s rt s t - - PowerPoint PPT Presentation

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✶✾ ✴ ✷✶

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✷✶ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s

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✷✷ ✴ ✷✶

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✷✸ ✴ ✷✶

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Pr♦✈❡r ❱❡r✐✜❡r (❦♥♦✇s✿ ❤; ①) (❦♥♦✇s✿ ❤) ✉ ∈❘ Zq, ❛ ← ❣ ✉

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− − − − − − − → ❝ ∈❘ Zq

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− − − − − − − → ❣ r

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✷✸ ✴ ✷✶

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Pr♦✈❡r ❱❡r✐✜❡r (❦♥♦✇s✿ ❤; ①) (❦♥♦✇s✿ ❤) ✉ ∈❘ Zq, ❛ ← ❣ ✉

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− − − − − − − → ❝ ∈❘ Zq

❝

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✷✸ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❇r❛♥❞s✬ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ❙❝❤❡♠❡

❑❡② ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ❢♦r I

P✉❜❧✐❝✿ ❣r♦✉♣ ❣ ♦❢ ♣r✐♠❡ ♦r❞❡r q❀ ❤✵ ∈ ❣✱ ❣✶, ❣✷ ∈❘ ❣ ❙❡❝r❡t✿ ①✵ ∈❘ Zq s✉❝❤ t❤❛t ❤✵ = ❣①✵ ❆ ❝r❡❞❡♥t✐❛❧ ♦♥ (①✶, ①✷) ✐s ❛ t✉♣❧❡ ( ❤′

• ♣

, ①✶, ①✷, α

s

, ③′, ❝′, r′

σ

) s✳t✳✿ ❝′ = H(❤′, ③′, ❣r′❤−❝′

✵

, (❤′)r′(③′)−❝′) ❛♥❞ (❣①✶

✶ ❣①✷ ✷ ❤✵)α = ❤′

✷✹ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❇r❛♥❞s✬ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ❙❝❤❡♠❡

■ss✉❛♥❝❡ ❢♦r (I, U)

❋♦r (①✶, ①✷)✱ U ❛♥❞ I ❝♦♠♣✉t❡ ❤ = ❣①✶

✶ ❣①✷ ✷ ❤✵ U I ③ ← ❤①✵, ✇ ∈❘ Zq ❛ ← ❣✇, ❜ ← ❤✇

③;❛,❜

← − − − − − − − α ∈❘ Z∗

q,

β, γ ∈❘ Zq ❤′ ← ❤α, ③′ ← ③α ❛′ ← ❤β

✵ ❣γ❛

❜′ ← (③′)β(❤′)γ❜α ❝′ ← H(❤′, ③′, ❛′, ❜′) ❝ ← ❝′ + β ♠♦❞ q

❝

− − − − − − − → r ← ❝①✵ + ✇ ♠♦❞ q

r

← − − − − − − − ❛ ? = ❣r❤−❝

✵

, ❜ ? = ❤r③−❝ r′ ← r + γ ♠♦❞ q

◆♦t❡✿ ❝′ = H(❤′, ③′, ❣r′❤−❝′

✵

, (❤′)r′(③′)−❝′) ❛♥❞ (❣①✶

✶ ❣①✷ ✷ ❤✵)α = ❤′

✷✺ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❇r❛♥❞s✬ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ❙❝❤❡♠❡

❱❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❢♦r (U, V)

❇r❛♥❞s✬ ❝r❡❞❡♥t✐❛❧ ✐s (❤′, ①✶, ①✷, α, ③′, ❝′, r′) s✉❝❤ t❤❛t✿ ❝′ = H(❤′, ③′, ❣r′❤−❝′

✵

, (❤′)r′(③′)−❝′) ❛♥❞ (❣①✶

✶ ❣①✷ ✷ ❤✵)α = ❤′ U V (❦♥♦✇s✿ ❤′, ③′, ❝′, r′; ①✶, ①✷, α) ✉✶, ✉✷, ✉α ∈❘ Zq ❛ ← (❤′)✉α❣−✉✶

✶

· · · ❣

−✉❧ ❧ ❛;❤′,③′,❝′,r′

− − − − − − − → ❝ ∈❘ Zq

❝

← − − − − − − − (r✐ ← ✉✐ + ❝①✐ ♠♦❞ q)✷

✐=✶

rα ← ✉α + ❝α−✶ ♠♦❞ q

r✶,r✷,rα

− − − − − − − → ❝′ ? = H(❤′, ③′, ❣r′❤−❝′

✵

, (❤′)r′(③′)−❝′) (❤′)rα❣−r✶

✶

· · · ❣

−r❧ ❧ ?

= ❛❤❝

✵

Σ✲♣r♦t♦❝♦❧ ❢♦r {(❤′; ①✶, ①✷, α) | ❤✵ = (❤′)α−✶❣−①✶

✶

❣−①✷

✷

∧ α = ✵}

✷✻ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❊♥❝r②♣t❡❞ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ❙❝❤❡♠❡

❑❡② ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ❢♦r (I, V)

P✉❜❧✐❝✿ ❣r♦✉♣ ❣ ♦❢ ♣r✐♠❡ ♦r❞❡r q❀ ❤✵, ❣✶, ❣✷, ❢ , ˆ ❢ , ❢✶ ∈ ❣ ❙❡❝r❡t✿ ①✵, φ✶ ∈❘ Zq ❢♦r I ❛♥❞ ②✶, ②✷, λ ∈❘ Zq ❢♦r V s✉❝❤ t❤❛t ❤✵ = ❣①✵ ❣✶ = ❣②✶ ❣✷ = ❣②✷ ❢ = ❣λ ˆ ❢ = ❢ ①✵ = ❤λ

✵

❢✶ = ❣φ✶ ❆ ❝r❡❞❡♥t✐❛❧ ♦♥ ①∗

✶ ✐s ❛ t✉♣❧❡ (❤′, ❝′ ✶, ❝′ ✷

• ♣

, α

• s

, ③′, ③′

✶, ③′ ✷, ❝′, r′

• σ

)✱ ✇❤❡r❡ ❝′

✶ = ①∗ ✶ + φ✶✱ s✉❝❤ t❤❛t✿

❝′ = H([❝′

✐ , ③′ ✐ , (❝′ ✐ )r′(③′ ✐ )−❝′]✷ ✐=✶;❤′, ③′, ❣r′❤−❝′ ✵

, (❤′)r′(③′)−❝′) ❛♥❞ (❉((❝′

✶)②✶(❝′ ✷)②✷)❤✵)α = ❤′

◆♦t❡ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ①∗

✶ t♦ ①∗ ✶ + φ✶

❖t❤❡r✇✐s❡✱ ❛ ♠❛❧✐❝✐♦✉s U′ ❝❛♥ r❡♣❧❛❝❡ ❝′

✶ ❜② ✵

❱❡r✐✜❝❛t✐♦♥ s✉❝❝❡❡❞s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ①∗

✶ = ✵

→ t❤✐s ❣✐✈❡s U′ ❛♥ ♦r❛❝❧❡ ❢♦r ❵①∗

✶ = ✵?✬

✷✼ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❊♥❝r②♣t❡❞ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ❙❝❤❡♠❡

■ss✉❛♥❝❡ ❢♦r (I, U)

❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ✐ss✉❛♥❝❡ ♦♥ ①∗

✶ ∈ {✵, ✶} U I r✶, r✷, ①❧ ∈❘ Zq ❝✶ ← (❣r✶, ❣①∗

✶ ❢✶❢ r✶)

❝✷ ← (❣r✷, ❣①✷❢ r✷) ❤ ← ❣①∗

✶ +φ✶

✶

❣①✷

✷ ❤✵

③ ← ❤①✵,

• ③✐ ← ❝①✵

✐

✷

✐=✶

✇ ∈❘ Zq, ❛ ← ❣✇, ❜ ← ❤✇ ˜ ❢ ← ❢ ✇, (❡✐ ← ❝✇

✐ )✷ ✐=✶ ❤,③,(❝✐ ,③✐ )✷

✐=✶;

❛,❜,˜ ❢ ,(❡✐ )✷

✐=✶

← − − − − − − − − − − . . .

◆♦t✐❝❡ t❤❛t ❛❧s♦ ③✐ = ❝①✵

✶ ❛♥❞ ❡✐✵ = ❝✇✵ ✐

❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ →

✷✽ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❊♥❝r②♣t❡❞ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ❙❝❤❡♠❡

■ss✉❛♥❝❡ ❢♦r (I, U)

U ❛♥❞ I ❦♥♦✇ ❤, ③, ❝✶, ❝✷, ③✶, ③✷, ❛✵, ❜✵, ˜ ❢ , (❡✐✵)✷

✐=✶ α ∈❘ Z∗

q,

β, γ ∈❘ Zq ❤′ ← ❤α, ③′ ← ③α ❛′ ← ❤β

✵ ❣γ❛,

❜′ ← (③′)β(❤′)γ❜α   δ✐ ∈❘ Zq, ❝′

✐ ← ❝✐ · (❣, ❢ )δ✐

③′

✐ ← ③✐ · (❤✵, ˆ

❢ )δ✐ ❡′

✐ ← (③′ ✐ )β(❝′ ✐ )γ❡✐ · (❛, ˜

❢ )δ✐  

✷ ✐=✶

❝′ ← H([❝′

✐ , ③′ ✐ , ❡′ ✐ ]✷ ✐=✶; ❤′, ③′, ❛′, ❜′)

❝ ← ❝′ + β ♠♦❞ q

❝

− − − − − − − − − − → r ← ❝①✵ + ✇ ♠♦❞ q

r

← − − − − − − − − − − ❛ ? = ❣r❤−❝

✵

, ❜ ? = ❤r③−❝ ˜ ❢

?

= ❢ r ˆ ❢ −❝, (❡✐

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= ❝r

✐ ③−❝ ✐

)✷

✐=✶

r′ ← r + γ ♠♦❞ q

✷✾ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❊♥❝r②♣t❡❞ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ❙❝❤❡♠❡

❱❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❢♦r (U, V)

U ♣r♦✈❡s ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ α s✉❝❤ t❤❛t (❉((❝′

✶)②✶(❝′ ✷)②✷)❤✵)α = ❤′ U V (❦♥♦✇s✿ ❤′, ❝′

✶, ❝′ ✷; α)

(❦♥♦✇s✿ ❤′, ❝′

✶, ❝′ ✷; ②✶, ②✷, λ)

✉ ∈❘ Zq, ❛ ← (❤′)✉

❛

− − − − − − − → ❝ ∈❘ Zq

❝

← − − − − − − − r ← ✉ + ❝α−✶ ♠♦❞ q

r

− − − − − − − → ❜ ←

• (❤′)r

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✶)②✶(❝′ ✷)②✷)❤✵)❝ ❜

← − − − − − − −

Pr♦t♦❝♦❧ ✐s ❛ ③❡r♦✲❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❢♦r α s✉❝❤ t❤❛t (❉((❝′

✶)②✶(❝′ ✷)②✷)❤✵)α = ❤′

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✶ ✶

✿

✸✵ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❊♥❝r②♣t❡❞ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ ❙❝❤❡♠❡

❱❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❢♦r (U, V)

U ♣r♦✈❡s ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ α s✉❝❤ t❤❛t (❉((❝′

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✶, ❝′ ✷; α)

(❦♥♦✇s✿ ❤′, ❝′

✶, ❝′ ✷; ②✶, ②✷, λ)

✉ ∈❘ Zq, ❛ ← (❤′)✉

❛

− − − − − − − → ❝ ∈❘ Zq

❝

← − − − − − − − r ← ✉ + ❝α−✶ ♠♦❞ q

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− − − − − − − → ❜ ←

• (❤′)r

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← − − − − − − −

Pr♦t♦❝♦❧ ✐s ❛ ③❡r♦✲❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❢♦r α s✉❝❤ t❤❛t (❉((❝′

✶)②✶(❝′ ✷)②✷)❤✵)α = ❤′

V ✐s r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❜❡ s❡♠✐✲❤♦♥❡st ✭t❤r❡s❤♦❧❞ ❝r②♣t♦❣r❛♣❤②✮ V ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ①∗

✶ ❜② ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ❝′ ✶ · (✶, ❢ −✶ ✶

)✿ ❝′

✶ · (✶, ❢ −✶ ✶

) = (❣r, ❣①∗

✶ +φ✶❢ r) · (✶, ❣−φ✶) = (❣r, ❣①∗ ✶ ❢ r) = ①∗

✶

✸✵ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❙❡❝✉r✐t② ❆♥❛❧②s✐s

❆ss✉♠♣t✐♦♥

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❚❤❡♥ ❤❡ ♦✉t♣✉ts ❛ t✉♣❧❡ (❤′, ❝′

✶, ❝✷, α, ③′, ③′ ✶, ③′ ✷, ❝′, r′)✳ ◆♦✇✱ ❡✐t❤❡r

❚❤✐s t✉♣❧❡ ✐s ♥♦t ❛ ✈❛❧✐❞ ❝r❡❞❡♥t✐❛❧ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❥ s✉❝❤ t❤❛t

U′ ❦♥♦✇s ✈❛❧✉❡s β✶, β✷ s✉❝❤ t❤❛t (❝′

✐ )✷ ✐=✶ = (❝❥✐(❣, ❢ )β✐)✷ ✐=✶

✸✶ ✴ ✷✶

❙✉♣♣♦rt✐♥❣ ❙❧✐❞❡s ❙❡❝✉r✐t② ❆♥❛❧②s✐s

❖♥❡✲♠♦r❡ ❯♥❢♦r❣❡❛❜✐❧✐t②

❵❍❛r❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❑ + ✶ ❝r❡❞❡♥t✐❛❧s ❛❢t❡r ❑ ✐ss✉✐♥❣ ❡①❡❝✉t✐♦♥s✬ ❈r❡❞❡♥t✐❛❧ s❝❤❡♠❡ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❜❧✐♥❞ ❈❤❛✉♠✲P❡❞❡rs❡♥ s✐❣♥❛t✉r❡ s❝❤❡♠❡ ❘❡❞✉❝✐♥❣ ♦♥❡✲♠♦r❡ ❢♦r❣❡r✐❡s✿

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✸✸ ✴ ✷✶