❋ ✶②

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❊①❛♠♣❧❡✿ ❯♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧

❊①❛♠♣❧❡ ❋♦r t❤❡ ✉♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ψ(λ)(①) = ✶ s✐♥❤

√ λ ✷

• s✐♥❤

√ λ① ① ≤ ✶

✷

s✐♥❤ √ λ(✶ − ①) ① ≥ ✶

✷

, Ψ(λ)(①, ②) = s✐♥❤

√ λ ✷

✷ √ λ ❝♦s❤

√ λ ✷

ψ(λ)(①)ψ(λ)(②), ❛♥❞ ❘ ① ②

♠ ✵ ♠

✶ ✷♠

✹♠ ❋ ✶① ❋ ✶②

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❊①❛♠♣❧❡✿ ❯♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧

❊①❛♠♣❧❡ ❋♦r t❤❡ ✉♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ψ(λ)(①) = ✶ s✐♥❤

√ λ ✷

• s✐♥❤

√ λ① ① ≤ ✶

✷

s✐♥❤ √ λ(✶ − ①) ① ≥ ✶

✷

, Ψ(λ)(①, ②) = s✐♥❤

√ λ ✷

✷ √ λ ❝♦s❤

√ λ ✷

ψ(λ)(①)ψ(λ)(②), ❛♥❞ ❘(λ)(①, ②) =

∞

• ♠=✵
• |ω|=♠

✶ ✷♠ Ψ(λ/✹♠)(❋ −✶

ω ①, ❋ −✶ ω ②).

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❯♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧✿ ♣✐❝t✉r❡ ♦❢ ψ(✶)(①, ②)

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❯♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧✿ ♣✐❝t✉r❡ ♦❢ ❘(✶)(①, ②)

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s

❙✐❡r♣✐♥s❦✐ ❣❛s❦❡t

❊①❛♠♣❧❡ ❋♦r t❤❡ ❙✐❡r♣✐♥s❦✐ ❣❛s❦❡t t❤❡ ♠❛tr✐① ● (λ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

• (λ) =

✸ ✺(✺ − λ✵)(✷ − λ✵)τ(λ)   ✸ − λ✵ ✶ ✶ ✶ ✸ − λ✵ ✶ ✶ ✶ ✸ − λ✵   , ✇❤❡r❡ τ(λ) = ✹λ ✸λ✵(✷ − λ✶)

∞

• ❥=✷
• ✶ − λ❥

✸

• .

▼❛r✐✉s ■♦♥❡s❝✉ ❚❤❡ ❘❡s♦❧✈❡♥t ❑❡r♥❡❧ ❋♦r P❈❋ ❙❡❧❢✲❙✐♠✐❧❛r ❋r❛❝t❛❧s