r rt qts - - PowerPoint PPT Presentation

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r rt qts - - PowerPoint PPT Presentation

May 26, 2023 46 likes •838 views

r rt qts r r t t tr rs

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SLIDE 1

◆♦♥❧✐♥❡❛r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ t②♣❡✿ ■♥✐t✐❛❧ t❤❡♦r② ❛♥❞ ♥✉♠❡r✐❝s✳

❊s♣❡♥ ❘✳ ❏❛❦♦❜s❡♥

❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ◆♦r✇❡❣✐❛♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡ ❛♥❞ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ✭◆❚◆❯✮

❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷

❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆❛t❤❛❡❧ ❆❧✐❜❛✉❞ ✭❇❡s❛♥❝♦♥✮ ❛♥❞ ❙✐♠♦♥❡ ❈✐❢❛♥✐ ✭◆❚◆❯✮✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 2

❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s t❛❧❦

❋r❛❝t✐♦♥❛❧✴❢r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇ (❋❈▲) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = −(−∆)

α ✷ ✉

✐♥ R❞ × (✵, ❚) =: ◗❚. ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭♠✐①❡❞ ❤②♣✳✴♣❛r✳ t②♣❡✮ (❋❉❊) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] ✐♥ ◗❚. ❆ss✉♠♣t✐♦♥s✿ ✭✐✮ ❢ ❢✶ ❢❞ ❛♥❞ ❆ ❛r❡ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ✭✐✐✮ ❆ ✐s ♥♦♥✲❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱ ♣♦ss✐❜❧② str♦♥❣❧② ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✱ ✭✐✐✐✮

✷ ✱

✵ ✷ ✱ ✐s t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥✱ ✐✳❡✳

✷

①

③ ✵

① ③ ① ③ ❉ ① ✶ ③

✶

❝ ❞③ ③ ❞ ✭✐✈✮ ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ ❛ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss✱ ✐✳❡✳ ①

③ ✵

① ③ ① ③ ❉ ① ✶ ③

✶

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③ ✵ ③ ✷

✶ ❞③

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✷ ✴ ✷✶

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SLIDE 3

❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s t❛❧❦

❋r❛❝t✐♦♥❛❧✴❢r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇ (❋❈▲) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = −(−∆)

α ✷ ✉

✐♥ R❞ × (✵, ❚) =: ◗❚. ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭♠✐①❡❞ ❤②♣✳✴♣❛r✳ t②♣❡✮ (❋❉❊) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] ✐♥ ◗❚. ❆ss✉♠♣t✐♦♥s✿ ✭✐✮ ❢ = (❢✶, . . . , ❢❞) ❛♥❞ ❆ ❛r❡ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ✭✐✐✮ ❆ ✐s ♥♦♥✲❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱ ♣♦ss✐❜❧② str♦♥❣❧② ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✱ ✭✐✐✐✮

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✵ ✷ ✱ ✐s t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥✱ ✐✳❡✳

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①

③ ✵

① ③ ① ③ ❉ ① ✶ ③

✶

❝ ❞③ ③ ❞ ✭✐✈✮ ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ ❛ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss✱ ✐✳❡✳ ①

③ ✵

① ③ ① ③ ❉ ① ✶ ③

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③ ✵ ③ ✷

✶ ❞③

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✷ ✴ ✷✶

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SLIDE 4

❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s t❛❧❦

❋r❛❝t✐♦♥❛❧✴❢r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇ (❋❈▲) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = −(−∆)

α ✷ ✉

✐♥ R❞ × (✵, ❚) =: ◗❚. ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭♠✐①❡❞ ❤②♣✳✴♣❛r✳ t②♣❡✮ (❋❉❊) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] ✐♥ ◗❚. ❆ss✉♠♣t✐♦♥s✿ ✭✐✮ ❢ = (❢✶, . . . , ❢❞) ❛♥❞ ❆ ❛r❡ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ✭✐✐✮ ❆ ✐s ♥♦♥✲❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱ ♣♦ss✐❜❧② str♦♥❣❧② ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✱ ✭✐✐✐✮

✷ ✱

✵ ✷ ✱ ✐s t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥✱ ✐✳❡✳

✷

①

③ ✵

① ③ ① ③ ❉ ① ✶ ③

✶

❝ ❞③ ③ ❞ ✭✐✈✮ ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ ❛ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss✱ ✐✳❡✳ ①

③ ✵

① ③ ① ③ ❉ ① ✶ ③

✶

❞③ ✇❤❡r❡ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❘❛❞♦♥ ♠❡❛s✉r❡ s✳t✳

③ ✵ ③ ✷

✶ ❞③

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✷ ✴ ✷✶

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SLIDE 5

❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s t❛❧❦

❋r❛❝t✐♦♥❛❧✴❢r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇ (❋❈▲) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = −(−∆)

α ✷ ✉

✐♥ R❞ × (✵, ❚) =: ◗❚. ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭♠✐①❡❞ ❤②♣✳✴♣❛r✳ t②♣❡✮ (❋❉❊) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] ✐♥ ◗❚. ❆ss✉♠♣t✐♦♥s✿ ✭✐✮ ❢ = (❢✶, . . . , ❢❞) ❛♥❞ ❆ ❛r❡ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ✭✐✐✮ ❆ ✐s ♥♦♥✲❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱ ♣♦ss✐❜❧② str♦♥❣❧② ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✱ ✭✐✐✐✮ (−∆)

α ✷ ✱ α ∈ (✵, ✷)✱ ✐s t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥✱ ✐✳❡✳

−(−∆)

α ✷ φ(①) =

  • |③|>✵

[φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①)✶|③|<✶] ❝α❞③ |③|❞+α , ✭✐✈✮ ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ ❛ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss✱ ✐✳❡✳ ①

③ ✵

① ③ ① ③ ❉ ① ✶ ③

✶

❞③ ✇❤❡r❡ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❘❛❞♦♥ ♠❡❛s✉r❡ s✳t✳

③ ✵ ③ ✷

✶ ❞③

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✷ ✴ ✷✶

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SLIDE 6

❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s t❛❧❦

❋r❛❝t✐♦♥❛❧✴❢r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇ (❋❈▲) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = −(−∆)

α ✷ ✉

✐♥ R❞ × (✵, ❚) =: ◗❚. ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭♠✐①❡❞ ❤②♣✳✴♣❛r✳ t②♣❡✮ (❋❉❊) ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] ✐♥ ◗❚. ❆ss✉♠♣t✐♦♥s✿ ✭✐✮ ❢ = (❢✶, . . . , ❢❞) ❛♥❞ ❆ ❛r❡ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ✭✐✐✮ ❆ ✐s ♥♦♥✲❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱ ♣♦ss✐❜❧② str♦♥❣❧② ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✱ ✭✐✐✐✮ (−∆)

α ✷ ✱ α ∈ (✵, ✷)✱ ✐s t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥✱ ✐✳❡✳

−(−∆)

α ✷ φ(①) =

  • |③|>✵

[φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①)✶|③|<✶] ❝α❞③ |③|❞+α , ✭✐✈✮ L ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ ❛ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss✱ ✐✳❡✳ L[φ](①) =

  • |③|>✵

[φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①)✶|③|<✶] µ(❞③), ✇❤❡r❡ µ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❘❛❞♦♥ ♠❡❛s✉r❡ s✳t✳

  • |③|>✵ |③|✷ ∧ ✶ µ(❞③) < ∞.

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✷ ✴ ✷✶

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SLIDE 7

❖♥ ∆

α ✷ ❛♥❞ L

✶ L ❬❛♥❞ (−∆) α ✷ ❪ ♣s❡✉❞♦✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ♦❢ ♦r❞❡r α ∈ [✵, ✷)✳ ✷ ❲❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❡✳❣✳ ❢♦r

❈ ✷ ▲ ✿ ✶ ✷ ❉✷

▲ ❇ ③ ✶

③ ✷ ❞③ ✷

▲ ③ ✶

❞③

✸ ✷ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t✱ ❜✉t ♥♦t

✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳

✹ ❆♥② ♣✉r❡✲❥✉♠♣ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss ❤❛s ❛ ❣❡♥❡r❛t♦r ❧✐❦❡

✿

✭❛✮ ❈♦♠♣♦✉♥❞ P♦✐ss♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s✿ ❞③ ❣ ③ ❞③ ❢♦r ❣ ▲✶ ✭❜✮ ❙②♠♠❡tr✐❝ ✲st❛❜❧❡ ♣r♦❝❡ss❡s✿

✷ ❛♥❞

❞③ ❝ ❞③ ③ ❞ ❢♦r ✵ ✷ ✭❝✮ ❈●▼❨ ♦r ❱❛r✐❛♥❝❡ ●❛♠♠❛ ♣r♦❝❡ss❡s ✐♥ ❋✐♥❛♥❝❡✿ ❞③ ❈ ❡

  • ③

❞③ ③ ✶

❨

③ ✵ ❡

▼ ③ ❞③ ③ ✶

❨

③ ✵ ❈ ● ▼ ✵ ❨ ✵ ✷ ♦r ❨ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✸ ✴ ✷✶

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SLIDE 8

❖♥ ∆

α ✷ ❛♥❞ L

✶ L ❬❛♥❞ (−∆) α ✷ ❪ ♣s❡✉❞♦✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ♦❢ ♦r❞❡r α ∈ [✵, ✷)✳ ✷ ❲❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❡✳❣✳ ❢♦r φ ∈ ❈ ✷ ∩ ▲∞✿

|L[φ]| ≤ ✶ ✷❉✷φ▲∞(❇)

  • |③|<✶

|③|✷ µ(❞③) + ✷φ▲∞

  • |③|>✶

µ(❞③)

✸ ✷ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t✱ ❜✉t ♥♦t

✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳

✹ ❆♥② ♣✉r❡✲❥✉♠♣ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss ❤❛s ❛ ❣❡♥❡r❛t♦r ❧✐❦❡

✿

✭❛✮ ❈♦♠♣♦✉♥❞ P♦✐ss♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s✿ ❞③ ❣ ③ ❞③ ❢♦r ❣ ▲✶ ✭❜✮ ❙②♠♠❡tr✐❝ ✲st❛❜❧❡ ♣r♦❝❡ss❡s✿

✷ ❛♥❞

❞③ ❝ ❞③ ③ ❞ ❢♦r ✵ ✷ ✭❝✮ ❈●▼❨ ♦r ❱❛r✐❛♥❝❡ ●❛♠♠❛ ♣r♦❝❡ss❡s ✐♥ ❋✐♥❛♥❝❡✿ ❞③ ❈ ❡

  • ③

❞③ ③ ✶

❨

③ ✵ ❡

▼ ③ ❞③ ③ ✶

❨

③ ✵ ❈ ● ▼ ✵ ❨ ✵ ✷ ♦r ❨ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✸ ✴ ✷✶

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SLIDE 9

❖♥ ∆

α ✷ ❛♥❞ L

✶ L ❬❛♥❞ (−∆) α ✷ ❪ ♣s❡✉❞♦✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ♦❢ ♦r❞❡r α ∈ [✵, ✷)✳ ✷ ❲❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❡✳❣✳ ❢♦r φ ∈ ❈ ✷ ∩ ▲∞✿

|L[φ]| ≤ ✶ ✷❉✷φ▲∞(❇)

  • |③|<✶

|③|✷ µ(❞③) + ✷φ▲∞

  • |③|>✶

µ(❞③)

✸ (−∆) α ✷ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t✱ ❜✉t ♥♦t L ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳ ✹ ❆♥② ♣✉r❡✲❥✉♠♣ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss ❤❛s ❛ ❣❡♥❡r❛t♦r ❧✐❦❡

✿

✭❛✮ ❈♦♠♣♦✉♥❞ P♦✐ss♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s✿ ❞③ ❣ ③ ❞③ ❢♦r ❣ ▲✶ ✭❜✮ ❙②♠♠❡tr✐❝ ✲st❛❜❧❡ ♣r♦❝❡ss❡s✿

✷ ❛♥❞

❞③ ❝ ❞③ ③ ❞ ❢♦r ✵ ✷ ✭❝✮ ❈●▼❨ ♦r ❱❛r✐❛♥❝❡ ●❛♠♠❛ ♣r♦❝❡ss❡s ✐♥ ❋✐♥❛♥❝❡✿ ❞③ ❈ ❡

  • ③

❞③ ③ ✶

❨

③ ✵ ❡

▼ ③ ❞③ ③ ✶

❨

③ ✵ ❈ ● ▼ ✵ ❨ ✵ ✷ ♦r ❨ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✸ ✴ ✷✶

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SLIDE 10

❖♥ ∆

α ✷ ❛♥❞ L

✶ L ❬❛♥❞ (−∆) α ✷ ❪ ♣s❡✉❞♦✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ♦❢ ♦r❞❡r α ∈ [✵, ✷)✳ ✷ ❲❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❡✳❣✳ ❢♦r φ ∈ ❈ ✷ ∩ ▲∞✿

|L[φ]| ≤ ✶ ✷❉✷φ▲∞(❇)

  • |③|<✶

|③|✷ µ(❞③) + ✷φ▲∞

  • |③|>✶

µ(❞③)

✸ (−∆) α ✷ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t✱ ❜✉t ♥♦t L ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳ ✹ ❆♥② ♣✉r❡✲❥✉♠♣ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss ❤❛s ❛ ❣❡♥❡r❛t♦r ❧✐❦❡ L✿

✭❛✮ ❈♦♠♣♦✉♥❞ P♦✐ss♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s✿ µ(❞③) = ❣(③) ❞③ ❢♦r ❣ ∈ ▲✶. ✭❜✮ ❙②♠♠❡tr✐❝ α✲st❛❜❧❡ ♣r♦❝❡ss❡s✿ L = −(−∆)α/✷ ❛♥❞ µ(❞③) = ❝α ❞③ |③|❞+α ❢♦r α ∈ (✵, ✷). ✭❝✮ ❈●▼❨ ♦r ❱❛r✐❛♥❝❡ ●❛♠♠❛ ♣r♦❝❡ss❡s ✐♥ ❋✐♥❛♥❝❡✿ µ(❞③) = ❈ ( ❡−●|③|

❞③ |③|✶+❨ ,

③ < ✵ ❡−▼|③|

❞③ |③|✶+❨ ,

③ > ✵, ❈, ●, ▼ ≥ ✵, ❨ ∈ (✵, ✷) ♦r ❨ = ✵.

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✸ ✴ ✷✶

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SLIDE 11

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s ♦❢ ♦✉r ❡q✉❛t✐♦♥s

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❆ ≡ ✵✱ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = ✵. ✷✮ ▲✐♥❡❛r ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ ✉ ❝✉✱ ❆ ✉ ✉✱

t✉

❝ ✉ ✉ ✸✮ ❋r❛❝t❛❧✴▲❡✈②✴♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❆ ✉ ✉✱ ❞✐✛❡r❡♥t ✬s✱

t✉

❢ ✉ ✉

  • ❛s ❞❡t♦♥❛t✐♦♥s✱ s❡♠✐❝♦♥❞✉❝t♦r ❣r♦✇t❤✱ r❛❞✐❛t✐♦♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s✱ ✳✳✳

❇✐❧❡r✱ ❑❛r❝❤✱ ❲♦②❝③②♥s❦✐✱ ■♠❜❡rt✱ ❉r♦♥✐♦✉✱ ❆❧✐❜❛✉❞✱ ❘♦❤❞❡✱ ❈❤❛♥✱ ❈③✉❜❛❦✱ ❙✐❧✈❡str❡✱ ❑❛r❧s❡♥✱ ❑✐s❡❧❡✈✱ ◆❛③❛r♦✈✱ ❙❤t❡r❡♥❜❡r❣✱ ❉♦♥❣✱ ❉✉✱ ▲✐

✹✮ P♦r♦✉s ♠❡❞✐✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ ✵❀ ❆ ✉ ✉♠✱ ♠ ✶✱

t✉ ✷✉♠

Pr♦♣♦s❡❞ ❜② ❉❡P❛❜❧♦✱ ◗✉✐r♦s✱ ❘♦❞r✐❣✉❡③ ❛♥❞ ❱❛③q✉❡③✳

✺✮ ◆❡✇ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❡✳❣✳ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❧♦❝❛❧ ❡q✬♥s

t✉

❢ ✉ ❆ ✉

▲♦❝❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❙❡❞✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱ r❡s❡r✈♦✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ tr❛✣❝ ✢♦✇✳✳✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✹ ✴ ✷✶

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SLIDE 12

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s ♦❢ ♦✉r ❡q✉❛t✐♦♥s

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❆ ≡ ✵✱ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = ✵. ✷✮ ▲✐♥❡❛r ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ (✉) = ❝✉✱ ❆(✉) = ✉✱ ∂t✉ + ❝ · ∇✉ = L[✉]. ✸✮ ❋r❛❝t❛❧✴▲❡✈②✴♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❆ ✉ ✉✱ ❞✐✛❡r❡♥t ✬s✱

t✉

❢ ✉ ✉

  • ❛s ❞❡t♦♥❛t✐♦♥s✱ s❡♠✐❝♦♥❞✉❝t♦r ❣r♦✇t❤✱ r❛❞✐❛t✐♦♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s✱ ✳✳✳

❇✐❧❡r✱ ❑❛r❝❤✱ ❲♦②❝③②♥s❦✐✱ ■♠❜❡rt✱ ❉r♦♥✐♦✉✱ ❆❧✐❜❛✉❞✱ ❘♦❤❞❡✱ ❈❤❛♥✱ ❈③✉❜❛❦✱ ❙✐❧✈❡str❡✱ ❑❛r❧s❡♥✱ ❑✐s❡❧❡✈✱ ◆❛③❛r♦✈✱ ❙❤t❡r❡♥❜❡r❣✱ ❉♦♥❣✱ ❉✉✱ ▲✐

✹✮ P♦r♦✉s ♠❡❞✐✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ ✵❀ ❆ ✉ ✉♠✱ ♠ ✶✱

t✉ ✷✉♠

Pr♦♣♦s❡❞ ❜② ❉❡P❛❜❧♦✱ ◗✉✐r♦s✱ ❘♦❞r✐❣✉❡③ ❛♥❞ ❱❛③q✉❡③✳

✺✮ ◆❡✇ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❡✳❣✳ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❧♦❝❛❧ ❡q✬♥s

t✉

❢ ✉ ❆ ✉

▲♦❝❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❙❡❞✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱ r❡s❡r✈♦✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ tr❛✣❝ ✢♦✇✳✳✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✹ ✴ ✷✶

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SLIDE 13

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s ♦❢ ♦✉r ❡q✉❛t✐♦♥s

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❆ ≡ ✵✱ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = ✵. ✷✮ ▲✐♥❡❛r ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ (✉) = ❝✉✱ ❆(✉) = ✉✱ ∂t✉ + ❝ · ∇✉ = L[✉]. ✸✮ ❋r❛❝t❛❧✴▲❡✈②✴♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❆(✉) = ✉✱ ❞✐✛❡r❡♥t L✬s✱ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[✉].

  • ❛s ❞❡t♦♥❛t✐♦♥s✱ s❡♠✐❝♦♥❞✉❝t♦r ❣r♦✇t❤✱ r❛❞✐❛t✐♦♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s✱ ✳✳✳

❇✐❧❡r✱ ❑❛r❝❤✱ ❲♦②❝③②♥s❦✐✱ ■♠❜❡rt✱ ❉r♦♥✐♦✉✱ ❆❧✐❜❛✉❞✱ ❘♦❤❞❡✱ ❈❤❛♥✱ ❈③✉❜❛❦✱ ❙✐❧✈❡str❡✱ ❑❛r❧s❡♥✱ ❑✐s❡❧❡✈✱ ◆❛③❛r♦✈✱ ❙❤t❡r❡♥❜❡r❣✱ ❉♦♥❣✱ ❉✉✱ ▲✐ . . .

✹✮ P♦r♦✉s ♠❡❞✐✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ ✵❀ ❆ ✉ ✉♠✱ ♠ ✶✱

t✉ ✷✉♠

Pr♦♣♦s❡❞ ❜② ❉❡P❛❜❧♦✱ ◗✉✐r♦s✱ ❘♦❞r✐❣✉❡③ ❛♥❞ ❱❛③q✉❡③✳

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SLIDE 14

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s ♦❢ ♦✉r ❡q✉❛t✐♦♥s

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❆ ≡ ✵✱ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = ✵. ✷✮ ▲✐♥❡❛r ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ (✉) = ❝✉✱ ❆(✉) = ✉✱ ∂t✉ + ❝ · ∇✉ = L[✉]. ✸✮ ❋r❛❝t❛❧✴▲❡✈②✴♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❆(✉) = ✉✱ ❞✐✛❡r❡♥t L✬s✱ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[✉].

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❇✐❧❡r✱ ❑❛r❝❤✱ ❲♦②❝③②♥s❦✐✱ ■♠❜❡rt✱ ❉r♦♥✐♦✉✱ ❆❧✐❜❛✉❞✱ ❘♦❤❞❡✱ ❈❤❛♥✱ ❈③✉❜❛❦✱ ❙✐❧✈❡str❡✱ ❑❛r❧s❡♥✱ ❑✐s❡❧❡✈✱ ◆❛③❛r♦✈✱ ❙❤t❡r❡♥❜❡r❣✱ ❉♦♥❣✱ ❉✉✱ ▲✐ . . .

✹✮ P♦r♦✉s ♠❡❞✐✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ ≡ ✵❀ ❆(✉) = ✉♠✱ ♠ ≥ ✶✱ ∂t✉ = −(−∆)α/✷✉♠.

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❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✹ ✴ ✷✶

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SLIDE 15

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s ♦❢ ♦✉r ❡q✉❛t✐♦♥s

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❇✐❧❡r✱ ❑❛r❝❤✱ ❲♦②❝③②♥s❦✐✱ ■♠❜❡rt✱ ❉r♦♥✐♦✉✱ ❆❧✐❜❛✉❞✱ ❘♦❤❞❡✱ ❈❤❛♥✱ ❈③✉❜❛❦✱ ❙✐❧✈❡str❡✱ ❑❛r❧s❡♥✱ ❑✐s❡❧❡✈✱ ◆❛③❛r♦✈✱ ❙❤t❡r❡♥❜❡r❣✱ ❉♦♥❣✱ ❉✉✱ ▲✐ . . .

✹✮ P♦r♦✉s ♠❡❞✐✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❢ ≡ ✵❀ ❆(✉) = ✉♠✱ ♠ ≥ ✶✱ ∂t✉ = −(−∆)α/✷✉♠.

Pr♦♣♦s❡❞ ❜② ❉❡P❛❜❧♦✱ ◗✉✐r♦s✱ ❘♦❞r✐❣✉❡③ ❛♥❞ ❱❛③q✉❡③✳

✺✮ ◆❡✇ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❡✳❣✳ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❧♦❝❛❧ ❡q✬♥s ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = ∆❆(✉).

▲♦❝❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❙❡❞✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱ r❡s❡r✈♦✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ tr❛✣❝ ✢♦✇✳✳✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✹ ✴ ✷✶

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SLIDE 16

❙♦♠❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞

  • ❡♥❡r❛❧ ❢❛❝ts✿

✶✮ ❙♠♦♦t❤ s♦❧✉t✐♦♥s ♠❛② ❞❡✈❡❧♦♣ s❤♦❝❦s ✐♥ ✜♥✐t❡ t✐♠❡✳ ✷✮ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ✭♦❢ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s✮ ✐s t❤❡♥ ❧♦st✳ ✸✮ ❊♥tr♦♣② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❝❛♥ s✐♥❣❧❡ ♦✉t ♣❤②s✐❝❛❧ r❡❧❡✈❛♥t s♦❧✉t✐♦♥✳ ❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s✿ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❝♦♥❝❡♣t ❢♦r ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭❆ ✵✮✳ ❆❧✐❜❛✉❞ ❛❞❛♣ts ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ ❡✳❣✳ s♣❧✐t ✐♥t♦ s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r ♣❛rt

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❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✺ ✴ ✷✶

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SLIDE 17

❙♦♠❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞

  • ❡♥❡r❛❧ ❢❛❝ts✿

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✐ (✉)✳

▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ✉ ① t ✈ ① t ❞① ✉✵ ① ✈✵ ① ❞① ❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✉ ✈ t②♣✐❝❛❧❧② s❛t✐s❢② ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❛r❡ ✉♥✐q✉❡✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✺ ✴ ✷✶

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SLIDE 18

❙♦♠❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞

  • ❡♥❡r❛❧ ❢❛❝ts✿

✶✮ ❙♠♦♦t❤ s♦❧✉t✐♦♥s ♠❛② ❞❡✈❡❧♦♣ s❤♦❝❦s ✐♥ ✜♥✐t❡ t✐♠❡✳ ✷✮ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ✭♦❢ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s✮ ✐s t❤❡♥ ❧♦st✳ ✸✮ ❊♥tr♦♣② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❝❛♥ s✐♥❣❧❡ ♦✉t ♣❤②s✐❝❛❧ r❡❧❡✈❛♥t s♦❧✉t✐♦♥✳ ❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s✿ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❝♦♥❝❡♣t ❢♦r ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭❆ ≡ ✵✮✳ ❆❧✐❜❛✉❞ ❛❞❛♣ts ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ ❡✳❣✳ s♣❧✐t ✐♥t♦ s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r ♣❛rt L = Lr + Lr ✉ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮ ✐❢ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s η(✉)t + ∇ · q(✉) ≤ Lr[η(❆(✉))] + η′(✉)Lr[❆(✉)] ✐♥ D′ ❤♦❧❞ ❢♦r ❛❧❧ s♠♦♦t❤ ❝♦♥✈❡① η ✇❤❡r❡ ∂①✐ q(✉) = η′(✉)❢ ′

✐ (✉)✳

▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿

  • |✉(①, t) − ✈(①, t)|❞① ≤
  • |✉✵(①) − ✈✵(①)|❞①.

❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✉, ✈ t②♣✐❝❛❧❧② s❛t✐s❢② ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❛r❡ ✉♥✐q✉❡✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✺ ✴ ✷✶

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SLIDE 19

❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✕ s♦♠❡ ❤✐st♦r②

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❬❑r✉③❦♦✈ ✼✵❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲∞ ✷✮ ❱✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐✲❇❡❧❧♠❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❇❛r❧❡s ❡t ❛❧✳ ✾✷❪ ✰ ♠❛♥② ♦t❤❡rs✿ ▲ ✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✴✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✸✮ ▲♦❝❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❝♦♥✈❡❝t✐♦♥ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❈❛rr✐❧❧♦ ✾✾❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐❢ ✉ ▲ ▲✶ ❆ ✉ ▲✷ ✵ ❚ ❍✶

◆

✹✮ ❋r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭ ✶✮✿ ❬❆❧✐❜❛✉❞ ✵✼❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲ ✺✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❧✐♥❡❛r s②♠♠❡tr✐❝ ✲t❡r♠✿ ❬❑❛r❧s❡♥✲❯❧✉s♦② ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✻✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ✭❋❉❊✮✿ ❬❈✐❢❛♥✐✲❏❛❦♦❜s❡♥ ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲ ▲✶

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✻ ✴ ✷✶

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SLIDE 20

❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✕ s♦♠❡ ❤✐st♦r②

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❬❑r✉③❦♦✈ ✼✵❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲∞ ✷✮ ❱✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐✲❇❡❧❧♠❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❇❛r❧❡s ❡t ❛❧✳ ✾✷❪ ✰ ♠❛♥② ♦t❤❡rs✿ ▲∞✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✴✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✸✮ ▲♦❝❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❝♦♥✈❡❝t✐♦♥ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❈❛rr✐❧❧♦ ✾✾❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐❢ ✉ ▲ ▲✶ ❆ ✉ ▲✷ ✵ ❚ ❍✶

◆

✹✮ ❋r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭ ✶✮✿ ❬❆❧✐❜❛✉❞ ✵✼❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲ ✺✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❧✐♥❡❛r s②♠♠❡tr✐❝ ✲t❡r♠✿ ❬❑❛r❧s❡♥✲❯❧✉s♦② ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✻✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ✭❋❉❊✮✿ ❬❈✐❢❛♥✐✲❏❛❦♦❜s❡♥ ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲ ▲✶

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✻ ✴ ✷✶

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SLIDE 21

❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✕ s♦♠❡ ❤✐st♦r②

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❬❑r✉③❦♦✈ ✼✵❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲∞ ✷✮ ❱✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐✲❇❡❧❧♠❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❇❛r❧❡s ❡t ❛❧✳ ✾✷❪ ✰ ♠❛♥② ♦t❤❡rs✿ ▲∞✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✴✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✸✮ ▲♦❝❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❝♦♥✈❡❝t✐♦♥ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❈❛rr✐❧❧♦ ✾✾❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐❢ ✉ ∈ ▲∞ ∩ ▲✶, ❆(✉) ∈ ▲✷(✵, ❚; ❍✶(R◆)). ✹✮ ❋r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭ ✶✮✿ ❬❆❧✐❜❛✉❞ ✵✼❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲ ✺✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❧✐♥❡❛r s②♠♠❡tr✐❝ ✲t❡r♠✿ ❬❑❛r❧s❡♥✲❯❧✉s♦② ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✻✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ✭❋❉❊✮✿ ❬❈✐❢❛♥✐✲❏❛❦♦❜s❡♥ ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲ ▲✶

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✻ ✴ ✷✶

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SLIDE 22

❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✕ s♦♠❡ ❤✐st♦r②

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❬❑r✉③❦♦✈ ✼✵❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲∞ ✷✮ ❱✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐✲❇❡❧❧♠❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❇❛r❧❡s ❡t ❛❧✳ ✾✷❪ ✰ ♠❛♥② ♦t❤❡rs✿ ▲∞✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✴✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✸✮ ▲♦❝❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❝♦♥✈❡❝t✐♦♥ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❈❛rr✐❧❧♦ ✾✾❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐❢ ✉ ∈ ▲∞ ∩ ▲✶, ❆(✉) ∈ ▲✷(✵, ❚; ❍✶(R◆)). ✹✮ ❋r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭α < ✶✮✿ ❬❆❧✐❜❛✉❞ ✵✼❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲∞ ✺✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❧✐♥❡❛r s②♠♠❡tr✐❝ ✲t❡r♠✿ ❬❑❛r❧s❡♥✲❯❧✉s♦② ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✻✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ✭❋❉❊✮✿ ❬❈✐❢❛♥✐✲❏❛❦♦❜s❡♥ ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲ ▲✶

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✻ ✴ ✷✶

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SLIDE 23

❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✕ s♦♠❡ ❤✐st♦r②

✶✮ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✿ ❬❑r✉③❦♦✈ ✼✵❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲∞ ✷✮ ❱✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐✲❇❡❧❧♠❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❇❛r❧❡s ❡t ❛❧✳ ✾✷❪ ✰ ♠❛♥② ♦t❤❡rs✿ ▲∞✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✴✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✸✮ ▲♦❝❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❝♦♥✈❡❝t✐♦♥ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❬❈❛rr✐❧❧♦ ✾✾❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐❢ ✉ ∈ ▲∞ ∩ ▲✶, ❆(✉) ∈ ▲✷(✵, ❚; ❍✶(R◆)). ✹✮ ❋r❛❝t❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭α < ✶✮✿ ❬❆❧✐❜❛✉❞ ✵✼❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲∞ ✺✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❧✐♥❡❛r s②♠♠❡tr✐❝ L✲t❡r♠✿ ❬❑❛r❧s❡♥✲❯❧✉s♦② ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✻✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ✭❋❉❊✮✿ ❬❈✐❢❛♥✐✲❏❛❦♦❜s❡♥ ✶✶❪✿ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✰ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ✐♥ ▲ ▲✶

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✻ ✴ ✷✶

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SLIDE 24

❊♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✕ s♦♠❡ ❤✐st♦r②

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SLIDE 26

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SLIDE 27

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SLIDE 28

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SLIDE 29

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SLIDE 30

❙✉♠♠❛r② ♦❢ ♦✉r r❡s✉❧ts

✶✮ ❚❤❡ ❣♦♦❞ ❡♥tr♦♣② ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✷✮ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ✐♥ ▲✶ ∩ ▲∞ ✕ ❑r✉③❦♦✈ t②♣❡ t❤❡♦r② ✸✮ ❊①♣❧✐❝✐t ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ ❆ ❛♥❞ µ ✐♥ ▲✶ ∩ ▲∞ ∩ ❇❱ ✕ ❑r✉③❦♦✈ t②♣❡ t❤❡♦r② ✹✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥t ♠♦♥♦t♦♥❡ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✺✮ ❊①✐st❡♥❝❡ ✕ ✈✐❛ t❤❡ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛❝t♥❡ss ✻✮ ❊rr♦r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞✱ ✈❛❧✐❞ ❢♦r ❛❧❧ α ∈ (✵, ✷) ✕ ❑✉③♥❡ts♦✈ t②♣❡ t❤❡♦r② ✼✮ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥ t♦ st♦❝❤❛st✐❝ ❝♦♥tr♦❧ ♦❢ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss❡s ✽✮ ❖♣t✐♠❛❧ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ✾✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛s ✷ t♦ ❈❛rr✐❧❧♦ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢

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SLIDE 31

❙✉♠♠❛r② ♦❢ ♦✉r r❡s✉❧ts

✶✮ ❚❤❡ ❣♦♦❞ ❡♥tr♦♣② ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✷✮ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ✐♥ ▲✶ ∩ ▲∞ ✕ ❑r✉③❦♦✈ t②♣❡ t❤❡♦r② ✸✮ ❊①♣❧✐❝✐t ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ ❆ ❛♥❞ µ ✐♥ ▲✶ ∩ ▲∞ ∩ ❇❱ ✕ ❑r✉③❦♦✈ t②♣❡ t❤❡♦r② ✹✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥t ♠♦♥♦t♦♥❡ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✺✮ ❊①✐st❡♥❝❡ ✕ ✈✐❛ t❤❡ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛❝t♥❡ss ✻✮ ❊rr♦r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞✱ ✈❛❧✐❞ ❢♦r ❛❧❧ α ∈ (✵, ✷) ✕ ❑✉③♥❡ts♦✈ t②♣❡ t❤❡♦r② ✼✮ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥ t♦ st♦❝❤❛st✐❝ ❝♦♥tr♦❧ ♦❢ ▲❡✈② ♣r♦❝❡ss❡s ✽✮ ❖♣t✐♠❛❧ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ✾✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛s ✷ t♦ ❈❛rr✐❧❧♦ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢

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SLIDE 32

❙✉♠♠❛r② ♦❢ ♦✉r r❡s✉❧ts

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SLIDE 33

❙✉♠♠❛r② ♦❢ ♦✉r r❡s✉❧ts

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❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✼ ✴ ✷✶

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SLIDE 34

✶✮ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❦❡② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥

✶✳ ❆ss✉♠❡ ✉ s♠♦♦t❤✿ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] = Lr[❆(✉)] + Lr[❆(✉)]. ✷✳ ▲❡t

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✉ ❦ ✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜②

❦ ✉

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✸✳ ❆ ❦❡② ✭❑❛t♦ t②♣❡✮ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✿ s❣♥ ✉ ❦

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❆ ❦ Pr♦♦❢✿ ❙✐♠♣❧❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ✰ s❣♥ ✉ ❦ ❆ ✉ ❆ ❦ ❆ ✉ ❆ ❦ ❍❡♥❝❡

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✹✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② ✵ ❈❝ ◗❚ ✱ ✐♥t❡❣r❛t❡✿

◗❚ ❦ ✉ t

❆ ✉ ❆ ❦

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r ❛❞❥♦✐♥t ♦❢ r❀ ❡q✉❛t✐♦♥ ♠❛❦❡s s❡♥s❡ ❢♦r ✉

t ▲ ▲✶ ✭r ✶✮

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✽ ✴ ✷✶

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SLIDE 35

✶✮ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❦❡② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥

✶✳ ❆ss✉♠❡ ✉ s♠♦♦t❤✿ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] = Lr[❆(✉)] + Lr[❆(✉)]. ✷✳ ▲❡t η❦(✉) = |✉ − ❦|✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② η′

❦(✉) = s❣♥(✉ − ❦)✿

∂tη❦(✉) + · · · = η′

❦(✉)Lr[❆(✉)] + η′ ❦(✉)Lr[❆(✉)].

✸✳ ❆ ❦❡② ✭❑❛t♦ t②♣❡✮ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✿ s❣♥ ✉ ❦

r ❆ ✉ r ❆ ✉

❆ ❦ Pr♦♦❢✿ ❙✐♠♣❧❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ✰ s❣♥ ✉ ❦ ❆ ✉ ❆ ❦ ❆ ✉ ❆ ❦ ❍❡♥❝❡

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✹✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② ✵ ❈❝ ◗❚ ✱ ✐♥t❡❣r❛t❡✿

◗❚ ❦ ✉ t

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r ❛❞❥♦✐♥t ♦❢ r❀ ❡q✉❛t✐♦♥ ♠❛❦❡s s❡♥s❡ ❢♦r ✉

t ▲ ▲✶ ✭r ✶✮

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✽ ✴ ✷✶

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SLIDE 36

✶✮ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❦❡② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥

✶✳ ❆ss✉♠❡ ✉ s♠♦♦t❤✿ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] = Lr[❆(✉)] + Lr[❆(✉)]. ✷✳ ▲❡t η❦(✉) = |✉ − ❦|✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② η′

❦(✉) = s❣♥(✉ − ❦)✿

∂tη❦(✉) + · · · = η′

❦(✉)Lr[❆(✉)] + η′ ❦(✉)Lr[❆(✉)].

✸✳ ❆ ❦❡② ✭❑❛t♦ t②♣❡✮ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✿ s❣♥(✉ − ❦)Lr[❆(✉)] ≤ Lr[|❆(✉) − ❆(❦)|]. Pr♦♦❢✿ ❙✐♠♣❧❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ✰ s❣♥(✉ − ❦)(❆(✉) − ❆(❦)) = |❆(✉) − ❆(❦)| ❍❡♥❝❡ ∂tη❦(✉) + · · · ≤ Lr[|❆(✉) − ❆(❦)|] + η′

❦(✉)Lr[❆(✉)].

✹✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② ✵ ❈❝ ◗❚ ✱ ✐♥t❡❣r❛t❡✿

◗❚ ❦ ✉ t

❆ ✉ ❆ ❦

r ❦ ✉ r ❆ ✉

❞①❞t ✵

r ❛❞❥♦✐♥t ♦❢ r❀ ❡q✉❛t✐♦♥ ♠❛❦❡s s❡♥s❡ ❢♦r ✉

t ▲ ▲✶ ✭r ✶✮

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✽ ✴ ✷✶

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SLIDE 37

✶✮ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❦❡② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥

✶✳ ❆ss✉♠❡ ✉ s♠♦♦t❤✿ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] = Lr[❆(✉)] + Lr[❆(✉)]. ✷✳ ▲❡t η❦(✉) = |✉ − ❦|✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② η′

❦(✉) = s❣♥(✉ − ❦)✿

∂tη❦(✉) + · · · = η′

❦(✉)Lr[❆(✉)] + η′ ❦(✉)Lr[❆(✉)].

✸✳ ❆ ❦❡② ✭❑❛t♦ t②♣❡✮ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✿ s❣♥(✉ − ❦)Lr[❆(✉)] ≤ Lr[|❆(✉) − ❆(❦)|]. Pr♦♦❢✿ ❙✐♠♣❧❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ✰ s❣♥(✉ − ❦)(❆(✉) − ❆(❦)) = |❆(✉) − ❆(❦)| ❍❡♥❝❡ ∂tη❦(✉) + · · · ≤ Lr[|❆(✉) − ❆(❦)|] + η′

❦(✉)Lr[❆(✉)].

✹✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② ✵ ≤ ϕ ∈ ❈ ∞

❝ (◗❚)✱ ✐♥t❡❣r❛t❡✿

  • ◗❚

η❦(✉)ϕt + · · · + |❆(✉) − ❆(❦)|L∗

r [ϕ] + η′ ❦(✉)Lr[❆(✉)]ϕ ❞①❞t ≥ ✵. r ❛❞❥♦✐♥t ♦❢ r❀ ❡q✉❛t✐♦♥ ♠❛❦❡s s❡♥s❡ ❢♦r ✉

t ▲ ▲✶ ✭r ✶✮

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✽ ✴ ✷✶

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SLIDE 38

✶✮ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❦❡② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥

✶✳ ❆ss✉♠❡ ✉ s♠♦♦t❤✿ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] = Lr[❆(✉)] + Lr[❆(✉)]. ✷✳ ▲❡t η❦(✉) = |✉ − ❦|✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② η′

❦(✉) = s❣♥(✉ − ❦)✿

∂tη❦(✉) + · · · = η′

❦(✉)Lr[❆(✉)] + η′ ❦(✉)Lr[❆(✉)].

✸✳ ❆ ❦❡② ✭❑❛t♦ t②♣❡✮ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✿ s❣♥(✉ − ❦)Lr[❆(✉)] ≤ Lr[|❆(✉) − ❆(❦)|]. Pr♦♦❢✿ ❙✐♠♣❧❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ✰ s❣♥(✉ − ❦)(❆(✉) − ❆(❦)) = |❆(✉) − ❆(❦)| ❍❡♥❝❡ ∂tη❦(✉) + · · · ≤ Lr[|❆(✉) − ❆(❦)|] + η′

❦(✉)Lr[❆(✉)].

✹✳ ▼✉❧t✐♣❧② ❜② ✵ ≤ ϕ ∈ ❈ ∞

❝ (◗❚)✱ ✐♥t❡❣r❛t❡✿

  • ◗❚

η❦(✉)ϕt + · · · + |❆(✉) − ❆(❦)|L∗

r [ϕ] + η′ ❦(✉)Lr[❆(✉)]ϕ ❞①❞t ≥ ✵.

L∗

r ❛❞❥♦✐♥t ♦❢ Lr❀ ❡q✉❛t✐♦♥ ♠❛❦❡s s❡♥s❡ ❢♦r ✉(·, t) ∈ ▲∞ ∩ ▲✶ ✭r > ✶✮

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✽ ✴ ✷✶

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SLIDE 39

✶✮ ❚❤❡ ❣♦♦❞ ❡♥tr♦♣② ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❑r✉③❦♦✈ ❡♥tr♦♣✐❡s✿ η❦(✉) = |✉ − ❦| ✴ q❦(✉) = η′

❦(✉)(❢ (✉) − ❢ (❦)).

❲r✐t❡ L[φ] = Lr[φ] + Lr[φ] + ❞✐✈ (❜r φ) ✇❤❡r❡ Lr[φ](①) =

  • ✵<|③|≤r

φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①) ✶|③|≤✶ µ(❞③), Lr[φ](①) =

  • |③|>r

φ(① + ③) − φ(①) µ(❞③), ❛♥❞ ❜r = −

  • |③|>r

③✶|③|≤✶ µ(❞③) ❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ✉ ✐s ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮ ✐❢ ✐✮ ✉ ▲ ◗❚ ❈ ✵ ❚ ▲✶

❞

❀ ✐✐✮ ❢♦r ❛❧❧ ❦ ✱ ❛❧❧ r ✵✱ ❛♥❞ ❛❧❧ t❡st ❢✉♥❝t✐♦♥s ✵ ❈❝ ◗❚ ✱

◗❚ ❦ ✉ t

q❦ ✉ ❜r ❆ ✉ ❆ ❦

r ❦ ✉ r ❆ ✉

✵ ✐✐✐✮ ❧✐♠t

✵ ✉

t ✉✵

▲✶

❞

✵✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✾ ✴ ✷✶

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SLIDE 40

✶✮ ❚❤❡ ❣♦♦❞ ❡♥tr♦♣② ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❑r✉③❦♦✈ ❡♥tr♦♣✐❡s✿ η❦(✉) = |✉ − ❦| ✴ q❦(✉) = η′

❦(✉)(❢ (✉) − ❢ (❦)).

❲r✐t❡ L[φ] = Lr[φ] + Lr[φ] + ❞✐✈ (❜r φ) ✇❤❡r❡ Lr[φ](①) =

  • ✵<|③|≤r

φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①) ✶|③|≤✶ µ(❞③), Lr[φ](①) =

  • |③|>r

φ(① + ③) − φ(①) µ(❞③), ❛♥❞ ❜r = −

  • |③|>r

③✶|③|≤✶ µ(❞③) ❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ✉ ✐s ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮ ✐❢ ✐✮ ✉ ∈ ▲∞(◗❚) ∩ ❈(✵, ❚; ▲✶(R❞))❀ ✐✐✮ ❢♦r ❛❧❧ ❦ ∈ R✱ ❛❧❧ r > ✵✱ ❛♥❞ ❛❧❧ t❡st ❢✉♥❝t✐♦♥s ✵ ≤ ϕ ∈ ❈ ∞

❝ (◗❚)✱

  • ◗❚

η❦(✉)∂tϕ+(q❦(✉)+❜r)·∇ϕ+|❆(✉) − ❆(❦)| L∗

r [ϕ]+η′ ❦(✉) Lr[❆(✉)] ϕ ≥ ✵;

✐✐✐✮ ❧✐♠t→✵ ✉(·, t) − ✉✵(·)▲✶(R❞ ) = ✵✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✾ ✴ ✷✶

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SLIDE 41

✷✮ ▲✶ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss

❚❤❡♦r❡♠✿ ✉ ❛♥❞ ✈ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭❋❉❊✮✿ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] ✐♥ R❞ × (✵, ❚) =: ◗❚. ❚❤❡♥ ❢♦r t ∈ [✵, ❚)✱ ✉(·, t) − ✈(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ ✉(·, ✵) − ✈(·, ✵)▲✶(R❞ ). ❘❡♠❛r❦s✿ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ❢♦❧❧♦✇s✳ ❘❡♠❡♠❜❡r ✉ ▲ ◗❚ ▲ ✵ ❚ ▲✶

❞

✳ ◆♦ ❛ ♣r✐♦r✐ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ❆ ✉ ✦ ❑r✉③❦♦✈ t②♣❡ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♣r♦♦❢✦

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✵ ✴ ✷✶

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SLIDE 42

✷✮ ▲✶ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss

❚❤❡♦r❡♠✿ ✉ ❛♥❞ ✈ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭❋❉❊✮✿ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = L[❆(✉)] ✐♥ R❞ × (✵, ❚) =: ◗❚. ❚❤❡♥ ❢♦r t ∈ [✵, ❚)✱ ✉(·, t) − ✈(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ ✉(·, ✵) − ✈(·, ✵)▲✶(R❞ ). ❘❡♠❛r❦s✿ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ❢♦❧❧♦✇s✳ ❘❡♠❡♠❜❡r ✉ ∈ ▲∞(◗❚) ∩ ▲∞(✵, ❚; ▲✶(R❞))✳ ◆♦ ❛ ♣r✐♦r✐ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ❆(✉)✦ ❑r✉③❦♦✈ t②♣❡ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♣r♦♦❢✦

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✵ ✴ ✷✶

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SLIDE 43

✷✮ ■❞❡❛s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

■❞❡❛ ❢♦r ▲✶✲❡st✐♠❛t❡s✿ ■ := ❞

❞t

  • |(✉ − ✈)(t)|❞① =
  • s❣♥(✉ − ✈)(✉t − ✈t)(t)❞①

❯s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✉t ✈t ✕ ♥♦t ❡❛s②✱ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦ ❑r✉③❦♦✈ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ■ ❧✐♠

✵ ■

✇❤❡r❡ ❢♦r s✉❝❤ t❤❛t

✵✱

■ s❣♥ ✉ ① t ✈ ② s ✉t ① t ✈s ② s ① ② t s ❞①❞② ❇② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ r✐❣♦r♦✉s ♣r♦♦❢✮ ■ s❣♥ ✉ ✈ ❆ ✉ ① t ❆ ✈ ② s ❞①❞② ❆❞❛♣t ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s✿

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s❣♥ ✉ ✈

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❞①

❑❛t♦

❆ ✉ ❆ ✈

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❞① ♦r ✶ s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

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r ❆ ✈

② s ① ②

❑❛t♦

✵ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ❙❡♥❞ r ✵✱ t❤❡♥ ✵ ■ ❧✐♠ ■ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 44

✷✮ ■❞❡❛s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

■❞❡❛ ❢♦r ▲✶✲❡st✐♠❛t❡s✿ ■ := ❞

❞t

  • |(✉ − ✈)(t)|❞① =
  • s❣♥(✉ − ✈)(✉t − ✈t)(t)❞①

❯s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✉t − ✈t ✕ ♥♦t ❡❛s②✱ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦ ❑r✉③❦♦✈ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ■ ❧✐♠

✵ ■

✇❤❡r❡ ❢♦r s✉❝❤ t❤❛t

✵✱

■ s❣♥ ✉ ① t ✈ ② s ✉t ① t ✈s ② s ① ② t s ❞①❞② ❇② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ r✐❣♦r♦✉s ♣r♦♦❢✮ ■ s❣♥ ✉ ✈ ❆ ✉ ① t ❆ ✈ ② s ❞①❞② ❆❞❛♣t ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s✿

r r

s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

❞①

❑❛t♦

❆ ✉ ❆ ✈

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❞① ♦r ✶ s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

① t

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② s ① ②

❑❛t♦

✵ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ❙❡♥❞ r ✵✱ t❤❡♥ ✵ ■ ❧✐♠ ■ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 45

✷✮ ■❞❡❛s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

■❞❡❛ ❢♦r ▲✶✲❡st✐♠❛t❡s✿ ■ := ❞

❞t

  • |(✉ − ✈)(t)|❞① =
  • s❣♥(✉ − ✈)(✉t − ✈t)(t)❞①

❯s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✉t − ✈t ✕ ♥♦t ❡❛s②✱ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦ ❑r✉③❦♦✈ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ■ = ❧✐♠ε,δ→✵ ■ε,δ ✇❤❡r❡ ❢♦r φε, ψδ s✉❝❤ t❤❛t φε, ψδ ⇀ δ✵✱ ■ε,δ :=

  • s❣♥(✉(①, t)−✈(②, s))(✉t(①, t) − ✈s(②, s))φε(①−②)ψδ(t−s)❞①❞②

❇② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ r✐❣♦r♦✉s ♣r♦♦❢✮ ■ s❣♥ ✉ ✈ ❆ ✉ ① t ❆ ✈ ② s ❞①❞② ❆❞❛♣t ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s✿

r r

s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

❞①

❑❛t♦

❆ ✉ ❆ ✈

r

❞① ♦r ✶ s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

① t

r ❆ ✈

② s ① ②

❑❛t♦

✵ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ❙❡♥❞ r ✵✱ t❤❡♥ ✵ ■ ❧✐♠ ■ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 46

✷✮ ■❞❡❛s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

■❞❡❛ ❢♦r ▲✶✲❡st✐♠❛t❡s✿ ■ := ❞

❞t

  • |(✉ − ✈)(t)|❞① =
  • s❣♥(✉ − ✈)(✉t − ✈t)(t)❞①

❯s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✉t − ✈t ✕ ♥♦t ❡❛s②✱ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦ ❑r✉③❦♦✈ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ■ = ❧✐♠ε,δ→✵ ■ε,δ ✇❤❡r❡ ❢♦r φε, ψδ s✉❝❤ t❤❛t φε, ψδ ⇀ δ✵✱ ■ε,δ :=

  • s❣♥(✉(①, t)−✈(②, s))(✉t(①, t) − ✈s(②, s))φε(①−②)ψδ(t−s)❞①❞②

❇② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ r✐❣♦r♦✉s ♣r♦♦❢✮ ■ε,δ ≤

  • s❣♥(✉ − ✈)
  • · · · + L[❆(✉)](①, t) − L[❆(✈)](②, s)
  • φψ ❞①❞②

❆❞❛♣t ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s✿

r r

s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

❞①

❑❛t♦

❆ ✉ ❆ ✈

r

❞① ♦r ✶ s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

① t

r ❆ ✈

② s ① ②

❑❛t♦

✵ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ❙❡♥❞ r ✵✱ t❤❡♥ ✵ ■ ❧✐♠ ■ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 47

✷✮ ■❞❡❛s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

■❞❡❛ ❢♦r ▲✶✲❡st✐♠❛t❡s✿ ■ := ❞

❞t

  • |(✉ − ✈)(t)|❞① =
  • s❣♥(✉ − ✈)(✉t − ✈t)(t)❞①

❯s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✉t − ✈t ✕ ♥♦t ❡❛s②✱ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦ ❑r✉③❦♦✈ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ■ = ❧✐♠ε,δ→✵ ■ε,δ ✇❤❡r❡ ❢♦r φε, ψδ s✉❝❤ t❤❛t φε, ψδ ⇀ δ✵✱ ■ε,δ :=

  • s❣♥(✉(①, t)−✈(②, s))(✉t(①, t) − ✈s(②, s))φε(①−②)ψδ(t−s)❞①❞②

❇② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ r✐❣♦r♦✉s ♣r♦♦❢✮ ■ε,δ ≤

  • s❣♥(✉ − ✈)
  • · · · + L[❆(✉)](①, t) − L[❆(✈)](②, s)
  • φψ ❞①❞②

❆❞❛♣t ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s✿ L = Lr + Lr s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

❞①

❑❛t♦

❆ ✉ ❆ ✈

r

❞① ♦r ✶ s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

① t

r ❆ ✈

② s ① ②

❑❛t♦

✵ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ❙❡♥❞ r ✵✱ t❤❡♥ ✵ ■ ❧✐♠ ■ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 48

✷✮ ■❞❡❛s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

■❞❡❛ ❢♦r ▲✶✲❡st✐♠❛t❡s✿ ■ := ❞

❞t

  • |(✉ − ✈)(t)|❞① =
  • s❣♥(✉ − ✈)(✉t − ✈t)(t)❞①

❯s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✉t − ✈t ✕ ♥♦t ❡❛s②✱ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦ ❑r✉③❦♦✈ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ■ = ❧✐♠ε,δ→✵ ■ε,δ ✇❤❡r❡ ❢♦r φε, ψδ s✉❝❤ t❤❛t φε, ψδ ⇀ δ✵✱ ■ε,δ :=

  • s❣♥(✉(①, t)−✈(②, s))(✉t(①, t) − ✈s(②, s))φε(①−②)ψδ(t−s)❞①❞②

❇② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ r✐❣♦r♦✉s ♣r♦♦❢✮ ■ε,δ ≤

  • s❣♥(✉ − ✈)
  • · · · + L[❆(✉)](①, t) − L[❆(✈)](②, s)
  • φψ ❞①❞②

❆❞❛♣t ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s✿ L = Lr + Lr

  • s❣♥(✉ − ✈)Lr[❆(✉)]φε❞①

❑❛t♦

≤

  • |❆(✉) − ❆(✈)|L∗

r [φε]❞① = ♦r(✶)

s❣♥ ✉ ✈

r ❆ ✉

① t

r ❆ ✈

② s ① ②

❑❛t♦

✵ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ❙❡♥❞ r ✵✱ t❤❡♥ ✵ ■ ❧✐♠ ■ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 49

✷✮ ■❞❡❛s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

■❞❡❛ ❢♦r ▲✶✲❡st✐♠❛t❡s✿ ■ := ❞

❞t

  • |(✉ − ✈)(t)|❞① =
  • s❣♥(✉ − ✈)(✉t − ✈t)(t)❞①

❯s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✉t − ✈t ✕ ♥♦t ❡❛s②✱ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦ ❑r✉③❦♦✈ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ■ = ❧✐♠ε,δ→✵ ■ε,δ ✇❤❡r❡ ❢♦r φε, ψδ s✉❝❤ t❤❛t φε, ψδ ⇀ δ✵✱ ■ε,δ :=

  • s❣♥(✉(①, t)−✈(②, s))(✉t(①, t) − ✈s(②, s))φε(①−②)ψδ(t−s)❞①❞②

❇② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ r✐❣♦r♦✉s ♣r♦♦❢✮ ■ε,δ ≤

  • s❣♥(✉ − ✈)
  • · · · + L[❆(✉)](①, t) − L[❆(✈)](②, s)
  • φψ ❞①❞②

❆❞❛♣t ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s✿ L = Lr + Lr

  • s❣♥(✉ − ✈)Lr[❆(✉)]φε❞①

❑❛t♦

≤

  • |❆(✉) − ❆(✈)|L∗

r [φε]❞① = ♦r(✶)

  • s❣♥(✉ − ✈)
  • Lr[❆(✉)](①, t) − Lr[❆(✈)](②, s)
  • φ(① − ②)

❑❛t♦

≤ . . . ≤ ✵ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ❙❡♥❞ r ✵✱ t❤❡♥ ✵ ■ ❧✐♠ ■ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 50

✷✮ ■❞❡❛s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

■❞❡❛ ❢♦r ▲✶✲❡st✐♠❛t❡s✿ ■ := ❞

❞t

  • |(✉ − ✈)(t)|❞① =
  • s❣♥(✉ − ✈)(✉t − ✈t)(t)❞①

❯s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❡st✐♠❛t❡ ✉t − ✈t ✕ ♥♦t ❡❛s②✱ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦ ❑r✉③❦♦✈ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ■ = ❧✐♠ε,δ→✵ ■ε,δ ✇❤❡r❡ ❢♦r φε, ψδ s✉❝❤ t❤❛t φε, ψδ ⇀ δ✵✱ ■ε,δ :=

  • s❣♥(✉(①, t)−✈(②, s))(✉t(①, t) − ✈s(②, s))φε(①−②)ψδ(t−s)❞①❞②

❇② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ r✐❣♦r♦✉s ♣r♦♦❢✮ ■ε,δ ≤

  • s❣♥(✉ − ✈)
  • · · · + L[❆(✉)](①, t) − L[❆(✈)](②, s)
  • φψ ❞①❞②

❆❞❛♣t ✐❞❡❛s ❢r♦♠ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s✿ L = Lr + Lr

  • s❣♥(✉ − ✈)Lr[❆(✉)]φε❞①

❑❛t♦

≤

  • |❆(✉) − ❆(✈)|L∗

r [φε]❞① = ♦r(✶)

  • s❣♥(✉ − ✈)
  • Lr[❆(✉)](①, t) − Lr[❆(✈)](②, s)
  • φ(① − ②)

❑❛t♦

≤ . . . ≤ ✵ ▲✶✲❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✿ ❙❡♥❞ r → ✵✱ t❤❡♥ ε, δ → ✵ ⇒ ■ = ❧✐♠ ■ε,δ ≤ ✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✶ ✴ ✷✶

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SLIDE 51

✸✮ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡s

▲❡t ✉✵, ✈✵ ∈ ▲✶ ∩ ▲∞ ∩ ❇❱ ❛♥❞ ✉, ✈ ❜❡ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = Lµ[❆(✉)] ❛♥❞ ∂t✈ + ∇ · ❣(✈) = Lν[❇(✈)]. ❚❤❡♦r❡♠✿ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡ ❢♦r ❇❱ ✲s♦❧✉t✐♦♥s✿ ✉ ✈ t

▲✶

❞

✉✵ ✈✵ ▲✶

❞

t ✉✵ ❇❱

❞

❢ ❣

▲

❈ t t✶ ✷ ❆ ❇

▲ ③ ✵ ③ ✷

✶ ❞ ③ ♦r ❈ t ❆ ❇

▲ ③ ✵ ③

✶ ❞ ③

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✷ ✴ ✷✶

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SLIDE 52

✸✮ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡s

▲❡t ✉✵, ✈✵ ∈ ▲✶ ∩ ▲∞ ∩ ❇❱ ❛♥❞ ✉, ✈ ❜❡ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = Lµ[❆(✉)] ❛♥❞ ∂t✈ + ∇ · ❣(✈) = Lν[❇(✈)]. ❚❤❡♦r❡♠✿ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡ ❢♦r ❇❱ ✲s♦❧✉t✐♦♥s✿ (✉ − ✈)(t)▲✶(R❞ ) ≤ ✉✵ − ✈✵▲✶(R❞ ) + t |✉✵|❇❱ (R❞ )❢ ′ − ❣ ′▲∞ +          ❈ t ∨ t✶/✷ ❆′ − ❇′▲∞(R) +

  • |③|>✵ |③|✷ ∧ ✶ ❞|µ − ν|(③)

♦r ❈ t

  • ❆′ − ❇′▲∞(R) +
  • |③|>✵ |③| ∧ ✶ ❞|µ − ν|(③)
  • ❏❛❦♦❜s❡♥

✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✷ ✴ ✷✶

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SLIDE 53

✸✮ ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

❈♦r♦❧❧❛r✐❡s✿

✶ ❆ ≡ ✵ ≡ ❇

⇒ ❙t❛♥❞❛r❞ r❡s✉❧ts ❢♦r ❝♦♥s❡r✈❛t❛✐♦♥ ❧❛✇s✳

✷ ❆(✉) = ✉✱ L s②♠♠❡tr✐❝

⇒ ♥♦♥✲❧♦❝❛❧ ♣❛rt ♦❢ ❬❑❛r❧s❡♥✲❯❧✉s♦② ✶✶❪

✸ ✶❉ ✭s♣❛❝❡✮✿ ❙♦♠❡ r❡s✉❧ts ❢♦r ❍❏❇ ❡q✉❛t✐♦♥s ❬❏❛❦♦❜s❡♥✲❑❛r❧s❡♥ ✵✺❪

❚❤❡ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ✈✐s❝♦s✐t② ♠❡t❤♦❞✿

t✉

❢ ✉ ✵ ❛♥❞

t✈

❣ ✈ ❆ ✈ ❋♦r ✶ ✷ ✱ ❇❱ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✉ ❛♥❞ ✈ s❛t✐s❢② ✉ ✈ t

▲✶

❈❚

✶

Pr♦♦❢✿ ❯s❡ ❛ ♠♦r❡ r❡✜♥❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t✳ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✸ ✴ ✷✶

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SLIDE 54

✸✮ ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

❈♦r♦❧❧❛r✐❡s✿

✶ ❆ ≡ ✵ ≡ ❇

⇒ ❙t❛♥❞❛r❞ r❡s✉❧ts ❢♦r ❝♦♥s❡r✈❛t❛✐♦♥ ❧❛✇s✳

✷ ❆(✉) = ✉✱ L s②♠♠❡tr✐❝

⇒ ♥♦♥✲❧♦❝❛❧ ♣❛rt ♦❢ ❬❑❛r❧s❡♥✲❯❧✉s♦② ✶✶❪

✸ ✶❉ ✭s♣❛❝❡✮✿ ❙♦♠❡ r❡s✉❧ts ❢♦r ❍❏❇ ❡q✉❛t✐♦♥s ❬❏❛❦♦❜s❡♥✲❑❛r❧s❡♥ ✵✺❪

❚❤❡ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ✈✐s❝♦s✐t② ♠❡t❤♦❞✿ ∂t✉ + ∇ · ❢ (✉) = ✵ ❛♥❞ ∂t✈ + ∇ · ❣(✈) = −ε(−∆)❆(✈). ❋♦r α ∈ (✶, ✷)✱ ❇❱ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s ✉ ❛♥❞ ✈ s❛t✐s❢② (✉ − ✈)(t)▲✶ ≤ ❈❚ε

✶ α .

Pr♦♦❢✿ ❯s❡ ❛ ♠♦r❡ r❡✜♥❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t✳ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✸ ✴ ✷✶

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SLIDE 55

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ L

❚❤❡ ▲❡✈② ♦♣❡r❛t♦r✿ L[φ](①) =

  • |③|>✵

φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①)✶|③|<✶ µ(❞③) ❉✐s❝r❡t✐③❡❞ ♦♣❡r❛t♦r✿ ①

③ ✵

① ③ ① ❞③ ❜

①

❉❜ ① ❚r✉♥❝❛t❡❞ ▲❡✈② ♠❡❛s✉r❡✿ ❞③ ✶ ③

①

❞③ ❛♥❞ ❜

① ③ ✵

③ ✶ ③

✶

❞③ ❯♣✇✐♥❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✏❞r✐❢t✑✿ ❜

① ✐❉✐

❜

① ✐❉❜ ✐

❜

① ✐ ① ①❡✐ ① ①

✇❤❡♥ ❜

① ✐

✵

① ① ①❡✐ ①

✇❤❡♥ ❜

① ✐

✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✹ ✴ ✷✶

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SLIDE 56

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ L

❚❤❡ ▲❡✈② ♦♣❡r❛t♦r✿ L[φ](①) =

  • |③|>✵

φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①)✶|③|<✶ µ(❞③) ❉✐s❝r❡t✐③❡❞ ♦♣❡r❛t♦r✿ ˆ L[φ](①) =

  • |③|>✵

φ(① + ③) − φ(①) ˆ µ(❞③) + ❜∆① · ˆ ❉❜φ(①). ❚r✉♥❝❛t❡❞ ▲❡✈② ♠❡❛s✉r❡✿ ❞③ ✶ ③

①

❞③ ❛♥❞ ❜

① ③ ✵

③ ✶ ③

✶

❞③ ❯♣✇✐♥❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✏❞r✐❢t✑✿ ❜

① ✐❉✐

❜

① ✐❉❜ ✐

❜

① ✐ ① ①❡✐ ① ①

✇❤❡♥ ❜

① ✐

✵

① ① ①❡✐ ①

✇❤❡♥ ❜

① ✐

✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✹ ✴ ✷✶

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SLIDE 57

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ L

❚❤❡ ▲❡✈② ♦♣❡r❛t♦r✿ L[φ](①) =

  • |③|>✵

φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①)✶|③|<✶ µ(❞③) ❉✐s❝r❡t✐③❡❞ ♦♣❡r❛t♦r✿ ˆ L[φ](①) =

  • |③|>✵

φ(① + ③) − φ(①) ˆ µ(❞③) + ❜∆① · ˆ ❉❜φ(①). ❚r✉♥❝❛t❡❞ ▲❡✈② ♠❡❛s✉r❡✿ ˆ µ(❞③) = ✶|③|>∆① µ(❞③) ❛♥❞ ❜∆① =

  • |③|>✵

③ ✶|③|<✶ ˆ µ(❞③). ❯♣✇✐♥❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✏❞r✐❢t✑✿ ❜

① ✐❉✐

❜

① ✐❉❜ ✐

❜

① ✐ ① ①❡✐ ① ①

✇❤❡♥ ❜

① ✐

✵

① ① ①❡✐ ①

✇❤❡♥ ❜

① ✐

✵

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✹ ✴ ✷✶

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SLIDE 58

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ L

❚❤❡ ▲❡✈② ♦♣❡r❛t♦r✿ L[φ](①) =

  • |③|>✵

φ(① + ③) − φ(①) − ③ · ❉φ(①)✶|③|<✶ µ(❞③) ❉✐s❝r❡t✐③❡❞ ♦♣❡r❛t♦r✿ ˆ L[φ](①) =

  • |③|>✵

φ(① + ③) − φ(①) ˆ µ(❞③) + ❜∆① · ˆ ❉❜φ(①). ❚r✉♥❝❛t❡❞ ▲❡✈② ♠❡❛s✉r❡✿ ˆ µ(❞③) = ✶|③|>∆① µ(❞③) ❛♥❞ ❜∆① =

  • |③|>✵

③ ✶|③|<✶ ˆ µ(❞③). ❯♣✇✐♥❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✏❞r✐❢t✑✿ ❜∆①,✐❉✐φ ≈ ❜∆①,✐ ˆ ❉❜

✐ φ = ❜∆①,✐

φ(①+∆①❡✐ )−φ(①)

∆①

✇❤❡♥ ❜∆①,✐ ≥ ✵,

φ(①)−φ(①−∆①❡✐ ) ∆①

✇❤❡♥ ❜∆①,✐ < ✵.

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✹ ✴ ✷✶

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SLIDE 59

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

✶ ❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥s ♦❢ s♣❛❝❡✿ ❘α = ①α + ∆① (✵, ✶)❞✱ ①α ∈ ∆① Z❞ ✷ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡

❜② ✳

✸ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡

❢ ❜② ❉ ❋ ① ① ✇❤❡r❡

❉ ✐s t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦♣❡r❛t♦r✱ ❋ ✐s ❛ ♠♦♥♦t♦♥❡✱ ❝♦♥s✐st❡♥t✱ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✢✉①✱ ❡✳❣✳ ▲❛①✲❋r✐❡❞r✐❝❤s ♦r ❊♥❣q✉✐st✲❖s❤❡r✳

✹ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

t✉ ①

❉ ❋ ✉ ① ✉ ① ❆ ✉ ① ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿ ❋✐♥❞ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ ❝♦♥st❛♥t ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❯ ① t

❞

❯ t ✶❘ ① ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✺ ✴ ✷✶

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SLIDE 60

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

✶ ❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥s ♦❢ s♣❛❝❡✿ ❘α = ①α + ∆① (✵, ✶)❞✱ ①α ∈ ∆① Z❞ ✷ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ L[φ] ❜② ˆ

L[φ]✳

✸ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡

❢ ❜② ❉ ❋ ① ① ✇❤❡r❡

❉ ✐s t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦♣❡r❛t♦r✱ ❋ ✐s ❛ ♠♦♥♦t♦♥❡✱ ❝♦♥s✐st❡♥t✱ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✢✉①✱ ❡✳❣✳ ▲❛①✲❋r✐❡❞r✐❝❤s ♦r ❊♥❣q✉✐st✲❖s❤❡r✳

✹ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

t✉ ①

❉ ❋ ✉ ① ✉ ① ❆ ✉ ① ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿ ❋✐♥❞ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ ❝♦♥st❛♥t ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❯ ① t

❞

❯ t ✶❘ ① ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✺ ✴ ✷✶

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SLIDE 61

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

✶ ❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥s ♦❢ s♣❛❝❡✿ ❘α = ①α + ∆① (✵, ✶)❞✱ ①α ∈ ∆① Z❞ ✷ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ L[φ] ❜② ˆ

L[φ]✳

✸ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ∇ · ❢ (φ) ❜② ❉− · ❋(φ(①), φ(① + ·)) ✇❤❡r❡

❉− ✐s t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦♣❡r❛t♦r✱ ❋ ✐s ❛ ♠♦♥♦t♦♥❡✱ ❝♦♥s✐st❡♥t✱ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✢✉①✱ ❡✳❣✳ ▲❛①✲❋r✐❡❞r✐❝❤s ♦r ❊♥❣q✉✐st✲❖s❤❡r✳

✹ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

t✉ ①

❉ ❋ ✉ ① ✉ ① ❆ ✉ ① ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿ ❋✐♥❞ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ ❝♦♥st❛♥t ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❯ ① t

❞

❯ t ✶❘ ① ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✺ ✴ ✷✶

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SLIDE 62

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

✶ ❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥s ♦❢ s♣❛❝❡✿ ❘α = ①α + ∆① (✵, ✶)❞✱ ①α ∈ ∆① Z❞ ✷ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ L[φ] ❜② ˆ

L[φ]✳

✸ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ∇ · ❢ (φ) ❜② ❉− · ❋(φ(①), φ(① + ·)) ✇❤❡r❡

❉− ✐s t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦♣❡r❛t♦r✱ ❋ ✐s ❛ ♠♦♥♦t♦♥❡✱ ❝♦♥s✐st❡♥t✱ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✢✉①✱ ❡✳❣✳ ▲❛①✲❋r✐❡❞r✐❝❤s ♦r ❊♥❣q✉✐st✲❖s❤❡r✳

✹ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

∂t✉(①) + ❉− · ❋(✉(①), ✉(① + ·)) = ˆ L[❆(✉)](①). ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿ ❋✐♥❞ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ ❝♦♥st❛♥t ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❯ ① t

❞

❯ t ✶❘ ① ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✺ ✴ ✷✶

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SLIDE 63

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✕ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

✶ ❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥s ♦❢ s♣❛❝❡✿ ❘α = ①α + ∆① (✵, ✶)❞✱ ①α ∈ ∆① Z❞ ✷ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ L[φ] ❜② ˆ

L[φ]✳

✸ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ∇ · ❢ (φ) ❜② ❉− · ❋(φ(①), φ(① + ·)) ✇❤❡r❡

❉− ✐s t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦♣❡r❛t♦r✱ ❋ ✐s ❛ ♠♦♥♦t♦♥❡✱ ❝♦♥s✐st❡♥t✱ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✢✉①✱ ❡✳❣✳ ▲❛①✲❋r✐❡❞r✐❝❤s ♦r ❊♥❣q✉✐st✲❖s❤❡r✳

✹ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿

∂t✉(①) + ❉− · ❋(✉(①), ✉(① + ·)) = ˆ L[❆(✉)](①). ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿ ❋✐♥❞ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ ❝♦♥st❛♥t ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❯(①, t) =

  • β∈Z❞

❯β(t) ✶❘β(①), ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✺ ✴ ✷✶

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SLIDE 64

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ✭❋❉❊✮

❙❡♠✐❞✐s❝r❡t❡ s❝❤❡♠❡✿        ∂t❯α = −(❉− · ❋)(❯α, ❯α+·) +

  • β=✵

❆(❯β) ˆ Lα

β,

❯α(✵) = ✶ ∆①

  • ❘α

✉✵(①) ❞①, ✇❤❡r❡ ˆ Lα

β =

✶ ∆①❞

  • ❘α

ˆ L[✶❘β](①)❞①. ❋✉❧❧② ❞✐s❝r❡t❡ s❝❤❡♠❡✿ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♠♣❧✐❝✐t ❛♥❞ ❡①♣❧✐❝✐t t✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥s✳ ❘❡♠❛r❦s✿ ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✿ ▼♦♥♦t♦♥❡ ✭❈❋▲✮✱ ❝♦♥s✐st❡♥t✱ ❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞s ❚❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ ❛♥② ❝♦♥✈❡r❣✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ❯

① ① ✵ ✐s ❛♥ ❡♥tr♦♣②

s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮ ✭❝❡❧❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✻ ✴ ✷✶

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SLIDE 65

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ✭❋❉❊✮

❙❡♠✐❞✐s❝r❡t❡ s❝❤❡♠❡✿        ∂t❯α = −(❉− · ❋)(❯α, ❯α+·) +

  • β=✵

❆(❯β) ˆ Lα

β,

❯α(✵) = ✶ ∆①

  • ❘α

✉✵(①) ❞①, ✇❤❡r❡ ˆ Lα

β =

✶ ∆①❞

  • ❘α

ˆ L[✶❘β](①)❞①. ❋✉❧❧② ❞✐s❝r❡t❡ s❝❤❡♠❡✿ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♠♣❧✐❝✐t ❛♥❞ ❡①♣❧✐❝✐t t✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥s✳ ❘❡♠❛r❦s✿ ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✿ ▼♦♥♦t♦♥❡ ✭❈❋▲✮✱ ❝♦♥s✐st❡♥t✱ ❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞s ❚❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ ❛♥② ❝♦♥✈❡r❣✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ❯

① ① ✵ ✐s ❛♥ ❡♥tr♦♣②

s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮ ✭❝❡❧❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✻ ✴ ✷✶

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SLIDE 66

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ✭❋❉❊✮

❙❡♠✐❞✐s❝r❡t❡ s❝❤❡♠❡✿        ∂t❯α = −(❉− · ❋)(❯α, ❯α+·) +

  • β=✵

❆(❯β) ˆ Lα

β,

❯α(✵) = ✶ ∆①

  • ❘α

✉✵(①) ❞①, ✇❤❡r❡ ˆ Lα

β =

✶ ∆①❞

  • ❘α

ˆ L[✶❘β](①)❞①. ❋✉❧❧② ❞✐s❝r❡t❡ s❝❤❡♠❡✿ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♠♣❧✐❝✐t ❛♥❞ ❡①♣❧✐❝✐t t✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥s✳ ❘❡♠❛r❦s✿ ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✿ ▼♦♥♦t♦♥❡ ✭❈❋▲✮✱ ❝♦♥s✐st❡♥t✱ ❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞s ❚❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ ❛♥② ❝♦♥✈❡r❣✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ {❯∆①}∆①>✵ ✐s ❛♥ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮ ✭❝❡❧❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✻ ✴ ✷✶

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SLIDE 67

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ✕ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✶✮ ❆ ♣r✐♦r✐ ❡st✐♠❛t❡s ♦♥ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✿

✐✮ ❯∆①(·, t)▲∞(R❞ ) ≤ ✉✵▲∞(R❞ )✱ ✐✐✮ ❯∆①(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ ✉✵▲✶(R❞ )✱ ✐✐✐✮ |❯∆①(·, t)|❇❱ (R❞ ) ≤ |✉✵|❇❱ (R❞ )✱ ✐✈✮ ❯∆①(·, s) − ❯∆①(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ σ(|s − t| + ∆t)✱

✇❤❡r❡ σ s❛♠❡ ♠♦❞✉❧✉s ❛s ❢♦r ✭❋❉❊✮✳ ✷✮ ❈♦♠♣❛❝t♥❡ss ❛r❣✉♠❡♥t✿ ❍❡❧❧②✴❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s✉❜s❡q✉❡♥❝❡ ❯

① ✳

✸✮ ■❞❡♥t✐❢② ❧✐♠✐t✿ Pr❡✈✳ s❧✐❞❡✿ ❚❤❡ ❧✐♠✐t ✐s ❛♥ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✳ ✹✮ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ✭❋❉❊✮✿ ❚❤❡ ✇❤♦❧❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❯

①

❝♦♥✈❡r❣❡✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✼ ✴ ✷✶

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SLIDE 68

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ✕ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✶✮ ❆ ♣r✐♦r✐ ❡st✐♠❛t❡s ♦♥ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✿

✐✮ ❯∆①(·, t)▲∞(R❞ ) ≤ ✉✵▲∞(R❞ )✱ ✐✐✮ ❯∆①(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ ✉✵▲✶(R❞ )✱ ✐✐✐✮ |❯∆①(·, t)|❇❱ (R❞ ) ≤ |✉✵|❇❱ (R❞ )✱ ✐✈✮ ❯∆①(·, s) − ❯∆①(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ σ(|s − t| + ∆t)✱

✇❤❡r❡ σ s❛♠❡ ♠♦❞✉❧✉s ❛s ❢♦r ✭❋❉❊✮✳ ✷✮ ❈♦♠♣❛❝t♥❡ss ❛r❣✉♠❡♥t✿ ❍❡❧❧②✴❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s✉❜s❡q✉❡♥❝❡ {❯∆①}✳ ✸✮ ■❞❡♥t✐❢② ❧✐♠✐t✿ Pr❡✈✳ s❧✐❞❡✿ ❚❤❡ ❧✐♠✐t ✐s ❛♥ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✳ ✹✮ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ✭❋❉❊✮✿ ❚❤❡ ✇❤♦❧❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❯

①

❝♦♥✈❡r❣❡✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✼ ✴ ✷✶

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SLIDE 69

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ✕ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✶✮ ❆ ♣r✐♦r✐ ❡st✐♠❛t❡s ♦♥ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✿

✐✮ ❯∆①(·, t)▲∞(R❞ ) ≤ ✉✵▲∞(R❞ )✱ ✐✐✮ ❯∆①(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ ✉✵▲✶(R❞ )✱ ✐✐✐✮ |❯∆①(·, t)|❇❱ (R❞ ) ≤ |✉✵|❇❱ (R❞ )✱ ✐✈✮ ❯∆①(·, s) − ❯∆①(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ σ(|s − t| + ∆t)✱

✇❤❡r❡ σ s❛♠❡ ♠♦❞✉❧✉s ❛s ❢♦r ✭❋❉❊✮✳ ✷✮ ❈♦♠♣❛❝t♥❡ss ❛r❣✉♠❡♥t✿ ❍❡❧❧②✴❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s✉❜s❡q✉❡♥❝❡ {❯∆①}✳ ✸✮ ■❞❡♥t✐❢② ❧✐♠✐t✿ Pr❡✈✳ s❧✐❞❡✿ ❚❤❡ ❧✐♠✐t ✐s ❛♥ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✳ ✹✮ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ✭❋❉❊✮✿ ❚❤❡ ✇❤♦❧❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❯

①

❝♦♥✈❡r❣❡✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✼ ✴ ✷✶

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SLIDE 70

✹✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ✕ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✶✮ ❆ ♣r✐♦r✐ ❡st✐♠❛t❡s ♦♥ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✿

✐✮ ❯∆①(·, t)▲∞(R❞ ) ≤ ✉✵▲∞(R❞ )✱ ✐✐✮ ❯∆①(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ ✉✵▲✶(R❞ )✱ ✐✐✐✮ |❯∆①(·, t)|❇❱ (R❞ ) ≤ |✉✵|❇❱ (R❞ )✱ ✐✈✮ ❯∆①(·, s) − ❯∆①(·, t)▲✶(R❞ ) ≤ σ(|s − t| + ∆t)✱

✇❤❡r❡ σ s❛♠❡ ♠♦❞✉❧✉s ❛s ❢♦r ✭❋❉❊✮✳ ✷✮ ❈♦♠♣❛❝t♥❡ss ❛r❣✉♠❡♥t✿ ❍❡❧❧②✴❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s✉❜s❡q✉❡♥❝❡ {❯∆①}✳ ✸✮ ■❞❡♥t✐❢② ❧✐♠✐t✿ Pr❡✈✳ s❧✐❞❡✿ ❚❤❡ ❧✐♠✐t ✐s ❛♥ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✳ ✹✮ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ✭❋❉❊✮✿ ❚❤❡ ✇❤♦❧❡ s❡q✉❡♥❝❡ {❯∆①} ❝♦♥✈❡r❣❡✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✼ ✴ ✷✶

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SLIDE 71

✺✮ ❊①✐st❡♥❝❡

❈♦r♦❧❧❛r② t♦ ❝♦♠♣❛❝t♥❡ss ❛♥❞ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s❝❤❡♠❡✳ ❊①✐st❡♥❝❡ ✐♥ ❇❱ ∩ ▲✶ ∩ ▲∞✿ ❚❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ♦♥ t❤❡ ♣r❡✈✳ s❧✐❞❡✳ ❊①✐st❡♥❝❡ ✐♥ ▲✶ ▲ ✿ ✶✳ ❚❛❦❡ ✉✵

✵ s✉❝❤ t❤❛t ❇❱

▲✶ ▲ ✉✵ ✉✵ ✐♥ ▲✶✳ ✷✳ ▲❡t ✉ ❇❱ ❜❡ s♦❧✬♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮ s✳t✳ ✉ ① ✵ ✉✵ ① ✳ ✸✳ ✉

✶

✉

✷

▲✶

✉

✶

✵

✉

✷

✵ ▲✶

✉

✵ ❈❛✉❝❤② ✐♥ ▲✶✳

✹✳ ❚❤❡ ❧✐♠✐t ✐s ❛♥ ❡♥ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✽ ✴ ✷✶

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SLIDE 72

✺✮ ❊①✐st❡♥❝❡

❈♦r♦❧❧❛r② t♦ ❝♦♠♣❛❝t♥❡ss ❛♥❞ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s❝❤❡♠❡✳ ❊①✐st❡♥❝❡ ✐♥ ❇❱ ∩ ▲✶ ∩ ▲∞✿ ❚❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ♦♥ t❤❡ ♣r❡✈✳ s❧✐❞❡✳ ❊①✐st❡♥❝❡ ✐♥ ▲✶ ∩ ▲∞✿ ✶✳ ❚❛❦❡ {✉ε

✵}ε>✵ s✉❝❤ t❤❛t ❇❱ ∩ ▲✶ ∩ ▲∞ ∋ ✉ε ✵ → ✉✵ ✐♥ ▲✶✳

✷✳ ▲❡t ✉ε ∈ ❇❱ ❜❡ s♦❧✬♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮ s✳t✳ ✉ε(①, ✵) = ✉ε

✵(①)✳

✸✳ ✉ε✶ − ✉ε✷▲✶ ≤ ✉ε✶

✵ − ✉ε✷ ✵ ▲✶ ⇒ {✉ε}ε>✵ ❈❛✉❝❤② ✐♥ ▲✶✳

✹✳ ❚❤❡ ❧✐♠✐t ✐s ❛♥ ❡♥ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✽ ✴ ✷✶

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SLIDE 73

✻✮ ❊rr♦r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞

❲❤❡♥ L = −(−∆)α/✷✱ ✉ ❇❱ ❡♥tr♦♣② s♦❧✬♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✱ ❛♥❞ ❯ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠❡t❤♦❞✿ (✉ − ❯)(t)▲✶ ≤ ❈    ∆①

✶ ✷

α ∈ (✵, ✶), ∆①

✶ ✷ ❧♦❣(∆①)

α = ✶, ∆①

✷−α ✷

α ∈ (✶, ✷). ❘❡♠❛r❦s✿ ❙♠♦♦t❤ s♦❧✉t✐♦♥s ① ❈ ①✷ ❢♦r ✶ ✕ s❧♦✇ ♠❡t❤♦❞ ♥❡❛r ✷✦ ❲♦rs❡ r❛t❡s ❢♦r ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡s ✭❝❡❧❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐♠♣❧✐❝✐t✦✮ ❑✉③♥❡ts♦✈ t②♣❡ r❡s✉❧ts ❛♥❞ ♣r♦♦❢

  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r② ❢♦r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ♦r❞❡r ✐♥ ✵ ✷

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✾ ✴ ✷✶

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SLIDE 74

✻✮ ❊rr♦r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞

❲❤❡♥ L = −(−∆)α/✷✱ ✉ ❇❱ ❡♥tr♦♣② s♦❧✬♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✱ ❛♥❞ ❯ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠❡t❤♦❞✿ (✉ − ❯)(t)▲✶ ≤ ❈    ∆①

✶ ✷

α ∈ (✵, ✶), ∆①

✶ ✷ ❧♦❣(∆①)

α = ✶, ∆①

✷−α ✷

α ∈ (✶, ✷). ❘❡♠❛r❦s✿ ❙♠♦♦t❤ s♦❧✉t✐♦♥s → σ(∆①) = ❈∆①✷−α ❢♦r α > ✶ ✕ s❧♦✇ ♠❡t❤♦❞ ♥❡❛r α = ✷✦ ❲♦rs❡ r❛t❡s ❢♦r ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡s ✭❝❡❧❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐♠♣❧✐❝✐t✦✮ ❑✉③♥❡ts♦✈ t②♣❡ r❡s✉❧ts ❛♥❞ ♣r♦♦❢

  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r② ❢♦r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ♦r❞❡r ✐♥ ✵ ✷

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✾ ✴ ✷✶

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SLIDE 75

✻✮ ❊rr♦r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞

❲❤❡♥ L = −(−∆)α/✷✱ ✉ ❇❱ ❡♥tr♦♣② s♦❧✬♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✱ ❛♥❞ ❯ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠❡t❤♦❞✿ (✉ − ❯)(t)▲✶ ≤ ❈    ∆①

✶ ✷

α ∈ (✵, ✶), ∆①

✶ ✷ ❧♦❣(∆①)

α = ✶, ∆①

✷−α ✷

α ∈ (✶, ✷). ❘❡♠❛r❦s✿ ❙♠♦♦t❤ s♦❧✉t✐♦♥s → σ(∆①) = ❈∆①✷−α ❢♦r α > ✶ ✕ s❧♦✇ ♠❡t❤♦❞ ♥❡❛r α = ✷✦ ❲♦rs❡ r❛t❡s ❢♦r ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡s ✭❝❡❧❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐♠♣❧✐❝✐t✦✮ ❑✉③♥❡ts♦✈ t②♣❡ r❡s✉❧ts ❛♥❞ ♣r♦♦❢

  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r② ❢♦r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ♦r❞❡r ✐♥ ✵ ✷

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✾ ✴ ✷✶

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SLIDE 76

✻✮ ❊rr♦r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞

❲❤❡♥ L = −(−∆)α/✷✱ ✉ ❇❱ ❡♥tr♦♣② s♦❧✬♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✱ ❛♥❞ ❯ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠❡t❤♦❞✿ (✉ − ❯)(t)▲✶ ≤ ❈    ∆①

✶ ✷

α ∈ (✵, ✶), ∆①

✶ ✷ ❧♦❣(∆①)

α = ✶, ∆①

✷−α ✷

α ∈ (✶, ✷). ❘❡♠❛r❦s✿ ❙♠♦♦t❤ s♦❧✉t✐♦♥s → σ(∆①) = ❈∆①✷−α ❢♦r α > ✶ ✕ s❧♦✇ ♠❡t❤♦❞ ♥❡❛r α = ✷✦ ❲♦rs❡ r❛t❡s ❢♦r ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡s ✭❝❡❧❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐♠♣❧✐❝✐t✦✮ ❑✉③♥❡ts♦✈ t②♣❡ r❡s✉❧ts ❛♥❞ ♣r♦♦❢

  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r② ❢♦r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ♦r❞❡r ✐♥ ✵ ✷

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✾ ✴ ✷✶

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SLIDE 77

✻✮ ❊rr♦r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞

❲❤❡♥ L = −(−∆)α/✷✱ ✉ ❇❱ ❡♥tr♦♣② s♦❧✬♥ ♦❢ ✭❋❉❊✮✱ ❛♥❞ ❯ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠❡t❤♦❞✿ (✉ − ❯)(t)▲✶ ≤ ❈    ∆①

✶ ✷

α ∈ (✵, ✶), ∆①

✶ ✷ ❧♦❣(∆①)

α = ✶, ∆①

✷−α ✷

α ∈ (✶, ✷). ❘❡♠❛r❦s✿ ❙♠♦♦t❤ s♦❧✉t✐♦♥s → σ(∆①) = ❈∆①✷−α ❢♦r α > ✶ ✕ s❧♦✇ ♠❡t❤♦❞ ♥❡❛r α = ✷✦ ❲♦rs❡ r❛t❡s ❢♦r ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡s ✭❝❡❧❧ ❡♥tr♦♣② ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐♠♣❧✐❝✐t✦✮ ❑✉③♥❡ts♦✈ t②♣❡ r❡s✉❧ts ❛♥❞ ♣r♦♦❢

  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r② ❢♦r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ♦r❞❡r ✐♥ [✵, ✷)

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✶✾ ✴ ✷✶

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SLIDE 78

✻✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞s ✕ s♦♠❡ ❤✐st♦r②

■♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❢❡✇ ❛♥❞ ♦♥❧② r❡❝❡♥t r❡s✉❧ts✳ ❘❡s✉❧ts✴s❝❤❡♠❡s t❤❛t ❝❛♥ ❤❛♥❞❧❡ ♥♦♥✲s♠♦♦t❤ ❡♥tr♦♣② s♦❧✉t✐♦♥s✿

✶ ❉❡❞♥❡r ❛♥❞ ❘❤♦❞❡ ✷✵✵✹✳ ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ s❝❤❡♠❡ ❢♦r r❛❞✐❛t✐♦♥

❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✏α = ✵✑✮✳

✷ ❉r♦♥✐♦✉ ✷✵✶✵✳ ❋✐♥✐t❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ s❝❤❡♠❡s ❢♦r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥

❧❛✇s✳

✸ ❈✐❢❛♥✐✱ ❏❛❦♦❜s❡♥✱ ❛♥❞ ❑❛r❧s❡♥ ✷✵✶✶✳ ❉✐s❝♦♥t✐♥✉♦✉s ●❛❧❡r❦✐♥ ♠❡t❤♦❞

❢♦r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✭α < ✶✮✳

✹ ❈✐❢❛♥✐ ❛♥❞ ❏❛❦♦❜s❡♥✱ t♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ▼❈❖▼P✳ ❙♣❡❝tr❛❧ ✈❛♥✐s❤✐♥❣

✈✐s❝♦s✐t② ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ❢♦r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✳

✺ ❈✐❢❛♥✐ ❛♥❞ ❏❛❦♦❜s❡♥✱ s✉❜♠✐tt❡❞✳ ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ t②♣❡ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r

❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ s❝❤❡♠❡s✱ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❡s✉❧ts✱ ❛♥❞ ❡①❝❡♣t ❢♦r ❉r♦♥✐♦✉✱ ❛❧s♦ ❡rr♦r ❡st✐♠❛t❡s✳

❏❛❦♦❜s❡♥ ✭◆❚◆❯✮ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ t②♣❡ ❍❨P✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✻✳✻✳✷✵✶✷ ✷✵ ✴ ✷✶

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SLIDE 79

P✉❜❧✐❝❛t✐♦♥s✿

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