[PPT] - On choosability of graphs with limited number of colours M. PowerPoint Presentation

SLIDE 1

On choosability of graphs with limited number of colours

M. ¡Demange, ¡RMIT ¡University, ¡Melbourne, ¡Vic ¡-‑ ¡Australia ¡

Marc.demange@rmit.edu.au ¡ In ¡collabora?on ¡with ¡D. ¡De ¡Werra, ¡Ecole ¡Polytechnique ¡Fédérale ¡de ¡Lausanne, ¡Switzerland ¡ dominique.dewerra@epfl.ch ¡

2/06/2015 ¡12:57 ¡

Discrete ¡Maths ¡Research ¡Group ¡mee?ng ¡– ¡Monash ¡University ¡– ¡May ¡25, ¡2015 ¡

SLIDE 2

Outline ¡

¡A ¡star?ng ¡example ¡
¡Choosability: ¡defini?ons ¡and ¡first ¡examples ¡

¡

¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡
¡Complexity ¡of ¡choosability ¡
¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡

¡

2/06/2015 ¡12:57 ¡

SLIDE 3

Outline ¡

¡A ¡star-ng ¡example ¡
¡Choosability: ¡defini?ons ¡and ¡first ¡examples ¡

¡

¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡
¡Complexity ¡of ¡choosability ¡
¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡

¡

2/06/2015 ¡12:57 ¡

SLIDE 4

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

?

3 rooms 5 requirements

Booking system: coloring interval graphs Pink ¡ Green ¡ Blue ¡

SLIDE 5

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 6 to 9 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

Booking system Pink ¡ Green ¡ Blue ¡

SLIDE 6

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 6 to 9 1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 6 to 9

Pink ¡ Green ¡ Blue ¡ Booking system

SLIDE 7

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

Pink ¡ Green ¡ Blue ¡ Booking system

SLIDE 8

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Interval graph

Chromatic number = 3

M. Demange - RMIT

Polynomial ¡

SLIDE 9

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

3 rooms 5 requirements

Each traveler can propose choices: list-coloring Pink ¡ Green ¡ Blue ¡

SLIDE 10

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

M. Demange - RMIT

SLIDE 11

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

M. Demange - RMIT

SLIDE 12

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

M. Demange - RMIT

SLIDE 13

Outline ¡

¡A ¡star?ng ¡example ¡
¡Choosability: ¡defini-ons ¡and ¡first ¡examples ¡

¡

¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡
¡Complexity ¡of ¡choosability ¡
¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡

2/06/2015 ¡12:57 ¡

SLIDE 14

Considered problems: list coloring

2/06/2015 ¡12:57 ¡

SLIDE 15

Choosability

2/06/2015 ¡12:57 ¡

SLIDE 16

Choosability: first remarks

2/06/2015 ¡12:57 ¡

SLIDE 17

First examples in grid graphs

2/06/2015 ¡12:57 ¡

SLIDE 18

First examples in grid graphs

2/06/2015 ¡12:57 ¡

SLIDE 19

1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 1,3 ¡ 2,3 ¡

First examples in grid graphs

2/06/2015 ¡13:27 ¡

SLIDE 20

1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 1,3 ¡ 2,3 ¡

First examples in grid graphs

2/06/2015 ¡13:27 ¡

SLIDE 21

1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 1,3 ¡ 2,3 ¡

First examples in grid graphs

2/06/2015 ¡13:00 ¡

SLIDE 22

1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 1,3 ¡ 2,3 ¡

First examples in grid graphs

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 23

1,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2 ¡ 1,2 ¡ 1,3 ¡ 2,3 ¡

First examples in grid graphs

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 24

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡12:57 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 25

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:28 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 26

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:19 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 27

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:03 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 28

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:11 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 29

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:10 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 30

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:13 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 31

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:20 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 32

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:21 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 33

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:01 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 34

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:22 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 35

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:01 ¡

(MD, de Werra, 2013)

X ¡

SLIDE 36

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:25 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 37

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:26 ¡

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 38

1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015 ¡13:30 ¡

(MD, de Werra, 2013)

? ¡ ¡ Find ¡an ¡example ¡with ¡less ¡than ¡41 ¡ver?ces ¡

SLIDE 39

1 ¡ 4 ¡ 2 ¡ 5 ¡ 3 ¡ 6 ¡ 10 ¡ 7 ¡ 11 ¡ 8 ¡ 12 ¡ 9 ¡ 13 ¡ 16 ¡ 14 ¡ 17 ¡ 15 ¡ 18 ¡ 22 ¡ 19 ¡ 23 ¡ 20 ¡ 24 ¡ 21 ¡ 25 ¡ 28 ¡ 26 ¡ 29 ¡ 27 ¡ 30 ¡ 34 ¡ 31 ¡ 35 ¡ 32 ¡ 36 ¡ 33 ¡ 37 ¡ 40 ¡ 38 ¡ 41 ¡ 39 ¡ 42 ¡

Grids are (2,4)-choosable

2/06/2015 ¡12:57 ¡

Acyclic ¡orienta?on ¡s.t. ¡

2 1

, 3 ) ( , 1 ) ( V x x d V x x d ∈ ≤ ∈ ≤

+ +

Number ¡ver?ces ¡by ¡elimina?ng ¡ ¡ Ver?ces ¡s.t. ¡ ¡

) ( =

+ x

d

(MD, de Werra, 2013)

SLIDE 40

2/06/2015 ¡12:58 ¡

Grids are 3-choosable

SLIDE 41

Choosability of bipartite graphs

Theorem (Alon, Tarsi, Combinatorica 12, 1992) A bipartite graph of maximum degree is -choosable

Δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎦ ⎥ ⎢ ⎣ ⎢Δ + ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡Δ 1 2 , 1 2

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 42

Outline ¡

¡A ¡star?ng ¡example ¡
¡Choosability: ¡defini?ons ¡and ¡first ¡examples ¡

¡

¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡
¡Complexity ¡of ¡choosability ¡
¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡

¡

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 43

Characterization of 2-choosability

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 44

Characterization of 2-choosability

2/06/2015 ¡12:58 ¡

P a t h ¡ w i t h ¡ a n ¡ e v e n ¡ ¡ n u m b e r ¡

f

¡ v e r ? c e s ¡ P a t h ¡ w i t h ¡ a n ¡

d

d ¡ ¡ n u m b e r ¡

f

¡ v e r ? c e s ¡

SLIDE 45

Characterization of 2-choosability

2/06/2015 ¡12:58 ¡

Sketch ¡of ¡proof: ¡

1 ¡

SLIDE 46

Characterization of 2-choosability

2/06/2015 ¡12:58 ¡

Sketch ¡of ¡proof ¡(cont.): ¡

2 ¡

SLIDE 47

Characterization of 2-choosability

2/06/2015 ¡12:58 ¡

Sketch ¡of ¡proof ¡(cont.): ¡

3 ¡

SLIDE 48

Characterization of 2-choosability

2/06/2015 ¡12:58 ¡

Sketch ¡of ¡proof ¡(cont.): ¡

3 ¡

SLIDE 49

2/06/2015 ¡12:58 ¡

Choosability of planar graphs Planar + no 3- and 4-cycles:3-choosable Planar+triangle free:4-choosable Planar: 4-colorable (four colors theorem, Appel and Haken 1977) Triangle-free planar: 3-colorable (Grotzsch’s theorem, 1959) Planar: 5-choosable Planar+bipartite:3-choosable

SLIDE 50

Outline ¡

¡A ¡star?ng ¡example ¡
¡Choosability: ¡defini?ons ¡and ¡first ¡examples ¡

¡

¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡
¡Complexity ¡of ¡choosability ¡
¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡

¡

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 51

Complexity of choosability

Which relevant complexity class?

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 52

Complexity of choosability

Main known results

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 53

Outline ¡

¡A ¡star?ng ¡example ¡
¡Choosability: ¡defini?ons ¡and ¡first ¡examples ¡

¡

¡Some ¡classes ¡of ¡choosable ¡graphs ¡
¡Complexity ¡of ¡choosability ¡
¡Choosability ¡with ¡few ¡colors ¡

¡

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 54

Choosability with fixed number of colors

2/06/2015 ¡12:58 ¡

(MD., D. de Werra, 2015)

SLIDE 55

Grids are not [(2,3),4]-choosable

2/06/2015 ¡12:58 ¡

(MD, de Werra, 2013) 1,2 ¡ 1,2,3 ¡ 2,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,2,4 ¡ 4,3 ¡ 4,2 ¡ 1,3,4 ¡ 1,3 ¡ 2,1 ¡ 1,2,4 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡ 1,2,4 ¡ 1,2 ¡ 2,3,4 ¡ 1,3 ¡ 1,2,3 ¡ 1,4 ¡

Bipartite graphs are [(2,3),3]- choosable

SLIDE 56

2-choosability revisited

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 57

Characterization of 2-choosability (remind …)

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 58

2-choosability revisited

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 59

2-choosability revisited

2/06/2015 ¡13:33 ¡

SLIDE 60

k-choosability vs (k+1)-choosability

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 61

k-choosability vs (k+1)-choosability

2/06/2015 ¡13:33 ¡

SLIDE 62

Complexity with few colors

2/06/2015 ¡12:58 ¡

SLIDE 63

Complexity with few colors

2/06/2015 ¡13:34 ¡

SLIDE 64

Complexity with few colors

2/06/2015 ¡13:34 ¡

SLIDE 65

Complexity with few colors: [3,k]-choosability

No list coloring

SLIDE 66

Complexity with few colors: [3,k]-choosability

No list coloring

SLIDE 67

Complexity with few colors: [3,k]-choosability

, ¡3 ¡

3, ¡

, ¡3 ¡

3, ¡

3 ¡will ¡never ¡be ¡used ¡ ¡ No list coloring

SLIDE 68

Complexity with few colors: [3,k]-choosability

, ¡3 ¡

3, ¡

, ¡3 ¡

3, ¡

3 ¡will ¡never ¡be ¡used ¡ ¡ No list coloring

SLIDE 69

Complexity with few colors: triangle-free planar graphs

No list coloring

SLIDE 70

Complexity with few colors: triangle-free planar graphs

Color 3 forbidden for A

SLIDE 71

Last remark

SLIDE 72

An exercise: is this graph 2-choosable?

12:58 ¡