P s rt r r - - PowerPoint PPT Presentation

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P s rt r r - - PowerPoint PPT Presentation

Oct 19, 2022 329 likes •2.21k views

P s rt r r strts t r t srs r

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▲❡t G = (V , E) ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ S ❜❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ V ✳ S ❞♦♠✐♥❛t❡s G ✐❢ ❛❧❧ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ G ❛r❡ ✐♥ S ♦r ❛❞❥❛❝❡♥t t♦ ❛ ✈❡rt❡① ♦❢ S✳

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▲❡t G = (V , E) ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ S ❜❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ V ✳ S ❞♦♠✐♥❛t❡s G ✐❢ ❛❧❧ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ G ❛r❡ ✐♥ S ♦r ❛❞❥❛❝❡♥t t♦ ❛ ✈❡rt❡① ♦❢ S✳

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▲❡t G = (V , E) ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ S ❜❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ V ✳ S ❞♦♠✐♥❛t❡s G ✐❢ ❛❧❧ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ G ❛r❡ ✐♥ S ♦r ❛❞❥❛❝❡♥t t♦ ❛ ✈❡rt❡① ♦❢ S✳

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  • P❧❛②❡❞ ♦♥ ❛ ❣r❛♣❤ G = (V , E)
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  • P❧❛②❡❞ ♦♥ ❛ ❣r❛♣❤ G = (V , E)
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  • ❚❤❡② ❛❧t❡r♥❛t❡❧② s❡❧❡❝t ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ V ✳
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❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠

❚❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤✐❝❤ ♣❧❛②❡r ❤❛s ❛ ✇✐♥♥✐♥❣ str❛t❡❣②✳ ❚❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♦✉t❝♦♠❡s ❛r❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿

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❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠

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▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

  • P❧❛②❡❞ ♦♥ ❛♥ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ (X, F)✳
  • ❚✇♦ ♣❧❛②❡rs✿ ▼❛❦❡r ❛♥❞ ❇r❡❛❦❡r✳
  • ❚❤❡② ❛❧t❡r♥❛t❡❧② s❡❧❡❝t ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ X✳
  • ▼❛❦❡r ✇✐♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❛❧❧ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ ❛

❤②♣❡r❡❞❣❡ A ∈ F✳ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

  • ❍❡①

◮ ▼❛❦❡r ❤❛s ❛ ✇✐♥♥✐♥❣ str❛t❡❣② ✭◆❛s❤✱ ✶✾✺✷✮

❚❤❡ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❉♦♠✐♥❛t✐♦♥ ❣❛♠❡ ✐s ❛ ▼❛❦❡r ❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡✳ ❂ ④t❤❡ ❞♦♠✐♥❛t✐♥❣ s❡ts⑥✱ ❉♦♠✐♥❛t♦r ❂ ▼❛❦❡r✳ ❂ ④t❤❡ ❝❧♦s❡❞ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞s⑥✱ ❙t❛❧❧❡r ❂ ▼❛❦❡r✳

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▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

  • P❧❛②❡❞ ♦♥ ❛♥ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ (X, F)✳
  • ❚✇♦ ♣❧❛②❡rs✿ ▼❛❦❡r ❛♥❞ ❇r❡❛❦❡r✳
  • ❚❤❡② ❛❧t❡r♥❛t❡❧② s❡❧❡❝t ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ X✳
  • ▼❛❦❡r ✇✐♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❛❧❧ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ ❛

❤②♣❡r❡❞❣❡ A ∈ F✳ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

  • ❍❡①

◮ ▼❛❦❡r ❤❛s ❛ ✇✐♥♥✐♥❣ str❛t❡❣② ✭◆❛s❤✱ ✶✾✺✷✮

❚❤❡ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❉♦♠✐♥❛t✐♦♥ ❣❛♠❡ ✐s ❛ ▼❛❦❡r ❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡✳ ❂ ④t❤❡ ❞♦♠✐♥❛t✐♥❣ s❡ts⑥✱ ❉♦♠✐♥❛t♦r ❂ ▼❛❦❡r✳ ❂ ④t❤❡ ❝❧♦s❡❞ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞s⑥✱ ❙t❛❧❧❡r ❂ ▼❛❦❡r✳

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▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

  • P❧❛②❡❞ ♦♥ ❛♥ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ (X, F)✳
  • ❚✇♦ ♣❧❛②❡rs✿ ▼❛❦❡r ❛♥❞ ❇r❡❛❦❡r✳
  • ❚❤❡② ❛❧t❡r♥❛t❡❧② s❡❧❡❝t ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ X✳
  • ▼❛❦❡r ✇✐♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❛❧❧ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ ❛

❤②♣❡r❡❞❣❡ A ∈ F✳ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

  • ❍❡①

◮ ▼❛❦❡r ❤❛s ❛ ✇✐♥♥✐♥❣ str❛t❡❣② ✭◆❛s❤✱ ✶✾✺✷✮

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▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

  • P❧❛②❡❞ ♦♥ ❛♥ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ (X, F)✳
  • ❚✇♦ ♣❧❛②❡rs✿ ▼❛❦❡r ❛♥❞ ❇r❡❛❦❡r✳
  • ❚❤❡② ❛❧t❡r♥❛t❡❧② s❡❧❡❝t ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ X✳
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❤②♣❡r❡❞❣❡ A ∈ F✳ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

  • ❍❡①

◮ ▼❛❦❡r ❤❛s ❛ ✇✐♥♥✐♥❣ str❛t❡❣② ✭◆❛s❤✱ ✶✾✺✷✮

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  • F ❂ ④t❤❡ ❞♦♠✐♥❛t✐♥❣ s❡ts⑥✱

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❙t❛❧❧❡r ❂ ▼❛❦❡r✳

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▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

■❢ ▼❛❦❡r ✇✐♥s t❤❡ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡ ♦♥ (X, F) ❛s t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❧❛②❡r✱ t❤❡♥ ❤❡ ❛❧s♦ ✇✐♥s ❛s ✜rst ♣❧❛②❡r✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋♦❧❦❧♦r❡✮ ■t ✐s ♥❡✈❡r ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ ♣❛ss ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❣❛♠❡ ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡ ❉❡❝✐❞✐♥❣ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ✐s ❛ P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❙❝❤❛❡❢❡r✱ ✶✾✼✽✮

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■❢ ▼❛❦❡r ✇✐♥s t❤❡ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡ ♦♥ (X, F) ❛s t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❧❛②❡r✱ t❤❡♥ ❤❡ ❛❧s♦ ✇✐♥s ❛s ✜rst ♣❧❛②❡r✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋♦❧❦❧♦r❡✮ → ■t ✐s ♥❡✈❡r ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ ♣❛ss → ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❣❛♠❡ ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡ P ❉❡❝✐❞✐♥❣ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ✐s ❛ P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❙❝❤❛❡❢❡r✱ ✶✾✼✽✮

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▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s

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❖✉t❝♦♠❡s

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SLIDE 82

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❆ s❡t ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s {(u✶, v✶), . . . , (uk, vk)} ✐s ❛ ♣❛✐r✐♥❣ ❞♦♠✐♥❛t✐♥❣ s❡t ✐❢✿

  • ❛❧❧ ✈❡rt✐❝❡s ❛r❡ ❞✐st✐♥❝t✱
  • V = k

i=✶ N[ui] ∩ N[vi].

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉✉❝❤ê♥❡✱ ●✳✱ P❛rr❡❛✉✱ ❘❡♥❛✉❧t✱ ✷✵✶✽✰✮ G ❤❛s ❛ ♣❛✐r✐♥❣ ❞♦♠✐♥❛t✐♥❣ s❡t = ⇒ G ❤❛s ♦✉t❝♦♠❡ D✳

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SLIDE 83

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  • ❛❞❣❡t ❢♦r ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡

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SLIDE 84

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❚❤❡r❡ ❡①✐st ❣r❛♣❤s ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡ D t❤❛t ❞♦ ♥♦t ❛❞♠✐t ♣❛✐r✐♥❣ ❞♦♠✐♥❛t✐♥❣ s❡ts✳

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

❉❡❝✐❞✐♥❣ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ ❛ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❞♦♠✐♥❛t✐♦♥ ❣❛♠❡ ♣♦✲ s✐t✐♦♥ ✐s ❛ P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❚❤✐s r❡s✉❧t ✐s ♣r♦✈❡❞ ❜② r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ▼❛❦❡r✲❇r❡❛❦❡r ❣❛♠❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡ ✭❙❝❤❛❡✛❡r✱ ✶✾✼✽✮✳

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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SLIDE 108

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SLIDE 109

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SLIDE 110

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SLIDE 111

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SLIDE 112

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SLIDE 113

❈♦♠♣❧❡①✐t②

  • r❛♣❤s

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SLIDE 114

❈♦♠♣❧❡①✐t②

  • r❛♣❤s

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SLIDE 115

❈♦♠♣❧❡①✐t②

  • r❛♣❤s

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SLIDE 116

❈♦♠♣❧❡①✐t②

  • r❛♣❤s

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SLIDE 117

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SLIDE 118

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SLIDE 119

■❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✉s✐♥❣ ❞✐s❦s

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SLIDE 120

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SLIDE 121

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✸✵✴✹✾

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SLIDE 122

❇❛❝❦ t♦ t❤❡ ♣♦st✲❞❡❢❡♥s❡ ❜✉✛❡t

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SLIDE 123

❇❛❝❦ t♦ t❤❡ ♣♦st✲❞❡❢❡♥s❡ ❜✉✛❡t

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SLIDE 124

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  • ❈♦✈❡r✐♥❣
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SLIDE 125

■❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ✐♥ ❤②♣❡r❣r❛♣❤s

❚✇♦ ❣♦❛❧s✿

  • ❈♦✈❡r✐♥❣
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SLIDE 126

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  • ■❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❝♦❞❡s ✐♥ ❣r❛♣❤s ✭❑❛r♣♦✈s❦②✱ ❈❤❛❦r❛❜❛rt② ❛♥❞ ▲❡✈✐t✐♥✱

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◮ ❯♥✐t ❞✐s❦ ❣r❛♣❤s ✭▼ü❧❧❡r ❛♥❞ ❙❡r❡♥✐✱ ✷✵✵✾✮ ◮ ❯♥✐t ✐♥t❡r✈❛❧ ❣r❛♣❤s ✭❋♦✉❝❛✉❞✱ ▼❡rt③✐♦s✱ ◆❛s❡r❛sr✱ P❛rr❡❛✉ ❛♥❞

❱❛❧✐❝♦✈✱ ✷✵✶✺✮✳

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SLIDE 127

■❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✇✐t❤ ❞✐s❦s

✭●✳ ❛♥❞ P❛rr❡❛✉✱ ✷✵✶✾✮

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  • ❊✈❡r② ♣♦✐♥t ♦❢ P ♠✉st ❜❡❧♦♥❣ t♦ ❛t

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  • ❚✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ P ♠✉st ❜❡❧♦♥❣ t♦ t✇♦

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❉✉♠✐tr❡s❝✉✱ ❑❛r❧♦✛ ❛♥❞ ❲❛♥✱ ✷✵✵✺✮

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SLIDE 128

■❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✇✐t❤ ❞✐s❦s

✭●✳ ❛♥❞ P❛rr❡❛✉✱ ✷✵✶✾✮

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  • ❊✈❡r② ♣♦✐♥t ♦❢ P ♠✉st ❜❡❧♦♥❣ t♦ ❛t

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SLIDE 129

■❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✇✐t❤ ❞✐s❦s

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SLIDE 130

■❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✇✐t❤ ❞✐s❦s

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  • ❊✈❡r② ♣♦✐♥t ♦❢ P ♠✉st ❜❡❧♦♥❣ t♦ ❛t

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  • ❚✇♦ ♣♦✐♥ts ♦❢ P ♠✉st ❜❡❧♦♥❣ t♦ t✇♦

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  • ❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✉s✐♥❣ ❝♦♥✈❡① s❡ts ✭●❡r❜♥❡r ❛♥❞ ❚♦t❤✱ ✷✵✶✷✮
  • ❙❡♣❛r❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✉s✐♥❣ ❧✐♥❡s ♣❛r❛❧❧❡❧s t♦ t❤❡ ❛①✐s ✭❈❛❧✐♥❡s❝✉✱

❉✉♠✐tr❡s❝✉✱ ❑❛r❧♦✛ ❛♥❞ ❲❛♥✱ ✷✵✵✺✮

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SLIDE 131

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▲❡t ❜❡ ❛ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡

✶ ✶ ✹ ✶ ✷

✳ ❈♦r♦❧❧❛r②

✸✹✴✹✾

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SLIDE 132

▲♦✇❡r ❜♦✉♥❞

P✉tt✐♥❣ k ❞✐s❦s ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ❞❡✜♥❡s ❛t ♠♦st k✷−k+✶ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❛r❡❛s✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋♦❧❦❧♦r❡✮

✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✶✵ ✶✶ ✶✷ ✶✸

▲❡t P ❜❡ ❛ s❡t ♦❢ n ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ γID

D (P) ≥

  • ✶+√

✶+✹(n−✶) ✷

  • ∼ √n✳

❈♦r♦❧❧❛r②

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SLIDE 133

❯♣♣❡r ❜♦✉♥❞

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SLIDE 146

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D (P) ≤ ✷⌈ n ✻⌉ + ✶✳

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Pr✐♥❝✐♣❧❡

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Pr✐♥❝✐♣❧❡

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Pr✐♥❝✐♣❧❡

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Pr✐♥❝✐♣❧❡

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Pr✐♥❝✐♣❧❡

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Pr✐♥❝✐♣❧❡

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Pr✐♥❝✐♣❧❡

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SLIDE 154

Pr✐♥❝✐♣❧❡

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SLIDE 155

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SLIDE 156

Pr✐♥❝✐♣❧❡

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SLIDE 157

Pr✐♥❝✐♣❧❡

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SLIDE 158

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SLIDE 159

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SLIDE 160

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SLIDE 161

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SLIDE 162

❈♦♠♣❧❡①✐t②

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SLIDE 163

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❘❛❞✐✐ ❈❡♥t❡rs P♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ P♦✐♥ts ♦♥ ❛ ❧✐♥❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥②✇❤❡r❡ ❋✐①❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥ts

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SLIDE 164

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❘❛❞✐✐ ❈❡♥t❡rs P♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ P♦✐♥ts ♦♥ ❛ ❧✐♥❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥②✇❤❡r❡ ❋✐①❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥ts

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SLIDE 165

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❘❛❞✐✐ ❈❡♥t❡rs P♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ P♦✐♥ts ♦♥ ❛ ❧✐♥❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥②✇❤❡r❡ ❋✐①❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥ts

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SLIDE 166

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❘❛❞✐✐ ❈❡♥t❡rs P♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ P♦✐♥ts ♦♥ ❛ ❧✐♥❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥②✇❤❡r❡ ❋✐①❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥ts

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  • ▼ü❧❧❡r ❛♥❞ ❙❡r❡♥✐✱ ✷✵✵✾
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SLIDE 167

❋✐①✐♥❣ t❤❡ r❛❞✐✉s

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ◆P✲❝♦♠♣❧❡t❡✿ ■♥st❛♥❝❡✿ ❆ s❡t P ♦❢ ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ❛♥❞ ❛ ♥✉♠❜❡r k ∈ N✳ ◗✉❡st✐♦♥✿ ■s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ P ✉s✐♥❣ k ❞✐s❦s ♦❢ r❛❞✐✉s ✶❄ ❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✉s❡s ❛ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢r♦♠ P✸✲♣❛rt✐t✐♦♥ ✐♥ ❣r✐❞ ❣r❛♣❤s✱ ❛ ◆P✲❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ P✸✬s ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ str✉❝t✉r❡✿

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SLIDE 168

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❘❛❞✐✐ ❈❡♥t❡rs P♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ P♦✐♥ts ♦♥ ❛ ❧✐♥❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥②✇❤❡r❡ ❋✐①❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥ts

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SLIDE 169

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❘❛❞✐✐ ❈❡♥t❡rs P♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ P♦✐♥ts ♦♥ ❛ ❧✐♥❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥② ✈❛❧✉❡s ❋✐①❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✈❛❧✉❡ ❆♥②✇❤❡r❡ ❋✐①❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦✐♥ts

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❈♦♠♣❧❡①✐t②

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  • ✳✱ ■r➨✐↔ ❛♥❞ ❑❧❛✈➸❛r✱

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  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥

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  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥

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  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥

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  • ❡♥❡r❛❧ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥

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