rr tt ts r - - PowerPoint PPT Presentation

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t②

❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s

■◆❘■❆✲❙❛❝❧❛② ✫ ❈▼❆P✱ ❊❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✱ ❋r❛♥❝❡ ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❆✉❞r❡② ❍❡r♠❛♥t✱ ■◆❘■❆✲❙❛❝❧❛② ✫ ❈▼❆P

❏♦✉r♥é❡s ❋r❛♥❝♦✲❈❤✐❧✐❡♥♥❡s ❞✬❖♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ ✲ ❚♦✉❧♦♥✱ ✶✾✲✷✶ ♠❛✐✱ ✷✵✵✽

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t②

✶

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡ ❋r❛♠❡✇♦r❦

✷

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

✸

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

✹

❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

❉❛t❛ ♦❢ t❤❡ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

(P) ▼✐♥ ✶

✵

✶

✷✉✷(t) + ❣(t)②(t)

• ❞t

s✳t✳ ˙ ②(t) = ✉(t), ②(✵) = ②(✶) = ✵, ②(t) ≥ ❤ ✇✐t❤ ❣(t) := (❝ − s✐♥(αt))❣✵, ❝ > ✵, α > ✵. ❚✐♠❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s s❡❝♦♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✭ ˙ τ = ✶✮ µ = (❤ − ❤✵)/(❤✶ − ❤✵) ❤♦♠♦t♦♣② ♣❛r❛♠❡t❡r❀ ❤✵ = ♠✐♥ ¯ ②(t)✱ ✇❤❡r❡ ¯ ② ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❤✶ = ❤ t❛r❣❡t ✈❛❧✉❡❀ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❣✵ := ✶✵, α = ✶✵π, ❝ = ✵.✶, ❤✶ = −✵.✵✵✶.

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠✿ ♦♣t✐♠❛❧ st❛t❡

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

• 0.15
• 0.13
• 0.11
• 0.09
• 0.07
• 0.05
• 0.03
• 0.01

0.01 k = 0

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

◆❡✐❣❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❧✐♠✐t✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✿ ✇❤❡♥ µ > ✵ ✐s s♠❛❧❧

❋♦r µ > ✵ t❤❡ st❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✐s ❛❝t✐✈❡ ✭❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠✮ ❚❤❡ ❝♦♥t❛❝t s❡t ❝♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡♥ ❢♦r s♠❛❧❧ µ > ✵✿

✶ ❖♥❡ ♣♦✐♥t ✷ ❆ s♠❛❧❧ ✐♥t❡r✈❛❧ ✸ ❆ ♥♦♥ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ s❡t

❨♦✉r ❣✉❡ss ❄

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

◆❡✐❣❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❧✐♠✐t✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✿ ✇❤❡♥ µ > ✵ ✐s s♠❛❧❧

❋♦r µ > ✵ t❤❡ st❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✐s ❛❝t✐✈❡ ✭❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ r❡s✉❧t✿ t❤❡ ❝♦♥t❛❝t s❡t ✐s ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ◗✉❛♥t✐t❛t✐✈❡ r❡s✉❧t✿ ✜rst✲♦r❞❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❡①tr❡♠❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❛t ✐♥t❡r✈❛❧ ✦ ◆❡①t✿ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ✉s✐♥❣ ❛ s❤♦♦t✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❧❛t❡r✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ■■

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

• 0.15
• 0.13
• 0.11
• 0.09
• 0.07
• 0.05
• 0.03
• 0.01

0.01 k = 1

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ■■■

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

• 0.15
• 0.13
• 0.11
• 0.09
• 0.07
• 0.05
• 0.03
• 0.01

0.01 k = 2

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ■❱

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

• 0.15
• 0.13
• 0.11
• 0.09
• 0.07
• 0.05
• 0.03
• 0.01

0.01 k = 3

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ❱

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

• 0.15
• 0.13
• 0.11
• 0.09
• 0.07
• 0.05
• 0.03
• 0.01

0.01 k = 4

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ❱■

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

• 0.14
• 0.12
• 0.10
• 0.08
• 0.06
• 0.04
• 0.02

0.00 0.02 k = 5

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

❙❡tt✐♥❣✿ ❣❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠

❙t❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ②(t) ∈ R♥✱ ✉(t) ∈ R♠ ˙ ②(t) = ❢ (✉(t), ②(t)) ♣✳♣✳ t ∈ [✵, ❚], ②(✵) = ②✵ ✭✶✮ ❈♦st ❢✉♥❝t✐♦♥✿ ✐♥t❡❣r❛❧ ✰ ✜♥❛❧ t❡r♠ ❏(✉, ②) = ❚

✵

ℓ(✉(t), ②(t))❞t + φ(②(❚)). ✭✷✮ ❖♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠ ▼✐♥

(✉,②) ❏(✉, ②)

s✳t✳ ✭✶✮. (P) ❈ ∞✱ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❞❛t❛ ❢ ✱ ℓ✱ φ✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❝♦st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❈♦♥tr♦❧ s♣❛❝❡✿ U := ▲∞(✵, ❚; R♠) ❙t❛t❡ ❛♥❞ ❝♦st❛t❡ s♣❛❝❡ Y := ❲ ✶,∞(✵, ❚; R♥)✱ P := ❲ ✶,∞(✵, ❚; R♥∗) ✇❤❡r❡ ❲ ✶,∞(✵, ❚; R♥) = {② ∈ ▲∞(✵, ❚; R♥); ˙ ② ∈ ▲∞(✵, ❚; R♥)}✳ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❍(✉, ②, ♣) := ℓ(✉, ②) + ♣❢ (✉, ②) ❈♦st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ −˙ ♣(t) = ❍②(✉(t), ②(t), ♣(t)) ♣✳♣✳ t ∈ [✵, ❚], ♣(❚) = φ′(②(❚)).

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

P♦♥tr②❛❣✉✐♥✬s ♣r✐♥❝✐♣❧❡

❙(P) ❙♦❧✉t✐♦♥ s❡t ♦❢ (P) P♦♥tr②❛❣✉✐♥✬s ▼✐♥✐♠✉♠ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✭P▼P✮✿ ❍(✉(t), ②(t), ♣(t)) = ♠✐♥

✈ ❍(✈, ②(t), ♣(t)) ❛✳❛✳ t

❲❡❛❦ P▼P✿ ❍✉(✉(t), ②(t), ♣(t)) = ✵ ❛✳❛✳ t ❚❤❡♦r❡♠✿ ■❢ ✉ ∈ ❙(P)✱ ❛♥❞ ② ❛♥❞ ♣ ❛r❡ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ st❛t❡ ❛♥❞ ❝♦st❛t❡✱ t❤❡♥ ✐t s❛t✐s✜❡s t❤❡ P▼P✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡✿ ✇❡❛❦ P▼P ❛♥❞ ❛❧s♦✿ ❍✉✉ := ❍✉✉(✉(t), ②(t), ♣(t)) ✐s s❡♠✐❞❡✜♥✐t❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥tr♦❧

❆ss✉♠❡✿ ✭❆✶✮ ❙tr♦♥❣ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭❲✴❙▲❈✮ ❍✉✉(✉(t), ②(t), ♣(t)) α■❞, ❢♦r s♦♠❡ α > ✵ ❇② ■❋❚✿ ✇❡❛❦ P▼P ❧♦❝❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦✿ ✉(t) = Υ(②(t), ♣(t)) ✇✐t❤ Υ ♦❢ ❝❧❛ss ❈ ∞

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

❙❤♦♦t✐♥❣ ♠❛♣♣✐♥❣

❚P❇❱P ❚✇♦ P♦✐♥t ❇♦✉♥❞❛r② ❱❛❧✉❡ Pr♦❜❧❡♠ ˙ ② = ❢ (Υ(②, ♣), ②) ♣✳♣✳ [✵, ❚], ②(✵) = ②✵ −˙ ♣ = ❍②(Υ(②, ♣), ②, ♣) ♣✳♣✳ [✵, ❚], ♣(❚) = φ②(②(❚)). ❙❤♦♦t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ R♥∗ → R♥∗ ✿ ♣✵ → ♣(❚) − φ②(②(❚))✱ ✇❤❡r❡ (②, ♣) s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❈❛✉❝❤② ♣r♦❜❧❡♠ ˙ ② = ❢ (Υ(②, ♣), ②) ♣✳♣✳ t ∈ [✵, ❚], ②(✵) = ②✵ −˙ ♣ = ❍②(Υ(②, ♣), ②, ♣) ♣✳♣✳ [✵, ❚], ♣(✵) = ♣✵.

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❙❤♦♦t✐♥❣ ♠❛♣♣✐♥❣ ✇❡❧❧ ♣♦s❡❞ ❛t s♦❧✉t✐♦♥ ♣♦✐♥t ♣✵ ✐❢ ✐t ❤❛s ❛♥ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❛t t❤✐s ♣♦✐♥t✳ ❚❤❡♥✿ ❇② ■❋❚✿ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✉♥❞❡r s♠❛❧❧ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞ ❝♦♥✈❡r❣❡s ❧♦❝❛❧❧② q✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ◗✉❡st✐♦♥✿ ■s ✐t s❛t✐s✜❡❞ ✉♥❞❡r ✇❡❛❦ ❤②♣♦t❤❡s❡s ❄

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

❚❛♥❣❡♥t q✉❛❞r❛t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠

▼✐♥

✈

❏′(✉)✈ + ✶

✷❏′′(✉)(✈, ✈)

(❚◗P) ◗✉❛❞r❛t✐❝ ●r♦✇t❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ◗●❈✿ ❢♦r s♦♠❡ ε > ✵ ❛♥❞ α > ✵ ❏(✉ + ✈) ≥ ❏(✉) + α✈ − ✉✷

✷

✐❢ ✈ − ✉∞ < ε. ❙❡❝♦♥❞ ❖r❞❡r ◆❡❝❡ss❛r② ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ✭❙❖◆❈✮✿ ✈ = ✵ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ (❚◗P) ✭✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✮ ❙❡❝♦♥❞ ❖r❞❡r ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ✭❙❖❙❈✮✿ ✈ = ✵ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ (❚◗P) ❛♥❞ ❙tr♦♥❣ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ✭❞❡✜♥✐t✐♦♥✮ ❚❤❡♦r❡♠✿ ❙❖❙❈ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ◗●❈✳ ❚❤❡s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♠♣❧② t❤❛t t❤❡ s❤♦♦t✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❞❛t❛

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥t✿ ❣✐(②(t)) ≤ ✵, t ∈ [✵, ❚], ✐ = ✶, . . . , r. ✭✸✮ ❙❛♠❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥✿ ✐♥t❡❣r❛❧ ✰ ✜♥❛❧ t❡r♠ ❏(✉, ②) = ❚

✵

ℓ(✉(t), ②(t))❞t + φ(②(❚)). ✭✹✮ ❖♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠ ▼✐♥

(✉,②) ❏(✉, ②)

s✳t✳ ✭✶✮ ❛♥❞ ✭✸✮. (P) ❈ ∞✱ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❞❛t❛ ❢ ✱ ℓ✱ φ✱ ❣✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❈♦♥str❛✐♥t str✉❝t✉r❡

❈♦♥t❛❝t s❡t✿ {t ∈ [✵, ❚] ; ❣(②(t)) = ✵}✳

g(y(t)) g(y(t))

❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝ [τ❡♥, τ❡①] ✭✐s♦❧❛t❡❞✮ t♦✉❝❤ ♣♦✐♥t {τt♦} ◗✉❡st✐♦♥✿ ■❢ ❦♥♦✇♥ str✉❝t✉r❡✿ ♥✉♠❜❡r✱ ♦r❞❡r✐♥❣ ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝s ❛♥❞ t♦✉❝❤ ♣♦✐♥ts❀ ❚❤❡♥ ❝❛♥ ✇❡ ❞❡s✐❣♥ ❛ s❤♦♦t✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❄ ❲✐❧❧ ✐t ❜❡ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞ ❄

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❏✉♥❝t✐♦♥ ♣♦✐♥ts

❙❡t ♦❢ ❥✉♥❝t✐♦♥ ♣♦✐♥ts✿ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ❡♥❞✲♣♦✐♥ts ♦❢ ✐♥t❡r✐♦r ❛r❝s ❘❡❣✉❧❛r ❥✉♥❝t✐♦♥ ♣♦✐♥t✿ ❡♥❞✲♣♦✐♥t ♦❢ t✇♦ ❛r❝s✱ ♦❢ t❤r❡❡ t②♣❡s✿ ❊♥tr②✱ ❡①✐t ♣♦✐♥ts✿ ❡♥❞✲♣♦✐♥ts ♦❢ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝ ❚♦✉❝❤ ♣♦✐♥t✿ ✐s♦❧❛t❡❞ ❝♦♥t❛❝t ♣♦✐♥ts

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❍♦♠♦t♦♣②

✿ ❈♦♥str❛✐♥t str✉❝t✉r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧② ✉♥❦♥♦✇♥ P♦ss✐❜❧❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ st❛rt ❢r♦♠ ❛♥ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣❡rt✉r❜❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ ❛ ♣❛t❤ ✇✐t❤ ❡♥❞♣♦✐♥ts t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣❡rt✉r❜❡❞ ❛♥❞ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❣µ(②) = ❣(②) − (✶ − µ)❑✱ ❑ ✏❧❛r❣❡✑✳ ▼♦t✐✈❛t❡s t❤❡ ❧♦❝❛❧ st✉❞② ♦❢ str✉❝t✉r❛❧ ❝❤❛♥❣❡s✳ ❲♦r❦ ❜② ❖❜❡r❧❡✱ ●❡r❣❛✉❞✱ ❈❛✐❧❧❛✉✱ ▼❛rt✐♥♦♥ ✳✳✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

▼✉❧t✐♣❧✐❡rs ❛r❡ ♠❡❛s✉r❡s

▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r η ∈ ▼(✵, ❚) ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ▲(✉, η) := ❏(✉) + ❚

✵

❣(②✉(t))❞η(t) ❙❧❛t❡r q✉❛❧✐✜❝❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ●(✉) = ❣(②✉)

• (✉) + ● ′(✉)✈ < ✵ ♦♥ [✵, ❚]✱ ❢♦r s♦♠❡ ✈ ∈ U.

❈♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ◆(✉) :=

• η ∈ ▼(✵, ❚)+;

❚

✵

❣(②✉(t)) = ✵

• .

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❈♦st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❈♦st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ −❞♣(t) = ❍②(✉(t), ②(t), ♣(t))❞t + ❞η(t)❣′(②(t)), ♣✳♣✳ t ♣(❚) = φ′(②(❚)). ❲❡❛❦ P♦♥tr②❛❣✉✐♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✭❲P▼P✮ ❍✉(✉(t), ②(t), ♣(t)) = ✵ ❢♦r ❛✳❛✳ t❀ η ∈ ◆(✉)✳ ❚❤❡♥✿ ❝❛❧❧ η ❛ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r❀ ❞❡♥♦t❡ η ∈ Λ(✉)✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

P♦♥tr②❛❣✉✐♥✬s ♣r✐♥❝✐♣❧❡

❙(P) ❙♦❧✉t✐♦♥ s❡t ♦❢ (P) ▼✐♥✐♠✉♠ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✭P▼P✮✿ ❍(✉(t), ②(t), ♣(t)) = ▼✐♥

✈

❍(✈, ②(t), ♣(t)) ❛✳❛✳ t ❢♦r s♦♠❡ η ∈ Λ(✉)✳ ❚❤❡♦r❡♠✿ ▲❡t ✉ ∈ ❙(P) ❜❡ q✉❛❧✐✜❡❞✱ ② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ st❛t❡✳ ❚❤❡♥ ✭✐✮ ❚❤❡ s❡t Λ(✉) ✐s ♥♦♥ ❡♠♣t② ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ✭✐✐✮ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts η ∈ ◆(✉) ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ P▼P ❤♦❧❞s✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡✿ ❋♦r t❤❡ (♣, η) s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ P▼P✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❍✉✉ := ❍✉✉(✉(t), ②(t), ♣(t)) s❡♠✐❞❡✜♥✐t❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❖r❞❡r ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥t

❚♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❛ s❝❛❧❛r st❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥t✿ ❣(✶)(✉, ②) := ❣′(②)❢ (✉, ②). ❲❤✐❧❡ r❡s✉❧t ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ✉✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥t✐♥✉❡✿ ❣(✐+✶)(✉, ②) := ❣(✐)(②)❢ (✉, ②). ❈♦♥str❛✐♥t ♦r❞❡r✿ q s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r s✉❝❤ t❤❛t ❣(q)

✉ (✉, ②) = ✵

❲❡❧❧✲♣♦s❡❞ ❝♦♥str❛✐♥t ♦r❞❡r✿ ✇❤❡♥ ❣(q)

✉ (✉, ②) = ✵,

❢♦r ❛❧❧ (✉, ②)

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❆❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❚✇♦ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✉✱ ˙ η ✭❞❡♥s✐t②✱ ✐❢ ✐t ❡①✐sts✮ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s✿ ✐♥t❡r✐♦r ❛r❝ ❍✉(✉(t), ②(t), ♣(t)) = ✵; ˙ η = ✵. ❆❧❣❡❜r❛✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s✿ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝ ❍✉(✉(t), ②(t), ♣(t)) = ✵; ❣(q)(✉, ②) = ✵. ◆♦t ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧❛tt❡r ❝❛s❡✿ ˙ η ❞♦❡s ♥♦t ❛♣♣❡❛r✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❋✐rst st❡♣ ♦❢ t❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ■

❈♦st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ −❞♣(t) = ❍②(✉(t), ②(t), ♣(t))❞t + ❞η(t)❣′(②(t)), ♣✳♣✳ t ♣(❚) = φ′(②(❚)). ❲r✐t❡ ❝♦st❛t❡ ❞②♥❛♠✐❝s ❛s✿ −❞(♣ + η❣′(②)) = [❍②(✉, ②, ♣) − η❣′′(②)❢ (✉, ②)]❞t ❋✐rst ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦st❛t❡ ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r✿ ♣✶ = ♣ + η❣′(②)❀ η✶ = −η

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❋✐rst st❡♣ ♦❢ t❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ■■

❚❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦st❛t❡ ♣✶ ❤❛s ❜♦✉♥❞❡❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳ ■t ✐s s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ −˙ ♣✶ = ℓ②(✉, ②) + ♣❢②(✉, ②) + η✶❣′′(②)❢ (✉, ②) = ℓ②(✉, ②) + ♣✶❢②(✉, ②) + η✶[❣′(②)❢②(✉, ②) + ❣′′(②)❢ (✉, ②)] ❚❤❡ ❜r❛❝❦❡t ♦♥ r✳❤✳s✳ ✐s ❛ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✇✳r✳t✳ ②✿ ❣(✶)(✉, ②) = ❣′(②)❢ (✉, ②) ❣(✶)

② (✉, ②)

= ❣′(②)❢②(✉, ②) + ❣′′(②)❢ (✉, ②). ❲❡ r❡❝♦❣♥✐③❡ ❛ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ s②st❡♠✦

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❆❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❋✐rst ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❍✶(✉, ②, ♣✶, η✶) := ℓ(✉, ②) + ♣✶❢ (✉, ②) + η✶❣(✶) ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ −˙ ♣✶ = ❍✶

② (✉, ②, ♣✶, η✶);

♣✶(❚) = ❝st + φ′(②(❚)). ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡ P♦♥tr②❛❣✉✐♥✬s ♣r✐♥❝✐♣❧❡✿ s✐♥❝❡ ❍✶(✉, ②, ♣✶, η✶) := ℓ(✉, ②)+(♣✶+η✶❣′(②))❢ (✉, ②) = ❍(✉, ②, ♣), ❲❡❛❦✴str♦♥❣ P♦♥tr②❛❣✉✐♥✬s ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t✱ ❡✳ ❣✳✿ ❍✶

✉(✉, ②, ♣✶, η✶) = ✵

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❋✐rst ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s

❇♦✉♥❞❛r② ❛r❝s ✭❡✳❣✳ ✇❤❡♥ ❛❧❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛❝t✐✈❡✮✿ ♦❜t❛✐♥ ❣(q)(✉, ②) = ✵; ❍✉(✉, ②, ♣✶) + η✶❣(✶)

✉

= ✵. ❈❛s❡ ♦❢ s❝❛❧❛r ❝♦♥tr♦❧✱ s❝❛❧❛r ✜rst✲♦r❞❡r st❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥t✿ ❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❤♦❧❞s ✦ ✉ = Ψq(②); η✶ = −❍②(✉, ②, ♣✶)/❣(✶)

✉

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❛r❝s ✉ = Ψ(②, ♣✶, η✶); ˙ η✶ = ✵.

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

• ❡♥❡r❛❧ ✜rst✲♦r❞❡r ❝♦♥str❛✐♥ts

❇♦✉♥❞❛r② ❛r❝s✱ ❛❧❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛❝t✐✈❡✿ ♦❜t❛✐♥ ❍✉(✉, ②, ♣✶) + η✶❣(✶)

✉ (✉, ②) = ✵;

❣(✶)(✉, ②) = ✵. ❏❛❝♦❜✐❛♥✿

• ❍✶

✉✉

(❣(✶)

✉ )⊤

❣(✶)

✉

✵

• ■♥✈❡rt✐❜❧❡ ✐✛

❣(✶)

✉ (✉, ②) ♦♥t♦✳;

❍✶

✉✉ = ❍✉✉ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ♦♥ ❑❡r ❣(✶) ✉ .

❙♦ ✉♥❞❡r ✇❡❛❦ ❤②♣♦t❤❡s❡s ✇❡ ❝❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ✏✈❡❝t♦r ❝❛s❡✑

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❘❡❢❡r❡♥❝❡s ❢♦r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❇r②s♦♥ ❉❡♥❤❛♠✱ ❉r❡②❢✉s ✭✶✾✻✸✮✿ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❡ ✐❞❡❛ ▼❛✉r❡r ✭✶✾✼✾✮✱ ✉♥♣✉❜❧✐s❤❡❞✿ r✐❣♦r♦✉s ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ❙❡✈❡r❛❧ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦s ❜② ▼❛✉r❡r ❛♥❞ ▼❛❧❛♥♦✇s❦✐ ❘❡❢✳ ❋❇ ❛♥❞ ❆✳ ❍❡r♠❛♥t✱ ■◆❘■❆ ❘❡♣✳ ✻✶✾✾✱ ✷✵✵✼ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ✇✐t❤ P▼P✱ ❣❡♥❡r❛❧ ✈❡❝t♦r ❝❛s❡

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❈♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ❝♦♥tr♦❧ ■

❍②♣ ❍✉✉(·, ②(t), ♣(t)) ✉♥✐❢✳ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ✉−✱ ✉+ ✈❛❧✉❡s ❥✉st ❜❡❢♦r❡✱ ❛❢t❡r t✐♠❡ τ✳ ❏✉♠♣ ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ❛t t✐♠❡ τ✿ [♣(τ)] = −ν❣′(②(τ)); ν := −[η(τ)] ■s ✉ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❄ ❛ss✉♠❡ ❍ str♦♥❣❧② ❝♦♥✈❡① ✇✳r✳t✳ ✉ ∆ := ❍✉(✉−, ②, ♣+) − ❍✉(✉−, ②, ♣−) = −ν❣′(②(τ))❢✉(✉−, ②). ✉ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐✛ ν❣′(②(τ))❢✉(✉−, ②) = ✵. ❍♦❧❞s ✐❢ ❛❧❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ♦❢ ♦r❞❡r > ✶✳ ❲❤❛t ❛❜♦✉t ♦r❞❡r ✶ ❄

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❈♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ❝♦♥tr♦❧ ■■

❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ✜rst✲♦r❞❡r t❡r♠s✿ t❛❦❡ ℓ = ✵ ✵ = ❍✉(✉+, ②, ♣+) − ❍✉(✉−, ②, ♣−) = ✶

✵ [❍✉✉()[✉] + [♣]❢✉()]❞t

❙✐♥❝❡ ❍✉✉() ✐s ✉♥✐❢♦r♠❧② ♣♦s✐t✐✈❡✿ α|[✉]|✷ ≤ ✶

✵ ❍✉✉()([✉], [✉])❞t

= ν❣′(②) ✶

✵ ❢✉()[✉]❞t = ν❣′(②)[❢ ]

= ν[❣(✶)] ≤ ✵ t❤❡r❡❢♦r❡ ✉ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ♠✐①❡❞ st❛t❡✲❝♦♥tr♦❧ ❝♦♥str❛✐♥t

▼✐①❡❞ st❛t❡✲❝♦♥tr♦❧ ❝♦♥str❛✐♥t ❝(✉, ②) ≤ ✵. ❙✐♠✐❧❛r ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❣✐✈❡✿ α|[✉]|✷ ≤ ✶

✵ ❍✉✉()([✉], [✉])❞t

= ν❣′(②) ✶

✵ ❢✉()[✉]❞t−[λ]

✶

✵ ❝✉(✉, ②)[✉]❞t

= ν❣′(②)[❢ ]−[λ][❝(✉, ②)] = ν[❣(✶)]−[λ][❝(✉, ②)] ≤ ✵ t❤❡r❡❢♦r❡ ❛❣❛✐♥ ✉ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❋r❛♠❡✇♦r❦ ✭❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✮ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❙♠♦♦t❤♥❡ss ♦❢ ❝♦♥tr♦❧ ❛t ❥✉♥❝t✐♦♥ ♣♦✐♥ts

❙❝❛❧❛r st❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥t ♦❢ ♦r❞❡r ✶ ♦r ✷✿ ✉ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❙❝❛❧❛r st❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥t ♦❢ ♦r❞❡r q ≥ ✸✿ q − ✷ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✭q − ✶ ✐❢ q ✐s ♦❞❞✮✳ ❘❡❢✿ ❏❛❦♦❜s♦♥ ❡t ❛❧✳✱ ✶✾✼✶❀ ▼❛✉r❡r✱ ✶✾✼✾✳ ✈❡❝t♦r ❝❛s❡ ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ✐♥✈♦❧✈❡❞✱ s❡❡ ❋❇ ❛♥❞ ❆✳ ❍❡r♠❛♥t✱ ✷✵✵✼✳ ◆♦ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ✏❣❡♥❡r✐❝✑ r❡❣✉❧❛r ❥✉♥❝t✐♦♥ ❦♥♦✇♥ ✇❤❡♥ q ≥ ✸✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❋r❛♠❡✇♦r❦

(Pµ) ♠✐♥

(✉,②)∈U×Y

❚

✵

ℓµ(✉(t), ②(t))❞t + φµ(②(❚)) s✳❝✳ ˙ ②(t) = ❢ µ(✉(t), ②(t)) ♣✳♣✳ [✵, ❚] ; ②(✵) = ②µ

✵

❣µ(②(t)) ≤ ✵ ♦♥ [✵, ❚]. ❘❡♠✳ ✿ s❝❛❧❛r ❝♦♥tr♦❧ ✉(t) ∈ R✳ µ ✿ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ❍②♣ ✭❆✵✮ s♠♦♦t❤ ❞❛t❛✿ ❈ ∞✱ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✭❆✶✮ ❣µ✵(②µ✵

✵ ) < ✵✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❍②♣♦t❤❡s❡s ■

(¯ ✉, ¯ ②) s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r µ = µ✵✱ ✇✐t❤ ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs (¯ ♣, ¯ η)✳ ✭❆✷✮ ❍µ✵(·, ¯ ②(t), ¯ ♣(t)) ✉♥✐❢♦r♠❧② str♦♥❣❧② ❝♦♥✈❡① ✭❆✸✮ ✭❖r❞❡r ✶ ❝♦♥str❛✐♥t✮ ❢♦r ❛❧❧ t✿ |❣(✶)

✉ (✉(t), ②(t))| ≥ γ > ✵.

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❍②♣♦t❤❡s❡s ■■

✭❆✹✮ (¯ ✉, ¯ ②) ❤❛s ❛ ✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡❣✉❧❛r ❥✉♥❝t✐♦♥s✳ ✭❆✺✮ ❙tr✐❝t ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② ♦♥ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝s✿ ❞¯ η(t) ❞t ≥ β > ✵, ♦♥ ✐♥t❡r✐♦r ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝s. ✭❆✻✮ ❋♦r ❛❧❧ t♦✉❝❤ ♣♦✐♥t ✭✐s♦❧❛t❡❞ ❝♦♥t❛❝t ♣♦✐♥t✮ τ✱ ❞✷ ❞t✷ ❣(¯ ②(t))|t=τ < ✵.

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

◆♦t✐♦♥ ♦❢ q✉❛❞r❛t✐❝ ❣r♦✇t❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❲❡ s❛② t❤❛t t❤❡ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ●r♦✇t❤ ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ✭◗●❈✮ ❤♦❧❞s✮ ❤♦❧❞s ✐❢✱ ❢♦r ❛❧❧ ❈ ✷✲♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ (Pµ) ♦❢ (Pµ✵)✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ (❱✉, ❱µ) ♦❢ (¯ ✉, µ✵)✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r µ ∈ ❱µ✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ❧♦❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ (✉µ, ②µ) ♦❢ (Pµ) ✇✐t❤ ✉µ ∈ ❱✉ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ◗●❈ ∃❝, r > ✵ s✉❝❤ t❤❛t ❏µ(✉, ②) ≥ ❏µ(✉µ, ②µ) + ❝(✉ − ✉µ✷

✷ + ② − ②µ✷ ✶,✷),

∀ (✉, ②) ❢❡❛s✐❜❧❡ ❢♦r (Pµ), ✉ − ¯ ✉∞ + ② − ¯ ②✶,∞ < r.

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

▼❛✐♥ r❡s✉❧t✿ st❛t❡♠❡♥t

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t (¯ ✉, ¯ ②) = (✉µ✵, ②µ✵) ❧♦❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ (Pµ✵) s❛t✐s❢②✐♥❣ ✭❆✶✮✲✭❆✻✮✳ ❚❤❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛t❡♠❡♥ts ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✿ ✭✐✮ ❚❤❡ ◗●❈ ❤♦❧❞s ✭✐✐✮ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s s❛t✐s✜❡❞✿ ❚❤❡ t❛♥❣❡♥t ❧✐♥❡❛r✲q✉❛❞r❛t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❞❡✜♥❡❞ ❧❛t❡r✮ ❤❛s ✈ = ✵ ❛s ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✳ ❯♥❞❡r t❤❡s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿ ❧♦❝❛❧ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❧♦❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ✐♥ U✳ ❆❧s♦✿ ❇♦✉♥❞❛r② ❛r❝s ❛r❡ st❛❜❧❡✱ ❚♦✉❝❤ ♣♦✐♥t r❡♠❛✐♥ s♦✱ ✈❛♥✐s❤ ♦r ❜❡❝♦♠❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝s✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

▼❛✐♥ r❡s✉❧t ✭❝♦♥t✐♥✉❡❞✮

❚❤❡♦r❡♠ ✭❊♥❞ ♦❢ st❛t❡♠❡♥t✮ ✳✳✳ ■❢ ✭✐✮ ♦r ✭✐✐✮ ✐s s❛t✐s✜❡❞✱ t❤❡♥ µ → (✉µ, ②µ, ♣µ, ηµ) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ✐♥ U × Y × ▲∞(✵, ❚; R♥∗) × ▲∞(✵, ❚; R) ❛♥❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ✐♥ ▲r(✵, ❚) × ❲ ✶,r(✵, ❚; R♥) × ▲r(✵, ❚; R♥∗) × ▲r(✵, ❚) ❢♦r ❛❧❧ ✶ ≤ r < ∞✳ ❚❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✐♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❞ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❧✐♥❡❛r q✉❛❞r❛t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠ (P❞)✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❚❤❡ ❧✐♥❡❛r q✉❛❞r❛t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠

❙♣❛❝❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ st❛t❡s V := ▲✷(✵, ❚) ⊃ U; Z := ❍✶(✵, ❚; R♥) ⊃ Y. ❞ = µ − µ✵ ✿ ✏❣✐✈❡♥✑ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥✳ (P❞) ♠✐♥

(✈,③)∈V×Z ✶ ✷{

❚

✵

❉✷

(✉,②,µ)✷❍µ✵(¯

✉, ¯ ②, ¯ ♣)(✈, ③, ❞)✷❞t + ❉✷φµ✵(¯ ②(❚))(③(❚), ❞)✷ + ❚

✵

❉✷❣µ✵(¯ ②, µ✵)(③, ❞)✷❞¯ η(t)} s✳❝✳ ˙ ③(t) = ❉❢ µ✵(¯ ✉, ¯ ②)(✈, ③, ❞) s✉r [✵, ❚], ③(✵) = ❉②µ✵

✵ ❞

❉❣µ✵(¯ ②)(③, ❞) = ✵ ♦♥ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝s ♦❢ (¯ ✉, ¯ ②) ❉❣µ✵(¯ ②(τ))(③(τ), ❞) ≤ ✵, ∀ τ ✐s♦❧❛t❡❞ ❝♦♥t❛❝t ♣♦✐♥t ♦❢ (¯ ✉, ¯ ②).

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❆❧❣♦r✐t❤♠✐❝ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s

■❢ ♥♦ ✐s♦❧❛t❡❞ t♦✉❝❤ ♣♦✐♥t✿ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞ ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ✭✇✐t❤ t❤❡ ✏s❤♦♦t✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ s❡❡ ♣❛♣❡r✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥t ❤♦♠♦t♦♣② ❛❧❣♦r✐t❤♠ t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t tr❛♥s✐t✐♦♥s ❚♦✉❝❤ ♣♦✐♥t ✈✐❡✇❞ ❛s ③❡r♦ ❧❡♥❣❤t ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝ ❇❛❝❦tr❛❝❦✐♥❣ ♦✈❡r µ ✐❢ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞ ♥♦♥ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t✳

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❡♥tr② t✐♠❡s

▲✐♥❡❛r✐③❡ ˆ ❣(✶)(¯ ✉(¯ t❡♥), ¯ ②(¯ t❡♥), µ✵) = ✵ ❉❡♥♦t❡ ❜② ✈✱ ③✱ σ❡♥ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❝♦♥tr♦❧✱ st❛t❡✱ ❡♥tr② ♣♦✐♥t ✇✳r✳t✳ ❛ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ µ ✐♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❞✱ t❤❡♥ σ❡♥ = −❉ˆ ❣(✶)(¯ ✉(¯ t❡♥), ¯ ②(¯ t❡♥), µ✵)(✈(¯ t❡♥−), ③(¯ t❡♥), ❞)

❞ ❞t ❣(✶)(¯

✉, ¯ ②)|t=¯

t❡♥−

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❈❤❛❧❧❡♥❣❡s

❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇❤❡♥✿ ❆ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝ s♣❧✐ts ✐♥t♦ t✇♦ ❄ ❚✇♦ ❜♦✉♥❞❛r② ❛r❝s s♣❧✐t ✐♥t♦ ♦♥❡ ❄ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛t ❛ t♦✉❝❤ ♣♦✐♥t ✐s ③❡r♦ ❄

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❏✳❋✳ ❇✳ ❛♥❞ ❆✳❍❡r♠❛♥t✱ ❙t❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❆♥❛❧②s✐s ❢♦r ❖♣t✐♠❛❧ ❈♦♥tr♦❧ Pr♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ❛ ❋✐rst✲♦r❞❡r ❙t❛t❡ ❈♦♥str❛✐♥t✳ ■◆❘■❆ r❡♣♦rt ❘❘✲✺✽✽✾✳ ❊❙❆■▼✿❈❖❈❱✱ t♦ ❛♣♣❡❛r✳ ❏✳❋✳ ❇✳ ❛♥❞ ❆✳❍❡r♠❛♥t✱ ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❆♥❛❧②s✐s ❢♦r ❖♣t✐♠❛❧ ❈♦♥tr♦❧ Pr♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ P✉r❡ ❙t❛t❡ ❈♦♥str❛✐♥ts ❛♥❞ ▼✐①❡❞ ❈♦♥tr♦❧✲❙t❛t❡ ❈♦♥str❛✐♥ts✳ ❆♥♥❛❧❡s ❞❡ ❧✬■✳❍✳P✳ ✲ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧②s✐s✱ t♦ ❛♣♣❡❛r✳ ❆✈❛✐❧❛❜❧❡ ♦♥ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❝♠❛♣✳♣♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡✳❢r✴∼❜♦♥♥❛♥s✴♣❛♣❡rs✳❤t♠❧

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s

❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❡①❛♠♣❧❡

• ❡♥❡r❛❧ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s

❙t❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❙❡♥s✐t✐✈✐t② ❙❡♥s✐t✐✈✐t②✿ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ▼❛✐♥ r❡s✉❧t

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❏✳❋✳❇✳ ❛♥❞ ❆✳ ❙❤❛♣✐r♦✿ P❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✷✵✵✵✳ ❈❤✐♥❡s❡ ❡❞✐t✐♦♥✿ ❙❝✐❡♥❝❡ Pr❡ss✱ t♦ ❛♣♣❡❛r

❏✳ ❋ré❞ér✐❝ ❇♦♥♥❛♥s ❙❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r st❛t❡✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s