rs r r s - PowerPoint PPT Presentation

❙♣❤❡r✐❝❛❧ ❉❡s✐❣♥s ❛♥❞ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❞❡s✐❣♥s ✐♥ S n − ✶ ❛♥❞ H ( n , q ) P✳ ❇♦②✈❛❧❡♥❦♦✈ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ■♥❢♦r♠❛t✐❝s✱ ❇✉❧❣❛r✐❛♥ ❆❝❛❞❡♠② ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡s ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤✿ P✳ ❉r❛❣♥❡✈✱ ✭❉❡♣t✳ ▼❛t❤✳ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ■P❋❲✱ ❋♦rt ❲❛②♥❡✱ ■◆✱ ❯❙❆✮ ❉✳ ❍❛r❞✐♥✱ ❊✳ ❙❛✛ ✭❉❡♣t✳ ▼❛t❤✳✱ ❱❛♥❞❡r❜✐❧t ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ◆❛s❤✈✐❧❧❡✱ ❚◆✱ ❯❙❆✮ ▼✳ ❙t♦②❛♥♦✈❛ ✭❋❛❝✳ ▼❛t❤✳ ■♥❢♦r♠✳✱ ❙♦✜❛ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❇✉❧❣❛r✐❛✮ ❙❤❛♥❣❤❛✐✱ ❈❤✐♥❛✱ ❆♣r✐❧ ✷✶✲✷✹✱ ✷✵✶✺ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❞❡s✐❣♥s ✐♥ S n − ✶ ❛♥❞ H ( n , q ) P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ✷✶✲✷✹✳✵✹✳✷✵✶✺ ✶ ✴ ✸✽

❈♦♥t❡♥ts ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❛♥❞ ♥♦t❛t✐♦♥s ✭s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s✱ ❡♥❡r❣②✱ ♣r♦❜❧❡♠s✱ s♦♠❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s✮ Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ✭❉❡❧s❛rt❡✲●♦❡t❤❛❧s✲❙❡✐❞❡❧ ❜♦✉♥❞✱ ▲❡✈❡♥s❤t❡✐♥ ❜♦✉♥❞✱ ✉s❡❢✉❧ q✉❛❞r❛t✉r❡✮ ▲P ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s✴❞❡s✐❣♥s ✭❢♦❧❦❧♦r❡✮ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ✭❯▲❇✮ ❚✇♦ ✇❛②s ♦❢ ✐♠♣r♦✈✐♥❣ ❯▲❇ ❢♦r ❞❡s✐❣♥s ✕ s❤r✐♥❦✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ✭❜♦✉♥❞s ♦♥ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝ts✱ ▲P ✐♥ s❤♦rt❡r ✐♥t❡r✈❛❧✮✱ ❛♥❞ ❤✐❣❤❡r ❞❡❣r❡❡s ✭t❡st✲❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦❞❡s✴❞❡s✐❣♥s✮ ❯♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❞❡s✐❣♥s ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜♦✉♥❞s ✭❯▲❇ ❛♥❞ ▲P ✐♥ s❤♦rt❡r ✐♥t❡r✈❛❧✮ P❛r❛❧❧❡❧s ❢♦r ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ✐♥ ❍❛♠♠✐♥❣ s♣❛❝❡s ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❞❡s✐❣♥s ✐♥ S n − ✶ ❛♥❞ H ( n , q ) P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ✷✶✲✷✹✳✵✹✳✷✵✶✺ ✷ ✴ ✸✽

❙♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s ▲❡t S n − ✶ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ ✐♥ R n ✳ ❲❡ r❡❢❡r t♦ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t C ⊂ S n − ✶ ❛s ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡✳ ❆ s♣❤❡r✐❝❛❧ τ ✲❞❡s✐❣♥ ✐s ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡ s✉❝❤ t❤❛t ✶ � S n − ✶ f ( x ) d µ ( x ) = ✶ � f ( x ) µ ( S n − ✶ ) | C | x ∈ C ✭ µ ( x ) ✐s t❤❡ ▲❡❜❡s❣✉❡ ♠❡❛s✉r❡✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s f ( x ) = f ( x ✶ , x ✷ , . . . , x n ) ♦❢ t♦t❛❧ ❞❡❣r❡❡ ❛t ♠♦st τ ✳ ❚❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ♥✉♠❜❡r τ = τ ( C ) s✉❝❤ t❤❛t C ✐s ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ τ ✲❞❡s✐❣♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ C ✳ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❞❡s✐❣♥s ✐♥ S n − ✶ ❛♥❞ H ( n , q ) P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ✷✶✲✷✹✳✵✹✳✷✵✶✺ ✸ ✴ ✸✽

❊♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s✴❞❡s✐❣♥s ▲❡t h ( t ) : [ − ✶ , ✶ ) → ( ✵ , + ∞ ) ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ h ✲❡♥❡r❣② ✭♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡♥❡r❣②✮ ♦❢ C ✐s ❞❡✜♥❡❞ � E ( n , C ; h ) := h ( � x , y � ) , x , y ∈ C , x � = y ✇❤❡r❡ � x , y � ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ x ❛♥❞ y ✳ ❋♦r ♦✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts ✇❡ r❡q✉✐r❡ h t♦ ❜❡ ✭str✐❝t❧②✮ ❛❜s♦❧✉t❡❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♥ ❬✲✶✱✶✮❀ ✐✳❡✳✱ t❤❡ k ✲t❤ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ h s❛t✐s✜❡s h ( k ) ( t ) ≥ ✵ ✭ h ( k ) ( t ) > ✵✮ ❢♦r ❛❧❧ k ≥ ✵ ❛♥❞ t ∈ [ − ✶ , ✶ ) ✳ ❆ ❝♦♠♠♦♥❧② ❛r✐s✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡♥❡r❣② ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② | C | ♦❢ C ✐s ✜①❡❞❀ t❤❛t ✐s✱ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ E ( n , N ; h ) := ✐♥❢ { E ( n , C ; h ) : | C | = N } t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♣♦ss✐❜❧❡ h ✲❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡ ♦❢ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② N ✳ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❞❡s✐❣♥s ✐♥ S n − ✶ ❛♥❞ H ( n , q ) P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ✷✶✲✷✹✳✵✹✳✷✵✶✺ ✹ ✴ ✸✽

❊♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ τ ✲❞❡s✐❣♥s ▲❡t C ⊂ S n − ✶ ❜❡ ❛ s♣❤❡r✐❝❛❧ τ ✲❞❡s✐❣♥ ❛♥❞ E ( n , C ; h ) ❜❡ t❤❡ h ✲❡♥❡r❣② ♦❢ C ✳ ❉❡♥♦t❡ ❜② L ( n , N , τ ; h ) = ✐♥❢ { E ( n , C ; h ) : | C | = N , C ⊂ S n − ✶ , C ✐s τ ✲❞❡s✐❣♥ } t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♣♦ss✐❜❧❡ h ✲❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ τ ✲❞❡s✐❣♥s ♦♥ S n − ✶ ♦❢ N ♣♦✐♥ts✱ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ U ( n , N , τ ; h ) = s✉♣ { E ( n , C ; h ) : | C | = N , C ⊂ S n − ✶ , C ✐s τ ✲❞❡s✐❣♥ } t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♣♦ss✐❜❧❡ h ✲❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ τ ✲❞❡s✐❣♥s ♦♥ S n − ✶ ♦❢ N ♣♦✐♥ts✳ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❞❡s✐❣♥s ✐♥ S n − ✶ ❛♥❞ H ( n , q ) P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ✷✶✲✷✹✳✵✹✳✷✵✶✺ ✺ ✴ ✸✽

❙♦♠❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s P✳ ❉❡❧s❛rt❡✱ ❆♥ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ❆♣♣r♦❛❝❤ t♦ t❤❡ ❆ss♦❝✐❛t✐♦♥ ❙❝❤❡♠❡s ✐♥ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r②✱ P❤✐❧✐♣s ❘❡s✳ ❘❡♣✳ ❙✉♣♣❧✳ ✶✵ ✱ ✭✶✾✼✸✮✳ P✳ ❉❡❧s❛rt❡✱ ❏✳✲▼✳ ●♦❡t❤❛❧s✱ ❏✳ ❏✳ ❙❡✐❞❡❧✱ ❙♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s✱ ●❡♦♠✳ ❉❡❞✐❝❛t❛ ✻ ✱ ✶✾✼✼✱ ✸✻✸✲✸✽✽✳ ●✳ ❆✳ ❑❛❜❛t✐❛♥s❦②✱ ❱✳ ■✳ ▲❡✈❡♥s❤t❡✐♥✱ ❇♦✉♥❞s ❢♦r ♣❛❝❦✐♥❣s ♦♥ ❛ s♣❤❡r❡ ❛♥❞ ✐♥ s♣❛❝❡✱ Pr♦❜❧❡♠s ♦❢ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥ ✶✹ ✱ ✶✕✶✼✱ ✭✶✾✼✽✮✳ ❱✳ ■✳ ▲❡✈❡♥s❤t❡✐♥✱ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❝♦❞❡s ❛♥❞ ❞❡s✐❣♥s✱ ❍❛♥❞❜♦♦❦ ♦❢ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r② ✱ ❱✳ ❙✳ P❧❡ss ❛♥❞ ❲✳ ❈✳ ❍✉✛♠❛♥✱ ❊❞s✳✱ ❊❧s❡✈✐❡r✱ ❆♠st❡r❞❛♠✱ ✶✾✾✽✱ ❈❤✳ ✻✱ ✹✾✾✕✻✹✽✳ ❱✳ ❆✳ ❨✉❞✐♥✱ ▼✐♥✐♠❛❧ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ ♣♦✐♥t s②st❡♠ ♦❢ ❝❤❛r❣❡s✱ ❉✐s❝r✳ ▼❛t❤✳ ❆♣♣❧✳ ✸ ✱ ✼✺✲✽✶✱ ✶✾✾✸✳ ❍✳ ❈♦❤♥✱ ❆✳ ❑✉♠❛r✱ ❯♥✐✈❡rs❛❧❧② ♦♣t✐♠❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ♦♥ s♣❤❡r❡s✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆▼❙✱ ✷✵ ✱ ♥♦✳ ✶✱ ✾✾✲✶✹✽✱ ✷✵✵✻✳ P✳ ❇♦②✈❛❧❡♥❦♦✈✱ P✳ ❉r❛❣♥❡✈✱ ❉✳ ❍❛r❞✐♥✱ ❊✳ ❙❛✛✱ ▼✳ ❙t♦②❛♥♦✈❛✱ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❡♥❡r❣② ❜♦✉♥❞s ❢♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡♥❡r❣② ♦❢ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦❞❡s ✭❤tt♣✿✴✴❛r①✐✈✳♦r❣✴❛❜s✴✶✺✵✸✳✵✼✷✷✽✮ ❯♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❞❡s✐❣♥s ✐♥ S n − ✶ ❛♥❞ H ( n , q ) P❇✱ P❉✱ ❉❍✱ ❊❙✱ ▼❙ ✷✶✲✷✹✳✵✹✳✷✵✶✺ ✻ ✴ ✸✽