Nash demand game Julio D avila 2009 Julio D avila Nash demand - - PowerPoint PPT Presentation

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Nash demand game Julio D avila 2009 Julio D avila Nash demand game Nash demand game bargaining problem ( U , u ) B Julio D avila Nash demand game Nash demand game bargaining problem ( U , u ) B associated demand game:

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SLIDE 1

Nash demand game

Julio D´ avila 2009

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 2

Nash demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 3

Nash demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B associated demand game:

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 4

Nash demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B associated demand game: 1 each i demands a ui

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 5

Nash demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B associated demand game: 1 each i demands a ui 2 if u ∈ U, each gets his demand

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 6

Nash demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B associated demand game: 1 each i demands a ui 2 if u ∈ U, each gets his demand 3 if u / ∈ U, all get u

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 7

Nash demand game

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U u

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 8

Nash demand game

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U u . . . . . . . . . . . .u

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 9

Nash demand game

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u1 u2 u′

1

u′

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u u

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 10

anything efficient is Nash in the demand game!

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 11

anything efficient is Nash in the demand game!

If (U, u) ∈ B, with U comprehensive

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 12

anything efficient is Nash in the demand game!

If (U, u) ∈ B, with U comprehensive for all i Si = [ui, max

u∈U ui]

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 13

anything efficient is Nash in the demand game!

If (U, u) ∈ B, with U comprehensive for all i Si = [ui, max

u∈U ui]

for all i and all u ∈ ×iSi pi(u) = ui if u ∈ U ui if u / ∈ U

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 14

anything efficient is Nash in the demand game!

If (U, u) ∈ B, with U comprehensive for all i Si = [ui, max

u∈U ui]

for all i and all u ∈ ×iSi pi(u) = ui if u ∈ U ui if u / ∈ U then u is a Nash equilibrium of {Si, pi}i iff u ∈ U u is efficient

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 15

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U inefficient

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 16

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U inefficient then for some u′ ∈ U u ≤ u′ and, say, u1 < u′

1

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 17

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U inefficient then for some u′ ∈ U u ≤ u′ and, say, u1 < u′

1

then (u′

1, u−1) ∈ U

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 18

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U inefficient then for some u′ ∈ U u ≤ u′ and, say, u1 < u′

1

then (u′

1, u−1) ∈ U

then p1(u′

1, u−1) =

u′

1 > u1

= p1(u1, u−1)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 19

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U inefficient then for some u′ ∈ U u ≤ u′ and, say, u1 < u′

1

then (u′

1, u−1) ∈ U

then p1(u′

1, u−1) =

u′

1 > u1

= p1(u1, u−1) then u is not a Nash equilibrium

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 20

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U efficient

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 21

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U efficient then,

  • for all u′

i ∈ Si such that ui < u′ i,

(u′

i, u−i) /

∈ U

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 22

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U efficient then,

  • for all u′

i ∈ Si such that ui < u′ i,

(u′

i, u−i) /

∈ U hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 23

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U efficient then,

  • for all u′

i ∈ Si such that ui < u′ i,

(u′

i, u−i) /

∈ U hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

  • for all u′

i ∈ Si such that u′ i ≤ ui,

either (u′

i, u−i) /

∈ U and hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 24

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U efficient then,

  • for all u′

i ∈ Si such that ui < u′ i,

(u′

i, u−i) /

∈ U hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

  • for all u′

i ∈ Si such that u′ i ≤ ui,

either (u′

i, u−i) /

∈ U and hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

  • r (u′

i, u−i) ∈ U and hence

pi(u′

−i, u−i) = u′ i ≤ ui = pi(ui, u−i)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 25

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive u ∈ U efficient then,

  • for all u′

i ∈ Si such that ui < u′ i,

(u′

i, u−i) /

∈ U hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

  • for all u′

i ∈ Si such that u′ i ≤ ui,

either (u′

i, u−i) /

∈ U and hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

  • r (u′

i, u−i) ∈ U and hence

pi(u′

−i, u−i) = u′ i ≤ ui = pi(ui, u−i)

then u is a Nash equilibrium of the game {Si, pi}i

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 26

anything efficient is Nash in the demand game!

Let U comprehensive (not really needed) u ∈ U efficient then,

  • for all u′

i ∈ Si such that ui < u′ i,

(u′

i, u−i) /

∈ U hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

  • for all u′

i ∈ Si such that u′ i ≤ ui,

either (u′

i, u−i) /

∈ U and hence pi(u′

i, u−i) = ui ≤ ui = pi(ui, u−i)

  • r (u′

i, u−i) ∈ U and hence

pi(u′

−i, u−i) = u′ i ≤ ui = pi(ui, u−i)

then u is a Nash equilibrium of the game {Si, pi}i

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 27

modified demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 28

modified demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B associated modified demand game:

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 29

modified demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B associated modified demand game: 1 each i demands a ui

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 30

modified demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B associated modified demand game: 1 each i demands a ui 2 each gets his demand with some probability φ(u)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 31

modified demand game

bargaining problem (U, u) ∈ B associated modified demand game: 1 each i demands a ui 2 each gets his demand with some probability φ(u) 3 all get u with probability 1 − φ(u)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 32

Nash equilibria of the modified demand game

If (U, u) ∈ B,

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 33

Nash equilibria of the modified demand game

If (U, u) ∈ B, for all i Si = [ui, max

u∈U ui]

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 34

Nash equilibria of the modified demand game

If (U, u) ∈ B, for all i Si = [ui, max

u∈U ui]

for all i, all u ∈ ×iSi and some φ ∈ [0, 1]×iSi pi(u) = φ(u)ui + (1 − φ(u))ui

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 35

Nash equilibria of the modified demand game

If (U, u) ∈ B, for all i Si = [ui, max

u∈U ui]

for all i, all u ∈ ×iSi and some φ ∈ [0, 1]×iSi pi(u) = φ(u)ui + (1 − φ(u))ui and u∗ ∈ arg max

u∈×iSi φ(u)

  • i

(ui − ui) is such that u < u∗,

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 36

Nash equilibria of the modified demand game

If (U, u) ∈ B, for all i Si = [ui, max

u∈U ui]

for all i, all u ∈ ×iSi and some φ ∈ [0, 1]×iSi pi(u) = φ(u)ui + (1 − φ(u))ui and u∗ ∈ arg max

u∈×iSi φ(u)

  • i

(ui − ui) is such that u < u∗, then u∗ is a Nash equilibrium of the game {Si, pi}i

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 37

Nash equilibria of the modified demand game

Let (U, u) ∈ B, φ ∈ [0, 1]×iSi u∗ ∈ arg maxu∈×Si φ(u)

i(ui − ui) be such that u < u∗

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 38

Nash equilibria of the modified demand game

Let (U, u) ∈ B, φ ∈ [0, 1]×iSi u∗ ∈ arg maxu∈×Si φ(u)

i(ui − ui) be such that u < u∗

for all u ∈ ×iSi, φ(u)

  • i

(ui − ui) ≤ φ(u)

  • i

(u∗

i − ui)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 39

Nash equilibria of the modified demand game

Let (U, u) ∈ B, φ ∈ [0, 1]×iSi u∗ ∈ arg maxu∈×Si φ(u)

i(ui − ui) be such that u < u∗

for all i and all ui ∈ Si, φ(ui, u∗

−i)(ui−ui)

  • j=i

(u∗

j −uj) ≤ φ(u∗ i , u∗ −i)(u∗ i −ui)

  • j=i

(u∗

j −uj)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 40

Nash equilibria of the modified demand game

Let (U, u) ∈ B, φ ∈ [0, 1]×iSi u∗ ∈ arg maxu∈×Si φ(u)

i(ui − ui) be such that u < u∗

for all i and all ui ∈ Si, φ(ui, u∗

−i)(ui − ui) ≤ φ(u∗ i , u∗ −i)(u∗ i − ui)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 41

Nash equilibria of the modified demand game

Let (U, u) ∈ B, φ ∈ [0, 1]×iSi u∗ ∈ arg maxu∈×Si φ(u)

i(ui − ui) be such that u < u∗

for all i and all ui ∈ Si, φ(ui, u∗

−i)(ui − ui) ≤ φ(u∗ i , u∗ −i)(u∗ i − ui)

for all i and all ui ∈ Si, pi(ui, u∗

−i) =

φ(ui, u∗

−i)(ui − ui) + ui ≤ φ(u∗ i , u∗ −i)(u∗ i − ui) + ui

= pi(u∗

i , u∗ −i)

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 42

Nash equilibria of the modified demand game

Let (U, u) ∈ B, φ ∈ [0, 1]×iSi u∗ ∈ arg maxu∈×Si φ(u)

i(ui − ui) be such that u < u∗

for all i and all ui ∈ Si, φ(ui, u∗

−i)(ui − ui) ≤ φ(u∗ i , u∗ −i)(u∗ i − ui)

for all i and all ui ∈ Si, pi(ui, u∗

−i) =

φ(ui, u∗

−i)(ui − ui) + ui ≤ φ(u∗ i , u∗ −i)(u∗ i − ui) + ui

= pi(u∗

i , u∗ −i)

u∗ is a Nash equilibrium of the game {Si, pi}i.

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 43

convergence to the Nash bargaining solution

If (U, u) ∈ B,

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 44

convergence to the Nash bargaining solution

If (U, u) ∈ B, Sn

i = [ui, maxu∈(1+ 1

n )U ui] for all i and all n Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 45

convergence to the Nash bargaining solution

If (U, u) ∈ B, Sn

i = [ui, maxu∈(1+ 1

n )U ui] for all i and all n

for all n ∈ N, φn ∈ [0, 1]Sn

1 ×Sn 2 is such that

φn(u) =1 for all u ∈ U 0 for all u / ∈ U ∪ (1 + 1 n)U ∈[0, 1] otherwise

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 46

convergence to the Nash bargaining solution

If (U, u) ∈ B, Sn

i = [ui, maxu∈(1+ 1

n )U ui] for all i and all n

for all n ∈ N, φn ∈ [0, 1]Sn

1 ×Sn 2 is such that

φn(u) =1 for all u ∈ U 0 for all u / ∈ U ∪ (1 + 1 n)U ∈[0, 1] otherwise then lim

n arg max u∈Sn

2

φn(u)

  • i

(ui − ui) = arg max

u≤u∈U

  • i

(ui − ui)

Julio D´ avila Nash demand game

slide-47
SLIDE 47

convergence to the Nash bargaining solution

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 S2 Sn

1

Sn

2 φ(u)=1 φ(u)=0 φ(u)

U (1 + 1

n)U

u

Julio D´ avila Nash demand game

slide-48
SLIDE 48

convergence to the Nash bargaining solution

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 S2 Sn

1

Sn

2 φ(u)=1 φ(u)=0 φ(u)

. . . . . . . . . . . .

˜ un

U (1 + 1

n)U

u

Julio D´ avila Nash demand game

slide-49
SLIDE 49

convergence to the Nash bargaining solution

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 S2 Sn

1

Sn

2 φ(u)=1 φ(u)=0 φ(u)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜ un s(U,u)

U (1 + 1

n)U

u

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 50

convergence to the Nash bargaining solution

Let (U, u) ∈ B, Sn

i = [ui, maxu∈(1+ 1

n )U ui] for all i and all n

for all n ∈ N, φn ∈ [0, 1]Sn

1 ×Sn 2 is such that

φn(u) =1 for all u ∈ U 0 for all u / ∈ U ∪ (1 + 1 n)U ∈[0, 1] otherwise then max

u≤u∈U

  • i

(ui−ui) ≤ max

u∈×iSi φn(u)

  • i

(ui−ui) ≤ max

u∈×iSn

i

φn(u)

  • i

(ui−ui)

Julio D´ avila Nash demand game

slide-51
SLIDE 51

convergence to the Nash bargaining solution

If (U, u) ∈ B, Sn

i = [ui, maxu∈(1+ 1

n )U ui] for all i and all n

for all n ∈ N, φn ∈ [0, 1]Sn

1 ×Sn 2 is such that

φn(u) =1 for all u ∈ U 0 for all u / ∈ U ∪ (1 + 1 n)U ∈[0, 1] otherwise then ˜ u = arg maxu∈×iSn

i φn(u)

i(ui − ui) is in both

U ∪(1+ 1 n)U and U∗ =

  • u ∈ Rn

+|

  • i

(u∗

i −ui) ≤

  • i

(ui −ui)

  • with u∗ = arg maxu≤u∈U
  • i(ui − ui)

Julio D´ avila Nash demand game

slide-52
SLIDE 52

convergence to the Nash bargaining solution

1 ˜ u = arg maxu∈×iSn

i φn(u)

i(ui − ui) ∈ U ∪ (1 + 1 n)U:

Julio D´ avila Nash demand game

slide-53
SLIDE 53

convergence to the Nash bargaining solution

1 ˜ u = arg maxu∈×iSn

i φn(u)

i(ui − ui) ∈ U ∪ (1 + 1 n)U:

if ˜ u / ∈ U ∪ (1 + 1

n)U then φn(˜

u) = 0!

Julio D´ avila Nash demand game

slide-54
SLIDE 54

convergence to the Nash bargaining solution

1 ˜ u = arg maxu∈×iSn

i φn(u)

i(ui − ui) ∈ U ∪ (1 + 1 n)U:

if ˜ u / ∈ U ∪ (1 + 1

n)U then φn(˜

u) = 0! 2 ˜ u = arg maxu∈×iSn

i φn(u)

i(ui − ui) ∈ U∗ =

  • u ∈

Rn

+| i(u∗ i − ui) ≤ i(ui − ui)

  • :

Julio D´ avila Nash demand game

slide-55
SLIDE 55

convergence to the Nash bargaining solution

1 ˜ u = arg maxu∈×iSn

i φn(u)

i(ui − ui) ∈ U ∪ (1 + 1 n)U:

if ˜ u / ∈ U ∪ (1 + 1

n)U then φn(˜

u) = 0! 2 ˜ u = arg maxu∈×iSn

i φn(u)

i(ui − ui) ∈ U∗ =

  • u ∈

Rn

+| i(u∗ i − ui) ≤ i(ui − ui)

  • :
  • i

(u∗

i − ui) =

φn(u∗)

  • i

(u∗

i − ui) ≤ φn(˜

u)

  • i

(˜ ui − ui) ≤

  • i

(˜ ui − ui)

Julio D´ avila Nash demand game

slide-56
SLIDE 56

convergence to the Nash bargaining solution

finally lim

n

  • U∗ ∩ (1 + 1

n)U

  • = {u∗}

Julio D´ avila Nash demand game

slide-57
SLIDE 57

convergence to the Nash bargaining solution

finally lim

n

  • U∗ ∩ (1 + 1

n)U

  • = {u∗}

i.e. for all u ∈ U∗ \ {u∗}, and all n′ ≥ n for some n, u / ∈ (1 + 1 n′ )U

Julio D´ avila Nash demand game

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SLIDE 58

convergence to the Nash bargaining solution

finally lim

n

  • U∗ ∩ (1 + 1

n)U

  • = {u∗}

i.e. for all u ∈ U∗ \ {u∗}, and all n′ ≥ n for some n, 1 1 + 1

n′

u / ∈ U

Julio D´ avila Nash demand game

slide-59
SLIDE 59

convergence to the Nash bargaining solution

finally lim

n

  • U∗ ∩ (1 + 1

n)U

  • = {u∗}

i.e. for all u ∈ U∗ \ {u∗}, and all n′ ≥ n for some n, 1 1 + 1

n′

u / ∈ U 1 U, U∗ convex and U ∩ U∗ = {u∗}, so that a hyperplan separates them

Julio D´ avila Nash demand game

slide-60
SLIDE 60

convergence to the Nash bargaining solution

finally lim

n

  • U∗ ∩ (1 + 1

n)U

  • = {u∗}

i.e. for all u ∈ U∗ \ {u∗}, and all n′ ≥ n for some n, 1 1 + 1

n′

u / ∈ U 1 U, U∗ convex and U ∩ U∗ = {u∗}, so that a hyperplan separates them 2 u ∈ U∗ \ {u∗} is interior to the half-space containing U∗

Julio D´ avila Nash demand game

slide-61
SLIDE 61

convergence to the Nash bargaining solution

finally lim

n

  • U∗ ∩ (1 + 1

n)U

  • = {u∗}

i.e. for all u ∈ U∗ \ {u∗}, and all n′ ≥ n for some n, 1 1 + 1

n′

u / ∈ U 1 U, U∗ convex and U ∩ U∗ = {u∗}, so that a hyperplan separates them 2 u ∈ U∗ \ {u∗} is interior to the half-space containing U∗ 3 there is a ball centred at u in the half-space containing U∗ that does not intersect U.

Julio D´ avila Nash demand game

slide-62
SLIDE 62

convergence to the Nash bargaining solution

finally lim

n

  • U∗ ∩ (1 + 1

n)U

  • = {u∗}

i.e. for all u ∈ U∗ \ {u∗}, and all n′ ≥ n for some n, 1 1 + 1

n′

u / ∈ U 1 U, U∗ convex and U ∩ U∗ = {u∗}, so that a hyperplan separates them 2 u ∈ U∗ \ {u∗} is interior to the half-space containing U∗ 3 there is a ball centred at u in the half-space containing U∗ that does not intersect U. 4 since limn

1 1+ 1

n u = u then beyond some term, all the terms of

the sequence are in the ball, and hence not in U.

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