s rs stts r Pr tt - - PowerPoint PPT Presentation

❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ❢♦r P♦✇❡r ❯t✐❧✐t② ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③

❊❚❍ ❩✉r✐❝❤

❆♥❙t❆♣✶✵ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ❱✐❡♥♥❛✱ ✶✷✳✵✼✳✷✵✶✵

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✶ ✴ ✶✺

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠

P♦✇❡r ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❯(①) = ✶

♣①♣✱ ♣ ∈ (−∞, ✵) ∪ (✵, ✶)

❯t✐❧✐t② ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥✿ ♠❛① ❊ [∫ ❚

✵

❯(❝t) ❞t + ❯(❳❚(휋, ❝)) ] ♦✈❡r tr❛❞✐♥❣ ❛♥❞ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s (휋, ❝) ❆✐♠✿ ❉❡s❝r✐❜❡ ♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣✐❡s ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐ts ♣ → ✵✱ ✐✳❡✳ r❡❧❛t✐✈❡ r✐s❦ ❛✈❡rs✐♦♥ → ✶✳ ♣ → −∞✱ ✐✳❡✳ r❡❧❛t✐✈❡ r✐s❦ ❛✈❡rs✐♦♥ → +∞✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✷ ✴ ✶✺

❖✉t❧✐♥❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵

✸

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✵t❤ ♦r❞❡r✮

✹

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✶st ♦r❞❡r✮

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✸ ✴ ✶✺

❖✉t❧✐♥❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵

✸

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✵t❤ ♦r❞❡r✮

✹

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✶st ♦r❞❡r✮

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✸ ✴ ✶✺

❯t✐❧✐t② ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠

❞ r✐s❦② ❛ss❡ts✿ s❡♠✐♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ❘ ♦❢ st♦❝❦ r❡t✉r♥s✱ ❘✵ = ✵ s♣♦t ♣r✐❝❡s ❙ = ( ℰ(❘✶), . . . , ℰ(❘❞) ) s❛t✐s❢②✐♥❣ ◆❋▲❱❘ ✭❘❛♥❞♦♠✮ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❯t(①) = ❯(♣)

t

(①) = ❉t ✶

♣①♣,

♣ ∈ (−∞, ✵) ∪ (✵, ✶), ✇✐t❤ ❉ > ✵ ❝à❞❧à❣ ❛❞❛♣t❡❞ ❛♥❞ ❉, ❉−✶ ❜♦✉♥❞❡❞ ❋♦r ✜①❡❞ ♣ ❛♥❞ ❣✐✈❡♥ ✐♥✐t✐❛❧ ❝❛♣✐t❛❧ ①✵ > ✵✿ ✉♣(①✵) := s✉♣

(휋,❝)∈풜

❊ [ ∫ ❚

✵

❯t(❝t) ❞t + ❯❚(❝❚)

• ❯t(❝t) 휇∘(❞t), ✇✐t❤ 휇∘:=❞t+훿{❚}

] 휋 ∈ ▲(❘) tr❛❞✐♥❣ str❛t❡❣②✱ ❝ ≥ ✵ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❲❡❛❧t❤✿ ❳t(휋, ❝) = ①✵ + ∫ t

✵ ❳s−(휋, ❝)휋s ❞❘s −

∫ t

✵ ❝s ❞s

❆❞♠✐ss✐❜✐❧✐t②✿ (휋, ❝) ∈ 풜 ✐❢ ❳(휋, ❝) > ✵ ❛♥❞ ❝❚ = ❳❚(휋, ❝) ❊①✐st❡♥❝❡ ❬❑❛r❛t③❛s ❛♥❞ ➎✐t❦♦✈✐➣ ❆♦P✬✵✸❪✿ ■❢ ✉♣(①✵) < ∞✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣② (ˆ 휋, ˆ ❝) ∈ 풜✱ ✐✳❡✳✱ ✉♣(①✵) = ❊ [ ∫ ❚

✵ ❯t(ˆ

❝t) 휇∘(❞t) ] ✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✹ ✴ ✶✺

❯t✐❧✐t② ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠

❞ r✐s❦② ❛ss❡ts✿ s❡♠✐♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ❘ ♦❢ st♦❝❦ r❡t✉r♥s✱ ❘✵ = ✵ s♣♦t ♣r✐❝❡s ❙ = ( ℰ(❘✶), . . . , ℰ(❘❞) ) s❛t✐s❢②✐♥❣ ◆❋▲❱❘ ✭❘❛♥❞♦♠✮ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❯t(①) = ❯(♣)

t

(①) = ❉t ✶

♣①♣,

♣ ∈ (−∞, ✵) ∪ (✵, ✶), ✇✐t❤ ❉ > ✵ ❝à❞❧à❣ ❛❞❛♣t❡❞ ❛♥❞ ❉, ❉−✶ ❜♦✉♥❞❡❞ ❋♦r ✜①❡❞ ♣ ❛♥❞ ❣✐✈❡♥ ✐♥✐t✐❛❧ ❝❛♣✐t❛❧ ①✵ > ✵✿ ✉♣(①✵) := s✉♣

(휋,❝)∈풜

❊ [ ∫ ❚

✵

❯t(❝t) ❞t + ❯❚(❝❚)

• ❯t(❝t) 휇∘(❞t), ✇✐t❤ 휇∘:=❞t+훿{❚}

] 휋 ∈ ▲(❘) tr❛❞✐♥❣ str❛t❡❣②✱ ❝ ≥ ✵ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❲❡❛❧t❤✿ ❳t(휋, ❝) = ①✵ + ∫ t

✵ ❳s−(휋, ❝)휋s ❞❘s −

∫ t

✵ ❝s ❞s

❆❞♠✐ss✐❜✐❧✐t②✿ (휋, ❝) ∈ 풜 ✐❢ ❳(휋, ❝) > ✵ ❛♥❞ ❝❚ = ❳❚(휋, ❝) ❊①✐st❡♥❝❡ ❬❑❛r❛t③❛s ❛♥❞ ➎✐t❦♦✈✐➣ ❆♦P✬✵✸❪✿ ■❢ ✉♣(①✵) < ∞✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣② (ˆ 휋, ˆ ❝) ∈ 풜✱ ✐✳❡✳✱ ✉♣(①✵) = ❊ [ ∫ ❚

✵ ❯t(ˆ

❝t) 휇∘(❞t) ] ✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✹ ✴ ✶✺

❯t✐❧✐t② ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠

❞ r✐s❦② ❛ss❡ts✿ s❡♠✐♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ❘ ♦❢ st♦❝❦ r❡t✉r♥s✱ ❘✵ = ✵ s♣♦t ♣r✐❝❡s ❙ = ( ℰ(❘✶), . . . , ℰ(❘❞) ) s❛t✐s❢②✐♥❣ ◆❋▲❱❘ ✭❘❛♥❞♦♠✮ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❯t(①) = ❯(♣)

t

(①) = ❉t ✶

♣①♣,

♣ ∈ (−∞, ✵) ∪ (✵, ✶), ✇✐t❤ ❉ > ✵ ❝à❞❧à❣ ❛❞❛♣t❡❞ ❛♥❞ ❉, ❉−✶ ❜♦✉♥❞❡❞ ❋♦r ✜①❡❞ ♣ ❛♥❞ ❣✐✈❡♥ ✐♥✐t✐❛❧ ❝❛♣✐t❛❧ ①✵ > ✵✿ ✉♣(①✵) := s✉♣

(휋,❝)∈풜

❊ [ ∫ ❚

✵

❯t(❝t) ❞t + ❯❚(❝❚)

• ❯t(❝t) 휇∘(❞t), ✇✐t❤ 휇∘:=❞t+훿{❚}

] 휋 ∈ ▲(❘) tr❛❞✐♥❣ str❛t❡❣②✱ ❝ ≥ ✵ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❲❡❛❧t❤✿ ❳t(휋, ❝) = ①✵ + ∫ t

✵ ❳s−(휋, ❝)휋s ❞❘s −

∫ t

✵ ❝s ❞s

❆❞♠✐ss✐❜✐❧✐t②✿ (휋, ❝) ∈ 풜 ✐❢ ❳(휋, ❝) > ✵ ❛♥❞ ❝❚ = ❳❚(휋, ❝) ❊①✐st❡♥❝❡ ❬❑❛r❛t③❛s ❛♥❞ ➎✐t❦♦✈✐➣ ❆♦P✬✵✸❪✿ ■❢ ✉♣(①✵) < ∞✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣② (ˆ 휋, ˆ ❝) ∈ 풜✱ ✐✳❡✳✱ ✉♣(①✵) = ❊ [ ∫ ❚

✵ ❯t(ˆ

❝t) 휇∘(❞t) ] ✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✹ ✴ ✶✺

❖✉t❧✐♥❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵

✸

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✵t❤ ♦r❞❡r✮

✹

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✶st ♦r❞❡r✮

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✹ ✴ ✶✺

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵ ❢♦r ❉ ≡ ✶

Pr♦♣❡♥s✐t② t♦ ❝♦♥s✉♠❡ 휅 :=

❝ ❳(휋,❝)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭♣ → ✵✮

∙ ❆ss✉♠❡ ✉♣✵(①✵) < ∞ ❢♦r s♦♠❡ ♣✵ > ✵✳ ❚❤❡♥ ˆ 휅t(♣) → ✶ ✶ + ❚ − t ✉♥✐❢♦r♠❧② ✐♥ t✱ P✲❛✳s✳ ∙ ■❢ ❙ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ˆ 휋(♣) → 휆 ✐♥ ▲✷

❧♦❝(▼).

❙ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✰ ◆❋▲❱❘ ⇒ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ❘ = ▼ + ∫ ❞⟨▼⟩ 휆, s♦♠❡ 휆 ∈ ▲✷

❧♦❝(▼).

▲✐♠✐t ✐s t❤❡ ❧♦❣✲♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣②✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✺ ✴ ✶✺

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵ ❢♦r ❉ ≡ ✶

Pr♦♣❡♥s✐t② t♦ ❝♦♥s✉♠❡ 휅 :=

❝ ❳(휋,❝)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭♣ → ✵✮

∙ ❆ss✉♠❡ ✉♣✵(①✵) < ∞ ❢♦r s♦♠❡ ♣✵ > ✵✳ ❚❤❡♥ ˆ 휅t(♣) → ✶ ✶ + ❚ − t ✉♥✐❢♦r♠❧② ✐♥ t✱ P✲❛✳s✳ ∙ ■❢ ❙ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ˆ 휋(♣) → 휆 ✐♥ ▲✷

❧♦❝(▼).

❙ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✰ ◆❋▲❱❘ ⇒ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ❘ = ▼ + ∫ ❞⟨▼⟩ 휆, s♦♠❡ 휆 ∈ ▲✷

❧♦❝(▼).

▲✐♠✐t ✐s t❤❡ ❧♦❣✲♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣②✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✺ ✴ ✶✺

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵ ❢♦r ❉ ≡ ✶

Pr♦♣❡♥s✐t② t♦ ❝♦♥s✉♠❡ 휅 :=

❝ ❳(휋,❝)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭♣ → ✵✮

∙ ❆ss✉♠❡ ✉♣✵(①✵) < ∞ ❢♦r s♦♠❡ ♣✵ > ✵✳ ❚❤❡♥ ˆ 휅t(♣) → ✶ ✶ + ❚ − t ✉♥✐❢♦r♠❧② ✐♥ t✱ P✲❛✳s✳ ∙ ■❢ ❙ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ˆ 휋(♣) → 휆 ✐♥ ▲✷

❧♦❝(▼).

❙ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✰ ◆❋▲❱❘ ⇒ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ❘ = ▼ + ∫ ❞⟨▼⟩ 휆, s♦♠❡ 휆 ∈ ▲✷

❧♦❝(▼).

▲✐♠✐t ✐s t❤❡ ❧♦❣✲♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣②✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✺ ✴ ✶✺

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ❉

❚❤❡♦r❡♠ ✭♣ → ✵✮

∙ ❆ss✉♠❡ ✉♣✵(①✵) < ∞ ❢♦r s♦♠❡ ♣✵ > ✵✳ ❚❤❡♥ ˆ 휅t(♣) → ❉t 휂t ✉♥✐❢♦r♠❧② ✐♥ t✱ P✲❛✳s✳ ✇❤❡r❡ 휂t := ❊ [ ∫ ❚

t ❉s 휇∘(❞s)

• ℱt

] ✳ ∙ ■❢ ❙ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ˆ 휋(♣) → 휆 + ❩ 휂 휂− ✐♥ ▲✷

❧♦❝(▼)

✇✐t❤ t❤❡ ❑❲ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ 휂 = 휂✵ + ❆휂 + ❩ 휂 ∙ ▼ + ◆휂✳ ◆♦t❡✿ ❆s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧②✱ ❩ 휂

휂− ✐s t❤❡ ❤❡❞❣✐♥❣ ❞❡♠❛♥❞ ❝❛✉s❡❞ ❜② ❉✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✻ ✴ ✶✺

❖✉t❧✐♥❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵

✸

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✵t❤ ♦r❞❡r✮

✹

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✶st ♦r❞❡r✮

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✻ ✴ ✶✺

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞

❆s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ r✐s❦ ❛✈❡rs✐♦♥ (✶ − ♣) → ∞✱ t❤❡ ❛❣❡♥t ✇✐❧❧ ❜❡ t♦♦ ❛❢r❛✐❞ t♦ tr❛❞❡✳ ■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ tr❛❞✐♥❣✱ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ 휅t = (✶ + ❚ − t)−✶ ✐s ♦♣t✐♠❛❧✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭♣ → −∞✮

ˆ 휅t(♣) → (✶ + ❚ − t)−✶ P✲❛✳s✳✱ ❢♦r ❡❛❝❤ t✳ ■❢ (ℱt) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ˆ 휋(♣) → ✵ ✐♥ ▲✷

❧♦❝(▼)✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✼ ✴ ✶✺

❉❡s❝r✐❜✐♥❣ ❈♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ✈✐❛ t❤❡ ❖♣♣♦rt✉♥✐t② Pr♦❝❡ss

❉ ≡ ✶ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✳ ❉✉❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✜①❡❞ ♣ < ✵✿ ✐♥❢

❨ ∈Y ❊

[ ∫ ❚

✵

❯∗(❨t) 휇∘(❞t) ] , ✇❤❡r❡ ❯∗(②) = s✉♣①>✵ ( ❯(①) − ①② ) = −q−✶②q, q :=

♣ ♣−✶.

Y ✐s ❛ s❡t ♦❢ s✉♣❡r♠❛rt✐♥❣❛❧❡s ❨ > ✵✱ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❊▼▼s✳ ❉✉❛❧ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ♣r♦❝❡ss ▲∗ = ▲∗(♣)✿ ▲∗

t (♣) = ❡ss s✉♣❨ ∈Y ❊

[ ∫ ❚

t

(❨s/❨t)q 휇∘(❞s)

• ℱt

]

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭◆✳✬✵✾❛✮

ˆ 휅 = ✶/▲∗

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✽ ✴ ✶✺

❉❡s❝r✐❜✐♥❣ ❈♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ✈✐❛ t❤❡ ❖♣♣♦rt✉♥✐t② Pr♦❝❡ss

❉ ≡ ✶ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✳ ❉✉❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ✜①❡❞ ♣ < ✵✿ ✐♥❢

❨ ∈Y ❊

[ ∫ ❚

✵

❯∗(❨t) 휇∘(❞t) ] , ✇❤❡r❡ ❯∗(②) = s✉♣①>✵ ( ❯(①) − ①② ) = −q−✶②q, q :=

♣ ♣−✶.

Y ✐s ❛ s❡t ♦❢ s✉♣❡r♠❛rt✐♥❣❛❧❡s ❨ > ✵✱ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❊▼▼s✳ ❉✉❛❧ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ♣r♦❝❡ss ▲∗ = ▲∗(♣)✿ ▲∗

t (♣) = ❡ss s✉♣❨ ∈Y ❊

[ ∫ ❚

t

(❨s/❨t)q 휇∘(❞s)

• ℱt

]

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭◆✳✬✵✾❛✮

ˆ 휅 = ✶/▲∗

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✽ ✴ ✶✺

ˆ 휅t(♣) → (✶ + ❚ − t)−✶ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ▲∗

t (♣) → ✶ + ❚ − t✳

❚r✐✈✐❛❧ ❡st✐♠❛t❡ ▲∗

t (♣) ≤ ✶ + ❚ − t✳

❋✐① ❞❡♥s✐t② ♣r♦❝❡ss ❩ ♦❢ ❛♥ ❊▼▼✱ t❤❡♥ ▲∗

t (♣) = ❡ss s✉♣❨ ∈Y

∫ ❚

t

❊ [ (❨s/❨t)q ℱt ] 휇∘(❞s) ≥ ∫ ❚

t

❊ [ (❩s/❩t)q ℱt ] 휇∘(❞s) → ∫ ❚

t

❊ [ (❩s/❩t)

• ℱt

] 휇∘(❞s) = ∫ ❚

t

✶ 휇∘(❞s) = ✶ + ❚ − t.

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✾ ✴ ✶✺

❖✉t❧✐♥❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → ✵

✸

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✵t❤ ♦r❞❡r✮

✹

❆s②♠♣t♦t✐❝s ♣ → −∞ ✭✶st ♦r❞❡r✮

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✾ ✴ ✶✺

✶st ❖r❞❡r ❆s②♠♣t♦t✐❝s

◆♦ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✿ ❙ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❊▼▼ ◗ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ❡♥tr♦♣② ❍(◗∣P) := ❊ [

❞◗ ❞P ❧♦❣

(

❞◗ ❞P

)] ❊①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❤❡❞❣✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✿ ▲❡t ❇ ∈ ▲∞(ℱ❚) ❜❡ ❛ ❝♦♥t✐♥❣❡♥t ❝❧❛✐♠✳ ❈♦♥s✐❞❡r✿ ♠❛①

휗∈Θ ❊

[ − ❡①♣ ( ❇ − 휗 ∙ ❘❚ )] . ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ˆ 휗(❡①♣) ∈ Θ✱

Θ := {휗 ∈ ▲(❘) : 휗 ∙ ❘ ✐s ❛ ◗✲s✉♣❡r♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ❢♦r ❛❧❧ ❊▼▼ ◗ ✇✐t❤ ❍(◗∣P) < ∞}✳ ▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✶✵ ✴ ✶✺

❚❤❡♦r❡♠ ✭♣ → −∞✱ ♥♦ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✮

▲❡t (ℱt) ❜❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❋♦r t❤❡ ❝❧❛✐♠ ❇ := ❧♦❣(❉❚)✱ (✶ − ♣) ˆ 휋(♣) → ˆ 휗(❡①♣) ✐♥ ▲✷

❧♦❝(▼).

❍❡r❡ ˆ 휋(♣) ❞❡♥♦t❡s ❢r❛❝t✐♦♥s ♦❢ ✇❡❛❧t❤ ❛♥❞ ˆ 휗(❡①♣) ❞❡♥♦t❡s ♠♦♥❡t❛r② ❛♠♦✉♥ts✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✶✶ ✴ ✶✺

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ Pr♦♦❢

❖♣♣♦rt✉♥✐t② ♣r♦❝❡ss ▲✿ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ▲∗ ❢♦r ♣r✐♠❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❑❲ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ▲(♣) = ▲✵(♣) + ❆▲(♣) + ❩ ▲(♣) ∙ ▼ + ◆▲(♣)✳ ❊①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ♣r♦❝❡ss ▲❡①♣ = ▲❡①♣

✵

+ ❆▲❡①♣ + ❩ ▲❡①♣ ∙ ▼ + ◆▲❡①♣ (✶ − ♣)ˆ 휋(♣) → ˜ 휗(❡①♣) ⇐ ⇒

❩ ▲(♣) ▲(♣) → ❩ ▲❡①♣ ▲❡①♣

✭✶✮ ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ ♣ → ▲t(♣)✳ ✭✷✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ▲t(♣) ↓ ▲❡①♣

t

P✲❛✳s✳ ❢♦r ❛❧❧ t✳ ✭✸✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ♣❛rts ▼▲(♣) → ▼▲❡①♣ ✐♥ ℋ✷

❧♦❝✳

▼❛r❝❡❧ ◆✉t③ ✭❊❚❍✮ ❘✐s❦ ❆✈❡rs✐♦♥ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ✶✷ ✴ ✶✺

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ Pr♦♦❢

❖♣♣♦rt✉♥✐t② ♣r♦❝❡ss ▲✿ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ▲∗ ❢♦r ♣r✐♠❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❑❲ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ▲(♣) = ▲✵(♣) + ❆▲(♣) + ❩ ▲(♣) ∙ ▼ + ◆▲(♣)✳ ❊①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ♣r♦❝❡ss ▲❡①♣ = ▲❡①♣

✵

+ ❆▲❡①♣ + ❩ ▲❡①♣ ∙ ▼ + ◆▲❡①♣ (✶ − ♣)ˆ 휋(♣) → ˜ 휗(❡①♣) ⇐ ⇒

❩ ▲(♣) ▲(♣) → ❩ ▲❡①♣ ▲❡①♣

✭✶✮ ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ ♣ → ▲t(♣)✳ ✭✷✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ▲t(♣) ↓ ▲❡①♣

t

P✲❛✳s✳ ❢♦r ❛❧❧ t✳ ✭✸✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ♣❛rts ▼▲(♣) → ▼▲❡①♣ ✐♥ ℋ✷

❧♦❝✳

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