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  1. ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ❏❛♥✉❛r② ✶✼✱ ✷✵✶✼ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✶✴✶✽

  2. ❆❧♠❣r❡♥ ♠✐♥✐♠✐s❡rs ▲❡t ✉s ✜① ✵ < ❞ < ♥ ✱ ❊ ✇✐❧❧ ❜❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ R ♥ ✇✐t❤ ❧♦❝❛❧❧② ✜♥✐t❡ ❞✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❍❛✉s❞♦r✛ ♠❡❛s✉r❡ H ❞ ✳ ❆❞♠✐ss✐❜❧❡ ❝♦♠♣❡t✐t♦rs ▲❡t ❯ ⊂ R ♥ ❜❡ ♦♣❡♥✳ ❋ ✐s ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❝♦♠♣❡t✐t♦r ❢♦r ❊ ♦♥ ❯ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ φ : [ ✵ , ✶ ] × ❯ → ❯ s✉❝❤ t❤❛t✿ φ ( ✵ , · ) = ■❞ ❀ ∃ ❑ ⊂⊂ ❯ s✉❝❤ t❤❛t ∀ t φ ( t , · ) = ■❞ ✐♥ ❑ ❝ ❀ φ ( ✶ , · ) ✐s ▲✐♣s❝❤✐t③ ❛♥❞ ❋ = φ ( ✶ , ❊ ) ✳ ❲❡ ❝❛❧❧ φ ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❆❧♠❣r❡♥ ♠✐♥✐♠✐s❡r ❊ ✐s ❛♥ ❆❧♠❣r❡♥ ♠✐♥✐♠✐s❡r ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❝♦♠♣❡t✐t♦r ❋ ✇❡ ❤❛✈❡✿ H ❞ ( ❊ \ ❋ ) ≤ H ❞ ( ❋ \ ❊ ) . ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✷✴✶✽

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  5. ▼✐♥✐♠❛❧ ❈♦♥❡s ❍✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❝♦♥❡ ♦✈❡r s❦ ♥ − ✷ ( ◗ ♥ ) ❢♦r ♥ ≥ ✹ ❬❇r❛❦❦❡ ✶✾✾✶❪❀ ❝♦♥❡ ♦✈❡r s❦ ♥ − ✷ (∆ ♥ ) ❬▼♦r❣❛♥ ✶✾✾✹❪❀ ❢♦r ❛♥② ❞ , ♠ ≥ ✷ t❤❡r❡ ❡①✐sts θ ( ♠ , ❞ ) ∈ ( ✵ , π/ ✷ ) s✉❝❤ t❤❛t✱ ❣✐✈❡♥ P ✶ , . . . , P ♠ ❞✲♣❧❛♥❡s ✐♥ R ♠❞ ✱ t❤❡✐r ✉♥✐♦♥ ✐s ❛♥ ❆❧♠❣r❡♥ ♠✐♥✐♠✐s❡r ✐❢ ❛❧❧ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❛♥❣❧❡s ❛r❡ ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ θ ( ♠ , ❞ ) ❬▲✐❛♥❣ ✷✵✶✸❪❀ ❨ × ❨ ⊂ R ✹ ❬▲✐❛♥❣ ✷✵✶✹❪✳ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✺✴✶✽

  6. ❙❧✐❞✐♥❣ ❇♦✉♥❞❛r② ❙❧✐❞✐♥❣ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ▲❡t ❯ ⊂ R ♥ ❜❡ ♦♣❡♥ ❛♥❞ Γ ✐ ⊂ ❯ ✱ ✶ ≤ ✐ ≤ ■ ✱ ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦s❡❞ s❡ts✳ ❆ s❧✐❞✐♥❣ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ { Γ ✐ } ✐ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ φ : [ ✵ , ✶ ] × ❯ → ❯ s✉❝❤ t❤❛t✿ φ ( ✵ , · ) = ■❞ ❀ ∃ ❑ ⊂⊂ ❯ s✉❝❤ t❤❛t ∀ t φ ( t , · ) = ■❞ ✐♥ ❑ ❝ ❀ φ ( ✶ , · ) ✐s ▲✐♣s❝❤✐t③❀ φ ( t , ① ) ∈ Γ ✐ ∀ t ✐❢ ① ∈ Γ ✐ ✳ ❙❧✐❞✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② ♠✐♥✐♠✐s❡rs ●✐✈❡♥ Γ := ∪ ✐ Γ ✐ ❛♥❞ ✵ ≤ α ≤ ✶ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ♥❡✇ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝ ( ❊ ) := H ❞ ( ❊ \ Γ) + α H ❞ ( ❊ ∩ Γ) ❛♥❞ ✇❡ s❛② t❤❛t ❊ ✐s ❛ s❧✐❞✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② ♠✐♥✐♠✐s❡r ✐❢ ❢♦r ❛♥② ❝♦♠♣❡t✐t♦r ❋ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❛ s❧✐❞✐♥❣ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝ ( ❊ \ ❋ ) ≤ ❝ ( ❋ \ ❊ ) ✳ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✻✴✶✽

  7. ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ❖♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦♥❡s ✐♥ R ✷ + ✱ t❤❡ s❧✐❞✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② Γ := { ② = ✵ } ✐s ✐♥ ❜❧✉❡✳ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✼✴✶✽

  8. ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ❖♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦♥❡s ✐♥ R ✸ + ✱ t❤❡ s❧✐❞✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② Γ := { ③ = ✵ } ✐s ✐♥ ❜❧✉❡✳ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✽✴✶✽

  9. ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ❚✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♥❡s ✐♥ R ✸ + ✱ t❤❡ s❧✐❞✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② Γ := { ③ = ✵ } ✐s ✐♥ ❜❧✉❡✱ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ Γ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥❡ ✐s ✐♥ ❣r❡②✳ √ ✸ ❚❤❡ t✇♦ ❝♦♥❡s ❛r❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ α = ✷ ❝♦s β ✳ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✾✴✶✽

  10. ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ❚✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♥❡s ✐♥ R ✸ + ✱ t❤❡ s❧✐❞✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② Γ := { ③ = ✵ } ✐s ✐♥ ❜❧✉❡✱ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ Γ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥❡ ✐s ✐♥ ❣r❡②✳ √ ✸ ❚❤❡ t✇♦ ❝♦♥❡s ❛r❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ α = ✷ ❝♦s β ✳ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✶✵✴✶✽

  11. ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s √ ✸ ❆❣❛✐♥ t❤❡ ❝♦♥❡ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ α = ✷ ❝♦s β ✳ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✶✶✴✶✽

  12. ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s √ ✸ ❆❣❛✐♥ t❤❡ ❝♦♥❡ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ α = ✷ ❝♦s β ✳ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✶✷✴✶✽

  13. ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ▲❡t ✉s s❡t T ✷ + ❛s t❤❡ ❝♦♥❡ ♦✈❡r s❦ ✶ (∆ ✸ ) ∩ R ✸ + ✱ t❤❡♥ T ✷ + ✐s ❛ s❧✐❞✐♥❣ � ✷ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦♥❡ ✐❢ α ≥ ✸ ✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❧❡t T ♥ − ✶ + ✱ t❤❡♥ T ♥ − ✶ ❜❡ t❤❡ ❝♦♥❡ ♦✈❡r s❦ ♥ − ✷ (∆ ♥ ) ∩ R ♥ + + � ✶ ♥ + ✶ ✐s ❛ s❧✐❞✐♥❣ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦♥❡ ✐❢ α ≥ ♥ ✳ √ ✷ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✶✸✴✶✽

  14. ◆♦♥✲♠✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✶✹✴✶✽

  15. ❙✐♥❣✉❧❛r ❜♦✉♥❞❛r② α = ❝♦s ϕ ❝♦s θ ❈❛✈❛❧❧♦tt♦ ❊❞♦❛r❞♦ ▼✐♥✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❡s ✶✺✴✶✽

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