rs r s - PowerPoint PPT Presentation

✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ❘❡❢❡r❡♥❝❡s ❬❇♦♥❛❤♦♥❪ ✏▲♦✇✲❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ●❡♦♠❡tr②✿❋r♦♠ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❙✉r❢❛❝❡s t♦ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❦♥♦ts✑✱ ❆▼❙✳ ✭❡❧❡♠❡♥t❛r② tr❡❛t♠❡♥t✮✳ ▼✷❘ ❈♦✉rs❡ ✏❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❙♣❛❝❡s ✿ ●❡♦♠❡tr② ❛♥❞ ❬❇❡❛r❞♦♥❪ ✏❚❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ ❞✐s❝r❡t❡ ❣r♦✉♣s✑✱ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❉✐s❝r❡t❡ ●r♦✉♣s✑ ❬❘❛t❝❧✐✛❡❪ ✏❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s ♦❢ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ♠❛♥✐❢♦❧❞s✑✱ ❙♣r✐♥❣❡r✳ P❛rt ■ ✿ ❚❤❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ♣❧❛♥❡ ❛♥❞ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❣r♦✉♣s ❬❚❤✉rst♦♥❪ ✏❚❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❣❡♦♠❡tr② ❛♥❞ t♦♣♦❧♦❣②✑✱ Pr✐♥❝❡t♦♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❬▲♦✉st❛✉❪ ✧❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✧✱ ❜♦♦❦ ✐♥ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥ ✭✷✵✷✵✮ ❤tt♣s✿✴✴✇✇✇✳❜r✐❝❡✳❧♦✉st❛✉✳❡✉✴r❡ss♦✉r❝❡s✴❍②♣❡r❜♦❧✐❝●❡♦♠❡tr②✳♣❞❢ ❆♥♥❡ P❛rr❡❛✉ ❬▼❛rt❡❧❧✐❪ ❆♥ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ●❡♦♠❡tr✐❝ ❚♦♣♦❧♦❣②✱ ❈r❡❛t❡❙♣❛❝❡ ■♥❞❡♣❡♥❞❡♥t P✉❜❧✐s❤✐♥❣ P❧❛t❢♦r♠ ✭✷✵✶✻✮✿ ❤tt♣✿✴✴♣❡♦♣❧❡✳❞♠✳✉♥✐♣✐✳✐t✴♠❛rt❡❧❧✐✴❣❡♦♠❡tr✐❝❴t♦♣♦❧♦❣②✳❤t♠❧ ●r❡♥♦❜❧❡✱ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✵✷✵ ❬❈❋❑P❪ ❈❛♥♥♦♥✲❋❧♦②❞✲❑❡♥②♦♥✲P❛rr②✱ ✏❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ●❡♦♠❡tr②✑✱ ▼❙❘■ P✉❜✳ ❱♦❧✳ ✸✶✱ ✭✶✾✾✼✮✳ ❤tt♣✿✴✴❧✐❜r❛r②✳♠sr✐✳♦r❣✴❜♦♦❦s✴❇♦♦❦✸✶✴❢✐❧❡s✴❝❛♥♥♦♥✳♣❞❢ ❙❤♦rt r❡❢❡r❡♥❝❡ ✭✺✵ ♣❛❣❡s✮✳ ✶✴✼✶ ✷✴✼✶ ✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ❈❤❛♣t❡r ✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ♠♦❞❡❧ ✶✳✷ ❙♦♠❡ ❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❚❤❡ ❯♣♣❡r ❍❛❧❢✲P❧❛♥❡ ✐s t❤❡ s❡t ✶✳✸ ❚❤❡ P♦✐♥❝❛ré ❉✐s❦ ♠♦❞❡❧ := { ( x , y ) ∈ R ✷ , y > ✵ } H = { z ∈ C , Im( z ) > ✵ } ✶✳✹ ●❡♦❞❡s✐❝s ✶✳✺ PSL ✷ ( R ) ❛♥❞ ✐s♦♠❡tr✐❡s ✶✳✻ ❙♦♠❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✶✳✶ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ♠♦❞❡❧ ✸✴✼✶ ✶✳✶ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ♠♦❞❡❧ ✹✴✼✶

❙♦❧✉t✐♦♥ ✿ ✐t ✐s ✶ ✷ ✶ ✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛ ❝✉r✈❡✱ ■ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❧❡♥❣t❤✱ ■■ ❉❡❢s ◮ ▲❡t z ❜❡ ❛ ♣♦✐♥t ✐♥ H ✳ ❚❤❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ♥♦r♠ ❛t z ♦❢ ❛ ✈❡❝t♦r v ∈ R ✷ ≃ C ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② r❡s❝❛❧✐♥❣ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❡✉❝❧✐❞❡❛♥ ♥♦r♠ � v � ❡✉❝ = | v | ♦❢ v ✿ Pr♦♣ ℓ ❤②♣ ( c ) ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ✭✐♥❥❡❝t✐✈❡✮ ♣❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥ ♦❢ c ✳ ✶ � v � ❤②♣ Im( z ) � v � ❡✉❝ Pr♦♦❢ ✿ ❛♣♣❧② ❝❤❛✐♥ r✉❧❡ ✭❡①♦✮✳ := � � z � � � ln( y ✷ ❊①❛♠♣❧❡ ❚❤❡ ❤②♣ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❢r♦♠ iy ✶ t♦ iy ✷ ✐s y ✶ ) � ✳ ◮ ▲❡t c : [ a , b ] → H ❜❡ ❛ C ✶ ✲❝✉r✈❡✳ ❚❤❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ c ✐s ❊①♦ ✶✳✶ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧ s❡❣♠❡♥t ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ t❤❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ s♣❡❡❞ ✈❡❝t♦r✿ ❢r♦♠ x ✶ + iy t♦ x ✷ + iy ✳ � b � b � ✶ ✳✳✳ x ′ ( t ) ✷ + y ′ ( t ) ✷ ❞ t � c ′ ( t ) � ❤②♣ ℓ ❤②♣ ( c ) := c ( t ) ❞ t = y ( t ) a a ✇❤❡r❡ c ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) ✳ ◮ ❚❤❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ C ✶ ✲❝✉r✈❡ ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❧❡♥❣t❤s ♦❢ ✐ts C ✶ ✲♣✐❡❝❡s ✶✳✶ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ♠♦❞❡❧ ✺✴✼✶ ✶✳✶ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ♠♦❞❡❧ ✻✴✼✶ ✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ✶ ❚❤❡ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ P❧❛♥❡ ❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ■ ❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ■■ Pr♦♣ ❚❤✐s ✐s ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ♥❛♠❡❧②✿ ✶✳ ✭❙②♠♠❡tr②✮ d ( z ✷ , z ✶ ) = d ( z ✶ , z ✷ ) ❉❡❢ ❚❤❡ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts z ✶ , z ✷ ∈ H ✐s ✷✳ ✭❚r✐❛♥❣✉❧❛r ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮ d ( z ✶ , z ✸ ) ≤ d ( z ✶ , z ✷ ) + d ( z ✷ , z ✸ ) d ❤②♣ ( z ✶ , z ✷ ) := inf { ℓ ❤②♣ ( c ) } ✸✳ ✭❙❡♣❛r❛t✐♦♥✮ z ✶ � = z ✷ = ⇒ d ( z ✶ , z ✷ ) > ✵ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥❢ ✐s t❛❦❡♥ ♦✈❡r ❛❧❧ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♣✇ C ✶ ♣❛t❤s c ❢r♦♠ z ✶ t♦ Pr♦♦❢✳ ❙❡❡ ❬❇♦♥❛❤♦♥✱ ▲❡♠♠❛ ✷✳✶❪ ❢♦r ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❛♥❞ ❞❡t❛✐❧❡❞ ♣r♦♦❢✳ z ✷ ✐♥ H ✳ ❋♦r s❡♣❛r❛t✐♦♥✿ ❖♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥ U ⊂ H ❞❡✜♥❡❞ ❜② y ≤ ✷ y ✶ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ �·� ❤②♣ ✷ y ✶ �·� ❡✉❝ ✶ ❲❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❛♠❜✐❣✉✐t② ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡♥♦t❡ ❢r♦♠ ♥♦✇ ♦♥ d = d ❤②♣ ≥ z ✶ ❤❡♥❝❡ ℓ ❤②♣ ( c ) ≥ ✷ y ✶ ℓ ❡✉❝ ( c ) ❢♦r ❛❧❧ ❝✉r✈❡s c st❛②✐♥❣ ✐♥ U ✳ ❛♥❞ ℓ = ℓ ❤②♣ t♦ s✐♠♣❧✐❢② ♥♦t❛t✐♦♥s✳ ▲❡t c ❜❡ ❛ ♣❛t❤ ❢r♦♠ z ✶ t♦ z ✷ ✳ ✶ ✷ y ✶ y ✶ = ✶ ✶ ■❢ c ❧❡❛✈❡s U t❤❡♥ ℓ ❤②♣ ( c ) ≥ ✷ y ✶ d ❡✉❝ ( z ✶ , H − U ) ≥ ✷ ✳ ❍❡♥❝❡ d ❤②♣ ( z ✶ , z ✷ ) ≥ min( ✶ ✷ y ✶ d ❡✉❝ ( z ✶ , z ✷ ) , ✶ ✷ ) > ✵✳ ✶✳✶ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ♠♦❞❡❧ ✼✴✼✶ ✶✳✶ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❤❛❧❢✲♣❧❛♥❡ ♠♦❞❡❧ ✽✴✼✶