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Dec 26, 2022 527 likes •1.39k views

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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SLIDE 16

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❛♥❞ ✐❞❡♥t✐❢② ❛ str✉❝t✉r❡ ✭❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ❛❝t✉❛❧ t❛r❣❡ts✮❄

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SLIDE 17

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

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❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❈♦r❡ ❈♦♥❝❡♣ts ❆ ❈❧♦s❡ ▲♦♦❦ ❛t ▲✐♥❡❛r✴❉✐✛❡r❡♥t✐❛❧ Pr♦♣❡rt✐❡s

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❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉❉❚✱ ▲❆❚✱ ❆◆❋✮ ◆♦t❡✿ ✇❡ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ✜rst ❧✐♥❡ ❛♥❞ ❝♦❧✉♠♥ ❢r♦♠ t❤❡♠ ❉❉❚ ❉δ,∆ = #{① ∈ ●❋(✷)♥, ❙(① ⊕ δ) ⊕ ❙(①) = ∆} ▲❆❚ ▲❛,❜ = #{① ∈ ●❋(✷)♥, ❛ · ① = ❜ · ❙(①)} − ✷♥−✶ ❆◆❋ ❙(①✵, .., ①♥−✶) =

✉∈●❋(✷)♥ ❛✉①✉ ✇✐t❤ ①✉ = ♥−✶ ✐=✵ ①✉✐ ✐

❉❡❣r❡❡ ▼❛① ❤❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ✉ s✉❝❤ t❤❛t ❛✉ = ✵✳ ▲❆❚ ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r ✇❤✐t❡♥✐♥❣ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ▲❆❚ ♦❢ ❢ ❛♥❞ ❢

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❢

✶ t ✭

❧✐♥❡❛r✮✳ ❚❤❡♥

❢ ✉ ✈ ❢

✉ ✈

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SLIDE 19

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉❉❚✱ ▲❆❚✱ ❆◆❋✮ ◆♦t❡✿ ✇❡ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ✜rst ❧✐♥❡ ❛♥❞ ❝♦❧✉♠♥ ❢r♦♠ t❤❡♠ ❉❉❚ ❉δ,∆ = #{① ∈ ●❋(✷)♥, ❙(① ⊕ δ) ⊕ ❙(①) = ∆} ▲❆❚ ▲❛,❜ = #{① ∈ ●❋(✷)♥, ❛ · ① = ❜ · ❙(①)} − ✷♥−✶ ❆◆❋ ❙(①✵, .., ①♥−✶) =

✉∈●❋(✷)♥ ❛✉①✉ ✇✐t❤ ①✉ = ♥−✶ ✐=✵ ①✉✐ ✐

❉❡❣r❡❡ ▼❛① ❤❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ✉ s✉❝❤ t❤❛t ❛✉ = ✵✳ ▲❆❚ ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r ✇❤✐t❡♥✐♥❣ ▲❡t L ❜❡ t❤❡ ▲❆❚ ♦❢ ❢ ❛♥❞ ❢ ′ = ηt ◦ ❢ ◦ (µ−✶)t ✭η, µ ❧✐♥❡❛r✮✳ ❚❤❡♥ L❢ ′[✉, ✈] = L❢ [µ(✉), η(✈)].

✽✴ ✹✹

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SLIDE 20

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙♣❡❝✐❛❧ ❈❛s❡✿ ▼♦♥♦♠✐❛❧s

(① + δ)❞ + ①❞ = ∆ ❤❛s ❛s ♠❛♥② s♦❧✉t✐♦♥s ❛s ① δ + ✶ ❞ + ① δ ❞ = ∆ δ❞ . ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❆❧❧ ❧✐♥❡s ✐♥ t❤❡ ❉❉❚ ❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r ① ①❞ ♦❢

  • ❋ ✷♥ ✳

❋r❡❡ r❡s✉❧ts ❙✲❇♦①❡s ♦❢ ❙▼❙✹✱ ❩❯❈ ✭❙✶✮ ❛♥❞ ❈❤✐❛s♠✉s ❛r❡ ❛❧❧ ❆❊❙ ❙✲❇♦①✳

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SLIDE 21

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙♣❡❝✐❛❧ ❈❛s❡✿ ▼♦♥♦♠✐❛❧s

(① + δ)❞ + ①❞ = ∆ ❤❛s ❛s ♠❛♥② s♦❧✉t✐♦♥s ❛s ① δ + ✶ ❞ + ① δ ❞ = ∆ δ❞ . ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❆❧❧ ❧✐♥❡s ✐♥ t❤❡ ❉❉❚ ❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r ① → ①❞ ♦❢

  • ❋(✷♥)✳

❋r❡❡ r❡s✉❧ts ❙✲❇♦①❡s ♦❢ ❙▼❙✹✱ ❩❯❈ ✭❙✶✮ ❛♥❞ ❈❤✐❛s♠✉s ❛r❡ ❛❧❧ ❆❊❙ ❙✲❇♦①✳

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SLIDE 22

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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Coeffi cients value

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SLIDE 33

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SLIDE 34

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SLIDE 35

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  • (✸ × ② ⊕ ✵①✺✸) >>> ✹
  • ⊕ ✵①✽❜

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SLIDE 36

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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SLIDE 37

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SLIDE 38

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❊ ①✵ ❊ ①✵

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❊ ①✶ ❊ ①✵

✺ ❘❡♣❡❛t

■❢ ✈❛❧✐❞ ❣❛♠❡✱ ❛❧❧ ♣❛✐rs ❢♦❧❧♦✇ s❛♠❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ tr❛✐❧✳ ✺✲r♦✉♥❞ ✲❋❡✐st❡❧ ✭❨● ✰ ❝②❝❧❡s✮ ❖ ✷✷♥ ✺✲r♦✉♥❞ ✲❋❡✐st❡❧ ✭● ✫ ❉✮ ❖ ✷♥✷✸♥ ✹ ♦r ✭✐♥t❡❣r❛❧✱ ♥♦t ❛❧✇❛②s ♣♦ss✐❜❧❡✮ ❖ ✷✷ ✽✶♥

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SLIDE 39

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✶ ❙t❛rt ✇✐t❤ ①✵, ①′

✵

✷ ❊♥❝r②♣t t❤❡♠ ②✵, ②′

✵ = ❊(①✵), ❊(①′ ✵)

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✶ ②✵

❊

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✹ ❳❖❘ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❡♥❝r②♣t ②✶ ②✶

❊ ①✶ ❊ ①✵

✺ ❘❡♣❡❛t

■❢ ✈❛❧✐❞ ❣❛♠❡✱ ❛❧❧ ♣❛✐rs ❢♦❧❧♦✇ s❛♠❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ tr❛✐❧✳ ✺✲r♦✉♥❞ ✲❋❡✐st❡❧ ✭❨● ✰ ❝②❝❧❡s✮ ❖ ✷✷♥ ✺✲r♦✉♥❞ ✲❋❡✐st❡❧ ✭● ✫ ❉✮ ❖ ✷♥✷✸♥ ✹ ♦r ✭✐♥t❡❣r❛❧✱ ♥♦t ❛❧✇❛②s ♣♦ss✐❜❧❡✮ ❖ ✷✷ ✽✶♥

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SLIDE 40

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❨♦②♦ ●❛♠❡ ❆❣❛✐♥st ❋❡✐st❡❧ ◆❡t✇♦r❦s

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✶ ❙t❛rt ✇✐t❤ ①✵, ①′

✵

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✵ = ❊(①✵), ❊(①′ ✵)

✸ ❳❖❘ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❞❡❝r②♣t ①✶, ①′

✶ = ❊ −✶(②✵ ⊕ δ), ❊ −✶(②′ ✵ ⊕ δ)

✹ ❳❖❘ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❡♥❝r②♣t ②✶ ②✶

❊ ①✶ ❊ ①✵

✺ ❘❡♣❡❛t

■❢ ✈❛❧✐❞ ❣❛♠❡✱ ❛❧❧ ♣❛✐rs ❢♦❧❧♦✇ s❛♠❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ tr❛✐❧✳ ✺✲r♦✉♥❞ ✲❋❡✐st❡❧ ✭❨● ✰ ❝②❝❧❡s✮ ❖ ✷✷♥ ✺✲r♦✉♥❞ ✲❋❡✐st❡❧ ✭● ✫ ❉✮ ❖ ✷♥✷✸♥ ✹ ♦r ✭✐♥t❡❣r❛❧✱ ♥♦t ❛❧✇❛②s ♣♦ss✐❜❧❡✮ ❖ ✷✷ ✽✶♥

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SLIDE 41

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❨♦②♦ ●❛♠❡ ❆❣❛✐♥st ❋❡✐st❡❧ ◆❡t✇♦r❦s

❨♦②♦ ●❛♠❡ Pr✐♥❝✐♣❧❡

✶ ❙t❛rt ✇✐t❤ ①✵, ①′

✵

✷ ❊♥❝r②♣t t❤❡♠ ②✵, ②′

✵ = ❊(①✵), ❊(①′ ✵)

✸ ❳❖❘ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❞❡❝r②♣t ①✶, ①′

✶ = ❊ −✶(②✵ ⊕ δ), ❊ −✶(②′ ✵ ⊕ δ)

✹ ❳❖❘ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❡♥❝r②♣t ②✶, ②′

✶ = ❊(①✶ ⊕ δ), ❊(①′ ✵ ⊕ δ)

✺ ❘❡♣❡❛t

■❢ ✈❛❧✐❞ ❣❛♠❡✱ ❛❧❧ ♣❛✐rs ❢♦❧❧♦✇ s❛♠❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ tr❛✐❧✳ ✺✲r♦✉♥❞ ✲❋❡✐st❡❧ ✭❨● ✰ ❝②❝❧❡s✮ ❖ ✷✷♥ ✺✲r♦✉♥❞ ✲❋❡✐st❡❧ ✭● ✫ ❉✮ ❖ ✷♥✷✸♥ ✹ ♦r ✭✐♥t❡❣r❛❧✱ ♥♦t ❛❧✇❛②s ♣♦ss✐❜❧❡✮ ❖ ✷✷ ✽✶♥

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SLIDE 42

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❨♦②♦ ●❛♠❡ ❆❣❛✐♥st ❋❡✐st❡❧ ◆❡t✇♦r❦s

❨♦②♦ ●❛♠❡ Pr✐♥❝✐♣❧❡

✶ ❙t❛rt ✇✐t❤ ①✵, ①′

✵

✷ ❊♥❝r②♣t t❤❡♠ ②✵, ②′

✵ = ❊(①✵), ❊(①′ ✵)

✸ ❳❖❘ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❞❡❝r②♣t ①✶, ①′

✶ = ❊ −✶(②✵ ⊕ δ), ❊ −✶(②′ ✵ ⊕ δ)

✹ ❳❖❘ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❡♥❝r②♣t ②✶, ②′

✶ = ❊(①✶ ⊕ δ), ❊(①′ ✵ ⊕ δ)

✺ ❘❡♣❡❛t

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❨♦②♦ ●❛♠❡ ❆❣❛✐♥st ❋❡✐st❡❧ ◆❡t✇♦r❦s

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✶ ❙t❛rt ✇✐t❤ ①✵, ①′

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✷ ❊♥❝r②♣t t❤❡♠ ②✵, ②′

✵ = ❊(①✵), ❊(①′ ✵)

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✶ = ❊ −✶(②✵ ⊕ δ), ❊ −✶(②′ ✵ ⊕ δ)

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✶ = ❊(①✶ ⊕ δ), ❊(①′ ✵ ⊕ δ)

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✵ = ❊(①✵), ❊(①′ ✵)

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✶ = ❊ −✶(②✵ ⊕ δ), ❊ −✶(②′ ✵ ⊕ δ)

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✶ = ❊(①✶ ⊕ δ), ❊(①′ ✵ ⊕ δ)

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❏❛❝❦s♦♥ P♦❧❧♦❝❦ P❛tt❡r♥ ❘❡❝♦❣♥✐t✐♦♥

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲❆❚ ♦❢ ❈▲❊❋■❆✬s ❙✲❇♦① ✵

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▲❆❚ ♦❢ ❙❦✐♣❥❛❝❦✬s ❋✲❚❛❜❧❡

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▲❆❚ ♦❢ ❙tr✐❜♦❣✬s ❙✲❇♦①

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

◆❡✇ ❉❛t❛ ♦♥ ❙tr✐❜♦❣✬s π

✏▲✐♥❡s✑ ❛♣♣❡❛r ❛t ✐♥❞✐❝❡s ✐♥ ❱ ✿ ❱ = {✵, ✶❛, ✷✵, ✸❛, ✹✹, ✺❡, ✻✹, ✼❡, ✽❛, ✾✵, ❛❛, ❜✵, ❝❡, ❞✹, ❡❡, ❢ ✹} ❱ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡✳ ▲❡t ▲ ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t ▲ ✵ ✶✺ ❱ ✳ ❉❡✜♥❡ ▲ ▲ ✱ ✇✐t❤ ▲ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ▲✳ ❈✐r❝✉✐t ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ▲

✷✸✴ ✹✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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✏▲✐♥❡s✑ ❛♣♣❡❛r ❛t ✐♥❞✐❝❡s ✐♥ ❱ ✿ ❱ = {✵, ✶❛, ✷✵, ✸❛, ✹✹, ✺❡, ✻✹, ✼❡, ✽❛, ✾✵, ❛❛, ❜✵, ❝❡, ❞✹, ❡❡, ❢ ✹} ❱ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡✳ ▲❡t ▲ ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t ▲ ✵ ✶✺ ❱ ✳ ❉❡✜♥❡ ▲ ▲ ✱ ✇✐t❤ ▲ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ▲✳ ❈✐r❝✉✐t ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ▲

✷✸✴ ✹✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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✏▲✐♥❡s✑ ❛♣♣❡❛r ❛t ✐♥❞✐❝❡s ✐♥ ❱ ✿ ❱ = {✵, ✶❛, ✷✵, ✸❛, ✹✹, ✺❡, ✻✹, ✼❡, ✽❛, ✾✵, ❛❛, ❜✵, ❝❡, ❞✹, ❡❡, ❢ ✹} ❱ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡✳ ▲❡t ▲ ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t ▲({✵, ..., ✶✺}) = ❱ ✳ ❉❡✜♥❡ π′ = ▲∗ ◦ π ◦ ▲∗✱ ✇✐t❤ ▲∗ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ▲✳ ❈✐r❝✉✐t ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ▲∗

✷✸✴ ✹✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲❆❚ ♦❢ s✇❛♣ ◦ π′ ◦ s✇❛♣

✷✹✴ ✹✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❯✲❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

✶ ❲❤✐t❡✲sq✉❛r❡ ✷ ■♥t❡❣r❛❧ ♣r♦♣❡rt② ❢♦r

✶✿

❝ ♣ ♣

✸ ✏❚❯✲❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✑

❚ ❯

✹ ❚❤❡♥✱ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ ❚ ❛♥❞ ❯✳ ✷✺✴ ✹✹

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SLIDE 54

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❯✲❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

✶ ❲❤✐t❡✲sq✉❛r❡ ✷ ■♥t❡❣r❛❧ ♣r♦♣❡rt② ❢♦r π−✶✿ (❝, ♣) → (♣, ?) ✸ ✏❚❯✲❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✑

❚ ❯

✹ ❚❤❡♥✱ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ ❚ ❛♥❞ ❯✳ ✷✺✴ ✹✹

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SLIDE 55

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❯✲❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

✶ ❲❤✐t❡✲sq✉❛r❡ ✷ ■♥t❡❣r❛❧ ♣r♦♣❡rt② ❢♦r π−✶✿ (❝, ♣) → (♣, ?) ✸ ✏❚❯✲❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✑

❚ ❯

✹ ❚❤❡♥✱ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ ❚ ❛♥❞ ❯✳ ✷✺✴ ✹✹

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SLIDE 56

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❯✲❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

✶ ❲❤✐t❡✲sq✉❛r❡ ✷ ■♥t❡❣r❛❧ ♣r♦♣❡rt② ❢♦r π−✶✿ (❝, ♣) → (♣, ?) ✸ ✏❚❯✲❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✑

❚ ❯

✹ ❚❤❡♥✱ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ ❚ ❛♥❞ ❯✳ ✷✺✴ ✹✹

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SLIDE 57

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❚❤❡ ❍✐❞❞❡♥ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ π

ω σ φ ⊙ ν✶ ν✵ I ⊙ α

✶ (ℓ||r) := α(ℓ||r) ✷ ✐❢ r = ✵ t❤❡♥ ℓ := ν✵(ℓ)✱ ❡❧s❡

ℓ := ν✶

  • ℓ ⊙ I(r)
  • ✸ r := σ
  • r ⊙ φ(❧)
  • ✹ r❡t✉r♥ ω(ℓ||r)✳

✷✻✴ ✹✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❉✐❧❧♦♥✬s ❆P◆ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥

✷✼✴ ✹✹

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SLIDE 59

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲❆❚ ♦❢ ❉✐❧❧♦♥✬s ❆P◆ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥

✷✽✴ ✹✹

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SLIDE 60

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆♥ ❊❆✲❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❙✲❇♦① ✭✶✴✷✮

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆♥ ❊❆✲❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❙✲❇♦① ✭✷✴✷✮

①✸ ①✶/✸ ⊙ α ⊕ ⊕ ①✸ ①✸ ⊙ α ⊕ ⊕ ❆P◆ ❢♦r ♥ = ✸ ✭✻✲❜✐t ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✮ ❚❤❡s❡ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s ❛r❡ ❆P◆ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ α✸ + α + ✶ = ✵ ✭❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❚r(α) = ✵, α = ✵✮✳

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲❆❚ ♦❢ ❩❯❈✬s ❙✵

✸✶✴ ✹✹

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SLIDE 63

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ❩❯❈✬s ❙✵

❣ ❢ −✶ ⊕ ⊕ ❤ ❢ ⊕ ⊕

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ❩❯❈✬s ❙✵

❣ ❢ −✶ ⊕ ⊕ ❤ ❢ ⊕ ⊕

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆❋ r❆

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆tt❛❝❦s ❛❣❛✐♥st ❆❋ r❆

P♦ss✐❜❧❡ t♦ r❡❝♦✈❡r ❡✈❡r②t❤✐♥❣✦ ❉✐r❡❝t ✉s❡✿ ❛tt❛❝❦ ✐♥ t✐♠❡ ❖ ✷✸♥ ✭♥ ❜❧♦❝❦ s✐③❡✮ ❢♦r ✉♣ t♦ r ✹✳ ▼♦r❡ s♦♣❤✐st✐❝❛t❡❞ ♠❡t❤♦❞s✿ ❛tt❛❝❦ ✐♥ t✐♠❡ ❖ ♥✷♥ ❢♦r ❡✈❡♥ ♠♦r❡ r♦✉♥❞s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ ❋❡✐st❡❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

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P♦ss✐❜❧❡ t♦ r❡❝♦✈❡r ❡✈❡r②t❤✐♥❣✦ ❉✐r❡❝t ✉s❡✿ ❛tt❛❝❦ ✐♥ t✐♠❡ ❖(✷✸♥) ✭♥ = ❜❧♦❝❦ s✐③❡✮ ❢♦r ✉♣ t♦ r = ✹✳ ▼♦r❡ s♦♣❤✐st✐❝❛t❡❞ ♠❡t❤♦❞s✿ ❛tt❛❝❦ ✐♥ t✐♠❡ ❖ ♥✷♥ ❢♦r ❡✈❡♥ ♠♦r❡ r♦✉♥❞s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ ❋❡✐st❡❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss

✸

❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡

✹

❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❑✉③♥②❡❝❤✐❦✴❙tr✐❜♦❣✬s π ❉✐❧❧♦♥✬s ✻✲❜✐t ❆P◆ P❡r♠✉t❛t✐♦♥

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❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆ ✇♦r❞ ♦❢ ❝❛✉t✐♦♥

❆ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ = ❚❍❊ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❲❡ ❤❛✈❡ ❢♦✉♥❞ ♥✐❝❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s✳✳✳ ✳✳✳ ❚❤❡r❡ ♠❛② ❜❡ ♦t❤❡rs✿

❞✐✛❡r❡♥t ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞✱ ♠❡r❣✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ❧❛②❡r ❝❤✉♥❦s ✐♥t♦ ❙✲❇♦①❡s✱

  • ❋ ✷✽ ✈s✳
  • ❋ ✷✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆ ✇♦r❞ ♦❢ ❝❛✉t✐♦♥

❆ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ = ❚❍❊ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❲❡ ❤❛✈❡ ❢♦✉♥❞ ♥✐❝❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s✳✳✳ ✳✳✳ ❚❤❡r❡ ♠❛② ❜❡ ♦t❤❡rs✿

❞✐✛❡r❡♥t ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞✱ ♠❡r❣✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ❧❛②❡r ❝❤✉♥❦s ✐♥t♦ ❙✲❇♦①❡s✱

  • ❋(✷✽) ✈s✳
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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘✉❧✐♥❣ ♦✉t ❘❛♥❞♦♠♥❡ss ❉✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣ P♦ss✐❜❧❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❈♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡s ❋♦✉♥❞ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❑✉③♥②❡❝❤✐❦✴❙tr✐❜♦❣✬s π ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❚❛❜❧❡ ✿ ❘❡s✉❧ts ♦♥ t❤❡ ❤❛r❞✇❛r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ π✳

❙tr✉❝t✉r❡ ❆r❡❛ ✭µ♠✷✮ ❉❡❧❛② ✭♥s✮ ♥❛✐✈❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✸✽✽✾✳✻ ✸✻✷✳✺✷ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✶✺✸✹✳✼ ✻✶✳✺✸ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t✇❡❛❦❡❞ ▼❯❳ ✶✺✸✵✳✶ ✹✻✳✶✶

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①❡ ①✶/❡ ⊙ α ⊕ ⊕ ①❡ ①❡ ⊙ α ⊕ ⊕ ❞❡❣ = ♥ + ✶✱ ❜✐❥❡❝t✐✈❡✳ ⊙ α ⊕ ①❡ ①❡ ⊕ ⊙ α ⊕ ①❡ ①❡ ⊕ ❞❡❣ = ✷✱ ♥♦♥✲❜✐❥❡❝t✐✈❡✳ ❇✉tt❡r✢✐❡s ✭♦♣❡♥✱ ❝❧♦s❡❞✮ ▲❡t ♥ ❜❡ ♦❞❞✱ α ∈ ●❋(✷♥)✱ α = ✵, ✶ ❛♥❞ ❡ = ✸ × ✷t✳ ❚❤❡♥ t❤❡s❡ ❛r❡ ❈❈❩✲❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❛♥❞ ❜♦t❤ ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧❧② ✹✲✉♥✐❢♦r♠✳

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