On choosability of graphs with limited number of colours M. - PowerPoint PPT Presentation

On choosability of graphs with limited number of colours M. ¡Demange, ¡RMIT ¡University, ¡Melbourne, ¡Vic ¡-­‑ ¡Australia ¡ Marc.demange@rmit.edu.au ¡ In ¡collabora?on ¡with ¡D. ¡De ¡Werra, ¡Ecole ¡Polytechnique ¡Fédérale ¡de ¡Lausanne, ¡Switzerland ¡ dominique.dewerra@epfl.ch ¡ Discrete ¡Maths ¡Research ¡Group ¡mee?ng ¡– ¡Monash ¡University ¡– ¡May ¡25, ¡2015 ¡ 2/06/2015 ¡12:57 ¡

Outline ¡ • ¡A ¡star?ng ¡example ¡ • ¡Choosability: ¡defini?ons ¡and ¡first ¡examples ¡ ¡ • ¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡ • ¡Complexity ¡of ¡choosability ¡ • ¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡ ¡ 2/06/2015 ¡12:57 ¡

Outline ¡ • ¡ A ¡star-ng ¡example ¡ • ¡Choosability: ¡defini?ons ¡and ¡first ¡examples ¡ ¡ • ¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡ • ¡Complexity ¡of ¡choosability ¡ • ¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡ ¡ 2/06/2015 ¡12:57 ¡

Booking system: coloring interval graphs 3 rooms 5 requirements 1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 7 to 9 ? Blue ¡ Pink ¡ Green ¡

Booking system 1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 6 to 9 2 to 4 7 to 9 3 to 7 5 to 8 Blue ¡ Pink ¡ Green ¡

Booking system 1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 6 to 9 1 to 6 6 to 9 2 to 4 5 to 8 3 to 7 Blue ¡ Pink ¡ Green ¡

Booking system 1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 7 to 9 Blue ¡ Pink ¡ Green ¡

Interval graph Polynomial ¡ 1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 7 to 9 Chromatic number = 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M. Demange - RMIT

Each traveler can propose choices: list-coloring 3 rooms 5 requirements 1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 7 to 9 Blue ¡ Pink ¡ Green ¡

1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 7 to 9 M. Demange - RMIT

1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 7 to 9 M. Demange - RMIT

1 to 6 2 to 4 3 to 7 5 to 8 7 to 9 M. Demange - RMIT

Outline ¡ • ¡A ¡star?ng ¡example ¡ • ¡Choosability: ¡defini-ons ¡and ¡first ¡examples ¡ ¡ • ¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡ • ¡Complexity ¡of ¡choosability ¡ • ¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡ 2/06/2015 ¡12:57 ¡

Considered problems: list coloring 2/06/2015 ¡12:57 ¡

Choosability 2/06/2015 ¡12:57 ¡

Choosability: first remarks 2/06/2015 ¡12:57 ¡

First examples in grid graphs 2/06/2015 ¡12:57 ¡

First examples in grid graphs 2/06/2015 ¡12:57 ¡

First examples in grid graphs 1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 2,3 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:27 ¡

First examples in grid graphs 1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 2,3 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:27 ¡

First examples in grid graphs 1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 2,3 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:00 ¡

First examples in grid graphs 1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 2,3 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡12:58 ¡

First examples in grid graphs 1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 2,3 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡12:58 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 2/06/2015 ¡12:57 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:28 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:19 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:03 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:11 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:10 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:13 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:20 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:21 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:01 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:22 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) X ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:01 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:25 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ 2/06/2015 ¡13:26 ¡

Grids are not (2,3)-choosable (MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,2 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,3,4 ¡ 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 4,3 ¡ 1,2,4 ¡ 1,3 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 2,1 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,4 ¡ 1,3 ¡ ? ¡ ¡ Find ¡an ¡example ¡with ¡less ¡than ¡41 ¡ver?ces ¡ 2/06/2015 ¡13:30 ¡

Grids are (2,4)-choosable (MD, de Werra, 2013) Acyclic ¡orienta?on ¡s.t. ¡ 10 ¡ 13 ¡ 22 ¡ 1 ¡ 25 ¡ 34 ¡ 37 ¡ d ( x ) 1 , x V + ≤ ∈ 1 16 ¡ 19 ¡ 7 ¡ 4 ¡ 28 ¡ 31 ¡ 40 ¡ d ( x ) 3 , x V + ≤ ∈ 2 11 ¡ 14 ¡ 23 ¡ 2 ¡ 26 ¡ 35 ¡ 38 ¡ 8 ¡ 17 ¡ 20 ¡ 5 ¡ 29 ¡ 32 ¡ 41 ¡ Number ¡ver?ces ¡by ¡elimina?ng ¡ ¡ + x d ( ) 0 Ver?ces ¡s.t. ¡ ¡ 12 ¡ = 15 ¡ 24 ¡ 3 ¡ 27 ¡ 36 ¡ 39 ¡ 18 ¡ 21 ¡ 6 ¡ 9 ¡ 30 ¡ 33 ¡ 42 ¡ 2/06/2015 ¡12:57 ¡

Grids are 3-choosable 2/06/2015 ¡12:58 ¡

Choosability of bipartite graphs Theorem (Alon, Tarsi, Combinatorica 12, 1992) ⎛ ⎡Δ ⎢Δ ⎞ ⎤ ⎥ 1 , 1 A bipartite graph of maximum degree is -choosable ⎜ + + ⎟ Δ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 2/06/2015 ¡12:58 ¡

Outline ¡ • ¡A ¡star?ng ¡example ¡ • ¡Choosability: ¡defini?ons ¡and ¡first ¡examples ¡ ¡ • ¡ Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡ • ¡Complexity ¡of ¡choosability ¡ • ¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡ ¡ 2/06/2015 ¡12:58 ¡

Characterization of 2-choosability 2/06/2015 ¡12:58 ¡

d ¡ d o n ¡ a h ¡ i t w h ¡ t a P s ¡ e ? c r e v o f ¡ ¡ e r b m u n ¡ Characterization of 2-choosability n ¡ e v ¡ e n ¡ a h i t w h ¡ t P a s ¡ e ? c r e ¡ v o f r ¡ e b m u n ¡ 2/06/2015 ¡12:58 ¡

Characterization of 2-choosability Sketch ¡of ¡proof: ¡ 1 ¡ 2/06/2015 ¡12:58 ¡

Characterization of 2-choosability Sketch ¡of ¡proof ¡(cont.): ¡ 2 ¡ 2/06/2015 ¡12:58 ¡

Characterization of 2-choosability Sketch ¡of ¡proof ¡(cont.): ¡ 3 ¡ 2/06/2015 ¡12:58 ¡

Characterization of 2-choosability Sketch ¡of ¡proof ¡(cont.): ¡ 3 ¡ 2/06/2015 ¡12:58 ¡