Network Economics -- Lecture 1: Pricing of communica8on - - PowerPoint PPT Presentation

Network ¡Economics ¡

• ­‑-­‑ ¡

Lecture ¡1: ¡Pricing ¡of ¡communica8on ¡ services ¡

Patrick ¡Loiseau ¡ EURECOM ¡ Fall ¡2013 ¡

References ¡

• M. ¡Chiang. ¡“Networked ¡Life, ¡20 ¡Ques8ons ¡and ¡Answers”, ¡CUP ¡2012. ¡Chapter ¡11 ¡

and ¡12. ¡ ¡

– See ¡the ¡videos ¡on ¡www.coursera.org ¡ ¡

• J. ¡Walrand. ¡“Economics ¡Models ¡of ¡Communica8on ¡Networks”, ¡in ¡Performance ¡

Modeling ¡and ¡Engineering, ¡Zhen ¡Liu, ¡Cathy ¡H. ¡Xia ¡(Eds), ¡Springer ¡2008. ¡(Tutorial ¡ given ¡at ¡SIGMETRICS ¡2008). ¡ ¡

– Available ¡online: ¡ h[p://robo8cs.eecs.berkeley.edu/~wlr/Papers/EconomicModels_Sigmetrics.pdf ¡

• C. ¡Courcoube8s ¡and ¡R. ¡Weber. ¡“Pricing ¡communica8on ¡networks”, ¡Wiley ¡2003. ¡ ¡
• A. ¡Odlyzko, ¡“Will ¡smart ¡pricing ¡finally ¡take ¡off?” ¡To ¡appear ¡in ¡the ¡book ¡“Smart ¡Data ¡

Pricing,” ¡S. ¡Sen, ¡C. ¡Joe-­‑Wong, ¡S. ¡Ha, ¡and ¡M. ¡Chiang ¡(Eds.), ¡Wiley, ¡2014. ¡ ¡

– Available ¡at ¡h[p://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/smart.pricing.pdf ¡ ¡

• N. ¡Nisam, ¡T. ¡Roughgarden, ¡E. ¡Tardos ¡and ¡V. ¡Vazirani ¡(Eds). ¡“Algorithmic ¡Game ¡

Theory”, ¡CUP ¡2007. ¡Chapters ¡17, ¡18, ¡19, ¡etc. ¡ ¡

– Available ¡online: ¡ h[p://www.cambridge.org/journals/nisan/downloads/Nisan_Non-­‑printable.pdf ¡ ¡

Content ¡

• 1. Introduc8on ¡
• 2. The ¡effect ¡of ¡conges8on ¡
• 3. Time ¡dependent ¡pricing ¡

– Parenthesis ¡on ¡conges8on ¡games ¡and ¡poten8al ¡ games ¡

• 4. Pricing ¡of ¡differen8ated ¡services ¡ ¡

Content ¡

• 1. Introduc8on ¡
• 2. The ¡effect ¡of ¡conges8on ¡
• 3. Time ¡dependent ¡pricing ¡

– Parenthesis ¡on ¡conges8on ¡games ¡and ¡poten8al ¡ games ¡

• 4. Pricing ¡of ¡differen8ated ¡services ¡ ¡

Examples ¡of ¡data ¡pricing ¡prac8ces ¡

• Residen8al ¡Internet ¡access ¡

– Most ¡forfeits ¡are ¡unlimited ¡ ¡

• Mobile ¡data ¡plans ¡

– AT&T ¡moved ¡to ¡usage-­‑based ¡pricing ¡in ¡2010 ¡

• $10/GB ¡
• Stopped ¡all ¡unlimited ¡plans ¡in ¡2012 ¡

– Verizon ¡did ¡the ¡same ¡ – In ¡France: ¡forfeits ¡with ¡caps ¡(e.g., ¡3GB ¡for ¡Free) ¡

Why ¡were ¡there ¡unlimited ¡plans ¡ before? ¡

• (Unlimited ¡plans ¡called ¡flat-­‑rate ¡pricing) ¡

¡

• Users ¡prefer ¡flat-­‑rate ¡pricing ¡

– Willing ¡to ¡pay ¡more ¡ – Be[er ¡to ¡increase ¡market ¡share ¡ – h[p://people.ischool.berkeley.edu/~hal/Papers/ brookings/brookings.html ¡

• The ¡decrease ¡in ¡the ¡cost ¡of ¡provisioning ¡

capacity ¡exceeded ¡the ¡increase ¡in ¡demand ¡

Why ¡are ¡providers ¡moving ¡to ¡usage-­‑ based ¡pricing? ¡

• Demand ¡is ¡now ¡growing ¡faster ¡than ¡the ¡

amount ¡of ¡capacity ¡per ¡$ ¡

• Distribu8on ¡of ¡capacity ¡demand ¡is ¡heavy-­‑

tailed: ¡a ¡few ¡heavy ¡users ¡account ¡for ¡a ¡lot ¡of ¡ the ¡aggregate ¡

How ¡to ¡balance ¡revenue ¡and ¡cost? ¡

• Usage-­‑based ¡pricing ¡
• Increase ¡flat-­‑rate ¡price ¡

– Fairness ¡issue ¡

• Put ¡a ¡cap ¡
• Slow ¡down ¡certain ¡traffic ¡or ¡price ¡higher ¡

premium ¡service ¡

– See ¡last ¡sec8on ¡ – Orange ¡has ¡a ¡forfeit ¡for ¡1000 ¡Euros ¡/ ¡month, ¡all ¡ unlimited ¡with ¡many ¡services. ¡Their ¡customers ¡(about ¡ 1000 ¡in ¡France) ¡got ¡“macarons” ¡to ¡apologize ¡for ¡the ¡ disrup8on ¡in ¡2012. ¡ ¡

Generali8es ¡on ¡seong ¡prices ¡

• Tariff: ¡func8on ¡which ¡determine ¡the ¡charge ¡r(x) ¡

as ¡a ¡func8on ¡of ¡the ¡quan8ty ¡x ¡bought ¡

– Linear ¡tariff: ¡r(x) ¡= ¡p ¡x ¡ – Nonlinear ¡tariff ¡

• Price ¡design ¡is ¡an ¡art, ¡depends ¡on ¡the ¡context ¡
• 3 ¡ra8onales ¡ ¡

– The ¡price ¡should ¡be ¡market-­‑clearing ¡ – Compe88on, ¡regula8ons ¡(e.g., ¡no ¡cross-­‑subsidiza8on) ¡ – Incen8ve ¡compa8bility ¡ ¡

Regula8ons ¡

• Prices ¡are ¡oren ¡regulated ¡by ¡governments ¡

– Telecom ¡regulators ¡ARCEP ¡(France), ¡FCC ¡(USA) ¡ – ≈ ¡op8mize ¡social ¡welfare ¡(popula8on ¡+ ¡provider) ¡

• Network ¡neutrality ¡debate ¡

– User ¡choice ¡ – No ¡monopoly ¡ – No ¡discrimina8on ¡

• Provider-­‑owned ¡services ¡
• Protocol-­‑level ¡
• Differen8a8on ¡of ¡consumers ¡by ¡their ¡behavior ¡
• Traffic ¡management ¡and ¡QoS ¡
• Impact ¡on ¡peering ¡economics ¡

Modeling: ¡consumer ¡problem ¡

• Set ¡of ¡consumers ¡N ¡= ¡{1, ¡…, ¡n} ¡
• Each ¡consumer ¡chooses ¡the ¡amount ¡x ¡

consumed ¡to ¡maximize ¡his ¡u8lity ¡– ¡cost ¡

• Under ¡linear ¡tariff ¡(usage-­‑based ¡price ¡p) ¡
• Consumer ¡surplus ¡
• u(x) ¡assumed ¡concave ¡

xi(p) = argmax

x [ui(x)− px]

CSi = max

x [ui(x)− px]

Consumer ¡u8lity ¡

• Example: ¡u(x) ¡= ¡log(x) ¡(propor8onal ¡fairness) ¡

utility u(x) x px x(p) = max[u(x) − px] maximized net benefit

consumer has a utility u x for a quantity x of a service. In

Demand ¡func8ons ¡

• Individual ¡demand ¡
• Aggregate ¡demand ¡
• Inverse ¡demand ¡func8on: ¡p(D) ¡is ¡the ¡price ¡at ¡

which ¡the ¡aggregate ¡demand ¡is ¡D ¡

• For ¡a ¡single ¡customer: ¡ ¡

xi(p) = ( ! ui)−1(p) D(p) = xi(p)

i∈N

∑

p(x) = ! u (x)

Illustra8ons ¡

• Single ¡user ¡
• Mul8ple ¡users: ¡replace ¡u’(x) ¡by ¡p(D) ¡

x(p) x u′(x) CS(p) p px $

CS(p) = p(x)

x( p)

∫

dx − px

Elas8city ¡

• Defini8on: ¡ ¡
• Consequence: ¡
• |ε|>1: ¡elas8c ¡
• |ε|<1: ¡inelas8c ¡

ε = ∂D(p) ∂p D(p) p ΔD D =ε Δp p

Provider’s ¡problem: ¡choose ¡a ¡tariff ¡

• Many ¡different ¡tariffs ¡
• Choosing ¡the ¡right ¡one ¡depends ¡on ¡context ¡(art) ¡

– User ¡demand; ¡costs ¡structure; ¡regula8on; ¡compe88on ¡

• More ¡informa8on: ¡ ¡

– R. ¡Wilson. ¡“Nonlinear ¡pricing”, ¡OUP ¡1997. ¡

Flat-­‑rate ¡vs ¡usage-­‑based ¡pricing ¡

• Flat-­‑rate: ¡equivalent ¡to ¡p=0 ¡

– There ¡is ¡a ¡subscrip8on ¡price, ¡but ¡it ¡does ¡not ¡play ¡ any ¡role ¡in ¡the ¡consumer ¡maximiza8on ¡problem ¡

• Illustra8on ¡

Content ¡

• 1. Introduc8on ¡
• 2. The ¡effect ¡of ¡conges8on ¡
• 3. Time ¡dependent ¡pricing ¡

– Parenthesis ¡on ¡conges8on ¡games ¡and ¡poten8al ¡ games ¡

• 4. Pricing ¡of ¡differen8ated ¡services ¡ ¡

The ¡problem ¡of ¡conges8on ¡

• Un8l ¡now, ¡we ¡have ¡not ¡seen ¡any ¡game ¡
• One ¡specificity ¡with ¡networks: ¡conges8on ¡(the ¡

more ¡users ¡the ¡lower ¡the ¡quality) ¡

– Externality ¡

• Leads ¡to ¡a ¡tragedy ¡of ¡the ¡commons ¡

Tragedy ¡of ¡the ¡commons ¡(1968) ¡

• Hardin ¡(1968) ¡
• Herdsmen ¡share ¡a ¡pasture ¡
• If ¡a ¡herdsman ¡add ¡one ¡more ¡cow, ¡he ¡gets ¡the ¡

whole ¡benefit, ¡but ¡the ¡cost ¡(addi8onal ¡ grazing) ¡is ¡shared ¡by ¡all ¡ ¡

• Inevitably, ¡herdsmen ¡add ¡too ¡many ¡cows, ¡

leading ¡to ¡overgrazing ¡

Simple ¡model ¡of ¡conges8on ¡

• Set ¡of ¡users ¡N ¡= ¡{1, ¡…, ¡n} ¡
• Each ¡user ¡i ¡chooses ¡its ¡consump8on ¡xi ¡≥ ¡0 ¡
• User ¡i ¡has ¡u8lity ¡

– f(.) ¡twice ¡con8nuously ¡differen8able ¡increasing ¡ strictly ¡concave ¡

• We ¡have ¡a ¡game! ¡(one-­‑shot) ¡

ui(x) = f (xi)−(x1 +...+ xn)

Simple ¡model: ¡Nash ¡equilibrium ¡and ¡ social ¡op8mum ¡

• NE: ¡user ¡i ¡chooses ¡xi ¡such ¡that ¡ ¡
• SO: ¡maximize ¡

à Gives ¡for ¡all ¡i: ¡

• Summary: ¡ ¡ ¡

! f (xi)−1= 0 ui(x)

i∈N

∑

= [ fi(x)

i∈N

∑

−(x1 +...+ xn)] ! f (xi)− n = 0 xi

NE =

! f −1(1) xi

SO =

! f −1(n)

Illustra8on ¡

Price ¡of ¡Anarchy ¡

• Defini8on: ¡
• If ¡several ¡NE: ¡worse ¡one ¡
• Conges8on ¡model: ¡ ¡
• Unbounded: ¡ ¡for ¡a ¡given ¡n, ¡we ¡can ¡find ¡f(.) ¡

such ¡that ¡PoA ¡is ¡as ¡large ¡as ¡we ¡want ¡

• Users ¡over-­‑consume ¡at ¡NE ¡because ¡they ¡do ¡no ¡

fully ¡pay ¡the ¡cost ¡they ¡impose ¡on ¡others ¡

PoA = Welfare at SO Welfare at NE PoA = f (xSO)− nxSO f (x NE)− nx NE

Conges8on ¡pricing ¡

• One ¡solu8on: ¡make ¡users ¡pay ¡the ¡externality ¡
• n ¡the ¡others, ¡here ¡user ¡i ¡will ¡pay ¡(n-­‑1) ¡xi ¡
• U8lity ¡becomes ¡
• FOC ¡of ¡NE ¡is ¡the ¡same ¡as ¡SO ¡condi8on, ¡hence ¡

selfish ¡users ¡will ¡choose ¡a ¡socially ¡op8mal ¡ consump8on ¡level ¡

• We ¡say ¡that ¡the ¡conges8on ¡price ¡“internalizes ¡

the ¡externality” ¡

ui(x) = f (xi)−(x1 +...+ xn)−(n −1)xi

Pigovian ¡tax ¡and ¡VCG ¡mechanism ¡

• A. ¡Pigou. ¡“The ¡Economics ¡of ¡Welfare” ¡(1932). ¡

– To ¡enforce ¡a ¡socially ¡op8mal ¡equilibrium, ¡impose ¡ a ¡tax ¡equal ¡to ¡the ¡marginal ¡cost ¡on ¡society ¡at ¡SO ¡

• Vickrey–Clarke–Groves ¡mechanism ¡(1961, ¡

1971, ¡1973): ¡a ¡more ¡general ¡version ¡where ¡ the ¡price ¡depends ¡on ¡the ¡ac8ons ¡of ¡others ¡

– See ¡later ¡in ¡the ¡auc8ons ¡lecture ¡

Content ¡

• 1. Introduc8on ¡
• 2. The ¡effect ¡of ¡conges8on ¡
• 3. Time ¡dependent ¡pricing ¡

– Parenthesis ¡on ¡conges8on ¡games ¡and ¡poten8al ¡ games ¡

• 4. Pricing ¡of ¡differen8ated ¡services ¡ ¡

Different ¡data ¡pricing ¡mechanisms ¡ (“smart ¡data ¡pricing”) ¡

• Priority ¡pricing ¡(SingTel, ¡Singapore) ¡
• Two-­‑sided ¡pricing ¡(Telus, ¡Canada; ¡TDC, ¡

Denmark) ¡

• Loca8on ¡dependent ¡pricing ¡(in ¡transporta8on ¡

networks) ¡

• Time-­‑dependent ¡pricing ¡

– Sta8c ¡ – Dynamic ¡ ¡

Examples ¡

• Orange ¡UK ¡has ¡a ¡“happy ¡hours” ¡plan ¡

– Unlimited ¡during ¡periods: ¡8-­‑9am, ¡12-­‑1pm, ¡4-­‑5pm, ¡ 10-­‑11pm ¡

• African ¡operator ¡MTN ¡uses ¡dynamic ¡tariffing ¡

updated ¡every ¡hour ¡

– Customers ¡wait ¡for ¡cheaper ¡tariffs ¡

• Unior ¡in ¡India ¡uses ¡conges8on ¡dependent ¡

pricing ¡

Different ¡applica8ons ¡

Daily ¡traffic ¡pa[ern ¡

Models ¡of ¡8me-­‑dependent ¡pricing ¡

• C. ¡Joe-­‑Wong, ¡S. ¡Ha, ¡and ¡M. ¡Chiang. ¡“Time ¡dependent ¡broadband ¡

pricing: ¡Feasibility ¡and ¡benefits”, ¡in ¡Proc. ¡of ¡IEEE ¡ICDCS ¡2011. ¡

– Wai8ng ¡func8on ¡ – Implementa8on ¡(app) ¡

• J. ¡Walrand. ¡“Economics ¡Models ¡of ¡Communica8on ¡Networks”, ¡in ¡

Performance ¡Modeling ¡and ¡Engineering, ¡Zhen ¡Liu, ¡Cathy ¡H. ¡Xia ¡ (Eds), ¡Springer ¡2008. ¡ ¡

• L. ¡Jiang, ¡S. ¡Parekh ¡and ¡J. ¡Walrand, ¡“Time-­‑dependent ¡Network ¡

Pricing ¡and ¡Bandwidth ¡Trading”, ¡in ¡Proc. ¡of ¡IEEE ¡Interna8onal ¡ Workshop ¡on ¡Bandwidth ¡on ¡Demand ¡2008. ¡

• P. ¡Loiseau, ¡G. ¡Schwartz, ¡J. ¡Musacchio, ¡S. ¡Amin ¡and ¡S. ¡S. ¡Sastry. ¡

“Incen8ve ¡Mechanisms ¡for ¡Internet ¡Conges8on ¡Management: ¡ Fixed-­‑Budget ¡Rebate ¡versus ¡Time-­‑of-­‑Day ¡Pricing”, ¡IEEE/ACM ¡ Transac8ons ¡on ¡Networking, ¡2013 ¡(to ¡appear). ¡

Model ¡

• T+1 ¡8me ¡periods ¡{0, ¡…, ¡T} ¡

– 0: ¡not ¡use ¡the ¡network ¡

• Each ¡user ¡

– class ¡c ¡in ¡some ¡set ¡of ¡classes ¡ – chooses ¡a ¡8me ¡slot ¡to ¡put ¡his ¡unit ¡of ¡traffic ¡ – ¡ ¡ ¡ ¡: ¡traffic ¡from ¡class ¡c ¡users ¡in ¡8me ¡slot ¡t ¡( ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡) ¡

• Large ¡popula8on: ¡each ¡user ¡is ¡a ¡negligible ¡

frac8on ¡of ¡the ¡traffic ¡in ¡each ¡8me ¡slot ¡

• U8lity ¡of ¡class ¡c ¡users: ¡ ¡

– ¡ ¡ ¡ ¡ ¡: ¡disu8lity ¡in ¡8me ¡slot ¡t ¡ – Nt: ¡traffic ¡in ¡8me ¡slot ¡t ¡ ¡( ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡) ¡ – d(.): ¡delay ¡– ¡increasing ¡convex ¡func8on ¡

uc = u0 − gt

c + d(Nt)1t>0

" # $ % gt

c

Nt = xt

c c

∑

xt

c

xc = xt

c t

∑

Equivalence ¡with ¡rou8ng ¡game ¡

• See ¡each ¡8me ¡slot ¡as ¡a ¡separate ¡route ¡
• Rq: ¡each ¡route ¡could ¡have ¡a ¡different ¡delay ¡

Wardrop ¡equilibrium ¡(1952) ¡

• Similar ¡to ¡Nash ¡equilibrium ¡when ¡users ¡have ¡

negligible ¡contribu8on ¡to ¡the ¡total ¡

– A ¡user’s ¡choice ¡does ¡not ¡affect ¡the ¡aggregate ¡ – Called ¡non-­‑atomic ¡

• Wardrop ¡equilibrium: ¡a ¡user ¡of ¡class ¡c ¡is ¡

indifferent ¡between ¡the ¡different ¡8me ¡slots ¡ (for ¡all ¡c) ¡

– Implies ¡that ¡all ¡8me ¡slots ¡have ¡the ¡same ¡disu8lity ¡ for ¡each ¡class: ¡there ¡exists ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡‘s ¡such ¡that ¡ ¡

gt

c + d(Nt)1t>0 = λc,

for all t and all c λc

Example ¡

• 1 ¡class, ¡g1=1, ¡g2=2, ¡d(N)=N2, ¡N1+N2=2 ¡

Social ¡op8mum ¡

• Individual ¡u8lity ¡for ¡class ¡c ¡users ¡

¡

• Social ¡welfare: ¡ ¡
• How ¡to ¡achieve ¡SO ¡at ¡equilibrium? ¡

– pt: ¡price ¡in ¡8me ¡slot ¡t ¡

uc = u0 − gt

c + d(Nt)1t>0

" # $ % W = Nu0 − xt

cgt c

" # $ %+

c

∑

Ntd(Nt)1t>0 " # ' $ % (

t

∑

uc = u0 − gt

c + d(Nt)1t>0 + pt

" # $ %

Achieving ¡SO ¡at ¡equilibrium ¡

• Theorem: ¡If ¡

¡ then ¡the ¡equilibrium ¡coincides ¡with ¡SO. ¡ ¡

• This ¡price ¡internalizes ¡the ¡externality ¡

pt = Nt ! d Nt

( )

Proof ¡

(Conges8on ¡games) ¡

• Previous ¡example: ¡each ¡user ¡chooses ¡a ¡

resource ¡and ¡the ¡u8lity ¡depends ¡on ¡the ¡ number ¡of ¡users ¡choosing ¡the ¡same ¡resource ¡

• Par8cular ¡case ¡of ¡conges8on ¡games ¡

– Set ¡of ¡users ¡ ¡{1, ¡…, ¡N} ¡ – Set ¡of ¡resources ¡A ¡ – Each ¡user ¡i ¡chooses ¡a ¡subset ¡ ¡ – nj: ¡number ¡of ¡users ¡of ¡resource ¡j ¡( ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡) ¡ – U8lity: ¡ ¡

• gj ¡increasing ¡convex ¡

ai ⊂ A

nj = 1j∈ai

i=1 N

∑

ui = − gj(nj)

j∈ai

∑

(Poten8al ¡games: ¡defini8on) ¡

• Game ¡defined ¡by ¡ ¡

– Set ¡of ¡users ¡N ¡ – Ac8on ¡spaces ¡Ai ¡for ¡user ¡i ¡in ¡N ¡ – U8li8es ¡ui(ai, ¡a-­‑i) ¡

• … ¡is ¡a ¡poten8al ¡game ¡if ¡there ¡exists ¡a ¡func8on ¡

Φ ¡(called ¡poten8al ¡func8on) ¡such ¡that ¡ ¡

• i.e., ¡if ¡i ¡changes ¡from ¡ai ¡to ¡ai’, ¡his ¡u8lity ¡gain ¡

matches ¡the ¡poten8al ¡increase ¡

ui(ai,a−i)−ui( " ai,a−i) = Φ(ai,a−i)−Φ( " ai,a−i)

(Poten8al ¡games ¡examples) ¡

• Ba[le ¡of ¡the ¡sexes ¡ ¡

alpha ¡ beta ¡ alpha ¡ beta ¡ 2, ¡1 ¡ 0, ¡0 ¡ 1, ¡2 ¡ 0, ¡0 ¡ P1 ¡ P2 ¡

(Poten8al ¡games ¡examples ¡2) ¡

• Ba[le ¡of ¡the ¡sexes ¡more ¡complex ¡

alpha ¡ beta ¡ alpha ¡ beta ¡ 5, ¡2 ¡

• ­‑1, ¡-­‑2 ¡

1, ¡4 ¡

• ­‑5, ¡-­‑4 ¡

P1 ¡ P2 ¡

(Poten8al ¡games ¡examples ¡3) ¡

• Heads ¡and ¡tails ¡

heads ¡ tails ¡ heads ¡ tails ¡ 1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

P1 ¡ P2 ¡

(Proper8es ¡of ¡poten8al ¡games) ¡

• Theorem: ¡every ¡finite ¡poten8al ¡game ¡has ¡at ¡

least ¡one ¡pure ¡strategy ¡Nash ¡equilibrium ¡(the ¡ vector ¡of ¡ac8ons ¡maximizing ¡Φ) ¡

• More ¡generally: ¡the ¡set ¡of ¡pure ¡strategy ¡Nash ¡

equilibria ¡coincides ¡with ¡the ¡set ¡of ¡local ¡ maxima ¡of ¡the ¡poten8al ¡Φ ¡

• Many ¡other ¡proper8es ¡on ¡PoA, ¡etc. ¡

(Proper8es ¡of ¡poten8al ¡games ¡2) ¡

• Best-­‑response ¡dynamics: ¡players ¡sequen8ally ¡

update ¡their ¡ac8on ¡choosing ¡best ¡response ¡to ¡

• thers ¡ac8ons ¡
• Theorem: ¡In ¡any ¡finite ¡poten8al ¡game, ¡the ¡

best-­‑response ¡dynamics ¡converges ¡to ¡a ¡Nash ¡ equilibrium ¡

• Useful ¡for ¡distribu8on ¡op8miza8on ¡algorithm ¡

design ¡

– Channel ¡selec8on/power ¡alloca8on ¡in ¡wireless ¡

(Conges8on ¡games ¡vs ¡poten8al ¡ games) ¡

• Conges8on ¡games ¡are ¡poten8al ¡games ¡

(Rosenthal ¡1973) ¡

• Poten8al ¡games ¡are ¡conges8on ¡games ¡

(Monderer ¡and ¡Shapley ¡1996) ¡

Content ¡

• 1. Introduc8on ¡
• 2. The ¡effect ¡of ¡conges8on ¡
• 3. Time ¡dependent ¡pricing ¡

– Parenthesis ¡on ¡conges8on ¡games ¡and ¡poten8al ¡ games ¡

• 4. Pricing ¡of ¡differen8ated ¡services ¡ ¡

Paris ¡Metro ¡Pricing ¡(PMP) ¡

• One ¡way ¡to ¡increase ¡revenue: ¡price ¡

differen8a8on ¡

• PMP: ¡Simplest ¡possible ¡type ¡of ¡differen8ated ¡

services ¡

• Differen8a8on ¡is ¡created ¡by ¡the ¡different ¡price ¡
• Famous ¡paper ¡by ¡A. ¡Odlyzko ¡in ¡1999 ¡
• Used ¡in ¡Paris ¡metro ¡in ¡the ¡70’s-­‑80’s ¡

PMP ¡toy ¡example ¡

• Network ¡such ¡that ¡

– Acceptable ¡for ¡VoIP ¡if ¡≤ ¡200 ¡users ¡ – Acceptable ¡for ¡web ¡browsing ¡if ¡≤ ¡800 ¡users ¡

• Demand ¡

– VoIP ¡demand ¡of ¡100 ¡if ¡price ¡≤ ¡20 ¡ – Web ¡browsing ¡demand ¡of ¡400 ¡if ¡price ¡≤ ¡5 ¡

• How ¡to ¡set ¡the ¡price? ¡

– Charge ¡20: ¡revenue ¡of ¡20x100 ¡= ¡2,000 ¡ – Charge ¡5: ¡revenue ¡of ¡5x400 ¡= ¡2,000 ¡

PMP ¡toy ¡example ¡(2) ¡

• Divide ¡network ¡into ¡2 ¡iden8cal ¡subnetwork ¡
• Each ¡acceptable ¡ ¡

– for ¡VoIP ¡if ¡≤ ¡100 ¡users ¡ – for ¡web ¡browsing ¡if ¡≤ ¡400 ¡users ¡

• Charge ¡5 ¡for ¡one, ¡20 ¡for ¡the ¡other ¡

– Revenue ¡100x20 ¡+ ¡400x5 ¡= ¡4,000 ¡

Network 1 Network 2

Expensive Small Utilization High QoS Inexpensive High Utilization Low QoS

Popula8on ¡model ¡

• N ¡users ¡
• Network ¡of ¡capacity ¡2N ¡
• Each ¡user ¡characterized ¡by ¡type ¡θ ¡
• Large ¡popula8on ¡with ¡uniform ¡θ ¡in ¡[0, ¡1] ¡
• Each ¡user ¡finds ¡network ¡acceptable ¡if ¡the ¡

number ¡of ¡users ¡X ¡and ¡price ¡p ¡are ¡such ¡that ¡

X 2N ≤1−θ and p ≤θ

Revenue ¡maximiza8on ¡

• Assume ¡price ¡p ¡
• If ¡X ¡users ¡are ¡present, ¡a ¡user ¡of ¡type ¡θ ¡connects ¡

if ¡ ¡

• Number ¡of ¡connec8ng ¡users ¡binomial ¡with ¡mean ¡ ¡
• So, ¡ ¡
• Maximizing ¡price: ¡p=1/2, ¡revenue ¡N/6 ¡

θ ∈ [p,1− X / 2N] N(1− X / (2N)− p)+ X N ≈ 1− X 2N − p # $ % & ' (

+

⇒ X N = 2 − 2p 3

PMP ¡again ¡

• Divide ¡the ¡network ¡in ¡two, ¡each ¡of ¡capacity ¡N ¡
• Prices ¡are ¡p1 ¡and ¡p2, ¡acceptable ¡if ¡ ¡
• If ¡both ¡networks ¡are ¡acceptable, ¡a ¡user ¡takes ¡the ¡

cheapest ¡

• If ¡both ¡networks ¡are ¡acceptable ¡and ¡at ¡the ¡same ¡

price, ¡choose ¡the ¡lowest ¡u8liza8on ¡one ¡

• Maximal ¡revenue: ¡ ¡

– p1=4/10, ¡p2=7/10 ¡ – Revenue ¡Nx9/40 ¡à ¡35% ¡increase ¡ X N ≤1−θ and pi ≤θ

Compe88on ¡

• What ¡if ¡the ¡two ¡sub-­‑networks ¡belong ¡to ¡two ¡

different ¡operators? ¡

• Maximum ¡total ¡revenue ¡would ¡be ¡with ¡ ¡

– One ¡at ¡p1=4/10 ¡à ¡revenue ¡Nx12/100 ¡ – One ¡at ¡p2=7/10 ¡à ¡revenue ¡Nx21/100 ¡

• But ¡one ¡provider ¡could ¡increase ¡his ¡revenue ¡

Compe88on ¡(2) ¡

• There ¡is ¡no ¡pure ¡strategy ¡NE ¡

p

1

p

2 1/2 1/2 1/3 1/3 2/3 2/3 1 1

p

2

(p

1

) p

1

(p

2

)