Reglerteknik 2 Kp vningshfte p krbokhandeln William Sandqvist - - PowerPoint PPT Presentation

Reglerteknik Ö2

William Sandqvist william@kth.se

Köp övningshäfte på kårbokhandeln

6.5 Från diffekv. till överföringsfunktion

William Sandqvist william@kth.se

a)

x y y = +5 '

b)

x y y 4 3 " = +

c)

x y y y = + − 6 ' 5 "

d)

x x y y y + = + − ' 3 2 ' 3 "

e)

3 2 3 = + − + + x x y y y    

f)

8 ) 3 ( 4 = + + + x x y y      

g)

x y y y     2 3 = + + x y X Y

6.5 f lösning, överföringsfunktion

William Sandqvist william@kth.se

f)

8 ) 3 ( 4 = + + + x x y y      

[ ]

3 1 2 125 4 4 8 4 12 4 3 ( 4

2 2 2

+ + − = + − − = = + + ⇔ = + + s s s s s X Y X sY Y s x y y L    

Vad betyder ”–” tecknet? Att x eller y är motsatt sin definitionsriktning, inget värre.

William Sandqvist william@kth.se

6.6 överföringsfunktion

William Sandqvist william@kth.se

a)

x dt x x y  2 5 + + =

∫

PID-regulator b)

dt x x y

∫

+ = 3 5

PI-regulator c)

) 5 ( ) ( − = t x t y

Dödtidsprocess d)

) 10 ( 2 ) ( ) ( ' − = + t x t y t y

Dödtidsprocess

6.6 b lösning, överföringsfunktion

William Sandqvist william@kth.se

[ ]

[ ]

s X Y X s X Y xdt x L y L 3 5 3 5 3 5 + = + = ⇔ + =

∫

b)

dt x x y

∫

+ = 3 5

PI-regulator

6.6 d lösning, överföringsfunktion

William Sandqvist william@kth.se

d)

) 10 ( 2 ) ( ) ( ' − = + t x t y t y

Dödtidsprocess

[ ] [ ]

1 2 2 ) 10 ( 2 ) ( ) ( '

10 10

+ = = + ⇔ − = +

− −

s e X Y X e Y sY t x L t y t y L

s s

William Sandqvist william@kth.se

6.7 från överföringsfunktion till diffekv.

William Sandqvist william@kth.se

a)

1 4 3 ) ( ) ( ) (

2

+ + + = = s s s s U s Y s G

b)

1 5 2 ) ( ) ( ) (

3

+ = =

−

s e s U s Y s G

s

c)

s s U s Y s G 4 3 ) ( ) ( ) ( + = =

d)

3 2 4 ) ( ) ( ) (

2 +

+ = = s s s U s Y s G

6.7 b lösn. G(s) till diffekv.

William Sandqvist william@kth.se

b)

1 5 2 ) ( ) ( ) (

3

+ = =

−

s e s U s Y s G

s

) 3 ( 2 ) ( ) ( ' 5 2 5

3

− = + ⇒ = +

−

t u t y t y U e Y sY

s

6.7 c, d lösn. G(s) till diffekv.

William Sandqvist william@kth.se

u u y sU U Y 3 4 4 3 + = ⇔ + =  u u y y U Us Y Y s 4 3 2 4 3 2

2

+ = + ⇒ + = +   

c)

s s U s Y s G 4 3 ) ( ) ( ) ( + = =

d)

3 2 4 ) ( ) ( ) (

2 +

+ = = s s s U s Y s G

William Sandqvist william@kth.se

6.8 stegsvar från överföringsfunktion

William Sandqvist william@kth.se

a)

16 1 ) (

2 +

= s s G

b)

9 3 ) (

2 +

= s s G

c)

2 1 ) ( + = s s G

d)

s s G 3 ) ( =

e)

) 1 ( 1 ) ( + = s s s G

f)

) 4 ( 4 ) (

2 +

= s s s G

Laplacetransformtabell

William Sandqvist william@kth.se

)] ( [

1

s F L− )] ( [ t f L

6.8 b lösning stegsvar

William Sandqvist william@kth.se

b)

) 3 cos 1 ( 3 1 ) ( 3 3 1

3 2

t t y s s − = ⇒ + ⋅

) ( ) ( > ⇔ t t f s F

[ ]

s unitstep L 1 = 9 3 ) (

2 +

= s s G

6.8 d lösning stegsvar

William Sandqvist william@kth.se

d) ) ( ) ( > ⇔ t t f s F

[ ]

s unitstep L 1 = t t y s s s 3 ) ( 3 3 1

2

= ⇒ ⇒ ⋅ s s G 3 ) ( =

6.8 f lösning stegsvar

William Sandqvist william@kth.se

f) ) ( ) ( > ⇔ t t f s F

[ ]

s unitstep L 1 = t t t t t y s s s s s 2 sin 5 , ) 2 sin 2 ( 8 1 4 ) ( ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 1

2 2 2

− = − ⋅ = ⇒ + ⇔ + ⋅ ) 4 ( 4 ) (

2 +

= s s s G

6.8 f lösning MATLAB

William Sandqvist william@kth.se

f)

t t t y 2 sin 5 , ) ( − = ) 4 ( 4 ) (

2 +

= s s s G

G1=tf([1],[1, 0]); G2=tf([4],[1, 0, 4]); G=series(G1,G2); plot(step(G));

William Sandqvist william@kth.se

6.9 Impulssvar från överföringsfunktion

William Sandqvist william@kth.se

a)

6 5 2 ) (

2

+ + = s s s G

b)

4 1 ) (

2 +

+ = s s s G

c)

1 3 ) ( + = s s G

d)

) 5 1 ( 2 ) ( s s s G + =

6.9 b lösning impulssvar

William Sandqvist william@kth.se

) ( ) ( > ⇔ t t f s F

t t t y 2 cos 2 sin 5 , ) ( + =

b)

4 1 ) (

2 +

+ = s s s G 4 1 4 4 1

2 2 2

+ + + = + + s s s s s

[ ] 1

= impulse L

6.9 b lösning MATLAB

William Sandqvist william@kth.se

t t t y 2 cos 2 sin 5 , ) ( + =

b)

4 1 ) (

2 +

+ = s s s G

G=tf([0,1,1],[1,0,4]); plot(impulse(G));

6.9 c,d lösning impulssvar

William Sandqvist william@kth.se

) ( ) ( > ⇔ t t f s F

t

e t y

−

= 3 ) (

c)

1 3 ) ( + = s s G

d)

) 5 1 ( 2 ) ( s s s G + =

) ( ) ( > ⇔ t t f s F

) 1 ( 2 ) (

5 t

e t y

−

− =

[ ] 1

= impulse L

William Sandqvist william@kth.se

6.12 Partialbråksuppdelning

William Sandqvist william@kth.se

a) ) 7 )( 1 ( 3 9 ) ( + + − = s s s s G b) ) 2 )( 1 ( 2 4 ) ( + + + = s s s s s G c) ) 1 )( 2 ( 4 7 4 ) (

2 2

+ + + + + = s s s s s s G d) 2 3 2 5 4 ) (

2 3 2

+ + + + + = s s s s s s G e) ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 2 3 ) (

2

− − − + − = s s s s s s G f) 6 5 12 5 ) (

2

+ + + = s s s s G

6.12 b lösn. metod Handpåläggning

William Sandqvist william@kth.se

b) ) 2 )( 1 ( 2 4 ) ( + + + = s s s s s G 2 3 1 2 1 2 1 ) 2 )( 1 ( 2 4

) 1 2 ( 2 2 2 4 ) 2 1 ( 1 2 1 4 ) 2 )( 1 ( 2 4

+ − + + = = + + + + = + + +

+ − − + − ⋅ + − − + − ⋅ + + + ⋅

s s s s s s s s s s

6.12 c lösn. metod Partialbråksuppd.

William Sandqvist william@kth.se

c) ) 1 )( 2 ( 4 7 4 ) (

2 2

+ + + + + = s s s s s s G ) 1 )( 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( 1 2 ) 1 )( 2 ( 4 7 4

2 2 2 2 2

+ + + + + + + + + = = + + + + + = + + + + + s s s b a s c b a s b a s s c bs s a s s s s s      = + + = + + = + + 4 2 7 2 4 c a c b a b a

» [1 1 0;1 2 1;1 0 2]\[4 7 4]' ans = 2 2 1 »

1 1 2 2 2 ) (

2

+ + + + + = s s s s s G

Ekvationssystem med MATLAB:

1 2 2 = = = c b a

6.12 d lösn. metod Handpåläggning

William Sandqvist william@kth.se

1 1 2 9 3 11 1 2 3 ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 2 3

2 2 1 9 2 22 2

− + − − − = = − + − + − = − − − + −

−

s s s s s s s s s s s d) ) 1 )( 2 )( 3 ( 1 2 3 ) (

2

− − − + − = s s s s s s G

6.12 e lösn. metod Polynomdivision

William Sandqvist william@kth.se

2 3 2 5 4 ) (

2 3 2

+ + + + + = s s s s s s G e) 2 3 2 1 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 1 } 1 { 2 3 2

2 3 2 3

= + − + − = + − + − + − − = + + + s s s s Vi ”gissar” att s = -1 är rot till nämnarpolynomet. Prövning. Ja, det stämmer. MATLAB: roots([1,2,3,2]) ans =

• 0.5000+ 1.3229i
• 0.5000- 1.3229i
• 1.0000

Då slipper man gissa!

6.12 e lösn. metod Polynomdivision

William Sandqvist william@kth.se

2 3 2

2 3

+ + + s s s 1 + s

2 3

s s − − 2 3

2

+ + s s s s − −

2

2 2 + s 2 2 − − s 2

2

+ + s s ) 2 )( 1 ( 2 3 2

2 2 3

+ + + = = + + + s s s s s s ) 2 )( 1 ( 5 4 ) (

2 2

+ + + + + = s s s s s s G ”Trappan”

6.12 e lösn. metod Polynomdivision

William Sandqvist william@kth.se

) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 1 ) 2 )( 1 ( 5 4

2 2 2 2 2

+ + + + + + + + + = = + + + + + = + + + + + s s s c a s c b a s b a s s c bs s a s s s s s 3 1 5 2 4 1 = = =      = + = + + = + c b a c a c b a b a 2 2 3 1 1 ) (

2

+ + + + = s s s s G

William Sandqvist william@kth.se

6.12 f lösn. Rötter med pq-formeln

William Sandqvist william@kth.se

f) 6 5 12 5 ) (

2

+ + + = s s s s G p, q-formeln

3 2 6 2 5 2 5 6 5

2 1 2 2

− = − = −       ± − = + + s s s s s 3 3 2 2 3 2 ) 3 )( 2 ( 12 5 ) (

1 3 1 2

+ + + = + + + = + + + =

− −

s s s s s s s s G

handpåläggning

William Sandqvist william@kth.se

6.14 Diffekv. poler/0-ställen

William Sandqvist william@kth.se

a) u y y y 3 14 ' 9 " = + + b) u u y y y y 4 14 11 6 + = + + +        c) u u y y y + = + + ' 3 ' 4 " 1) Överföringsfunktioner 2) Poler och 0-ställen 3) Statisk förstärkning 4) Tidkonstanter

6.14 b lösn. poler/0-ställen MATLAB

William Sandqvist william@kth.se

b) 6 11 6 4 ) ( 4 14 11 6

2 3

+ + + + = ⇒ + = + + + s s s s s G u u y y y y        G=tf([1,4],[1,6,11,6]); pzmap(G); 0-ställe: s = -4 Poler: s = -1 s = -2 s = -3

6.14 b lösn. Tidkonstanter, Gain

William Sandqvist william@kth.se

67 , 3 2 4 ) ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 1 ( 4 ) 3 )( 2 )( 1 ( 4 6 11 6 4 ) (

3 1 2 1 2 3

≈ ⋅ = → + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + = = + + + + = + + + + = s G s s s s s s s s s s s s s G 33 , 5 , 1

3 2 1

= = = τ τ τ 67 , ≈ Gain

6.14 c lösn. poler/0-ställen MATLAB

William Sandqvist william@kth.se

c) 3 4 1 ) ( ' 3 ' 4 "

2

+ + + = ⇒ + = + + s s s s G u u y y y G=tf([1,1],[1,4,3]); pzmap(G); Poler: s = -1 s = -3 0-ställe: s = -1

6.14 c lösn. Tidkonstanter, Gain

William Sandqvist william@kth.se

67 , 3 1 ) ( ) 1 ( 3 ) 1 1 ( 1 ) 3 )( 1 ( 1 3 4 1 ) (

3 1 2

≈ = → = + ⋅ ⋅ + + = + + + = + + + = s G Gain s s s s s s s s s s G 33 , 1

2 1

= = τ τ

William Sandqvist william@kth.se