Prs Prsrt Pt - - PowerPoint PPT Presentation

P✐❧❧❛rs ♦❢ Pr♦s♣❡r✐t②

❚❤❡ P♦❧✐t✐❝❛❧ ❊❝♦♥♦♠✐❝s ♦❢ ❉❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ❈❧✉st❡rs ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❚✐♠ ❇❡s❧❡② ❚♦rst❡♥ P❡rss♦♥

❙❚■❈❊❘❉ ❛♥❞ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ❊❝♦♥♦♠✐❝s ▲♦♥❞♦♥ ❙❝❤♦♦❧ ♦❢ ❊❝♦♥♦♠✐❝s ■♥st✐t✉t❡ ❢♦r ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❙t✉❞✐❡s ❙t♦❝❦❤♦❧♠ ❯♥✐✈❡rs✐t②

❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶ ✴ ✼✵

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

✷

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❆❞❞ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② P♦❧✐t✐❝❛❧❧② ❖♣t✐♠❛❧ P♦❧✐❝② ■♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❙t❛t❡ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

✸

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥ Pr✐✈❛t❡ ❈❛♣✐t❛❧ ❆❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

✹

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷ ✴ ✼✵

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❇❛❝❦❣r♦✉♥❞

❆❞❞ ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ r♦❧❡ ♦❢ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t ✕ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

• ♦✈❡r♥♠❡♥t ❡✛♦rts t♦ ♠❛❦❡ ♣r✐✈❛t❡ ❡❝♦♥♦♠② ♠♦r❡ ♣r♦❞✉❝t✐✈❡

❢♦❝✉s ♦♥ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥✱ s✉❜❥❡❝t t♦ ❧❡❣❛❧ ✐♥❢r❛str✉❝t✉r❡

◮ ✇✐❧❧ ❛❧❧♦✇ ✉s t♦ ❡♥❞♦❣❡♥✐③❡ ✐♥❝♦♠❡

❚✇♦ ✈✐❡✇s ♦❢ ❧♦♥❣✲r✉♥ ❝❛✉s❡s ♦❢ ❧♦✇ ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t②

◮ ✐t r❡✢❡❝ts ❧❛❝❦ ♦❢ t❡❝❤♥♦❧♦❣② ✕ t❤❡ ❙♦❧♦✇ tr❛❞✐t✐♦♥ ◮ ✐t r❡✢❡❝ts ♠✐s❛❧❧♦❝❛t❡❞ r❡s♦✉r❝❡s ✕ t❤❡ ▲❡✇✐s tr❛❞✐t✐♦♥

❲❡ ✇✐❧❧ t❛❦❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✈✐❡✇

◮ ♣♦♦r❧② ❢✉♥❝t✐♦♥✐♥❣ ❡❝♦♥♦♠✐❝ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ❣❡♥❡r❛t❡ ❢r✐❝t✐♦♥s ✐♥

❝♦♥tr❛❝t✐♥❣ ♦r ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♣r♦♣❡rt②

◮ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❢♦r ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ❜② ✐♥✈❡st✐♥❣ ✐♥ ❧❡❣❛❧ ✐♥❢r❛str✉❝t✉r❡ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸ ✴ ✼✵

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❊♠♣✐r✐❝❛❧ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❋✐❣✉r❡s ✸✳✶ ❛♥❞ ✶✳✸

▲❡❣❛❧ ❛♥❞ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② str♦♥❣❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❜♦t❤ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ❛♥❞ ✐♥❝♦♠❡ ✕ r❡❝❛❧❧ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✸ ❢♦r t♦t❛❧ t❛① t❛❦❡ ❛♥❞ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♣r♦♣❡rt② r✐❣❤ts

◮ s✐♠✐❧❛r ♣✐❝t✉r❡ ❛♣♣❡❛rs ✇✐t❤ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡s ◮ s❤❛r❡ ♦❢ ✐♥❝♦♠❡ t❛① ✐♥ t♦t❛❧ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t r❡✈❡♥✉❡ ❛t ❡♥❞ ♦❢ ✶✾✾✵s ❢r♦♠

❝❤❛♣t❡r ✷

◮ ✐♥❞❡① ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t ❢r♦♠ ❲♦r❧❞ ❇❛♥❦ ❉♦✐♥❣ ❇✉s✐♥❡ss ♣r♦❥❡❝t

❝✐r❝❛ ✷✵✵✺

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹ ✴ ✼✵

.2 .4 .6 .8 Share of Income Tax in Total Taxes (1999) .2 .4 .6 .8 1 Index of contract enforcement High income in 2000 Mid income in 2000 Low income in 2000 Fitted values

Income Taxes and Contract Enforcement by GDP ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶ ■♥❝♦♠❡ t❛①❡s ❛♥❞ ❝♦♥tr❛❝t ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ ●❉P

10 20 30 40 50 Tax Share of GDP .4 .6 .8 1 Property Rights Protection Index High income in 2000 Mid income in 2000 Low income in 2000 Fitted values

Fiscal and Legal Capacity ❋✐❣✉r❡ ✶✳✸ ▲❡❣❛❧ ❛♥❞ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ ✐♥❝♦♠❡

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

❊①✐st✐♥❣ r❡s❡❛r❝❤

▼❛r❦❡t✲s✉♣♣♦rt✐♥❣ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ❡♠♣❤❛s✐③❡❞ ✐♥ ❡❝♦♥♦♠✐❝s ❛♥❞ ❤✐st♦r② ◆♦rt❤✲❲❡✐♥❣❛st ♦♥ ❡❝♦♥♦♠✐❝ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ✕ ❝r✉❝✐❛❧ ❢♦r ❣r♦✇t❤ ❛♥❞ ✉♥❧❡❛s❤❡❞ ❜② ❡✈❡♥ts ❧✐❦❡ ●❧♦r✐♦✉s ❘❡✈♦❧✉t✐♦♥

◮ ❆❝❡♠♦❣❧✉✲❏♦❤♥s♦♥✲❘♦❜✐♥s♦♥ ✭❍❛❧❧✲❏♦♥❡s✮ ♦♥ ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ ✈s✳

❡①tr❛❝t✐✈❡ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s tr✐❣❣❡r❡❞ ❜② ♥❛t✉r❡ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❛❧ s❡tt❧❡♠❡♥t

◮ ❊♥❣❡r♠❛♥✲❙♦❦♦❧♦✛ ♦♥ t❤❡ ❤♦✇ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭❢❛❝t♦r ❡♥❞♦✇♠❡♥ts✮

s❤❛♣❡❞ ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ❛❝r♦ss t❤❡ ❆♠❡r✐❝❛s

P♦❧✐t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ♦r✐❣✐♥s ♦❢ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s

◮ ♣♦❧✐t✐❝❛❧ ♦r✐❣✐♥s ♦❢ ✇❡❛❦ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s✱ ❞✉❡ t♦ r❡♥t✲s❡❡❦✐♥❣✱ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✱

❡t❝✳ ✕ ❙✈❡♥ss♦♥✱ ❘❛❥❛♥✲❩✐♥❣❛❧❡s✱ P❛❣❛♥♦✲❱♦❧♣✐♥

◮ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ♠❛② ❤❛✈❡ ❞❡❡♣ ❤✐st♦r✐❝❛❧ r♦♦ts ❛s ✐♥ ▲❛ P♦rt❛✱ ❙✐❧❛♥❡s✱

❙❤❧❡✐❢❡r ❛♥❞ ❱✐s❤♥② ♦♥ ❧❡❣❛❧ ♦r✐❣✐♥s

❖✉r ❛♣♣r♦❛❝❤✿ ♦t❤❡r ♠❡❝❤❛♥✐s♠s ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ✰ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✼ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t②

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

✷

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❆❞❞ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② P♦❧✐t✐❝❛❧❧② ❖♣t✐♠❛❧ P♦❧✐❝② ■♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❙t❛t❡ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

✸

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧

✹

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✽ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❆❞❞ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t②

■♥❝♦♠❡ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r ❣r♦✉♣ ❏′s ✐♥❝♦♠❡ ❛t s

◮ ❧❛❜❡❧❡❞ ② ❏

s ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♣❏ s

② ❏

s = ②(♣❏ s )

✇❤❡r❡ ② ✐s ❛♥ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥

◮ t❤✐♥❦ ♦❢ ♣❏

s ❛s ✧❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥tr❛❝ts✧ ♦r ✧❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♦❢

♣r♦♣❡rt② r✐❣❤ts✧

◮ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r ♠✐❝r♦❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥s ✸ ❛♥❞ ✺ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✾ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❆❞❞ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t②

▲❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

■♥❝✉♠❜❡♥t ❝♦♥tr♦❧s ❝✉rr❡♥t ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥

◮ ♣❏

s ❝❛♥ ❜❡ ❣r♦✉♣✲s♣❡❝✐✜❝

◮ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❜② ❡①✐st✐♥❣ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✱ ✐✳❡✳✱ ♣❏

s ≤ πs

■♥✈❡st♠❡♥t ✐♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

◮ t❛❦❡s ❢♦r♠ ♦❢ ❝♦✉rts✱ ❥✉❞❣❡s✱ ❝r❡❞✐t ♦r ♣r♦♣❡rt② r❡❣✐str② ◮ ❛ss✉♠❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐s ✐rr❡✈❡rs✐❜❧❡✱ ❛s ❢♦r ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ◮ ✐♥✐t✐❛❧ st♦❝❦ ♦❢ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✱ π✶✱ ❛s ❣✐✈❡♥✱ ❜✉t ❝❛♥ ❜❡ ❛✉❣♠❡♥t❡❞ ❜②

♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t π✷ − π✶

◮ ❝♦♥✈❡① ❝♦sts ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥t L(π✷ − π✶), ✇❤❡r❡ Lπ(✵) = ✵ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✵ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❆❞❞ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t②

❖t❤❡r ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s

❲❡ ♥❡❡❞ t♦ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥ts ❛♥❞ ✐♥❞✐r❡❝t ✉t✐❧✐t✐❡s

◮ r❡♣❧❛❝❡ ❡①♦❣❡♥♦✉s ω ❜② ❡♥❞♦❣❡♥♦✉s ②(♣■

s)+②(♣❖ s )

✷

♦r ②(♣❏

s ) ❛s ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡

◮ t♦t❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥ st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s ♥♦✇

♠s =

• F(τ✷ − τ✶) + L(π✷ − π✶)

✐❢ s = ✶ ✵ ✐❢ s = ✷

◮ r❡st ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ❡①❛❝t❧② ❛s ❜❡❢♦r❡ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✶ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② P♦❧✐t✐❝❛❧❧② ❖♣t✐♠❛❧ P♦❧✐❝②

❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣♦❧✐❝②

❲✐❧❧ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝✐♦♥ ❜❡ ❛ss✐❣♥❡❞ ❡q✉❛❧❧② t♦ ❡❛❝❤ ❣r♦✉♣❄

◮ ✐✳❡✳✱ ✇✐❧❧ t❤❡r❡ ❜❡ ✧r✉❧❡ ♦❢ ❧❛✇✧

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶

❋♦r s ∈ {✶, ✷} ❛♥② ✐♥❝✉♠❜❡♥t ■s✱ ❛♥❞ ❛♥② αs✱ ❛❧❧ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s ❢✉❧❧② ✉t✐❧✐③❡❞✱ ♣■s = ♣❖s = πs✳ ✏❖❜✈✐♦✉s✑ r❡s✉❧t ✐♥ t❤❡ ❝♦r❡ ♠♦❞❡❧

◮ r❡❧❛t❡s t♦ ❉✐❛♠♦♥❞✲▼✐rr❧❡❡s ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❡✣❝✐❡♥❝② ❛♥❞ ❛ P♦❧✐t✐❝❛❧ ❈♦❛s❡

❚❤❡♦r❡♠

◮ t❤✐s r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜r❡❛❦ ❞♦✇♥ ✇✐t❤ r❡♥ts ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥s ✹✲✺

❖t❤❡r ♣♦❧✐❝✐❡s

◮ t❛①❡s✱ tr❛♥s❢❡rs✱ ♣✉❜❧✐❝ ❣♦♦❞s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❡①❛❝t❧② ❛s ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✷✳ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✷ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ■♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❙t❛t❡ ❈❛♣❛❝✐t②

▼♦❞✐✜❡❞ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦❜❥❡❝t✐✈❡

❲❡ ♥♦✇ ❤❛✈❡ t✇♦ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s {τs, πs}✳

◮ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ♥❡✇ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❛s

❲ (α✶, τ✶, π✶, F(τ✷ − τ✶) + L(π✷ − π✶), ✷(✶ − θ)) +(✶ − γ)❯■(τ✷, π✷) + γ❯❖(τ✷, π✷) ✇❤❡r❡ ❯❏ (τ✷, π✷) ❛r❡ t❤❡ ♥❡✇ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢♦r ❏ ∈ {■, ❖} ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ♥❡✇ ✐♥❞✐r❡❝t ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s ❲

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✸ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ■♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❙t❛t❡ ❈❛♣❛❝✐t②

❙t❛t❡✲❝❛♣❛❝✐t② ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s

P❛✐r ♦❢ ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❧❡❣❛❧ ❛♥❞ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

◮ ♣r♦❝❡❡❞✐♥❣ ❛s ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✷✱ ✇❡ ❣❡t

②π(π✷)[✶ + (❊(λ✷) − ✶)τ✷]

• λ✶Lπ (π✷ − π✶)

❝✳s✳ π✷ − π✶

• ✵

②(π✷)[(❊(λ✷) − ✶]

• λ✶Fτ (τ✷ − τ✶)

❝✳s✳ τ✷ − τ✶

• ✵

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✹ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ■♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❙t❛t❡ ❈❛♣❛❝✐t②

❆r❡ ❜♦t❤ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ♣♦s✐t✐✈❡❄

❙✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥

◮ ❛s Fτ (✵) = Lπ(✵) = ✵, ❛❧❧ ✇❡ ♥❡❡❞ ✭❛s ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✷✮ ✐s t❤❛t

❊(λ✷) − ✶ ≥ ✵

◮ ❛❧t❤♦✉❣❤ ♥❡❝❡ss❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s ✇❡❛❦❡r ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✺ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ■♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❙t❛t❡ ❈❛♣❛❝✐t②

❚❤r❡❡ t②♣❡s ♦❢ st❛t❡ ❛s ❜❡❢♦r❡

❈♦❤❡s✐✈❡♥❡ss ❤♦❧❞s

◮ ✐♠♣❧✐❡s ❝♦♠♠♦♥✲✐♥t❡r❡st st❛t❡ t❤❛t ✐♥✈❡sts ✐♥ ❜♦t❤ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s

❙t❛❜✐❧✐t② ❤♦❧❞s✱ ❜✉t ❈♦❤❡s✐✈❡♥❡ss ❢❛✐❧s

◮ ✐♠♣❧✐❡s r❡❞✐str✐❜✉t✐✈❡ st❛t❡ t❤❛t ✐♥✈❡sts ✐♥ ❜♦t❤ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s

◆❡✐t❤❡r ❈♦❤❡s✐✈❡♥❡ss ♥♦r ❙t❛❜✐❧✐t② ❤♦❧❞

◮ ✇❡❛❦ st❛t❡s ✇✐t❤ ♥♦ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

❛♥❞ ❧❡ss ✐♥✈❡st♠❡♥t ✭✐❢ ❛♥②✮ ✐♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✻ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ■♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❙t❛t❡ ❈❛♣❛❝✐t②

❈♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t②

❑❡② ✐❞❡❛

◮ ❛♥❞ ❛ ❢✉rt❤❡r ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢

❊(λ✷) − ✶ ≥ ✵

❙✉❜st❛♥❝❡

◮ ❤✐❣❤❡r π r❛✐s❡s ✐♥❝❡♥t✐✈❡s t♦ ✐♥✈❡st ✐♥ τ ❛♥❞ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛

✐♠♣♦rt❛♥t ❝✉❡ t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❞❛t❛

❆♥❛❧②t✐❝❛❧ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡ ✕ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❝♦♠♣❛r❛t✐✈❡ st❛t✐❝s

◮ s✉♣❡r♠♦❞✉❧❛r✐t② ❤♦❧❞s ◮ ✐❢ r❡❞✉❝❡❞✲❢♦r♠ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♥ (τ✷, π✷; ϕ) s✉♣❡r♠♦❞✉❧❛r

✐♥ (τ✷, π✷) , t❤❡♥ (τ✷, π✷) ♠♦♥♦t♦♥✐❝❛❧❧② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ ϕ ✐❢ ∂✷♥ (·) /∂τ✷∂ϕ ≥ ✵ ❛♥❞ ∂✷♥ (·) /∂π✷∂ϕ ≥ ✵

✈❡r② ❡❛s② t♦ ❞❡r✐✈❡ ❡✛❡❝ts ♦❢ ♠♦st ♣❛r❛♠❡t❡r s❤✐❢ts

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✼ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

❱❛❧✉❡ ♦❢ ♣✉❜❧✐❝ ❣♦♦❞s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✷

❆ ❤✐❣❤❡r ❡①♣❡❝t❡❞ ❞❡♠❛♥❞ ❢♦r ♣✉❜❧✐❝ ❣♦♦❞s r❛✐s❡s ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✐♥ ❝♦♠♠♦♥✲✐♥t❡r❡st ❛♥❞ r❡❞✐str✐❜✉t✐✈❡ st❛t❡s✿ ∂❊(λ✷) ∂φ = α❍ − λ▲

✷ > ✵

❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡r❡sts ♠❛❦❡ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ♠♦r❡ ✈❛❧✉❛❜❧❡ ❡①t❡r♥❛❧ ❝♦♥✢✐❝t ♣r♦♠♦t❡s ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✱ ❛s ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✷ ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❤✐st♦r✐❝❛❧ ✇♦r❦ ❜② ❍✐♥t③❡✲❚✐❧❧② ❛♥❞ ♦t❤❡rs ♥♦✇✱ ❛✉①✐❧✐❛r② ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❢♦r ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ s✐❞❡ ♦❢ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✽ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

P♦❧✐t✐❝❛❧ ✐♥st❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❝♦❤❡s✐✈❡♥❡ss

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✸

■❢ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t ❝♦❤❡s✐✈❡ ❛♥❞ ✇❡ ❛r❡ ✐♥ ❛ r❡❞✐str✐❜✉t✐✈❡ st❛t❡✱ t❤❡♥ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ✜s❝❛❧ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛r❡ ♣r♦♠♦t❡❞ ❜② ❧♦✇❡r ♣♦❧✐t✐❝❛❧ ✐♥st❛❜✐❧✐t②✳ ❧♦✇❡r γ r❛✐s❡s t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ t❤❛t ❙t❛❜✐❧✐t② ❤♦❧❞s ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s❡s λ▲

✷ ✐❢ ✐t ❞♦❡s ❤♦❧❞

t❤✐s ❡✛❡❝t ✐s str♦♥❣❡r✱ t❤❡ ♠♦r❡ ♥♦♥✲❝♦❤❡s✐✈❡ ♣♦❧✐t✐❝❛❧ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ❝❛s❡ st✉❞② ♦❢ ❊♥❣❧❛♥❞ ✐♥ ✶✽t❤ ❝❡♥t✉r②✿ ❛❢t❡r ●❧♦r✐♦✉s ❘❡✈♦❧✉t✐♦♥ ✭❤✐❣❤❡r θ✮✱ ❲❤✐❣s r✉❧❡ ❢♦r ♠❛♥② ❞❡❝❛❞❡s ✭❤✐❣❤ γ✮✱ ❣r❡❛t ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❛① ❝❛♣❛❝✐t②✱ ❛♥❞ ♠♦r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ ✇❡❧❧✲♣❛✐❞ ❥✉❞✐❝✐❛r② ✭❤✐❣❤❡r τ, π✮ ♠♦r❡ ❝♦❤❡s✐✈❡♥❡ss ❤❛s ❛♥ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❡✛❡❝t ♦♥ st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✐♥ r❡❞✐str✐❜✉t✐✈❡ st❛t❡✱ ❜✉t r❛✐s❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❝♦♠♠♦♥✲✐♥t❡r❡st st❛t❡

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✶✾ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

❈♦sts ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥ts

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✹

▲♦✇❡r ❝♦sts ♦❢ ❡✐t❤❡r ❧❡❣❛❧ ♦r ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❜♦t❤ ❧❡❣❛❧ ❛♥❞ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✐♥ ❝♦♠♠♦♥✲✐♥t❡r❡st ❛♥❞ r❡❞✐str✐❜✉t✐✈❡ st❛t❡s✳ ❛ ❞♦✇♥✇❛r❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ s❤✐❢t ♦❢ L(·) ♦r F(·) ❝✉ts t❤❡ ❘❍❙ ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❋❖❈s ❢♦r ❣✐✈❡♥ π✷ ❛♥❞ τ✷ t❤✐s ❣✐✈❡s ❛ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❛t✐♦♥❛❧❡ ❢♦r ✧❧❡❣❛❧ ♦r✐❣✐♥s✧ ❤②♣♦t❤❡s✐s✱ ❜✉t ✇✐t❤ ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❢♦r ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✵ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

❊①♦❣❡♥♦✉s ❣r♦✇t❤ ❛♥❞ ✐♥❝♦♠❡

❊①♦❣❡♥♦✉s ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ②❏

s = Λs②

• ♣❏

s

• ♣❡r❤❛♣s ❞✉❡ t♦ ❣❡♦❣r❛♣❤② ♦r ❍✐❝❦s✲♥❡✉tr❛❧ t❡❝❤♥♦❧♦❣②

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✺

▼♦r❡ ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ ❡❝♦♥♦♠✐❡s ✭❤✐❣❤❡r Λ✷✮ ❝❤♦♦s❡ ❣r❡❛t❡r ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ✜s❝❛❧ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✐♥ ❝♦♠♠♦♥✲✐♥t❡r❡st ❛♥❞ r❡❞✐str✐❜✉t✐✈❡ st❛t❡s✳ ❤✐❣❤❡r Λ✷ r❛✐s❡s Λ✷②(π✷) ❛♥❞ Λ✷②π(π✷) ❢♦r ❣✐✈❡♥ π✷, ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡s ❜♦t❤ t②♣❡s ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ t❤❡ st❛t❡ ♠♦r❡ ✇♦rt❤✇❤✐❧❡

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✶ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

❈♦r♦❧❧❛r② ✕ ❘❡s♦✉r❝❡ ♦r ❛✐❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

❉❡✜♥❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ●❉P ✐♥ ♣❡r✐♦❞ s ❛s ❨ (πs, ❘) = ❘ + Λs(② (πs) + ② (πs)) ✷ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r ✈❛r✐❛t✐♦♥s ✐♥ ❘ ✭❛♥❞ Λs(② (πs)) t❤❛t ❦❡❡♣ ❨ (πs, ❘) ❝♦♥st❛♥t

❈♦r♦❧❧❛r②

❍✐❣❤❡r r❡s♦✉r❝❡ ♦r ❛✐❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✱ ❤✐❣❤❡r ❘ ❢♦r ❣✐✈❡♥ ❨ (π✷, ❘)✱ ♠❡❛♥s ❧♦✇❡r ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❧❡❣❛❧ ❛♥❞ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✐♥ ❝♦♠♠♦♥✲✐♥t❡r❡st ❛♥❞ r❡❞✐str✐❜✉t✐✈❡ st❛t❡s✳ ❝❧✉❡ ✇❤② s♦♠❡ ❛✐❞ ♦r r❡s♦✉r❝❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦✉♥tr✐❡s ✐♥ ❆❢r✐❝❛ ❛♥❞ ❙♦✉t❤ ❆s✐❛ ♠❛② ❤❛✈❡ ✇❡❛❦ ✐♥❝❡♥t✐✈❡s t♦ ❜✉✐❧❞ t❤❡✐r st❛t❡s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ✐❞❡❛ ♦❢ ✏r❡♥t✐❡r st❛t❡s✑

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✷ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

❊♥❞♦❣❡♥♦✉s ❣r♦✇t❤

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛❧s♦ ❤❛s ✧❡♥❞♦❣❡♥♦✉s✧ ❣r♦✇t❤

◮ ✐♥❝♦♠❡ ❣r♦✇s ❞✉❡ t♦ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

✇❤❛t❡✈❡r t❤❡ s♦✉r❝❡ ♦❢ t❤❡s❡ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ❨ (π✷, ❘) − ❨ (π✶, ❘) ❨ (π✶, ❘)

◮ ❣r♦✇t❤ ❞r✐✈❡♥ ❜② ✐♥st✐t✉t✐♦♥❛❧ ❞❡❡♣❡♥✐♥❣ ❧❡❛❞✐♥❣ t♦

♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t ♣r✐✈❛t❡ ♠❛r❦❡ts✱ ✇❤❡♥ π✷ > π✶

◮ ❜② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t②✱ ✭❡①♣❡❝t❡❞✮ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t s✐③❡ ❣r♦✇s

t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛♥❞ ✐♥❝♦♠❡

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✸ ✴ ✼✵

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❈♦♠♣❛r❛t✐✈❡ ❙t❛t✐❝s

❈❧✉st❡r✐♥❣ ♦❢ st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t② ❛♥❞ ✐♥❝♦♠❡

❘❡❝❛❧❧ ❝♦r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ ❋✐❣✉r❡s ✶✳✸ ❛♥❞ ✸✳✶

◮ ❡❛r❧✐❡r r❡s✉❧ts s❤❡❞ ❢✉rt❤❡r ❧✐❣❤t ♦♥ ♦❜s❡r✈❡❞ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ◮ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❝❛♥ r❡✢❡❝t ❤✐❣❤❡r ✭❡①♦❣❡♥♦✉s✮

✐♥❝♦♠❡ ❝❛✉s✐♥❣ ❤✐❣❤❡r st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t②

◮ ❜✉t ♠❛② ❛❧s♦ r❡✢❡❝t ♦t❤❡r ❢❛❝t♦rs t❤❛t ❧❡❛❞ t♦ ❤✐❣❤❡r

st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ✕ ✐♥ t✉r♥ ✕ s♣✐❧❧s ♦✈❡r ✐♥t♦ ❤✐❣❤❡r ✭❡♥❞♦❣❡♥♦✉s✮ ✐♥❝♦♠❡

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✹ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

✷

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t②

✸

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥ Pr✐✈❛t❡ ❈❛♣✐t❛❧ ❆❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

✹

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✺ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

▼✐❝r♦❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s ✕ ❈♦♥tr❛❝t ❊♥❢♦r❝❡♠❡♥t

❚✇♦✲❢❛❝t♦r✱ t✇♦✲s❡❝t♦r ♠♦❞❡❧

▼✐❝r♦❢♦✉♥❞ ②(♣❏

s ) ✉s✐♥❣ ❛ t✇♦✲s❡❝t♦r✱ t✇♦✲❢❛❝t♦r ♠♦❞❡❧

❚r❛❞✐t✐♦♥❛❧ s❡❝t♦r

◮ ✉s❡s ♦♥❧② ❧❛❜♦r ❛♥❞ ♣r♦✈✐❞❡s ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥ ✇✐t❤ ✇❛❣❡ ω ◮ ❈❤❛♣t❡r ✷ ❛s ✐❢ ♦♥❧② s✉❝❤ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ s❡❝t♦r ✇✐t❤ ω = ω

❆❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r

◮ ✉s❡s ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ ❧❛❜♦r ✐♥ ✭❈❘❙✮ ❈♦❜❜✲❉♦✉❣❧❛s ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

❍s (❑, ▲) = ❑ η▲(✶−η)

◮ ❛ ❢r❛❝t✐♦♥✱ κ❏, ♦❢ ❣r♦✉♣✲❏ ♠❡♠❜❡rs ❝❛♥ ♦♣❡r❛t❡ t❤✐s t❡❝❤♥♦❧♦❣②

❧❡t κ = κ❆+κ❇

✷

❜❡ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠②✲✇✐❞❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ✧❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs✧

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✻ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

❋❛❝t♦r ♦✇♥❡rs❤✐♣ ❛♥❞ ♠❛r❦❡ts

❈❛♣✐t❛❧

◮ ❡❛❝❤ ❣r♦✉♣✲❏ ❝✐t✐③❡♥ ♦✇♥s ❡①♦❣❡♥♦✉s ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ❑ ❏

s ❛t ❞❛t❡ s

✭❡♥❞♦❣❡♥✐③❡❞ ❜② ♣r✐✈❛t❡ ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❛t❡r ♦♥✮ ❡❝♦♥♦♠②✲✇✐❞❡ st♦❝❦ ✐s ❑s =

❏ ❑ ❏

s

✷

◮ ❝❛♥ ✐♥✈❡st ✐♥ ❛ ❜❛❝❦st♦♣ t❡❝❤♥♦❧♦❣② ✇✐t❤ s♦♠❡ r❡t✉r♥ ρ ✭❯❙ ❚✲❜✐❧❧s✮

▲❛❜♦r

◮ ❡❛❝❤ ❝✐t✐③❡♥ ♦✇♥s ♦♥❡ ✉♥✐t✱ s♦ t❤❛t ▲s = ✶

❚r❛❞❡❞ ✐♥ ❢❛❝t♦r ♠❛r❦❡ts

◮ ❝❛♣✐t❛❧ ♠❛r❦❡t ♠❛② ❜❡ ❢r✐❝t✐♦♥❧❡ss ♦r ♥♦t ◮ (ρ, ω) ♣r✐❝❡ ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ ❧❛❜♦✉r tr❛❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠❛r❦❡t ◮ t♦ ❤❛✈❡ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✿ ρ > ρ ❛♥❞ ω > ω ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✼ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

❆❧❧♦❝❛t✐♦♥s ✐♥ ❢r✐❝t✐♦♥❧❡ss ♥❡❝♦❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡❝♦♥♦♠②

❲♦r❦ ✇✐t❤ ✐♥t❡♥s✐✈❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❛❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

◮ ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥t❡♥s✐t② ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r✱ ❦ = ❑/▲ ◮ ❣✐✈❡♥ ❢❛❝t♦r ♣r✐❝❡s (ρs, ωs)✱ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ♠❛①✐♠✐③❡s

▲ [(❦)η − ρs❦ − ωs] ❛♥❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝❛♣✐t❛❧ ❞❡♠❛♥❞ ˆ ❦ s♦❧✈❡s ρs = η(ˆ ❦)η−✶ ❛♥❞ t❤❡ ✇❛❣❡ ✐s ωs = (ˆ ❦)η − ρsˆ ❦

❋♦✉r ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❛s❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✇❤❡t❤❡r r❡t✉r♥s ♦♥ ❝❛♣✐t❛❧ ♦r ❧❛❜♦✉r ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥ ✭ρ = ρ ❛♥❞ ω = ω✮✳ ❍❡r❡ ❢♦❝✉s ♦♥ ρ > ρ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❝❛s❡s✿ ω = ω ♦r ω > ω✳

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✽ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

❆ss✉♠❡ ❝❛♣✐t❛❧ ✐s s❝❛r❝❡

❲❡ ♣♦st✉❧❛t❡ t❤❛t ✭♦t❤❡r ❝❛s❡s tr❡❛t❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✸✮ ρs = η (❑s)η−✶ > ρ

◮ t❤❡♥ ❛❧❧ ❝❛♣✐t❛❧ ✐s ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r ◮ ✭❤②♣♦t❤❡t✐❝❛❧✮ ✇❛❣❡ ✇❤❡♥ ❛❧❧ ❧❛❜♦r ✐s ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r

(✶ − η) (❑s)η

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✷✾ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

❚✇♦ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❛s❡s

❙♦♠❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✭❈❛s❡ ✸ ✐♥ t❤❡ ❜♦♦❦✮✿ (✶ − η) (❑s)η < ω

◮ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧✲s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② ❤✐❣❤ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❛ttr❛❝t s♦♠❡ ❧❛❜♦r

❜✉t ❡❛❝❤ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ♦♣❡r❛t❡s ❝❛♣✐t❛❧ ❑s/κ ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r

◮ r❡❛❧ ✇❛❣❡ ♣✐♥♥❡❞ ❞♦✇♥ ❜② ω

◆♦ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✭❈❛s❡ ✹ ✐♥ t❤❡ ❜♦♦❦✮✿ (✶ − η) (❑s)η > ω

◮ ❡❝♦♥♦♠② ❧✐❦❡ ❛ ♦♥❡✲s❡❝t♦r ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❢❛❝t♦r r❡✇❛r❞s ✭ρs, ωs) ◮ ❡❛❝❤ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r r✉♥s ♦♥❡ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r✲✜r♠ ✇✐t❤ s❤❛r❡ ❑s/κ ♦❢

t❤❡ ❡❝♦♥♦♠②✬s ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ ✶/κ ♦❢ ✐ts ✇♦r❦❢♦r❝❡

❈♦♥s✐❞❡r ✐♥st✐t✉t✐♦♥❛❧❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡❝♦♥♦♠✐❡s ✐♥st❡❛❞

◮ ❛♥❞ ❛♥❛❧♦❣s ♦❢ t❤❡ t✇♦ ❝❛s❡s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❤❡r❡ t♦ st✉❞② ♠✐❝r♦❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s

♦❢ ❝♦r❡ ♠♦❞❡❧ ✭t❤✐s s❡❝t✐♦♥✮ ❛♥❞ ❣❡♥✐✉s ♦❢ t❛①❛t✐♦♥ ✭♥❡①t s❡❝t✐♦♥✮✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✵ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

❈❛♣✐t❛❧✲♠❛r❦❡t ✐♠♣❡r❢❡❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

❋r✐❝t✐♦♥s ✇❤❡♥ ❜♦rr♦✇❡r ❝❛♥ ✇❛❧❦ ❛✇❛② ❢r♦♠ ❤❡r ❧♦❛♥

◮ ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ r❡q✉✐r❡❞ ♦❢ ❜♦rr♦✇❡rs ♦✇♥ ❝❛♣✐t❛❧ ◮ ♠❛①✐♠✉♠ ❝❛♣✐t❛❧ ✉s❡❞ ❜② ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ✐♥ ❣r♦✉♣ ❏ ❛t s

❑ ≤ (✶ + ♣❏

s )❑ ❏ s ✱

◮ ✇❤❡r❡ ♣❏

s ∈ [✵, πs] , ❜② r✐s❦ ♥❡✉tr❛❧✐t②✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ❛ ❝♦✉rt

❡♥❢♦r❝❡s ❝♦❧❧❛t❡r❛❧ ✐❢ ❝❛❧❧❡❞ ✉♣♦♥ t♦ ❞♦ s♦

◮ ♥♦t❡ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ❛ss✉♠❡❞ ❡①❝❧✉❞❛❜❧❡ ❛❝r♦ss ❣r♦✉♣s

▲❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

◮ ❝♦♥str❛✐♥t ♦♥ ♣❏

s ❜② πs ♥❛t✉r❛❧❧② ✐♥t❡r♣r❡t❛❜❧❡ ❛s ★ ♦❢ ❝♦✉rts ❛♥❞

q✉❛❧✐✜❡❞ ❥✉❞❣❡s✱ ♦r ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ q✉❛❧✐t② ♦❢ ❛ ❝❡♥tr❛❧✐③❡❞ ❝r❡❞✐t r❡❣✐str②

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✶ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

❆r❡ ❝❛♣✐t❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ❜✐♥❞✐♥❣❄

❈♦♠♣❛r❡ ❢r✐❝t✐♦♥❧❡ss ❛♥❞ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❞❡♠❛♥❞ ❢♦r ❝❛♣✐t❛❧

◮ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✐♥ ❣r♦✉♣ ❏ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✐❢

❑ ❏

s (✶ + ♣❏ s ) < ❑s/κ❏

◮ ❛♥❞ ❡❝♦♥♦♠② ✐♥st✐t✉t✐♦♥❛❧❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❢♦r ❜♦t❤ ❣r♦✉♣s ✐❢

✶ + πs < ♠✐♥{ ❑s κ■❑ ■

s

, ❑s κ❖❑ ❖

s

}.

◮ ❛ss✉♠❡ πs s♠❛❧❧ ❡♥♦✉❣❤ t❤❛t ♥❡✐t❤❡r ❣r♦✉♣ ❝❛♥ ❛❝❝❡ss t❤❡ s❛♠❡ ❝❛♣✐t❛❧

❛s ✐♥ t❤❡ ❢r✐❝t✐♦♥❧❡ss ♥❡♦❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡❝♦♥♦♠②

■♠♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❢♦r ❧❛❜♦r ❞❡♠❛♥❞❄

◮ ✐❢ ❝♦♥str❛✐♥t ❜✐♥❞s✱ ❧❛❜♦r ❞❡♠❛♥❞ ❜② ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✐♥ ❏ s♦❧✈❡s

ωs = (✶ − η) (✶ + ♣❏

s )❑ ❏ s

˜ ▲❏

s

η , ❢♦r ❏ ∈ {■, ❖}

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✷ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

• r♦✉♣ ✐♥❝♦♠❡ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥

❝❛s❡ ✸′✿ ω = ω

❍♦✇ ❞♦ ✐♥❝♦♠❡s ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♣❏

s ❄

◮ ❤❛✈❡ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❝❛s❡s ❛❜♦✈❡✱ ✐✳❡✳✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ♦r ❤❛✈❡ ♥♦t s♦♠❡

tr❛❞✐t✐♦♥❛❧✲s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱ s♦ ✇❛❣❡ ✐s ♦r ✐s♥✬t ♣✐♥♥❡❞ ❞♦✇♥ ❜② tr❛❞✐t✐♦♥❛❧✲s❡❝t♦r ✇❛❣❡ ω✳

❈❛s❡ ✸′✿ ❙♦♠❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧✲s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✭ω = ω✮

◮ ♣❡r✲❝❛♣✐t❛ ✐♥❝♦♠❡ ♦❢ ❣r♦✉♣ ❏ ♠❡♠❜❡r ✐s

② ❏(♣❏

s )

= κ❏ (✶ + ♣❏

s )❑ ❏ s

η˜ ▲❏

s

✶−η − ω˜ ▲❏

s

• + ω

= η

• ω

(✶ − η) (✶− ✶

η )(✶ + ♣❏

s )κ❏❑ ❏ s + ω

◮ ✜rst t❡r♠ ✐s q✉❛s✐✲r❡♥t ♦♥ ❝❛♣✐t❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ◮ ❞✉❡ t♦ t❤✐s q✉❛s✐✲r❡♥t✱ ② ❏(♣❏

s ) ✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✸ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

• r♦✉♣ ✐♥❝♦♠❡ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥

❝❛s❡ ✹′✿ ω > ω

❈❛s❡ ✹′✿ ◆♦ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧✲s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✭ω > ω✮ ❆❧❧ ❧❛❜♦✉r ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r ❛♥❞ ✇❛❣❡ r❛t❡ ✐s ωs

• ♣■

s, ♣❖ s

• = (✶ − η)
• ❏

κ❏ ✷

• ✶ + ♣❏

s

• ❑ ❏

s

η

◮ ❛ ♣❡❝✉♥✐❛r② ❡①t❡r♥❛❧✐t② ❜❡t✇❡❡♥ ❣r♦✉♣s

∂ωs(♣■

s,♣❖ s )

∂♣❏

s

> ✵✳

◮ ✐♥❝♦♠❡ ✐♥ ♦♥❡ ❣r♦✉♣ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♦✛❡r❡❞ t♦ ❜♦t❤

❣r♦✉♣s✳

♣❡r✲❝❛♣✐t❛ ✐♥❝♦♠❡ ♦❢ ❣r♦✉♣ ❏ ♠❡♠❜❡r ✐s ②❏(♣■

s, ♣❖ s ) = κ❏[((✶ + ♣❏ s )❑ ❏ s )η(˜

▲❏

s )✶−η − ωs(♣■ s, ♣❖ s )˜

▲❏

s ] + ωs(♣■ s, ♣❖ s )

♦♥❝❡ ❛❣❛✐♥ ✜rst t❡r♠ ✐s q✉❛s✐✲r❡♥t ♦♥ ❝❛♣✐t❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♥str❛✐♥❡❞

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✹ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ▼✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s

▼✐❝r♦❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s ❢♦r ❝♦r❡ ♠♦❞❡❧

❙✉♣♣♦s❡ ❡q✉❛❧ ♦✇♥❡rs❤✐♣ ❛♥❞ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs❤✐♣ ❛❝r♦ss ❣r♦✉♣s ✭❑ ❏

s = ❑s ❛♥❞ κ❏ = κ ❢♦r ❏ ∈ {■, ❖}✮✳

◮ t❤❡♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✇r✐tt❡♥ ❞♦✇♥ ❛ ♠✐❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❢✉♥❝t✐♦♥

②

• ♣❏

s

• , ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦r❡ ♠♦❞❡❧❀ s♦ ❛❧❧ ♦✉r ❛♥❛❧②s✐s t❤❡r❡ ❛♣♣❧✐❡s t♦ t❤✐s

s②♠♠❡tr✐❝ ❝❛s❡✳

◮ ❚❤❡♥ ✐❢ ♣■

s = ♣❖ s = πs✱ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ t♦t❛❧ ❝r❡❞✐t✴●❉P r❛t✐♦ ❛s

πs (✶ + πs)η (❑s)✶−η κη ✇❤✐❝❤ ✐s ♠♦♥♦t♦♥✐❝❛❧❧② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ πs ✭❋✐♥❛♥❝✐❛❧ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✳✮✳

◮ ❛❧s♦ ❡❛s② t♦ s❡❡ ❤♦✇ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ❛s②♠♠❡tr✐❡s ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✺ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥

❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r ❈❛s❡ ✹′✿ ◆♦ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧✲s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

◆♦✇✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ♠❛r❦❡t✲❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✇❛❣❡ ωs(♣■

s, ♣❖ s ) = (

• ❏

κ❏((✶ + ♣❏

s )❑ ❏ s /✷)η (✶ − η) > ω ✳

◮ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ ❡❛❝❤ ♣❏

s ✕ ♠♦r❡ ❧❛❜♦r ❞❡♠❛♥❞ r❛✐s❡s t❤❡ ✇❛❣❡

❍♦✇ ✐s t❤❡ ❣r♦✉♣ ■✬s ✐♥❝♦♠❡ ❛✛❡❝t❡❞ ❜② ♣❖

s ❄

❚❛❦❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ②■(♣■

s, ♣❖ s )

∂②■(♣■

s, ♣❖ s )

∂♣❖

s

= (✶ − κ■ ˜ ▲■

s)∂ωs(♣■ s, ♣❖ s )

∂♣❖

s

✵ ❛s κ■ ˜ ▲■

s ✶

◮ ❝r♦ss ❡✛❡❝t ✐s ♥❡❣❛t✐✈❡ ✭♣♦s✐t✐✈❡✮✱ ✐❢ ❣r♦✉♣ ■ ✐s ❛ ♥❡t ✐♠♣♦rt❡r

✭❡①♣♦rt❡r✮ ♦❢ ❧❛❜♦r✱ s♦ t❤❛t κ■

✷ ˜

▲■

s > ✶ ✷ > κ❖ ✷ ˜

▲❖

s

◮ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❛♥❛❧②s✐s ✐♥ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ♠❛② ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❛♣♣❧② ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✻ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥

❘❡✈✐s✐t t❤❡ ♣❡r✐♦❞✲✶ ✐♥❝✉♠❜❡♥t✬s ♣♦❧✐❝② ♣r♦❜❧❡♠

❘❡✇r✐t❡ ♣❡r✐♦❞ s ♣♦❧✐❝② ♣❛②♦✛ αs❣s + (✶ − ts) ②■(♣■

s, ♣❖ s ) + r■ s .

❛♥❞ ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥t ❘ + ts❨ (♣■

s, ♣❖ s ) = ❣s + ♠s + r■ s + r❖ s

✷ ✇❤❡r❡ ❨ (♣■

s, ♣❖ s ) ✐s ♥❛t✐♦♥❛❧ ✭♥♦♥✲r❡s♦✉r❝❡✮ ✐♥❝♦♠❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛

❨ (♣■

s, ♣❖ s ) =

• ❏ ②❏(♣■

s, ♣❖ s )

✷ =

• ❏

κ❏ ✷ ((✶ + ♣❏

s )❑ ❏ s )η

◮ ♥♦t❡ t❤❛t ❨ ❛❧✇❛②s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ ♣❖

s ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ② ■

♠❛② ♥♦t ❜❡ ✕ ❝r♦ss✲✇❛❣❡ ❡✛❡❝t ✐s ♣❡❝✉♥✐❛r② ❡①t❡r♥❛❧✐t②

◮ s♦❝✐❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t t♦ ❢♦❧❧♦✇ r✉❧❡ ♦❢ ❧❛✇ ♣■

s = ♣❖ s = πs

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✼ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥

❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥

❙t✐❧❧ ♦♣t✐♠❛❧ t♦ t❛① ❛♥❞ tr❛♥s❢❡r ❛s ❜❡❢♦r❡

◮ ✐♠♣♦s✐♥❣ ts = τs, ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ♣♦❧✐❝② ♦❜❥❡❝t✐✈❡

αs❣s + (✶ − τs) ② ■(♣■

s, ♣❖ s ) + ✷ (✶ − θ) [❘ + τs❨ (♣■ s, ♣❖ s ) − ❣s − ♠s]

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✻

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t κ■❑ ■

s > κ❖❑ ❖ s ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ˆ

τ (α) ✇✐t❤ ˆ τ (α❍) < ˆ τ (α▲) s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ τs ≥ ˆ τ (α)✱ ❛❧❧ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✐s ❢✉❧❧② ✉t✐❧✐③❡❞✱ ✐✳❡✳✱ ♣■s = ♣❖s = πs✳ ❇✉t ✐❢ τs < ˆ τ (αs)✱ t❤❡♥ ♣■s = πs ❛♥❞ ♣❖s = ✵✳ ❢♦r ❛ r✐❝❤ ✐♥❝✉♠❜❡♥t ❣r♦✉♣✱ ✇✐t❤ ❤✐❣❤❡r κ❏ ♦r ❑ ❏

s , t❤❡ ✜s❝❛❧ ❣❛✐♥s ❢r♦♠

❤✐❣❤❡r ♣❖

s ♠❛② ♥♦t ❜❡ ❤✐❣❤ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝♦♠♣❡♥s❛t❡ ❢♦r ❝✉t ✐♥

q✉❛s✐✲r❡♥ts ❢r♦♠ ❤✐❣❤❡r ✇❛❣❡s✱ ✐❢ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❧♦✇ ❡♥♦✉❣❤ ❝✉t♦✛ ✈❛❧✉❡ ❢♦r τ ❧♦✇❡r ✇❤❡♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ♣✉❜❧✐❝ ❣♦♦❞s ✐s ❤✐❣❤ s✉❝❤ r❡♥t✲s❡❡❦✐♥❣ ❧❡❛❞s t♦ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥❡✣❝✐❡♥❝②✱ ✈✐♦❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❉✐❛♠♦♥❞✲▼✐rr❧❡❡s✱ ❢❛✐❧✉r❡ ♦❢ P♦❧✐t✐❝❛❧ ❈♦❛s❡ ❚❤❡♦r❡♠

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✽ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥

❈❛♥ t❤✐s s✐t✉❛t✐♦♥ ♣❡rs✐st ✇❤❡♥ τ ❡♥❞♦❣❡♥♦✉s❄

❆♥s✇❡r ✐s ②❡s

◮ ♠❛② st✐❧❧ ❤❛✈❡ ❛ ✇❡❛❦ st❛t❡ ✕ ❊(λ✷) < ✶, ❛s ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷ ✐❢ θ ❧♦✇ ❛♥❞ γ

❤✐❣❤ ✕ ❝❛✉❣❤t ✐♥ ❛ ❵♥♦♥✲✐♥✈❡st♠❡♥t tr❛♣✬

◮ ❛ r✐❝❤❡r ❣r♦✉♣ ❤❛s ❧♦✇❡r ✐♥❝❡♥t✐✈❡s t♦ ✐♥✈❡st ✐♥ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② t❤❛♥ ❛

♣♦♦r ❣r♦✉♣ s✐♥❝❡ ✐t ♣❛②s ❤✐❣❤❡r s❤❛r❡ ♦❢ t❛①❡s ✭❝❢✳ ❝❤ ✷✮

▼♦t✐✈❡s t♦ ✐♥✈❡st ✐♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

◮ ✇✐t❤ r❡♥t✲s❡❡❦✐♥❣ t❤❡s❡ ❛r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧② ✇❡❛❦❡r ❛s ✇❡❧❧✱ ✐❢ ˆ

τ (α❍) > τ✷, t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❜❡♥❡✜t ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥❝❧✉❞❡s ❨π (π✷, ✵) (❊(λ✷) − ✶)τ✷ < ❨π (π✷, π✷) (❊(λ✷) − ✶)τ✷

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✸✾ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥

❍♦✇ ❝❛♥ ✇❡❛❦ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② s❤❛♣❡ ✐♥❝♦♠❡ ❛♥❞ ❣r♦✇t❤❄

❙✐♠♣❧❡ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥

◮ t✇♦ st❛t❡s✿ ❲ ✭❢♦r ❲❡❛❦✮ ❛♥❞ ❙ ✭❢♦r ❙tr♦♥❣✮ ◮ s❛♠❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② π❲

✶

= π❙

✶ = π✶ ❛♥❞ ❘❲ = ❘❙, ❜✉t

τ ❲

✶

< τ(α▲) < τ ❙

✶ , s♦ ❛t ♦♣♣♦s✐t❡ s✐❞❡s ♦❢ ✜s❝❛❧✲❝❛♣❛❝✐t② t❤r❡s❤♦❧❞ ♦❢

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✻✳

❈♦♠♣❛r❡ ✐♥❝♦♠❡s ✐♥ ♣❡r✐♦❞ ✶ ❛♥❞ ✷

◮ ♣❡r✐♦❞✲✶ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

❨ ❙

✶ − ❨ ❲ ✶

= ❨ (π✶, π✶) − ❨ (π✶, ✵) > ✵

◮ ❲ ❤❛s ❧♦✇❡r ✐♥❝♦♠❡✱ ❛s ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❖ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ◮ ♣❡r✐♦❞✲✷ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✭✐❢ ✐♥❝✉♠❜❡♥t ♣❡rs✐sts✮

❨ ❙

✷ − ❨ ❲ ✷

= ❨ (π❙

✷ , π❙ ✷ ) − ❨ (π❲ ✷ , ✵) > ❨ (π✶, π✶) − ❨ (π✶, ✵)

◮ ✐♥❝♦♠❡ ❣❛♣ ❣r♦✇s✱ s✐♥❝❡ π❙

✷ > π❲ ✷

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✵ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥

❋✉rt❤❡r ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♦♥ ✐♥❝♦♠❡✴st❛t❡✲❝❛♣❛❝✐t② ❝❧✉st❡rs

❘❡❝❛❧❧ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ ❋✐❣✉r❡s ✶✳✸ ❛♥❞ ✸✳✶

◮ r❡s✉❧ts ✐♥ t❤❡ ❝♦r❡ ♠♦❞❡❧ s✉❣❣❡st✿ ♠❛② r❡✢❡❝t ♦t❤❡r ❢❛❝t♦rs ❝❛✉s✐♥❣ ❧♦✇

st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t② ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❧♦✇ ✭❡♥❞♦❣❡♥♦✉s✮ ✐♥❝♦♠❡✱ ♦r ❧♦✇ ✭❡①♦❣❡♥♦✉s✮ ✐♥❝♦♠❡ ❝❛✉s✐♥❣ ❧♦✇ st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t②

◮ r❡s✉❧ts ❤❡r❡ s✉❣❣❡st ❧♦✇ st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t② ♠❛② ❝❛✉s❡ ❧♦✇ ✭❡♥❞♦❣❡♥♦✉s✮

✐♥❝♦♠❡ ✈✐❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥❡✣❝✐❡♥❝✐❡s

❲❛②s ♦✉t ♦❢ ✐♥❡✣❝✐❡♥❝✐❡s ✐♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t tr❛♣❄

◮ ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡s✿ ❤✐❣❤❡r φ ♦r α❍, ♠❛② ♠❛❦❡ ✐t t♦♦ ❝♦st❧② t♦ st❛② ✇✐t❤ ❧♦✇

✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛♥❞ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

◮ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s✿ ❤✐❣❤❡r θ, ♦r ❧♦✇❡r γ✱ ♠❛② ♣✉❧❧ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠② ♦✉t ♦❢

✜s❝❛❧✲❝❛♣❛❝✐t② ✐♥✈❡st♠❡♥t tr❛♣

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✶ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ ❚❤❡ ●❡♥✐✉s ♦❢ ❚❛①❛t✐♦♥

❘❡❧❛t✐♦♥ t♦ ❞❡❜❛t❡ ❛❜♦✉t ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t❄

❲♦r❦ ♦♥ ♣♦❧✐t✐❝❛❧ ♦r✐❣✐♥s ♦♥ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✭✉♥❞❡r✮❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t

◮ ❛ r✉❧✐♥❣ ❡❧✐t❡ ♠❛② ❤♦❧❞ ♦✛ ❝r❡❛t✐♥❣ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s s♦ ❛s t♦ ❝r❡❛t❡

♦r ♣r❡s❡r✈❡ ✐ts ♦✇♥ r❡♥ts

◮ ❜✉t t❤❛t ✇♦r❦ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❝♦♥s✐❞❡rs ✜♥❛♥❝✐❛❧ s❡❝t♦r ❛❧♦♥❡ ✇✐t❤♦✉t

❛tt❡♥t✐♦♥ t♦ t❤❡ t❛①✲tr❛♥s❢❡r s②st❡♠

◮ r❡s✉❧ts ♠❛② ✐♠♣❧✐❝✐t❧② ❛ss✉♠❡ ✇❡❛❦ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

◆❡❡❞ t♦ ❛s❦ P♦❧✐t✐❝❛❧ ❈♦❛s❡ ❚❤❡♦r❡♠ q✉❡st✐♦♥

◮ ✇❤② ❞♦❡s♥✬t ❣♦✈❡r♥♠❡♥t ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ♣✐❡ ❛♥❞ t❤❡♥ ❝❛rr②

♦✉t t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ r❡❞✐str✐❜✉t✐♦♥

◮ str❡ss❡❞ ❜② ❆❝❡♠♦❣❧✉ ✭✷✵✵✸✱ ✷✵✵✺✮ ◮ ❤❡r❡ t❤❡ ❢r✐❝t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❝r❡❞✐❜❧❡ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❢♦r tr❛♥s❢❡rr✐♥❣

❡✣❝✐❡♥❝② ❣❛✐♥s✱ ❜❡②♦♥❞ t❤❡ ✐♥st✐t✉t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♠✐t♠❡♥t ❡♥t❛✐❧❡❞ ✐♥ θ✳

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✷ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr✐✈❛t❡ ❈❛♣✐t❛❧ ❆❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥

Pr✐✈❛t❡ ❈❛♣✐t❛❧ ❆❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥

❆✉❣♠❡♥t t❤❡ ♠✐❝r♦❢♦✉♥❞❡❞ ❝♦r❡ ♠♦❞❡❧ ✭s❡❝t✐♦♥ ✸✳✷✳✶ ✐♥ t❤❡ ❜♦♦❦✮ ❛♥❞ ❛❧❧♦✇ ❢♦r ♣r✐✈❛t❡ ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥✳ ❋♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ ω > ω✳ ❆ss✉♠❡ ❢✉❧❧ ❞❡♣r✐❝✐❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥ ❡❛❝❤ ♣❡r✐♦❞ ▼♦❞❡❧ ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s

◮ ❡✈❡r②♦♥❡ ✐s ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ✇✐t❤✐♥ ❛♥❞ ❜❡t✇❡❡♥ ❣r♦✉♣s ◮ ❡❛❝❤ ❝✐t✐③❡♥ ❤❛s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② κ ♦❢ ❜❡✐♥❣ ❛♥ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉r ✐♥ ❡❛❝❤ ♣❡r✐♦❞✳

❆❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❜❡❢♦r❡ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②✳

◮ s✉♣♣♦s❡ ❛❧s♦✿ ♣■

s = ♣❏ s = πs✳

◮ ❡①♣❡❝t❡❞ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ✐♥❝♦♠❡✿

② (πs; ❑) =

• ρ (❑✷) ❑ + ω (❑✷) + ❘

✐❢ κ (✶ + πs) ≥ ✶ (κ (✶ + πs) ❑)η + ❘ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✇❤❡r❡ ρ (❑✷) = η (❑✷)η−✶ ✐s t❤❡ ♠❛r❦❡t✲❞❡t❡r♠✐♥❡❞ r❡♥t❛❧ ♣r✐❝❡ ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧✳

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✸ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr✐✈❛t❡ ❈❛♣✐t❛❧ ❆❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥

◆❡✇ t✐♠✐♥❣

✶ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ ✐♥✐t✐❛❧ st♦❝❦s ♦❢ st❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s {τ✶, π✶} , ❛ ❝❛♣✐t❛❧

st♦❝❦ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ♦❢ ❑✶ ❛♥❞ ❛♥ ✐♥❝✉♠❜❡♥t ❣r♦✉♣ ■✶✳

✷ ❆❧❧ ❝✐t✐③❡♥s ❝❤♦♦s❡ ❤♦✇ ♠✉❝❤ ❝❛♣✐t❛❧✱ ❑, t♦ ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡ ❢♦r ♣❡r✐♦❞ ✷✳ ✸ ◆❛t✉r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡s α✶ ❛♥❞ ❘ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❝✐t✐③❡♥s ❛r❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✐♥

♣❡r✐♦❞ ✶✳

✹ ■✶ ❝❤♦♦s❡s ❛ s❡t ♦❢ ♦❢ ♣❡r✐♦❞✲✶ ♣♦❧✐❝✐❡s {t✶, r■

✶, r❖ ✶ , ♣■ ✶, ♣❖ ✶ , ❣✶}, ❛♥❞

❞❡t❡r♠✐♥❡s ✭t❤r♦✉❣❤ ✐♥✈❡st♠❡♥ts✮ t❤❡ ♣❡r✐♦❞✲✷ st♦❝❦s ♦❢ ✜s❝❛❧ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② {τ✷, π✷}✳

✺ ■✶ st❛②s ✐♥ ♣♦✇❡r t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② (✶ − γ) , ✇❤✐❧❡ ♥❛t✉r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡s

α✷ ∈ {α▲, α❍} ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❝✐t✐③❡♥s ❛r❡ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs ✐♥ ♣❡r✐♦❞ ✷✳

✻ ■✷ ❝❤♦♦s❡s ❝❤♦♦s❡s ♣❡r✐♦❞✲✷ ♣♦❧✐❝✐❡s {t✷, r■

✷, r❖ ✷ , ♣■ ✷, ♣❖ ✷ , ❣✷}✳

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✹ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr✐✈❛t❡ ❈❛♣✐t❛❧ ❆❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥

❖♣t✐♠❛❧ Pr✐✈❛t❡ ■♥✈❡st♠❡♥t

❚❤❡ ♥❡✇ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❞❡❝✐s✐♦♥ ✐s ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ✐♥ st❛❣❡ ✷✿ ˆ ❑ ■

✷ = ❛r❣ ♠❛① ❑≥✵

• (✶ − γ) ❯■ (τ✷, π✷; ❑, ❑✷) + γ❯❖ (τ✷, π✷; ❑, ❑✷) − ❑
• ◮ ✇❤❡r❡ ❯❏ ✐s ♣❡r✐♦❞✲✷ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❣r♦✉♣✲❏✳

❇♦t❤ ❣r♦✉♣s ❢❛❝❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ t❡❝❤♥♦❧♦❣② ❛♥❞ t❛① r❛t❡ ✐♥ ♣❡r✐♦❞ ✷ ❤❡♥❝❡ ˆ ❑ ❖

✷ = ˆ

❑ ■

✷✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✼

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t (✶ − τ✷) ωη < ✶✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ♣❡r✐♦❞✲✷ ❝❛♣✐t❛❧ s♦❧✈❡s (✶ − τ✷) ②❑

• π✷; ˆ

❑ ❏

✷

• = ✶ ❢♦r ❏ ∈ {■, ❖} ✳

✈❡r② ✐♥t✉✐t✐✈❡✿ ♥❡t✲♦❢✲t❛① r❡t✉r♥ ♦♥ ❝❛♣✐t❛❧ ❤❛s t♦ ❜❡ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ♣❡r✐♦❞✲✶ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✳

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✺ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr✐✈❛t❡ ❈❛♣✐t❛❧ ❆❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥

❙t❛t❡ ❈❛♣❛❝✐t② ■♥✈❡st♠❡♥ts

❋r♦♠ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✼ ✇❤❡♥ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠② ✐s ✐♥st✐t✉t✐♦♥❛❧❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞✱ s♦ t❤❛t κ (✶ + π✷) < ✶✱ t❤❡♥✿ ∂ ˆ ❑✷ ∂πs = η ✶ − η ˆ ❑✷ (✶ + πs) > ✵ . ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② ❜❡t✇❡❡♥ ❜❡tt❡r ❧❡❣❛❧ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ❛♥❞ ♣r✐✈❛t❡ ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥✳ ❊♠♣✐r✐❝❛❧❧②✿ s✐♠✐❧❛r ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts ♦❢ ♣r✐✈❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✻ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

▼✐❝r♦❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s ✕ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❆❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐♠♣♦rt❛♥t s♦✉r❝❡ ♦❢ ♠✐s❛❧❧♦❝❛t✐♦♥

◮ ❧♦♦❦ ❛t ❡❝♦♥♦♠✐❝ ❝♦sts ✭❛♥❞ ♣♦❧✐t✐❝❛❧ ❜❡♥❡✜ts✮ ♦❢ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ◮ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ♣r✐✈❛t❡✱ ❞✉❡ t♦ ❧❛❝❦✐♥❣ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ◮ ❝♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❜❡ ♣✉❜❧✐❝✱ ❛s ❝♦rr✉♣t ❜✉r❡❛✉❝r❛ts ❛❜✉s❡ t❤❡✐r ♣♦✇❡r ◮ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛❧❧♦✇s ❢♦r ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ❛❣❛✐♥st ♣r❡❞❛t✐♦♥

❆❞❛♣t ❡❛r❧✐❡r t✇♦✲❢❛❝t♦r✱ ❛❞✈❛♥❝❡❞✲tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ s❡❝t♦r ♠♦❞❡❧

◮ ❛ss✉♠❡ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ✐s ♦♥❧② ❛♥ ✐ss✉❡ ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r ◮ ✇♦r❦s ❛s ❛ t❛① ❛♥❞ ♠❛② ❤✐♥❞❡r str✉❝t✉r❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ◮ st✉❞② s✐♠♣❧❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ ❡✈❡r② ❝✐t✐③❡♥ ❤♦❧❞s ❝❛♣✐t❛❧ ❑ ❛♥❞

❡❛❝❤ ❣r♦✉♣ ❤❛s s❛♠❡ s❤❛r❡ ♦❢ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs κ

❆❧s♦ st✉❞② t❤❡ ✇♦r❦✐♥❣ ♦❢ ❛ ♣r❡❞❛t♦r② st❛t❡

◮ ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② r❡♥t✲s❡❡❦✐♥❣ ❡❧✐t❡ t❤❛t ♠♦♥♦♣♦❧✐③❡s ♣r❡❞❛t✐♦♥ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✼ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❚❤❡ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ♦❢ ♣r❡❞❛t✐♦♥

❆ ❣✐✈❡♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ♣r❡❞❛t♦rs

◮ s❤❛r❡ ♦❢ ♠❡♠❜❡rs ♥❏ ∈ [✵, ✶] ❢r♦♠ ❜♦t❤ ❣r♦✉♣s

s✉❝❤ t❤❛t ♥■ + ♥❖ = ✶

◮ ❝♦rr✉♣t✐♦♥ ✐s s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✱ ✇❤❡r❡ ♥■ = ✶ − ♥❖ = ✶

Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛s ❛♥ ✐♥❢♦r♠❛❧ t❛①

◮ ♣r❡❞❛t♦rs ❝❛♣t✉r❡ ❛ s❤❛r❡ µ ♦❢ ♦✉t♣✉t ❞❡♣❡♥❞✐♥❣

♦♥ t❤❡✐r ❡✛♦rt χ, ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❝♦♥✈❡① ❝♦st ❈ (χ)

◮ ❝❛♥ t❛r❣❡t ♣r❡❞❛t✐♦♥ ❛❝r♦ss ❣r♦✉♣s✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ❤♦✇

✇❡❧❧ ❣r♦✉♣s ❛r❡ ♣r♦t❡❝t❡❞✱ ✐✳❡✳✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ♣❏

s ∈ [✵, πs]

◮ s✐♠♣❧❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✇❤❡r❡ ♣r❡❞❛t♦r② t❛① r❛t❡ ♦♥ ❛ ❣r♦✉♣

µ (χ, ♣) = (✶ − ♣) χ ❢❛❧❧s ✐♥ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♣, ❛♥❞ r✐s❡s ✐♥ ♣r❡❞❛t♦r② ❡✛♦rt χ

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✽ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❊①♣❡❝t❡❞ ✐♥❝♦♠❡s ❛♥❞ r❡t✉r♥s

❊①♣❡❝t❡❞ ♦✉t♣✉t ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r

◮ ❢♦r ❣r♦✉♣ ❏ ✐♥ ♣❡r✐♦❞ s

[✶ − µ(χ❏

s , ♣❏ s )]❑ η▲✶−η

◮ ✇❡ ❢♦❝✉s ❛❣❛✐♥ ♦♥ s❝❛r❝❡ ❝❛♣✐t❛❧

[✶ − µ(χ❏

s , ♣❏ s )]η (❑)η−✶ > ρ

❆❣❛✐♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t✇♦ ❝❛s❡s

◮ ✇ ♦r ✇✴♦ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧✲s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ω

Pr❡❞❛t♦r② r❡t✉r♥s

◮ ❛❧❧ ♣r❡❞❛t♦rs ❛❝t ❥♦✐♥t❧② t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ ♣r♦✜ts ❢r♦♠ ❣r♦✉♣ s

µ(χ,❏

s , ♣❏ s )❑ η▲✶−η − ❈(χ❏ s )

◮ ❛♥❞ s♣❧✐t t❤❡s❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♦✇♥❡rs❤✐♣ s❤❛r❡s ♥■, ♥❖ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✹✾ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❈❛s❡ ✶✿ ❙♦♠❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

▲❛❜♦r ❞❡♠❛♥❞ ˜ ▲❏

s ❜② s❡❝t♦r ❏ ❡♥tr❡♣r❡♥❡✉rs

◮ s♦❧✈❡s

[✶ − µ(χ❏

s , ♣❏ s )] (✶ − η) ( ❑s

˜ ▲❏

s κ

)η = ω

❖♣t✐♠❛❧ ♣r❡❞❛t✐♦♥ r❛t❡ ˆ χ❏

s

◮ ❣✐✈❡♥ ❜② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

(✶ − ♣❏

s ) (❑s)η (κ˜

▲❏

s )✶−η = ❈χ(ˆ

χ❏

s )

❇❡tt❡r ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❣r♦✉♣ ❏′s ♣r♦♣❡rt② r✐❣❤ts

◮ ❤✐❣❤❡r ♣❏

s ❤❛s t✇♦ ❜❡♥❡✜❝✐❛❧ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❡✛❡❝t

◮ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ❡✛❡❝t✿ ❧♦✇❡r ˆ

χ❏

s ❧✐❦❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ t❛①

◮ r❡❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❡✛❡❝t✿ ♣✉❧❧s ♠♦r❡ ❧❛❜♦r ✐♥t♦ t❤❡ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✵ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❈❛s❡ ✷✿ ◆♦ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

▲❛❜♦r ❞❡♠❛♥❞

◮ ❣✐✈❡♥ ❜② ˜

▲❏

s = ✶ κ ❛♥❞ ❛❞✈❛♥❝❡❞✲s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

♥❡t ♦❢ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ✐s (✶ − µ(χ, ♣❏

s )) (❑s)η

❖♣t✐♠❛❧ ♣r❡❞❛t✐♦♥ r❛t❡ ˆ χ❏

s

◮ ✭❛t ✐♥t❡r✐♦r s♦❧✉t✐♦♥✮ ✐s ♥♦✇ ❣✐✈❡♥ ❜②

(✶ − ♣❏

s ) (❑s)η = ❈χ(ˆ

χ❏

s )

◮ ♥♦✇ ♣❏

s ❤❛s ♦♥❧② ❛ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ❡✛❡❝t✱ ♥♦ r❡❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❡✛❡❝t

❈♦♥s✐❞❡r ❈❛s❡ ✶ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛♥❛❧②s✐s

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✶ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❉✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ✐♥❝♦♠❡

❉❡✜♥❡ ♥❡t ✐♥❝♦♠❡ t♦ ❣r♦✉♣ ❏

◮ ❢r♦♠ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❛❞✈❛♥❝❡❞ s❡❝t♦r

[✶ − µ(ˆ χ❏

s , ♣❏ s )]˜

②(♣❏

s )

✇❤❡r❡ ˜ ②(♣❏

s ) = (❑s)η(κ˜

▲❏

s )✶−η ✐s ❣r♦ss ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

◆❡t ✐♥❝♦♠❡ t♦ ❣r♦✉♣ ❏ ❢r♦♠ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ♥❏[µ(ˆ χ■

s, ♣■ s)˜

②(♣■

s) + µ(ˆ

χ❖

s , ♣❖ s )˜

②(♣❖

s ) − ❈(ˆ

χ■

s) − ❈(ˆ

χ❖

s )]

❚♦t❛❧ ✐♥❝♦♠❡ ❢♦r ✐♥❝✉♠❜❡♥t ❣r♦✉♣ ■

◮ ❛❞❞ t❤❡s❡ ❛♥❞ ✐♥❝♦♠❡ ❢r♦♠ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ s❡❝t♦r

② ■(♣■

s, ♣❖ s )

= [✶ − ♥❖µ(ˆ χ■

s, ♣■ s)]˜

②(♣■

s) + ♥■µ(ˆ

χ❖

s , ♣❖ s )˜

②(♣❖

s )

−♥■(Σ❏❈(ˆ χ❏

s ) + (✶ − κ˜

▲■

s)ω

◮ ✐♥❝♦♠❡ ❜② ♣r❡❞❛t✐♦♥ ♦❢ ♦✇♥ ♠❡♠❜❡rs ♥■µ(ˆ

χ■

s, ♣■ s)˜

②(♣■

s) ♥❡ts ♦✉t

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✷ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

◆♦r♠❛t✐✈❡ ❜❡♥❝❤♠❛r❦

❚♦t❛❧ ✭♥♦♥✲r❡s♦✉r❝❡✮ ♥❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❝♦♠❡✴❝❛♣✐t❛

◮ ❛❞❞ ② ■(♣■

s, ♣❖ s ) ❛♥❞ ② ❖(♣■ s, ♣❖ s ), s✐♠✐❧❛r❧② ❞❡✜♥❡❞

❨ (♣■

s, ♣❖ s ) =

• ❏∈{■,❖} ˜

②(♣❏

s ) − ❈(ˆ

χ❏

s ) + (✶ − κ˜

▲❏

s )ω

✷

◮ t❡r♠s ✐♥ µ(ˆ

χ❏

s , ♣❏ s ) ❛r❡ ♣✉r❡ tr❛♥s❢❡rs✱ ✇❤✐❝❤ ❞r♦♣ ♦✉t

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✽

■♥❝♦♠❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞ ✇❤❡♥ ♣■

s = ♣❖ s = πs✱ ✐✳❡✳✱ ❢✉❧❧ ❧❡❣❛❧

♣r♦t❡❝t✐♦♥ ✐s ❣r❛♥t❡❞ t♦ ♣r♦❞✉❝❡rs✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✳ ❣r♦ss ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱

❏∈{■,❖} ˜

②(♣❏

s ) + (✶ − κ˜

▲❏

s )ω, ♠❛①✐♠✐③❡❞ ❜②

♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ ✐♠♣❧✐❝✐t t❛①❡s ♦♥ ❛❞✈❛♥❝❡❞✲s❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❞❡❛❞✇❡✐❣❤t ❧♦ss ❢r♦♠ ♣r❡❞❛t✐♦♥✱ −

❏∈{■,❖} ❈(ˆ

χ❏

s )✱ ♠✐♥✐♠✐③❡❞ ❜②

❞❡t❡rr✐♥❣ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ❛s ♠✉❝❤ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✸ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

P♦❧✐t✐❝❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠

■♥❝✉♠❜❡♥t ❢❛❝❡s s✐♠✐❧❛r ♣r♦❜❧❡♠ ❛s ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹

◮ ♠❛①✐♠✐③❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐♥ ② ■(♣■

s, ♣❖ s )

◮ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ♥■ >> ♥❖ ✕ s♦ t❤❛t ♠♦st ♣r❡❞❛t✐♦♥ r❡♥ts

❝❛♣t✉r❡❞ ❜② ✐♥❝✉♠❜❡♥t ❣r♦✉♣

Pr❡❞❛t✐♦♥ ♦♥ ❣r♦✉♣ ■

◮ ♠♦st❧② r❡❞✐str✐❜✉t❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❣r♦✉♣ ❜✉t ❣❡♥❡r❛t❡s s✉❜st❛♥t✐❛❧

❞❡❛❞✇❡✐❣❤t ❝♦sts✱ ❝❢✳ t❡r♠ −♥■❈(ˆ χ■

s) ✐♥ ② ■(♣■ s, ♣❖ s )

◮ ♠❛② ❜❡ ♦♣t✐♠❛❧ t♦ s❡t ♣■

s = πs

Pr❡❞❛t✐♦♥ ♦♥ ❣r♦✉♣ ❖

◮ ❣❡♥❡r❛t❡s s✉❜st❛♥t✐❛❧ ✐♥❝♦♠❡ ❢♦r ❣r♦✉♣ ■✱ ❝❢✳ t❡r♠ ♥■µ(ˆ

χ❖

s , ♣❖ s )˜

②(♣❖

s )

✐♥ ② ■(♣■

s, ♣❖ s )

◮ ♠❛② ❜❡ ♦♣t✐♠❛❧ t♦ s❡t ♣❖

s = ✵

❋♦r♠❛❧ ❛r❣✉♠❡♥t ❛s ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹ ✕ ♦♠✐tt❡❞ ❤❡r❡

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✹ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❆ ♣r❡❞❛t♦r② st❛t❡

❈❤❛♥❣❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❛❜♦✉t ✇❤♦ ♦❜t❛✐♥s t❤❡ r❡♥ts

◮ s♦ ❢❛r r❡♥ts ❛❝❝r✉❡ ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤ ❣r♦✉♣✱ ❛♥❞ ✐♥❝✉♠❜❡♥ts ❛❝t

♦♥ ❜❡❤❛❧❢ ♦❢ ❛❧❧ ❣r♦✉♣ ♠❡♠❜❡rs ✕ ♣r❡s✉♠❡s ❈♦❛s✐❛♥ ❜❛r❣❛✐♥

❆❧t❡r♥❛t✐✈❡✱ ♠♦r❡ r❡❛❧✐st✐❝✱ ❛ss✉♠♣t✐♦♥

◮ ❛❧❧ ♣r❡❞❛t♦r② r❡♥ts ❣♦ t♦ ❛♥ ✏❡❧✐t❡✑✱ ❛ s❤❛r❡ ✑ ❡■ << ✶ ♦❢ ❛♥②

✐♥❝✉♠❜❡♥t ❣r♦✉♣✱ ❛♥❞ ❜❡❛rs ❛❧❧ ❝♦sts ♦❢ ♣r❡❞❛t✐♦♥

◮ ♣♦❧✐t✐❝❛❧ t✉r♥♦✈❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ❡❧✐t❡ ❣r♦✉♣s ◮ ❛❞❞ t❤✐r❞ ♣♦❧✐t✐❝❛❧ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ♣❛r❛♠❡t❡r t♦ θ ❛♥❞ γ, ✈✐③✳

❣♦✈❡r♥❛♥❝❡ ζ ∈ [✵, ✶] ❛ tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦st ✐♠♣♦s❡❞ ♦♥ ❡❧✐t❡ ♣❡r❤❛♣s r❡✢❡❝t✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❥✉❞✐❝✐❛r②

❘❡❛❧✐③❡❞ ❝♦rr✉♣t✐♦♥ r❡♥ts ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ✐♥ t❤❡ ❡❧✐t❡

• ❏∈{■,❖} µ(ˆ

χ❏

s , ♣❏ s )˜

②(♣❏

s ) − ❈(ˆ

χ❏

s )

❡■ (✶ − ζ)

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✺ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

P♦❧✐❝② ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ ✐♥❝✉♠❜❡♥t ❡❧✐t❡

❆ss✉♠❡❞ t♦ ❛❝t s❡❧✜s❤❧②

◮ ❜✉t ❝♦♥s✐❞❡rs ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♦❢ t❤❡ ❡❧✐t❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s

♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ✐♥ ❣r♦✉♣ ■

• ❏∈{■,❖} µ(ˆ

χ❏

s , ♣❏ s )˜

②(♣❏

s ) − ❈(ˆ

χ❏

s )

❡■ (✶ − ζ) + αs❣s + (✶ − ts) [✶ − µ(ˆ χ■

s, ♣■ s)]˜

②

• ♣■

s

• + r ■

s

◮ ❛s ❡■ << ✶, ❡❧✐t❡ ♣✉ts ❣r❡❛t❡r ✇❡✐❣❤t ♦♥ ✐ts❡❧❢ t❤❛♥ ♦♥ ✐ts ❣r♦✉♣ ◮ ✐✳❡✳✱ ❛❣❡♥❝② ❝♦♥✢✐❝t ✇✐t❤✐♥ ❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❝♦♥✢✐❝t ❜❡t✇❡❡♥ ❣r♦✉♣s ◮ ts✱ ❣s✱ ❛♥❞ r ■

s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❛s ❜❡❢♦r❡

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✻ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

▲❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ r❡✈✐s✐t❡❞

❋♦r ❛ss✐❣♥♠❡♥t ♦❢ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❣❡t

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✾

❚❤❡ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♣r♦♣❡rt② r✐❣❤ts ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ ❣♦✈❡r♥❛♥❝❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ t❤r❡s❤♦❧❞s✿ ζ❍(τs, πs, λs, ❡■) > ζ▲(τs, πs, λs, ❡■) s✉❝❤ t❤❛t✿

✶ ■❢ ζ ≥ ζ❍(τs, πs, λs, ❡■)✱ t❤❡♥ ♣■

s = ♣❖ s = πs✳

✷ ■❢ ζ ∈ (ζ▲(τs, πs, λs, ❡■), ζ❍(τs, πs, λs, ❡■))✱ t❤❡♥ πs ≥ ♣■

s > ♣❖ s ≥ ✵✳

✸ ■❢ ζ ≤ ζ▲(τs, πs, λs, ❡■)✱ t❤❡♥ ♣■

s = ♣❖ s = ✵✳

◆❡✇ r❡s✉❧ts✿

◮ ❜❛❞ ❣♦✈❡r♥❛♥❝❡✿ ❜♦t❤ ❣r♦✉♣s ♠❛② ❜❡ ❞❡♥✐❡❞ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥

❜❛s✐❝❛❧❧②✱ t❤❡ ❡❧✐t❡ ❤❛s t♦ ❜❡ s♠❛❧❧ ❡♥♦✉❣❤

◮ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❣♦✈❡r♥❛♥❝❡✿ r❡s✉❧t ❧✐❦❡ ✐♥ ●❡♥✐✉s ♦❢ t❛①❛t✐♦♥ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✼ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❇❛❝❦ t♦ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ✐♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

❉❡✜♥❡

◮ ❇❛❞ ❣♦✈❡r♥❛♥❝❡✿ ζ ≤ ζ▲(τs, πs, λs, ❡■)

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶✵

■❢ ❇❛❞ ●♦✈❡r♥❛♥❝❡ ❤♦❧❞s✱ t❤❡ st❛t❡ ✐s ♣r❡❞❛t♦r② ❛♥❞ ❤❛s ♥♦ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st ✐♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✳ ❚❤✐s ❛❧s♦ r❡❞✉❝❡s t❤❡ ♣❡r✐♦❞✲✶ ✐♥❝✉♠❜❡♥t✬s ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st ✐♥ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✳ ■♥t✉✐t✐♦♥ ✐s s✐♠♣❧❡

◮ ✉♥❞❡r ❜❛❞ ❣♦✈❡r♥❛♥❝❡ ♣■

✷ = ♣❖ ✷ = ✵, s♦ t❤❡ ♣r♦s♣❡❝t✐✈❡ ❜❡♥❡✜ts ♦❢

✐♥✈❡st♠❡♥t ②π (π✷) = ✵; ♥♦ ❢✉t✉r❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥t ✉s❡s ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

◮ ❜② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t②✱ ✜s❝❛❧✲❝❛♣❛❝✐t② ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐s ❧♦✇❡r

▲❡❣❛❧✲❝❛♣❛❝✐t② ✐♥✈❡st♠❡♥t tr❛♣ ✉♥❞❡r ❜❛❞ ❣♦✈❡r♥❛♥❝❡

◮ ❛ ♥❡✇ ♣♦ss✐❜✐❧✐t②✱ t♦ ♠❛t❝❤ ❡❛r❧✐❡r ✜s❝❛❧✲❝❛♣❛❝✐t② ✐♥✈❡st♠❡♥t tr❛♣ ✐♥

✇❡❛❦ st❛t❡s

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✽ ✴ ✼✵

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧ Pr❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦rr✉♣t✐♦♥

❚❛❦✐♥❣ st♦❝❦

■♠♣❧✐❡❞ ❡✛❡❝ts ♦❢ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦rr✉♣t✐♦♥

◮ ✉s✉❛❧ st❛t✐❝ ❞✐st♦rt✐♦♥s ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱ ❜✉t ❛❧s♦ t✇♦ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♠❛r❣✐♥s✱

✇❤❡r❡ ♣r❡❞❛t✐♦♥ ❞✐st♦rts✳

◮ ✐♥❝❡♥t✐✈❡s ❢♦r ❣♦✈❡r♥♠❡♥ts t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ❧❡❣❛❧ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ t♦ ❝✐t✐③❡♥s✱ ❣✐✈❡♥

❡①✐st✐♥❣ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✳

◮ ❞✐s✐♥❝❡♥t✐✈❡s t♦ ❜✉✐❧❞ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❧❡❣❛❧ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s✳

◆♦r♠❛t✐✈❡ ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❢♦r ✐♥st✐t✉t✐♦♥❛❧ r❡❢♦r♠

◮ ✐♥ ❝♦r❡ ♠♦❞❡❧✱ ❢♦❝✉s ♦♥ ❝♦❤❡s✐✈❡ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s✿ ❤✐❣❤ θ ◮ ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧✱ ❢♦❝✉s ♦♥ ❣♦♦❞ ❣♦✈❡r♥❛♥❝❡✿ ❤✐❣❤ ζ ◮ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ t❤❡ t✇♦ ♠❛② ❜❡ ❝❧♦s❡❧② r❡❧❛t❡❞ ❛s ❜♦t❤ ❝❛❧❧ ❢♦r ✐♠♣♦s✐♥❣

❝♦♥str❛✐♥ts ♦♥ ❞✐s❝r❡t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❝✉♠❜❡♥ts✳

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✺✾ ✴ ✼✵

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

✷

❚❤❡ ❈♦r❡ ▼♦❞❡❧ ✇✐t❤ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t②

✸

❉❡✈❡❧♦♣✐♥❣ t❤❡ ▼♦❞❡❧

✹

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✻✵ ✴ ✼✵

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

▼❡❛s✉r✐♥❣ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✕ ❚❛❜❧❡ ✸✳✶

❋✐✈❡ ♣r♦①✐❡s ❢♦r ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✭■❈❘● ❛♥❞ ❲♦r❧❞ ❇❛♥❦ ❞❛t❛✮

◮ ✐♥❞❡① ♦❢ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t ❛♥t✐✲❞✐✈❡rs✐♦♥ ♣♦❧✐❝②✱ ❡♥❞ ♦❢ ✶✾✾✵s ◮ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ r❛♥❦ ♦♥ ❉♦✐♥❣ ❇✉s✐♥❡ss ✐♥❞✐❝❛t♦rs✱ ❝✐r❝❛ ✷✵✵✻ ◮ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ r❛♥❦ ♦♥ ❡❛s❡ ♦❢ r❡❣✐st❡r✐♥❣ ♣r♦♣❡rt② ◮ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ r❛♥❦ ✐♥ t❤❡ ❡❛s❡ ♦❢ ❛❝❝❡ss t♦ ❝r❡❞✐t ◮ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ r❛♥❦ ♦♥ ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ❡♥❢♦r❝✐♥❣ ❝♦♥tr❛❝ts

q✉✐t❡ str♦♥❣❧②✱ ❜✉t ♥♦t ♣❡r❢❡❝t❧② ❝♦rr❡❧❛t❡❞

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✻✶ ✴ ✼✵

❚❛❜❧❡✿ ❚❛❜❧❡ ✸✳✶ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ♠❡❛s✉r❡s

• ♦✈❡r♥♠❡♥t

❆♥t✐❞✐✈❡rs✐♦♥ P♦❧✐❝② ❉♦✐♥❣ ❇✉s✐♥❡ss ❘❡❣✐st❡r✐♥❣ Pr♦♣❡rt② ❖❜t❛✐♥✐♥❣ ❈r❡❞✐t ❈♦♥tr❛❝t ❊♥❢♦r❝❡♠❡♥t

• ♦✈❡r♥♠❡♥t ❆♥t✐❞✐✈❡rs✐♦♥ P♦❧✐❝②

✶ ❉♦✐♥❣ ❇✉s✐♥❡ss ✵✳✼✾✼ ✶ ❘❡❣✐st❡r✐♥❣ Pr♦♣❡rt② ✵✳✹✼✹ ✵✳✺✼✷ ✶ ❖❜t❛✐♥✐♥❣ ❈r❡❞✐t ✵✳✻✾✶ ✵✳✼✼✹ ✵✳✹✶✸ ✶ ❈♦♥tr❛❝t ❊♥❢♦r❝❡♠❡♥t ✵✳✻✾✺ ✵✳✼✷✸ ✵✳✸✽✻ ✵✳✹✼✷ ✶

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

P❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ ❝♦r❡ ♠♦❞❡❧

❯s❡ s❛♠❡ ♣r♦①✐❡s ❛s ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✷

◮ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡r❡sts✿ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ②❡❛rs ✐♥ ❡①t❡r♥❛❧ ✇❛r ❢r♦♠ ✶✽✶✻ ✭♦r

✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✮ ✉♥t✐❧ ✷✵✵✵ ✭❈♦rr❡❧❛t❡s ♦❢ ❲❛r ❞❛t❛✮

◮ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✴❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t②✿ ✶− ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡t❤♥✐❝ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥

✭❋❡❛r♦♥✱ ✷✵✵✸ ❞❛t❛ ♦♥ ✭✵✱✶✮✮

◮ ❝♦❤❡s✐✈❡ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s✿ ❛✈❡r❛❣❡ ❢r♦♠ ✶✽✵✵ ✭♦r ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✮ t♦ ✷✵✵✵ ♦❢

❝♦♥str❛✐♥ts ♦♥ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ✭✧❳❝♦♥st✧ ✐♥ P♦❧✐t② ■❱ ❞❛t❛✱ ✶✲✼ s❝❛❧❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ t♦ ✭✵✱✶✮✮

◮ ♣♦❧✐t✐❝❛❧ st❛❜✐❧✐t②✿ ❛✈❡r❛❣❡ s❝♦r❡s ♦♥ ♥♦♥✲♦♣❡♥ ✫ ♥♦♥❝♦♠♣❡t✐t✐✈❡

r❡❝r✉✐t♠❡♥t ♦❢ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ✭P♦❧✐t② ■❱✱ ✧❳r❝♦♠♣✧ ❛♥❞ ✧❳r♦♣❡♥✧✮

• ✐✈❡♥ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷

◮ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❝♦sts✿ ❧❡❣❛❧ ♦r✐❣✐♥ ✐♥❞✐❝❛t♦rs ✭▲❛ P♦rt❛ ❡t ❛❧ ✶✾✾✽✮ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✻✸ ✴ ✼✵

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

P❛rt✐❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s

❋✐❣✉r❡s ✶✳✽✱ ✶✳✾ ❛♥❞ ❚❛❜❧❡s ✸✳✷✲✸✳✹

❈♦♠♣✉t❡ ♣❛rt✐❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s

◮ ❛s ❜❡❢♦r❡✱ r❡❣r❡ss ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ♦♥ s✉❣❣❡st❡❞ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts❀ ◮ ❛❜s♦❧✉t❡❧② ♥♦ ❝❧❛✐♠ ♦❢ ❝❛✉s❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ◮ ❜✉t ❞♦♥✬t ♣✉t ✐♥❝♦♠❡ ♦♥ ❘❍❙✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡♦r② ✐♥ t❤✐s ♣❛rt

❇❛s✐❝ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ ❧✐♥❡ ✇✐t❤ t❤❡♦r②

◮ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡❛s✉r❡s ♦❢ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②

❆✉①✐❧✐❛r② ♣r❡❞✐❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡♦r②❄

◮ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❡✛❡❝ts✿ ♠✐①❡❞ s✉❝❝❡ss ◮ ♦t❤❡r ♦✉t❝♦♠❡s t❤❛♥ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✿ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t✱ ♣r✐✈❛t❡

✐♥✈❡st♠❡♥t✱ ❝♦rr✉♣t✐♦♥✿ ❜❛s✐❝❛❧❧② ②❡s✦

◮ ❝♦♠♠♦♥ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts ✇✐t❤ ✜s❝❛❧ ❝❛♣❛❝✐t②✿ ❜❛s✐❝❛❧❧② ②❡s✦ ❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✻✹ ✴ ✼✵

−.4 −.2 .2 Property rights protection index −.05 .05 .1 .15 Share of years in external war

External war and legal capacity ❋✐❣✉r❡ ✶✳✽ ▲❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧ ✇❛r

−.4 −.2 .2 Property rights protection index −.5 .5 Average executive constraints

Executive constraints and legal capacity ❋✐❣✉r❡ ✶✳✾ ▲❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛♥❞ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts

❚❛❜❧❡✿ ❚❛❜❧❡ ✸✳✷ ▲❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛♥❞ ❝♦✈❛r✐❛t❡s✿ s✐♠♣❧❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s

✭✶✮ ✭✷✮ ✭✸✮ ✭✹✮ ✭✺✮

• ♦✈❡r♥♠❡♥t

❆♥t✐❞✐✈❡rs✐♦♥ P♦❧✐❝② ❉♦✐♥❣ ❇✉s✐♥❡ss ❘❡❣✐st❡r✐♥❣ Pr♦♣❡rt② ❖❜t❛✐♥✐♥❣ ❈r❡❞✐t ❈♦♥tr❛❝t ❊♥❢♦r❝❡♠❡♥t Pr❡✈❛❧❡♥❝❡ ❡①t❡r♥❛❧ ✇❛r ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✶✳✸✶✽ ✵✳✹✺✹ ✵✳✷✺✻ ✵✳✸✻✽ ✵✳✽✸✹

✭✵✳✺✾✹✮∗∗ ✭✵✳✶✾✮∗∗ ✭✵✳✹✹✽✮ ✭✵✳✷✶✶✮∗ ✭✵✳✷✹✺✮∗∗∗ ❆✈❡r❛❣❡ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✷✳✵✺✸ ✵✳✺✷✼ ✵✳✷✸✸ ✵✳✸✺✷ ✵✳✷✺✼

✭✵✳✷✾✺✮∗∗∗ ✭✵✳✵✽✺✮∗∗∗ ✭✵✳✶✷✹✮∗ ✭✵✳✵✾✹✮∗∗∗ ✭✵✳✶✵✽✮∗∗ ❆✈❡r❛❣❡ ♥♦♥♦♣❡♥ ❡①❡❝✉t✐✈❡ r❡❝r✉✐t♠❡♥t ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✶✳✹✹✸ ✵✳✷✸ ✵✳✷✸✽ ✲✳✵✽✺ ✵✳✶✼✸

✭✵✳✸✵✹✮∗∗∗ ✭✵✳✶✶✮∗∗ ✭✵✳✶✺✹✮ ✭✵✳✶✶✺✮ ✭✵✳✶✵✾✮ ❊t❤♥✐❝ ❤♦♠♦❣❡♥❡✐t② ✭✶✲ ❡t❤♥✐❝ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥✮

✶✳✵✾✻ ✵✳✷✹✼ ✵✳✷✹✾ ✵✳✷✾ ✵✳✶✶✻

✭✵✳✷✻✾✮∗∗∗ ✭✵✳✵✼✹✮∗∗∗ ✭✵✳✵✾✶✮∗∗∗ ✭✵✳✵✾✮∗∗∗ ✭✵✳✵✾✼✮ ❊♥❣❧✐s❤ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✵✳✶✺✺ ✵✳✶✺✶ ✵✳✵✾✼ ✵✳✵✻✺ ✵✳✶✷✶

✭✵✳✶✼✶✮ ✭✵✳✵✺✶✮∗∗∗ ✭✵✳✵✻✺✮ ✭✵✳✵✺✻✮ ✭✵✳✵✺✹✮∗∗ ❙❝❛♥❞✐♥❛✈✐❛♥ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✵✳✼✵✸ ✵✳✷✽ ✵✳✸✷✷ ✵✳✶✸ ✵✳✹✻✺

✭✵✳✷✵✺✮∗∗∗ ✭✵✳✵✻✼✮∗∗∗ ✭✵✳✵✽✮∗∗∗ ✭✵✳✵✽✶✮ ✭✵✳✵✻✾✮∗∗∗

• ❡r♠❛♥ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✵✳✻✶✶ ✵✳✷✾✶ ✵✳✷✺✷ ✵✳✷✶✾ ✵✳✸✽✶

✭✵✳✷✮∗∗∗ ✭✵✳✵✺✺✮∗∗∗ ✭✵✳✵✽✹✮∗∗∗ ✭✵✳✵✺✷✮∗∗∗ ✭✵✳✵✻✺✮∗∗∗ ❙♦❝✐❛❧✐st ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✵✳✵✵✷ ✵✳✵✻✾ ✵✳✶✹✽ ✲✳✵✵✸ ✵✳✷✽

✭✵✳✶✺✾✮ ✭✵✳✵✺✶✮ ✭✵✳✵✻✮∗∗ ✭✵✳✵✻✶✮ ✭✵✳✵✺✷✮∗∗∗ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s

✶✶✽ ✶✹✸ ✶✹✸ ✶✹✸ ✶✹✸

❘✲sq✉❛r❡❞

✵✳✻✶✺ ✵✳✺✹✾ ✵✳✷✽✸ ✵✳✹✵✼ ✵✳✹✺✹

❚❛❜❧❡✿ ❚❛❜❧❡ ✸✳✸ ▲❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ❛♥❞ ❝♦✈❛r✐❛t❡s✿ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ t❡r♠s

✭✶✮ ✭✷✮ ✭✸✮ ✭✹✮ ✭✺✮

• ♦✈❡r♥♠❡♥t

❆♥t✐❞✐✈❡rs✐♦♥ P♦❧✐❝② ❉♦✐♥❣ ❇✉s✐♥❡ss ❘❡❣✐st❡r✐♥❣ Pr♦♣❡rt② ❖❜t❛✐♥✐♥❣ ❈r❡❞✐t ❈♦♥tr❛❝t ❊♥❢♦r❝❡♠❡♥t Pr❡✈❛❧❡♥❝❡ ❡①t❡r♥❛❧ ✇❛r ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✶✳✺✹✸ ✵✳✾✸✶ ✶✳✺✾✽ ✵✳✼✶✷ ✶✳✺✷✶

✭✷✳✵✼✺✮ ✭✵✳✺✹✹✮∗ ✭✵✳✺✾✻✮∗∗∗ ✭✵✳✼✶✾✮ ✭✵✳✺✶✽✮∗∗∗ ❊①t❡r♥❛❧ ✇❛r × ❤✐❣❤ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❞✉♠♠②

✲✳✵✷✷ ✲✳✺✶✽ ✲✶✳✺✾✵ ✲✳✸✾✾ ✲✳✼✽✽

✭✷✳✶✽✹✮ ✭✵✳✺✼✶✮ ✭✵✳✼✶✶✮∗∗ ✭✵✳✼✷✺✮ ✭✵✳✺✺✻✮ ❆✈❡r❛❣❡ ♥♦♥♦♣❡♥ ❡①❡❝✉t✐✈❡ r❡❝r✉✐t♠❡♥t ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✵✳✺✷ ✵✳✵✸✽ ✵✳✶✹✷ ✲✳✵✸✼ ✲✳✵✷✷

✭✵✳✻✶✺✮ ✭✵✳✶✾✺✮ ✭✵✳✷✺✮ ✭✵✳✷✵✺✮ ✭✵✳✷✶✾✮ ◆♦♥♦♣❡♥ ❡①❡❝✉t✐✈❡ r❡❝r✉✐t♠❡♥t × ❧♦✇ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❞✉♠♠②

✶✳✶✶✾ ✵✳✷✷✷ ✵✳✵✺✶ ✲✳✵✷✻ ✵✳✶✽✸

✭✵✳✻✹✸✮∗ ✭✵✳✷✵✶✮ ✭✵✳✷✺✺✮ ✭✵✳✷✵✽✮ ✭✵✳✷✷✷✮ ❍✐❣❤ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❞✉♠♠②

✵✳✵✼✷ ✲✳✵✷✷ ✲✳✵✵✾ ✲✳✶✽✻ ✵✳✵✽✻

✭✵✳✹✵✻✮ ✭✵✳✵✾✹✮ ✭✵✳✶✷✶✮ ✭✵✳✶✵✹✮∗ ✭✵✳✶✵✷✮ ❆✈❡r❛❣❡ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✷✳✶✻✾ ✵✳✻✶✺ ✵✳✷✽✹ ✵✳✻✶✶ ✵✳✶✾✷

✭✵✳✺✼✺✮∗∗∗ ✭✵✳✶✸✸✮∗∗∗ ✭✵✳✶✼✾✮ ✭✵✳✶✺✸✮∗∗∗ ✭✵✳✶✺✸✮ ❊t❤♥✐❝ ❤♦♠♦❣❡♥❡✐t② ✭✶✲ ❡t❤♥✐❝ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥✮

✶✳✶✺✷ ✵✳✷✺✶ ✵✳✷✸✶ ✵✳✸✵✶ ✵✳✶✵✺

✭✵✳✷✽✾✮∗∗∗ ✭✵✳✵✼✶✮∗∗∗ ✭✵✳✵✾✶✮∗∗ ✭✵✳✵✾✮∗∗∗ ✭✵✳✵✾✻✮ ❊♥❣❧✐s❤ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✵✳✶✷✼ ✵✳✶✹✼ ✵✳✶✵✹ ✵✳✵✼✼ ✵✳✶✶✹

✭✵✳✶✼✾✮ ✭✵✳✵✺✶✮∗∗∗ ✭✵✳✵✻✼✮ ✭✵✳✵✺✺✮ ✭✵✳✵✺✼✮∗∗ ❙❝❛♥❞✐♥❛✈✐❛♥ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✵✳✾✸✸ ✵✳✸✸✾ ✵✳✸✺✻ ✵✳✶✻✾ ✵✳✹✾✻

✭✵✳✷✽✶✮∗∗∗ ✭✵✳✵✾✽✮∗∗∗ ✭✵✳✵✽✽✮∗∗∗ ✭✵✳✶✵✹✮ ✭✵✳✵✾✸✮∗∗∗

• ❡r♠❛♥ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✵✳✻✽✾ ✵✳✸✶✷ ✵✳✷✼✸ ✵✳✷✶✼ ✵✳✹✵✺

✭✵✳✶✻✺✮∗∗∗ ✭✵✳✵✺✺✮∗∗∗ ✭✵✳✵✽✶✮∗∗∗ ✭✵✳✵✻✶✮∗∗∗ ✭✵✳✵✻✻✮∗∗∗ ❙♦❝✐❛❧✐st ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✲✳✵✺✺ ✵✳✵✻✻ ✵✳✶✸✷ ✵✳✵✵✽ ✵✳✷✻✺

✭✵✳✶✼✸✮ ✭✵✳✵✺✷✮ ✭✵✳✵✻✷✮∗∗ ✭✵✳✵✻✷✮ ✭✵✳✵✺✺✮∗∗∗ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s

✶✶✽ ✶✹✸ ✶✹✸ ✶✹✸ ✶✹✸

❘✲sq✉❛r❡❞

✵✳✻✷✾ ✵✳✺✻✸ ✵✳✸✶✶ ✵✳✹✸✹ ✵✳✹✻✹

❉❛t❛ ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s

❋✉rt❤❡r r❡❛❧✐t② ❝❤❡❝❦s ✕ ❚❛❜❧❡ ✸✳✹

▲♦♦❦ ❛t t❤r❡❡ ♦t❤❡r ♦✉t❝♦♠❡s s✉❣❣❡st❡❞ ❜② t❤❡♦r② ✭❈♦❧s ✭✶✮ ✲ ✭✸✮✮

◮ Pr✐✈❛t❡ ❝r❡❞✐t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝❛❧❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts ♦❢ ❧❡❣❛❧

❝❛♣❛❝✐t②✳

◮ Pr✐✈❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ②❡❛r ✷✵✵✻ ❢r♦♠ t❤❡ P❡♥♥ ❲♦r❧❞ ❚❛❜❧❡s ◮ ❈♦rr✉♣t✐♦♥✿ ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② ❚r❛♥s♣❛r❡♥❝② ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ✷✵✵✻✳

❆♥♦t❤❡r ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡♦r②✿ ❝♦♠♠♦♥ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts ♦❢ ✜s❝❛❧ ❛♥❞ ❧❡❣❛❧ ❝❛♣❛❝✐t② ✭❈♦❧s ✭✹✮ ✲ ✭✻✮✮

❇❡s❧❡② ✫ P❡rss♦♥ ✭▲❙❊ ✫ ■■❊❙✮ ❈❤❛♣t❡r ✸✿ ▲❡❣❛❧ ❈❛♣❛❝✐t② ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✶ ✻✾ ✴ ✼✵

❚❛❜❧❡✿ ❚❛❜❧❡ ✸✳✹ ❖t❤❡r ♦✉t❝♦♠❡s ❛♥❞ ❝♦✈❛r✐❛t❡s✿ ❙✐♠♣❧❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s

✭✶✮ ✭✷✮ ✭✸✮ ✭✹✮ ✭✺✮ ✭✻✮

Pr✐✈❛t❡ ❝r❡❞✐t t♦

• ❉P

❈♦rr✉♣t✐♦♥ P❡r❝❡♣t✐♦♥ Pr✐✈❛t❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t r❛t❡ ❚❛① r❡✈❡♥✉❡ s❤❛r❡ ✐♥

• ❉P

■♥❝♦♠❡ t❛① s❤❛r❡ ❋♦r♠❛❧ s❡❝t♦r s❤❛r❡ Pr❡✈❛❧❡♥❝❡ ❡①t❡r♥❛❧ ✇❛r ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✷✳✺✼✵ ✷✳✸✺✼ ✵✳✷✹✷ ✸✳✸✶✵ ✷✳✶✵✺ ✶✳✽✼✹

✭✵✳✺✼✶✮∗∗∗ ✭✵✳✹✽✷✮∗∗∗ ✭✵✳✻✽✹✮ ✭✶✳✶✼✾✮∗∗∗ ✭✶✳✶✶✺✮∗ ✭✵✳✼✻✮∗∗ ❆✈❡r❛❣❡ ❡①❡❝✉t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✶✳✼✷✹ ✶✳✼✹✵ ✵✳✽✾ ✶✳✹✺✾ ✶✳✻✺✷ ✶✳✺✹✸

✭✵✳✸✸✽✮∗∗∗ ✭✵✳✷✼✺✮∗∗∗ ✭✵✳✷✻✸✮∗∗∗ ✭✵✳✹✷✶✮∗∗∗ ✭✵✳✹✷✷✮∗∗∗ ✭✵✳✸✼✼✮∗∗∗ ❆✈❡r❛❣❡ ♥♦♥♦♣❡♥ ❡①❡❝✉t✐✈❡ r❡❝r✉✐t♠❡♥t ❜❡❢♦r❡ ✷✵✵✵

✶✳✵✽✽ ✵✳✽✵✽ ✵✳✼✷✻ ✵✳✻✶✹ ✵✳✽✶ ✶✳✷✽✼

✭✵✳✹✸✻✮∗∗ ✭✵✳✸✵✾✮∗∗∗ ✭✵✳✸✺✻✮∗∗ ✭✵✳✸✾✮ ✭✵✳✹✼✾✮∗ ✭✵✳✹✻✼✮∗∗∗ ❊t❤♥✐❝ ❤♦♠♦❣❡♥❡✐t② ✭✶✲ ❡t❤♥✐❝ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥✮

✵✳✹✽✹ ✵✳✻✼✹ ✵✳✾✼✶ ✵✳✻✸✹ ✵✳✶✽✷ ✵✳✺✷✽

✭✵✳✸✵✾✮ ✭✵✳✷✺✹✮∗∗∗ ✭✵✳✷✶✺✮∗∗∗ ✭✵✳✸✶✻✮∗∗ ✭✵✳✷✾✷✮ ✭✵✳✸✻✮ ❊♥❣❧✐s❤ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✵✳✶✸✽ ✵✳✵✾✺ ✵✳✷✾✼ ✵✳✵✺✽ ✵✳✷✹✻ ✵✳✵✼✸

✭✵✳✷✷✼✮ ✭✵✳✶✺✾✮ ✭✵✳✶✻✸✮∗ ✭✵✳✶✽✹✮ ✭✵✳✶✽✾✮ ✭✵✳✷✹✶✮ ❙❝❛♥❞✐♥❛✈✐❛♥ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✲✳✸✹✵ ✶✳✼✺✹ ✵✳✶✺✾ ✶✳✾✽✶ ✶✳✶✷✾ ✵✳✹✻✹

✭✵✳✷✹✹✮ ✭✵✳✷✶✶✮∗∗∗ ✭✵✳✷✶✷✮ ✭✵✳✸✹✾✮∗∗∗ ✭✵✳✷✾✸✮∗∗∗ ✭✵✳✷✶✺✮∗∗

• ❡r♠❛♥ ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

✶✳✻✺✺ ✶✳✶✸✵ ✵✳✸✺ ✵✳✻✷✺ ✶✳✷✽✸ ✵✳✾✶

✭✵✳✹✼✽✮∗∗∗ ✭✵✳✷✺✺✮∗∗∗ ✭✵✳✷✹✹✮ ✭✵✳✹✵✼✮ ✭✵✳✷✸✸✮∗∗∗ ✭✵✳✷✸✮∗∗∗ ❙♦❝✐❛❧✐st ▲❡❣❛❧ ❖r✐❣✐♥

◆✴❆ ✲✳✸✻✽ ✵✳✷✻✺ ✲✶✳✵✸✹ ✲✳✸✵✾ ✲✳✷✸✵

✭✵✳✶✷✮∗∗∗ ✭✵✳✶✹✾✮∗ ✭✵✳✶✼✮∗∗∗ ✭✵✳✹✺✸✮ ✭✵✳✷✹✷✮ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s

✾✸ ✶✹✺ ✶✺✵ ✶✵✶ ✶✵✶ ✶✵✺

❘✲sq✉❛r❡❞

✵✳✻✶✺ ✵✳✻✸✾ ✵✳✸✸ ✵✳✻✷✸ ✵✳✺✸✽ ✵✳✸✻✾