Of patterns and microbes An overview of two current - PowerPoint PPT Presentation

Of ¡patterns ¡and ¡microbes ¡ An ¡overview ¡of ¡two ¡current ¡projects ¡ Elizabeth ¡Makrides ¡

Outline ¡ * Introduction ¡ * Pattern ¡formation: ¡localized ¡structures, ¡symmetries ¡ and ¡computational ¡tools ¡ * Microbial ¡communities: ¡an ¡interdisciplinary ¡project ¡ (time ¡permitting) ¡

Introduction ¡ * About ¡me ¡

Localized ¡structures ¡ * Homogeneous ¡background ¡connected ¡to ¡spatially ¡ localized ¡periodic ¡structure ¡ 1.5 1.0 (a) 0.5 u(x) 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0 20 40 60 80 100 120 x 1.5 * Some ¡motivations: ¡convective ¡rolls, ¡buckling ¡in ¡struts, ¡ reaction-­‑diffusion, ¡ferrofluids, ¡ ¡liquid ¡crystals… ¡ Credit: ¡Houghton ¡& ¡Knobloch ¡(2011); ¡Bjorn ¡Sandstede ¡online ¡gallery ¡

Swift-­‑Hohenberg ¡ * Widely ¡used ¡as ¡model ¡equations ¡ * Two ¡forms ¡of ¡nonlinearity ¡ * Symmetries ¡key ¡

Signature ¡bifurcation ¡diagram ¡ !"#$ !"% Figure: ¡Avitabile ¡et ¡al. ¡(2010); ¡based ¡on ¡Sakaguchi ¡& ¡Brand ¡(1996), ¡Woods ¡& ¡ Champneys ¡(1999), ¡Coulette ¡et ¡al. ¡(2000), ¡Burke ¡& ¡Knobloch ¡(2007) ¡ ¡ ¡

1. ¡Symmetry ¡breaking ¡ * SH35 ¡has ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡symmetry ¡ ¡ * Consider ¡adding ¡small ¡perturbation ¡ * Understand ¡fate ¡of ¡various ¡solution ¡branches ¡

Numerical ¡results ¡ 0.58 (iv) (iv) ′ 0.57 L π L 0 (d) ′ 0.56 (c) ′ 0.50 (d) L π 0.45 0.55 (c) A - (iii) ′ L 0 Solution amplitude, A 0.40 0.54 Solution amplitude Z branch (iii) (ii) L π 0.35 (ii) ′ S branch 0.53 L 0 0.30 A + L 0 (b) 0.52 L π 0.25 L π (a) (b) ′ 0.20 0.51 (a) ′ 0.15 -0.78 -0.76 -0.74 -0.72 -0.70 -0.68 -0.66 -0.64 -0.62 -0.60 (i) ′ 0.50 Forcing, r (i) 0.49 -0.74 -0.72 -0.70 -0.68 -0.66 -0.64 -0.62 Credit: ¡Houghton ¡& ¡Knobloch ¡(2011) ¡ Forcing, r

An ¡analytical ¡& ¡geometrical ¡approach ¡ * Look ¡at ¡steady ¡state ¡ * Can ¡now ¡use ¡dynamical ¡systems ¡techniques ¡(evolving ¡ in ¡spatial ¡variable ¡x ¡instead ¡of ¡time ¡t) ¡

Summary: ¡finding ¡solution ¡branches ¡ µ * Start ¡with ¡ ¡ ¡ ¡-­‑periodic ¡function ¡ 2 π ϕ ϕ π µ * Perturb ¡(break ¡symmetry); ¡now ¡ ¡ ¡ ¡will ¡ be ¡ ¡ ¡-­‑periodic ¡ 2 π ϕ π * Find ¡asymmetric ¡solutions ¡satisfying ¡ µ 2 π ϕ π

Back-­‑up ¡ Finding ¡homoclinic ¡orbits ¡(I) ¡ W u (0) γ ( ϕ ) 0 Fix 2 || || U 2 W s (0) W u (0) symmetric localised rolls γ ( ϕ ) asymmetric localised W s (0) µ rolls Credit: ¡Beck ¡et ¡al. ¡(2009) ¡

Back-­‑up ¡ Finding ¡homoclinic ¡orbits ¡(II) ¡ * Interested ¡in ¡set ¡ * Assume ¡this ¡is ¡given ¡as ¡graph ¡ ¡ * With ¡mild ¡assumptions, ¡symmetric ¡solutions ¡given ¡by ¡ * And ¡asymmetric ¡exponentially ¡close ¡to ¡the ¡set ¡

Back-­‑up ¡ Effect ¡of ¡symmetry ¡ * Suppose ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡symmetry ¡present ¡ * Further ¡assume ¡the ¡periodic ¡orbits ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡are ¡ invariant ¡under ¡ ¡ * Then ¡this ¡implies ¡ ¡ ¡ ¡is ¡ ¡ ¡ ¡-­‑periodic, ¡and ¡symmetric ¡ solutions ¡occur ¡for ¡ ¡ * Justification ¡relies ¡on ¡action ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡in ¡local ¡coordinates ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡invariance ¡of ¡section ¡of ¡interest ¡

2. ¡Understanding ¡asymmetric ¡ solutions ¡ * Understand ¡shape ¡of ¡ symmetric ¡solutions ¡ 2 || U || 2 * Can ¡we ¡predict ¡the ¡shape ¡ of ¡asymmetric ¡solutions? ¡ (i) µ 0.18 0.2 Credit: ¡Beck ¡et ¡al. ¡(2009) ¡

A ¡clue: ¡numerical ¡continuation ¡ * Picture ¡from ¡AUTO ¡

¡‘Gluing’ ¡interpretation ¡ * Go ¡back ¡through ¡proofs ¡of ¡existence ¡of ¡symmetric ¡ and ¡asymmetric ¡solutions ¡as ¡given ¡above ¡ ¡ * Can ¡see ¡that ¡asymmetric ¡solutions ¡enter ¡ exponentially ¡close ¡to ¡symmetric ¡solution ¡for ¡one ¡ value ¡of ¡L ¡and ¡exit ¡exponentially ¡close ¡to ¡another ¡L ¡ * Show ¡as ¡phase ¡shift ¡in ¡rectified ¡system ¡by ¡treating ¡ linearly, ¡then ¡incorporate ¡h.o.t. ¡