Representations of the virtual braid groups to the rook algebras - PowerPoint PPT Presentation

Representations of the virtual braid groups to the rook algebras Konstantin Gotin Novosibirsk State University July 25, 2014 1 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras

Definition Braid group on n strands, denoted by B n , is group generated by σ 1 , . . . , σ n − 1 satisfying the following relations: σ i σ j = σ j σ i if | i − j | > 1 σ i +1 σ i σ i +1 = σ i σ i +1 σ i if i = 1 , . . . , n − 1 2 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras

Definition Virtual braid group on n strands, denoted by V B n , is group with generators: σ 1 , . . . , σ n − 1 , ρ 1 , . . . , ρ n − 1 and relations: σ i σ j = σ j σ i if | i − j | > 1 σ i +1 σ i σ i +1 = σ i σ i +1 σ i if i = 1 , . . . , n − 1 ρ 2 i = e if i = 1 , . . . , n − 1 ρ i +1 ρ i ρ i +1 = ρ i ρ i +1 ρ i if i = 1 , . . . , n − 1 ρ i ρ j = ρ j ρ i if | i − j | > 1 ρ i ρ i +1 σ i = σ i +1 ρ i ρ i +1 if i = 1 , . . . , n − 1 σ i ρ j = ρ j σ i if | i − j | > 1 3 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras

Definition Let R n denote set of n × n matrices with entries from { 0, 1 } having at most one 1 in each row and in each column. Example for n = 2 �� � � � � � � � � � � � � �� 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 , , , , , , 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 4 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras

Definition Rook diagram – bipartite graph on two rows of n vertices, one on top of the other forming the boundary of a rectangle, such that each vertex has degree either zero or one.  0 1 0 0 0 0  0 0 0 1 0 0     • • • • • • 0 0 0 0 0 0 . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ↔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . 0 0 1 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . • . . . • • . . . . . . . . • • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   0 0 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 5 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras

Definition The product, d 1 d 2 , of two rook diagrams d 1 and d 2 is obtained by stacking d 1 on top of d 2 and deleting any edge from one that connects to a vertex zero degree end from the other. • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d 1 = • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . = d 1 d 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d 2 = • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras

Definition Given two diagrams, a , b ∈ R n , we define the tensor product, denoted a ⊗ b , to be the result of appending of b to the right of a . • • • • • • • • • • • • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⊗ • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . • . . . . . . . . • • • . . . • . . . • • . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . . • • . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras

Definition Element of R n is planar if its diagram can be drawn (keeping inside of the rectangle formed by its vertices) without any edge crossings. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . . . • . . . • • . . . • . . . • • . • . . . • • • • • • • . . . • . . . • . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras

Definition P n – planar rook monoid – set of planar diagrams of R n . Definition C R n ( C P n ) – (planar) rook algebra – C -algebra generated by R n ( P n ) with multiplication defined using the distributive law and multiplication in R n ( P n ). 9 / 15 Konstantin Gotin Virtual braid groups and rook algebras