Polynomials and Grbner Bases Alice Feldmann 16th December - - PowerPoint PPT Presentation

ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡

Alice ¡Feldmann ¡ 16th ¡December ¡2014 ¡

ETH ¡Zürich ¡ Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡

• Prof. ¡K. ¡Fukuda ¡

Autumn ¡Semester ¡2014 ¡

ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Talk ¡Outline ¡

I. Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ II. Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡

a. Algebraic ¡Background ¡ b. Gröbner ¡Bases ¡ c. Buchberger‘s ¡Algorithm ¡

III. Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡

a. Singular ¡ b. CoCoA ¡ c. Gfan ¡

IV. Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ V. References ¡

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Introduc9on: ¡Computa9onal ¡Algebra ¡

Tackling ¡problems ¡with ¡algebraic ¡methods ¡using ¡the ¡computer... ¡ For ¡example... ¡ I. Solving ¡inhomogeneous ¡Systems ¡of ¡Linear ¡Equa9ons ¡ Everybody ¡knows ¡the ¡Gauss ¡algorithm ¡for ¡solving ¡systems ¡of ¡linear ¡equa:ons! ¡ Use ¡matrices ¡as ¡algebraic ¡tool ¡and ¡an ¡appropriate ¡so<ware ¡(for ¡example ¡MATLAB) ¡ ¡ to ¡analyse ¡whether ¡there ¡exists ¡a ¡unique ¡solu:on ¡for ¡an ¡inhomogeneous ¡system ¡ (which ¡happens ¡if ¡and ¡only ¡if ¡det(M)≠0). ¡ ¡ II. Gröbner ¡Bases ¡ ¡... ¡provide ¡solu:ons ¡to ¡basic ¡problems ¡in ¡ring ¡theory, ¡for ¡example: ¡ ¡“Let ¡R ¡be ¡a ¡ring ¡and ¡I ¡ ¡be ¡an ¡ideal ¡in ¡R ¡. ¡Given ¡r ∊ R ¡, ¡is ¡r ∊ ¡ ¡I ¡?“ ¡ ¡ ¡ ¡Membership ¡Problem ¡ ¡... ¡provide ¡an ¡approach ¡for ¡solving ¡systems ¡of ¡non-­‑linear ¡equa:ons ¡ ¡(reduc:on ¡of ¡number ¡of ¡variables) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Algebraic ¡Background ¡

Let‘s ¡remember ¡some ¡basic ¡algebraic ¡defini:ons ¡and ¡concepts... ¡ I. ¡ ¡ ¡Monomial ¡over ¡a ¡collec:on ¡of ¡variables ¡ ¡ II. ¡Total ¡degree ¡of ¡a ¡monomial ¡ III. ¡Term: ¡product ¡of ¡nonzero ¡element ¡c ¡of ¡a ¡field ¡F ¡and ¡a ¡monomial. ¡ IV. ¡Polynomial ¡p in ¡n ¡variables: ¡sum ¡of ¡a ¡finite ¡number ¡of ¡terms ¡with ¡coefficients ¡in ¡F ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡

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• V. ¡

¡ ¡Polynomial ¡Ring: ¡set ¡of ¡all ¡polynomials ¡in ¡n ¡variables ¡with ¡coefficients ¡in ¡F

• VI. ¡ ¡ ¡Field ¡of ¡Ra9onal ¡Func9ons: ¡
• VII. ¡ ¡ ¡Ideal: ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡non-­‑empty ¡subset ¡of ¡field ¡F, ¡such ¡that ¡ a. ¡ ¡ ¡for ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ b. For ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡an ¡arbitrary ¡polynomial ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

• VIII. ¡ ¡Ideal ¡generated ¡by ¡polynomials ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Remark: ¡ ¡ ¡is ¡the ¡smallest ¡ideal, ¡which ¡contains ¡ ¡

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Example ¡

Consider ¡the ¡polynomials: ¡ ¡ Observe: ¡ Conclude: ¡ ¡ ¡

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Remarks ¡

I. ¡Hilbert ¡Basis ¡Theorem ¡ ¡ ¡Every ¡ideal ¡I ¡ ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡has ¡a ¡finite ¡genera:ng ¡set. ¡ ¡ ¡This ¡means, ¡for ¡any ¡given ¡ideal ¡I ¡, ¡there ¡exists ¡a ¡finite ¡set ¡of ¡polynomials ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡such ¡that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ II. ¡Division ¡Algorithm ¡in ¡ ¡ ¡ ¡Given ¡two ¡polynomials ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡we ¡can ¡divide ¡f ¡ ¡by ¡g, ¡producing ¡a ¡unique ¡ ¡ ¡quo:ent ¡q ¡and ¡remainder ¡r ¡such ¡that ¡ ¡ ¡and ¡it ¡is ¡either ¡r = 0 ¡, ¡or ¡r ¡has ¡degree ¡strictly ¡smaller ¡than ¡the ¡degree ¡of ¡g. If ¡there ¡exists ¡a ¡division ¡algorithm ¡for ¡polynomials ¡in ¡just ¡one ¡variable, ¡is ¡ ¡ ¡ ¡there ¡one ¡for ¡polynomials ¡in ¡many ¡variables? ¡

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Monomial ¡Orders ¡

Formal ¡defini9on: ¡ A ¡monomial ¡order ¡on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡any ¡rela:on ¡> ¡on ¡the ¡set ¡of ¡monomials ¡ ¡ in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡sa:sfying: ¡ I. > ¡is ¡a ¡total ¡(linear) ¡ordering ¡rela:on. ¡ II. > ¡is ¡compa4ble ¡with ¡mul4plica4on ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ III. > ¡is ¡a ¡well-­‑ordering, ¡i.e. ¡every ¡non-­‑empty ¡collec:on ¡of ¡monomials ¡has ¡a ¡smallest ¡ element ¡under ¡>. ¡ ¡ Examples: ¡ I. ¡Lexicographic ¡Order ¡ II. ¡Graded ¡Reverse ¡Lexicographic ¡Order ¡

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Examples ¡

I. ¡Lexicographic ¡Order ¡ ¡ ¡Let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡be ¡monomials ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡We ¡say ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡if ¡in ¡the ¡difference ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡le<-­‑most ¡nonzero ¡entry ¡is ¡posi:ve. ¡

¡Example ¡I: ¡For ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡we ¡have ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡because ¡the ¡le<-­‑most ¡entry ¡of ¡the ¡ difference ¡vector ¡must ¡be ¡posi:ve: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ ¡Example ¡II: ¡We ¡have ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡because ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ ¡

II. ¡Graded ¡Reverse ¡Lexicographic ¡Order ¡ ¡ ¡Let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡be ¡monomials ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡We ¡say ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡if ¡either ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡or ¡in ¡case ¡the ¡sums ¡are ¡equal, ¡the ¡right-­‑most ¡entry ¡is ¡ ¡ ¡ ¡nega:ve ¡in ¡the ¡difference ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡

¡Example ¡I: ¡We ¡have ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡because ¡the ¡of ¡the ¡total ¡degrees. ¡ ¡ ¡ ¡Example ¡II: ¡We ¡have ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡because ¡the ¡right-­‑most ¡entry ¡of ¡the ¡difference ¡ vector ¡must ¡be ¡nega:ve: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ ¡

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Leading ¡Term ¡of ¡a ¡Polynomial ¡

Let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡be ¡a ¡polynomial ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡Fix ¡any ¡monomial ¡order ¡>. ¡ ¡ The ¡leading ¡term ¡of ¡f ¡with ¡respect ¡to ¡> ¡is ¡the ¡product ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡where ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡largest ¡ monomial ¡appearing ¡in ¡in ¡the ¡ordering ¡>. ¡Denote ¡the ¡leading ¡term ¡by ¡ ¡. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡Example: ¡Consider ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ ¡For ¡the ¡lexicographic ¡order, ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ ¡However, ¡for ¡the ¡Graded ¡Reverse ¡Lexicographic ¡Order, ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ ¡ ¡

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Division ¡Algorithm ¡in ¡ ¡

Fix ¡any ¡monomial ¡order ¡> ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡be ¡an ¡ordered ¡ s-­‑tuple ¡of ¡polynomials ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡Then ¡every ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡can ¡be ¡ wriien ¡as ¡ where ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡and ¡either ¡r = 0 ¡, ¡or ¡r ¡is ¡a ¡linear ¡combina:on ¡of ¡ monomials, ¡of ¡which ¡none ¡is ¡divisible ¡by ¡any ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡

Remarks: ¡ I. ¡r ¡ ¡is ¡called ¡the ¡remainder ¡of ¡f ¡ ¡on ¡division ¡by ¡F ¡and ¡is ¡some:mes ¡denoted ¡by ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ II. The ¡division ¡algorithm ¡allows ¡to ¡divide ¡f ¡ ¡by ¡an ¡s-­‑tuple ¡of ¡polynomials. ¡ III. The ¡outcome ¡of ¡the ¡division ¡depends ¡on ¡the ¡choice ¡of ¡the ¡monomial ¡order. ¡ ¡

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Gröbner ¡Bases ¡

Mo9va9on ¡

By ¡applying ¡the ¡division ¡algorithm, ¡one ¡can ¡decide ¡whether ¡a ¡given ¡ is ¡a ¡member ¡of ¡a ¡given ¡ideal ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ If ¡the ¡remainder ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡ ¡f ¡ ¡on ¡division ¡by ¡F ¡is ¡zero, ¡then ¡we ¡have ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡and ¡by ¡defini:on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ Recall ¡on ¡of ¡our ¡previous ¡examples, ¡where ¡we ¡defined ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ We ¡have ¡already ¡showed, ¡that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡ but ¡if ¡we ¡divide ¡ ¡p ¡by ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡our ¡division ¡algorithm, ¡we ¡obtain ¡a ¡nonzero ¡ remainder: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡The ¡reason ¡is ¡that ¡none ¡of ¡the ¡leading ¡terms ¡of ¡

• r ¡ ¡ ¡ ¡ ¡divides ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡leading ¡term ¡of ¡ ¡p. ¡ ¡ ¡ ¡

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Defini9on ¡

Fix ¡a ¡monomial ¡order ¡> ¡on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡be ¡an ¡ideal. ¡ ¡ A ¡Gröbner ¡Basis ¡for ¡I ¡ ¡(with ¡respect ¡to ¡>) ¡is ¡a ¡finite ¡collec:on ¡of ¡polynomials ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡the ¡property ¡that ¡for ¡every ¡nonzero ¡polynomial ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡divisible ¡by ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡some ¡i. A ¡Gröbner ¡Basis ¡G ¡for ¡an ¡ideal ¡I ¡ ¡is ¡called ¡ ¡

• ¡reduced, ¡if ¡for ¡all ¡dis:nct

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡no ¡monomial ¡appearing ¡in ¡is ¡a ¡mul:ple ¡of ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ ¡

• ¡monic, ¡if ¡it ¡is ¡reduced ¡and ¡if ¡the ¡leading ¡coefficient ¡of ¡all ¡polynomials ¡is ¡1. ¡

Remarks ¡ I. A ¡Gröbner ¡Basis ¡G ¡is ¡indeed ¡a ¡basis ¡for ¡I , ¡i.e. ¡ ¡ II. Let ¡ ¡G ¡be ¡a ¡Gröbner ¡Basis ¡for ¡I ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡then ¡the ¡remainder ¡of ¡ ¡f ¡divided ¡by ¡ ¡G is ¡ zero, ¡i.e. ¡ ¡

• III. The ¡remainder ¡obtained ¡through ¡division ¡by ¡polynomials ¡of ¡a ¡Gröbner ¡Basis ¡for ¡an ¡

ideal ¡is ¡unique. ¡ ¡

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Buchberger‘s ¡Algorithm ¡

Mo9va9on ¡ Takes ¡an ¡arbitrary ¡genera:ng ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡an ¡ideal ¡I ¡ ¡and ¡produces ¡a ¡Gröbner ¡ Basis ¡G ¡ ¡for ¡I ¡ ¡from ¡it. ¡ ¡ ¡ How ¡does ¡it ¡work? ¡ Let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡be ¡nonzero ¡polynomials ¡. ¡Fix ¡a ¡monomial ¡order ¡and ¡let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡, ¡where ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Furthermore, ¡define ¡ ¡ ¡ ¡ ¡as ¡the ¡least ¡common ¡mul:ple ¡of ¡the ¡leading ¡terms. ¡ Now ¡define ¡the ¡S-­‑polynomial ¡of ¡f ¡ ¡and ¡g ¡ ¡as: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(Observe:

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡) ¡

Apply ¡Buchberger‘s ¡Criterion: ¡ A ¡finite ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡a ¡Gröbner ¡Basis ¡of ¡I ¡if ¡and ¡only ¡if ¡ ¡ for ¡all ¡pairs ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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Buchberger‘s ¡Algorithm ¡

Input: ¡ ¡ ¡ Output: ¡ ¡a ¡Gröbner ¡Basis ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ REPEAT ¡ ¡FOR ¡each ¡pair ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡in ¡G‘ ¡DO ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡IF ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡THEN ¡ UNTIL ¡ ¡ ¡ ¡

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Example ¡

Consider ¡the ¡polynomials ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ Fix ¡the ¡monomial ¡ordering ¡to ¡be ¡the ¡lexicographic ¡ordering ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ We ¡have ¡that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡which ¡yields ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡.

¡

¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Let‘s ¡divide ¡the ¡S-­‑polynomial ¡by ¡ ¡ ¡ ¡ ¡: ¡we ¡obtain ¡the ¡remainder ¡

¡ ¡ ¡ ¡. ¡

Note ¡that ¡the ¡leading ¡term ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡not ¡divisible ¡by ¡the ¡leading ¡terms ¡

• f ¡ ¡f ¡ ¡and ¡g ¡. ¡ ¡

Hence, ¡adjoin ¡ ¡ ¡ ¡to ¡our ¡set ¡of ¡polynomials ¡F ¡ ¡and ¡consider ¡the ¡two ¡new ¡ ¡ S-­‑polynomials ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡. ¡Con:nue ¡with ¡this ¡procedure ¡and ¡adjoin ¡the ¡ remainders ¡of ¡further ¡divisions ¡if ¡there ¡are ¡nonzero. ¡ ¡

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Mathema9cal ¡SoRware ¡for ¡Computa9onal ¡Algebra ¡

Introduc9on ¡

• ¡there ¡exist ¡a ¡lot ¡of ¡possibili:es ¡for ¡execu:ng ¡computa:onal ¡algebra ¡

¡ ¡ ¡see ¡list ¡on ¡wikipedia: ¡hip://en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_algebra_systems ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(not ¡complete...) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Examples: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Singular ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡CoCoA ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Gfan ¡

Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ Singular ¡ CoCoA ¡ Gfan ¡

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SINGULAR ¡

• ¡computer ¡algebra ¡system ¡for ¡polynomial ¡computa:ons ¡
• ¡emphasis ¡on ¡commuta4ve ¡algebra, ¡algebraic ¡geometry ¡and ¡singularity ¡theory ¡
• ¡started ¡in ¡1984 ¡(Berlin), ¡now: ¡seiled ¡at ¡the ¡University ¡of ¡Kaiserslautern ¡
• ¡free ¡and ¡open-­‑source ¡so<ware ¡under ¡the ¡GNU ¡General ¡Public ¡Licence ¡
• ¡main ¡objects: ¡ideals ¡and ¡modules ¡in ¡polynomial ¡rings ¡over ¡fields ¡or ¡quo:ent ¡rings ¡
• ¡features: ¡computa:on ¡of ¡Gröbner ¡bases ¡(Buchberger‘s ¡and ¡Mora‘s ¡Algorithm), ¡

¡ ¡ ¡polynomial ¡factoriza:on, ¡resultants, ¡characteris:c ¡sets ¡and ¡gcd ¡opera:ons, ¡ ¡ ¡ ¡classifica:on ¡of ¡singulari:es ¡

• ¡wriien ¡in ¡C ¡

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CoCoA ¡

• ¡Computa:ons ¡in ¡Commuta:ve ¡Algebra ¡
• ¡emphasis ¡on ¡computa:ons ¡in ¡mul4variate ¡polynomial ¡rings ¡over ¡ra:onal ¡integers ¡and ¡ ¡

¡ ¡ ¡on ¡their ¡ideals ¡and ¡modules ¡

• ¡ini:ated ¡in ¡1987 ¡to ¡perform ¡calcula:ons ¡using ¡Buchberger‘s ¡algorithm ¡(Genova) ¡
• ¡free ¡so<ware ¡– ¡features ¡CoCoALib ¡(open-­‑source ¡C++ ¡GPL ¡library) ¡
• ¡libraries ¡available ¡for ¡applica:ons ¡in ¡various ¡areas ¡(sta:s:cs, ¡integer ¡programming, ¡...) ¡
• ¡kernel ¡is ¡wriien ¡in ¡C, ¡user ¡writes ¡in ¡Pascal-­‑like ¡syntax ¡
• ¡features ¡efficient ¡calcula:ons ¡with ¡very ¡big ¡integers ¡and ¡ra:onal ¡numbers ¡and ¡ ¡

¡ ¡ ¡implementa:ons ¡of ¡Buchberger‘s ¡algorithm ¡using ¡different ¡orderings ¡

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Gfan ¡

• ¡so<ware ¡package ¡for ¡compu:ng ¡Gröbner ¡fans ¡of ¡polynomial ¡ideals ¡in ¡ ¡

¡ ¡ ¡and ¡tropical ¡varie4es ¡based ¡on ¡Buchberger‘s ¡algorithm ¡

• ¡emphasis ¡on ¡tropical ¡and ¡polyhedral ¡geometry ¡using ¡algebraic ¡methods ¡
• ¡started ¡in ¡2003, ¡wriien ¡by ¡A. ¡N. ¡Jensen ¡(University ¡of ¡Aarhus, ¡Denmark), ¡supported ¡

¡ ¡ ¡by ¡Prof. ¡Fukuda ¡

• ¡ ¡wriien ¡in ¡C++ ¡
• ¡high ¡performance ¡(calcula:ng ¡3000 ¡reduced ¡Gröbner ¡bases ¡in ¡12s) ¡
• ¡various ¡subprograms ¡enable ¡fast ¡computa:ons ¡and ¡easy ¡handling ¡

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Implementa9on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡

Programming ¡Basics ¡

• ¡language ¡very ¡similar ¡to ¡C/C++ ¡(all ¡inputs ¡must ¡be ¡terminated ¡by ¡; ¡, ¡types ¡for ¡ ¡

¡ ¡ ¡variables, ¡loops, ¡func:ons ¡etc.) ¡

• ¡non-­‑trivial ¡algorithms ¡always ¡require ¡the ¡defini:on ¡of ¡a ¡ring ¡at ¡the ¡beginning! ¡

¡ ¡ ¡ring ¡syntax: ¡ ¡ring name ¡= ¡(coefficients), ¡(name ¡of ¡ring ¡variables), ¡(ordering) ¡; ¡

• ¡implemented ¡algorithms ¡for ¡opera:ons ¡on ¡ideals, ¡polynomials, ¡etc. ¡

¡ ¡ ¡for ¡example: ¡factoriza:on ¡of ¡polynomials ¡into ¡irreducible ¡factors ¡(Cantor-­‑Zassenhaus ¡ ¡ ¡ ¡Algorithm), ¡compu:ng ¡the ¡determinant ¡of ¡a ¡square ¡matrix, ¡calcula:ng ¡the ¡greatest ¡ ¡ ¡ ¡common ¡divisor ¡of ¡polynomials ¡

• ¡most ¡interes:ng ¡feature: ¡computa:on ¡of ¡Gröbner ¡bases ¡
• ¡standard ¡features ¡like ¡characteriza:on-­‑func:on ¡(typeof), ¡type ¡conversion, ¡... ¡ ¡
• ¡include ¡libraries ¡with ¡LIB “library ¡name“; ¡
• ¡various ¡orderings: ¡grevlex ¡ordering ¡dp, ¡lex ¡ordering ¡lp, ¡block ¡ordering ¡
• ¡possibility ¡of ¡execu:ng ¡the ¡division ¡algorithm, ¡returns ¡quo:ent ¡and ¡remainder ¡

Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡

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References ¡

Computa9onal ¡Algebra ¡

• K. ¡G. ¡Fischer, ¡P. ¡Loustaunau, ¡J. ¡Shapiro, ¡E. ¡L. ¡Green, ¡D. ¡Farkas: ¡Lecture ¡Notes ¡in ¡Pure ¡and ¡Applied ¡Mathema:cs ¡– ¡

Computa:onal ¡Algebra ¡(1994) ¡ Algebraic ¡Background: ¡ David ¡A. ¡Cox, ¡John ¡Liile, ¡Donal ¡O‘Shea: ¡Graduate ¡Texts ¡in ¡Mathema:cs ¡-­‑ ¡Using ¡Algebraic ¡Geometry ¡(2005) ¡ Ralf ¡Fröberg: ¡An ¡Introduc:on ¡to ¡Gröbner ¡Bases ¡(1997) ¡ SoRware: ¡ hip://www.singular.uni-­‑kl.de ¡ hip://cocoa.dima.unige.it/flyer4.html ¡ hip://home.math.au.dk/jensen/so<ware/gfan/gfan.html ¡ hip://en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_algebra_systems ¡ Implementa9on: ¡ Groebner ¡Bases ¡– ¡Sta:s:cs ¡and ¡So<ware ¡Systems. ¡Takayuki ¡Hibi, ¡Springer ¡Japan, ¡2013 ¡ Singular ¡Manual ¡(online) ¡