Kengo Kikuchi Riken iTHEMS QFT-core seminar Riken 2020/05/15 - - PowerPoint PPT Presentation

Gradient Flow and Its Applications

Kengo Kikuchi

Riken iTHEMS

QFT-core seminarRiken 2020/05/15

Introduce myself

Kengo Kikuchi

: PhD in Osaka Univ. (Onogi-san and Higashijima-san) Reseach Theoretical physics, elementary particle physics, quantum field theory (Especially renormalization, non-perturbative methods, exact renormalization group, and gradient flow)

iTHEMS QFT-core group

• 2. Advanced and Frontier part

Research under the theme of the quantum field theory Seminar and journal club for theoretical physicist Conference

• 1. Basic and Pedagogical part

Explore a systematic educational method for undergraduate or graduate students, lecture series, intensive course Introduction to other various field researcher In the tradition and sprit of Yoshio Nishina, the founder of Riken “Quantum Field Theory is the ultimate dynamics human beings have ever achieved.”

Concept of iTHEMS QFT-core

The core group of research under the theme of the Quantum Field Theory including elementary particle theory, nuclear theory and Condensed Matter physics. They consists of two parts. This seminar

. Introduction

“Sounds of Quarks”

High energy

Low energy

Can you hear the sounds of the quarks? In high energy scale, information may be overflow. Our brain cannot process information too complicate and excess!!

∞

The procedure to take a meaningful finite quantity from infinite information

Renormalization

Let’s start from the very “elementary” story. What we made of? It is quark. Everything is constructed by the huge number of quarks and each quarks have the information. But we can listen the sound just only as “PRESSURE”. There is a procedure to

• btain the finite

information form infinite

• ne

∞

“What makes the desert beautiful is that somewhere it hides a well.”

Le Petit Prince Antoine de Saint-Exupéry

However, to eliminate divergence is not so easy…

we need to renormalize the theories appropriately.

To keep symmetry in the theories Sometimes, Renormalization and Symmetry are basically incompatible like oil and water, .

• Renormalization

Symmetry We talk about the new methods to eliminates the divergence to keep the symmetry,

Gradient Flow

• II. What is Gradient Flow?

Gradient Flow Equation

Quantum Mechanics The gradient flow gives the steepest descent time evolution in the space based on the energy function of the system.

dqi dt = −∂E(q) ∂qi

Field Theory

Gradient Flow Equation

Boundary Condition

dE(q) dt =

n

X

i=1

∂E(q) ∂qi dqi dt = −

n

X

i=1

(∂E(q) ∂qi )2 ≤ 0

Gradient flow equation ≒ Diffusion equation

∂φ(t, x) ∂t = − δS[ϕ] δϕ

• ϕ→φ

φ(0, x) = ϕ(x)

SU(N) Yang-Mills Gradient Flow Equation

ゲージ場の量子論は、素粒子物理学においてこれまで数多くの成功を収めている。 世界を記述する基本的な力である４つの相互作用のうち、重力相互作用を除く、 電磁相互作用、強い相互作用、弱い相互作用は全てゲージ理論で記述することが でき、非常に優れた理論であると言える。 しかし、ゲージ場の理論に限らず、場の理論には発散という困難が常につき まとう。 年代、繰り込みという処方箋によりこの発散の困難を取り除く方法 が提唱された。これは摂動的繰り込みと呼ばれ、 等の弱結合の物理で大き な成功を収めている。しかしながら、一般に強結合の理論の場合は摂動論は使え ないため意味をなさない。 等の強結合の物理を扱うためには、場の理論の 非摂動的解析手法は無くてはならないものである。 その後、繰り込みに関して大きな発展があったのは 年代のことである。 らの仕事によって、繰り込み群の非摂動的な定式化が行われた。非摂動繰 り込み群、 流繰り込み群などと呼ばれるこの方法は、単なる手法と思われ ていた発散を取り除く繰り込み処方に物理的な意味付けをし、理論に対する強力 な物理的アプローチを与えることとなった。しかしながら、 流繰り込み群 は、その正則化の方法としてカットオフを用いているため、ゲージ理論に適用す るとゲージ対称性を破るという大きな問題点がある。そのため、ゲージ理論に対 する繰り込み群の非摂動的な解析は、現在のところ有効な手段は確立されていな い。もし、ゲージ場の量子論を非摂動的扱う方法、具体的には、ゲージ対称性を 破らない形で繰り込み群を非摂動的に定式化できれば、 の解析的な計算や、 クォークの閉じ込め問題に対する研究の発展など、素粒子物理学に与えるインパ クトは計り知れないであろう。 そのような中、近年、 によって興味深い研究が発表された。 と呼ばれるある種の分散方程式に従うゲージ場は、その場で描か れる観測量が、自然に繰り込まれた量になっているという主張である。本研究で は の主張をレビューし、我々が知っている繰り込み群とどのような関係 になっているのかを明らかにしていくことを目標とする。

の定義

ゲージ場 の を以下の式で定義する。

, Bµ|t=0 = Aµ

ただしここで、 は通常のゲージ場の理論の裸の場、 の随伴表現であり、 と は

Boundary condition Gradient Flow Equation : usual gauge field : modification term (alpha 0 term)

ゲージ場の量子論は、素粒子物理学においてこれまで数多くの成功を収めている。 世界を記述する基本的な力である４つの相互作用のうち、重力相互作用を除く、 電磁相互作用、強い相互作用、弱い相互作用は全てゲージ理論で記述することが でき、非常に優れた理論であると言える。 しかし、ゲージ場の理論に限らず、場の理論には発散という困難が常につき まとう。 年代、繰り込みという処方箋によりこの発散の困難を取り除く方法 が提唱された。これは摂動的繰り込みと呼ばれ、 等の弱結合の物理で大き な成功を収めている。しかしながら、一般に強結合の理論の場合は摂動論は使え ないため意味をなさない。 等の強結合の物理を扱うためには、場の理論の 非摂動的解析手法は無くてはならないものである。 その後、繰り込みに関して大きな発展があったのは 年代のことである。 らの仕事によって、繰り込み群の非摂動的な定式化が行われた。非摂動繰 り込み群、 流繰り込み群などと呼ばれるこの方法は、単なる手法と思われ ていた発散を取り除く繰り込み処方に物理的な意味付けをし、理論に対する強力 な物理的アプローチを与えることとなった。しかしながら、 流繰り込み群 は、その正則化の方法としてカットオフを用いているため、ゲージ理論に適用す るとゲージ対称性を破るという大きな問題点がある。そのため、ゲージ理論に対 する繰り込み群の非摂動的な解析は、現在のところ有効な手段は確立されていな い。もし、ゲージ場の量子論を非摂動的扱う方法、具体的には、ゲージ対称性を 破らない形で繰り込み群を非摂動的に定式化できれば、 の解析的な計算や、 クォークの閉じ込め問題に対する研究の発展など、素粒子物理学に与えるインパ クトは計り知れないであろう。 そのような中、近年、 によって興味深い研究が発表された。 と呼ばれるある種の分散方程式に従うゲージ場は、その場で描か れる観測量が、自然に繰り込まれた量になっているという主張である。本研究で は の主張をレビューし、我々が知っている繰り込み群とどのような関係 になっているのかを明らかにしていくことを目標とする。

の定義

ゲージ場 の を以下の式で定義する。

= Aµ.

ただしここで、 は通常のゲージ場の理論の裸の場、 の随伴表現であり、 と は

• The first term of the RHS is proportional to the gradient of the Yang-Mills action.
• The B is a new gauge field and related to the usual gauge field A through the boundary

condition of this equation .

• The second term of the R.H.S is modification term, which is described by the gauge

transformation. What is the merit to introduce the B field? Lusher-Weisz theorem

∂Bµ ∂t = −δSYM δBµ + α0δBµ

t the fictitious time as fifth dimension called “flow time”, whose mass dimension is -2 For 4-d SU(N) Yang-Mills theory

αoδBµ

Luscher-Weisz Theorem

The expectation values in terms of the B field are finite without additional renormalization to all order. (Any N-point correlation functions are finite if you renormalize only the A field. You need not to consider the Z factor renormalization nor the composite

• perator renormalization for B field.)

Claim

t=0 t=t

• “B” fields lives in bulk

“A” fields of the usual SU(N) gauge theory lives at the boundary t=0 This is the new procedure to suppress the divergence for the gauge field theory. All of the physical quantity in terms of bare B field is always finite. you need not to consider the renormalization of B.

Applications of Gradient Flow

Various applications of the gradient flow equation Using the gradient flow equation of matter field, Luscher calculate the flow time dependent chiral condensate as a order parameter of chiral symmetry breaking.

˙ ¯ χ = ¯ χ← − ∆ + α0 ¯ χ∂νBν, ˙ χ = ∆χ − α0∂νBνχ.

Order parameter for example “Chiral condensate”

h ¯ ψ(x)ψ(x)i

h¯ χt(x)χt(x)i

in terms of usual field in terms of flowed field

¯ χ0(x) = ¯ ψ(x)

χ0(x) = ψ(x)

. Generalized Gradient Flow Equation

Outline

• 1. Generalized Gradient Flow Equation
• 2. SUSY Gradient Flow

Equation

• 3. Large N Gradient Flow

Equation SU(N) Yang-Mills Gradient Flow Equation

Generalization Apply it to N=1 d=4 Super Yang-Mills Theory Apply it to 2d O(N) Nonlinear Sigma model

3 keywords!

Motivation

“What physical system the gradient flow method can be applied?”

There are three kinds of the Gradient flow equations

˙ ¯ χ = ¯ χ← − ∆ + α0 ¯ χ∂νBν, ˙ χ = ∆χ − α0∂νBνχ.

• 3. Gradient flow equation of matter field

In this work, we attempt to extend to the super Yang-Mills theory in 4 dimensions and the 2 dimensional O(N) nonlinear sigma model.

˙ Ut(µ, x) = β X

ν6=µ

⇣ Pt(µ, ν, x) + Pt(µ, −ν, x) − P †

t (µ, ν, x) − P † t (µ, −ν, x)

− 1 N Tr(Pt(µ, ν, x) + Pt(µ, −ν, x) − P †

t (µ, ν, x) − P † t (µ, −ν, x))

◆ Ut(µ, x)

P LV · = [V, ·]

V = iAµ

U :Link variable

:plaquette

• 1. Gradient flow equation of lattice gauge theory Wilson flow
• 2. Yang-Mills Gradient flow equation

ゲージ場の量子論は、素粒子物理学においてこれまで数多くの成功を収めている。 世界を記述する基本的な力である４つの相互作用のうち、重力相互作用を除く、 電磁相互作用、強い相互作用、弱い相互作用は全てゲージ理論で記述することが でき、非常に優れた理論であると言える。 しかし、ゲージ場の理論に限らず、場の理論には発散という困難が常につき まとう。 年代、繰り込みという処方箋によりこの発散の困難を取り除く方法 が提唱された。これは摂動的繰り込みと呼ばれ、 等の弱結合の物理で大き な成功を収めている。しかしながら、一般に強結合の理論の場合は摂動論は使え ないため意味をなさない。 等の強結合の物理を扱うためには、場の理論の 非摂動的解析手法は無くてはならないものである。 その後、繰り込みに関して大きな発展があったのは 年代のことである。 らの仕事によって、繰り込み群の非摂動的な定式化が行われた。非摂動繰 り込み群、 流繰り込み群などと呼ばれるこの方法は、単なる手法と思われ ていた発散を取り除く繰り込み処方に物理的な意味付けをし、理論に対する強力 な物理的アプローチを与えることとなった。しかしながら、 流繰り込み群 は、その正則化の方法としてカットオフを用いているため、ゲージ理論に適用す るとゲージ対称性を破るという大きな問題点がある。そのため、ゲージ理論に対 する繰り込み群の非摂動的な解析は、現在のところ有効な手段は確立されていな い。もし、ゲージ場の量子論を非摂動的扱う方法、具体的には、ゲージ対称性を 破らない形で繰り込み群を非摂動的に定式化できれば、 の解析的な計算や、 クォークの閉じ込め問題に対する研究の発展など、素粒子物理学に与えるインパ クトは計り知れないであろう。 そのような中、近年、 によって興味深い研究が発表された。 と呼ばれるある種の分散方程式に従うゲージ場は、その場で描か れる観測量が、自然に繰り込まれた量になっているという主張である。本研究で は の主張をレビューし、我々が知っている繰り込み群とどのような関係 になっているのかを明らかにしていくことを目標とする。

の定義

ゲージ場 の を以下の式で定義する。

˙ Bµ = DνGνµ + α0Dµ∂νBν, B

ただしここで、 は通常のゲージ場の理論の裸の場、 の随伴表現であり、 と は

Motivation

Motivation for N=1, d=4 SU(N) Super Yang-Mills theory

• Problem of Gradient Flow of Matter Field

˙ ¯ χ = ¯ χ← − ∆ + α0 ¯ χ∂νBν, ˙ χ = ∆χ − α0∂νBνχ.

• They do not satisfy the Luscher-Weisz theorem.

There is no power divergence, but there are logarithmic divergences.

• The equation is no longer defined from the gradient of the action.

Super Yang-Mills Theory

Theory

Yang-Mills Theory

Gauge fielld A Vector superfield V including gauge and gaugino fields Gradient Flow Equation Gradient of what? Yang-Mills action Super Yang-Mills action Matter field χ none

Motivation

Motivation for 2-dimensional O(N) Nonlinear Sigma Model

• Asymptotic free
• non-perturbative generation of mass gap
• Exactly solvable at large N limit
• Good toy model for Yang-Mills theory

It will be capable to show the properties of the UV finiteness in the gradient flow “non-perturbatively”. In order to analyze those theories, we extend the gradient flow equation to one which also respects the nonlinear symmetries. Generalized Gradient Flow Equation We want to analyze the super Yang-Mills theory and the O(N) nonlinear sigma

• model. However these theories have nonlinear symmetries, the naive gradient

flow equation does not respect the these symmetries.

• i. Generalized Gradient Flow

Equation

Generalized Gradient Flow Equation

We propose the generalization of the gradient flow equation for the quantum field theories with nonlinearly realized symmetry.

Generalized Gradient Flow Equation

gab

is the metric, which constructs the invariant norm on the functional space

||δφ||2 =

• d4xgab(φ(x))δφa(x)δφb(x),

a = 1, 2, · · · , D.

In the case of Yang-Mills theory,

∂φa ∂t = −gab(φ)δS(φ) δφb

gab(Aµ) = 2δab

∂φa ∂t = −δS(φ) δφa

Orijginal Gradient Flow Equation

Various Gradient Flow Equations

Whether one can find an appropriate metric or not for a given field theory is quite nontrivial, but there are quite a few example in which one can find the metric explicitly.

Lattice gauge theory

˙ Ut(µ, x) = β X

ν6=µ

⇣ Pt(µ, ν, x) + Pt(µ, −ν, x) − P †

t (µ, ν, x) − P † t (µ, −ν, x)

− 1 N Tr(Pt(µ, ν, x) + Pt(µ, −ν, x) − P †

t (µ, ν, x) − P † t (µ, −ν, x))

◆ Ut(µ, x)

gab(Aµ(x)) = Tr ✓1 − e−LV LV · T a ◆ ✓1 − e−LV LV · T b ◆ .

which agrees with Wilson Flow.

V = iAµ

LV · = [V, ·]

N=1, d=4 SU(N)Super Yang-Mills theory

gab(V ) = Tr 1 − e−LV LV T a 1 − e−LV LV T b

• ∂v

∂t = Lv 1 − e−Lv (F + α0Φv) + h.c.

F = Dαwα + {e−vDαev, wα}. where

v: flowed supervector fields wα : field strength

U

P

:Link variable :plaquette d=2 O(N) Nonlinear Sigma Model

gab(φ) = δab − φaφb

d dtφa = φa + φa∂µ⃗ φ · ∂µ⃗ φ + φa(∂µ⃗ φ2)2 4(1 − ⃗ φ2) .

• ii. SUSY Gradient Flow

Equation

Gradient Flow Equation of Super Yang-Mills Theory

ゲージ場の量子論は、素粒子物理学においてこれまで数多くの成功を収めている。 世界を記述する基本的な力である４つの相互作用のうち、重力相互作用を除く、 電磁相互作用、強い相互作用、弱い相互作用は全てゲージ理論で記述することが でき、非常に優れた理論であると言える。 しかし、ゲージ場の理論に限らず、場の理論には発散という困難が常につき まとう。 年代、繰り込みという処方箋によりこの発散の困難を取り除く方法 が提唱された。これは摂動的繰り込みと呼ばれ、 等の弱結合の物理で大き な成功を収めている。しかしながら、一般に強結合の理論の場合は摂動論は使え ないため意味をなさない。 等の強結合の物理を扱うためには、場の理論の 非摂動的解析手法は無くてはならないものである。 その後、繰り込みに関して大きな発展があったのは 年代のことである。 らの仕事によって、繰り込み群の非摂動的な定式化が行われた。非摂動繰 り込み群、 流繰り込み群などと呼ばれるこの方法は、単なる手法と思われ ていた発散を取り除く繰り込み処方に物理的な意味付けをし、理論に対する強力 な物理的アプローチを与えることとなった。しかしながら、 流繰り込み群 は、その正則化の方法としてカットオフを用いているため、ゲージ理論に適用す るとゲージ対称性を破るという大きな問題点がある。そのため、ゲージ理論に対 する繰り込み群の非摂動的な解析は、現在のところ有効な手段は確立されていな い。もし、ゲージ場の量子論を非摂動的扱う方法、具体的には、ゲージ対称性を 破らない形で繰り込み群を非摂動的に定式化できれば、 の解析的な計算や、 クォークの閉じ込め問題に対する研究の発展など、素粒子物理学に与えるインパ クトは計り知れないであろう。 そのような中、近年、 によって興味深い研究が発表された。 と呼ばれるある種の分散方程式に従うゲージ場は、その場で描か れる観測量が、自然に繰り込まれた量になっているという主張である。本研究で は の主張をレビューし、我々が知っている繰り込み群とどのような関係 になっているのかを明らかにしていくことを目標とする。

の定義

ゲージ場 の を以下の式で定義する。

˙ Bµ = DνGνµ + α0Dµ∂νBν, B

ただしここで、 は通常のゲージ場の理論の裸の場、 の随伴表現であり、 と は

ゲージ場の量子論は、素粒子物理学においてこれまで数多くの成功を収めている。 世界を記述する基本的な力である４つの相互作用のうち、重力相互作用を除く、 電磁相互作用、強い相互作用、弱い相互作用は全てゲージ理論で記述することが でき、非常に優れた理論であると言える。 しかし、ゲージ場の理論に限らず、場の理論には発散という困難が常につき まとう。 年代、繰り込みという処方箋によりこの発散の困難を取り除く方法 が提唱された。これは摂動的繰り込みと呼ばれ、 等の弱結合の物理で大き な成功を収めている。しかしながら、一般に強結合の理論の場合は摂動論は使え ないため意味をなさない。 等の強結合の物理を扱うためには、場の理論の 非摂動的解析手法は無くてはならないものである。 その後、繰り込みに関して大きな発展があったのは 年代のことである。 らの仕事によって、繰り込み群の非摂動的な定式化が行われた。非摂動繰 り込み群、 流繰り込み群などと呼ばれるこの方法は、単なる手法と思われ ていた発散を取り除く繰り込み処方に物理的な意味付けをし、理論に対する強力 な物理的アプローチを与えることとなった。しかしながら、 流繰り込み群 は、その正則化の方法としてカットオフを用いているため、ゲージ理論に適用す るとゲージ対称性を破るという大きな問題点がある。そのため、ゲージ理論に対 する繰り込み群の非摂動的な解析は、現在のところ有効な手段は確立されていな い。もし、ゲージ場の量子論を非摂動的扱う方法、具体的には、ゲージ対称性を 破らない形で繰り込み群を非摂動的に定式化できれば、 の解析的な計算や、 クォークの閉じ込め問題に対する研究の発展など、素粒子物理学に与えるインパ クトは計り知れないであろう。 そのような中、近年、 によって興味深い研究が発表された。 と呼ばれるある種の分散方程式に従うゲージ場は、その場で描か れる観測量が、自然に繰り込まれた量になっているという主張である。本研究で は の主張をレビューし、我々が知っている繰り込み群とどのような関係 になっているのかを明らかにしていくことを目標とする。

の定義

ゲージ場 の を以下の式で定義する。

, Bµ|t=0 = Aµ

ただしここで、 は通常のゲージ場の理論の裸の場、 の随伴表現であり、 と は

SY M = Z dDxTr[Fµν(x)Fµν(x)]

Wα = − ¯ D2(e−V DαeV ).

SSY M = Z d4xTr[W αWα|θθ + ¯ W ˙

α ¯

W ˙

α|¯ θ¯ θ]

v|t=0 = V Replacement

• Yang-Mills action SYM → Super Yang-Mills action SSYM.
• New gauge field Ba → New superfield va.
• Gauge transformation δBa→ Super gauge transformation δva.
• Metric δab → gab(v)

∂Ba(x) ∂t = −2δab δSYM δBb(x) + α0δBa(x)

∂va(z) ∂t = −gab(v(z))δSSYM δvb + α0δva(z)

gab(V ) = Tr 1 − e−LV LV T a 1 − e−LV LV T b

Explicit Form and Gauge Fixing

General form of gradient flow equation of super Yang-Mills theory Explicit form of super Yang-Mills gradient flow equation

∂v ∂t = Lv 1 − e−Lv (F + α0Φv) + h.c.

F = Dαwα + {e−vDαev, wα}. where gab, δSSYM δv , δv

∂va(z) ∂t = −gab(v(z))δSSYM δvb + α0δva(z)

The gradient flow equation has infinite number of commutators in general gauge, so it is difficult to solve it. We choose Wess-Zumino gauge. Substituting the explicit form of Problem The time evolution can carry the system away from the WZ gauge. Solution Find a special choice of α0 term which keeps WZ gauge under time evolution!

Determination of α0 Term

Does the α0 term, which satisfies the following requirements, exist?

+α0δv

• It is positive.
• The mass dimension is two.
• It is described by the super gauge transformation.
• The flow of the vector field keeps the WZ gauge at any flow time.

The answer is “YES”! We found the special form, which satisfy the requirements.

α0 = 1 δv = Φv + Φ†

v + 1

2[v, Φv − Φ†

v] + 1

12[v, [v, Φv + Φ†

v]].

Φv = ¯ D2(D2v + [D2v, v]).

Gradient Flow Equation for Each Component

• f Vector Multiplet

˙ c = 0, ˙ χ = 0, ˙ ¯ χ = 0, ˙ m = 0, ˙ m∗ = 0, ˙ vm = −16Dkvmk + 16Dm∂kvk − 8{¯ λ ˙

α, (¯

σmλ) ˙

α},

− − { } ˙ ¯ λ = −16¯ σkσmDkDm¯ λ + 8[¯ λ, d + i∂mvm], ˙ λ = −16σk¯ σmDkDmλ − 8[λ, d − i∂mvm], ˙ d = 16d + 16i[vm, ∂md] +2iTr[¯ σmσl¯ σnσk − ¯ σmσk¯ σnσl]DnDlvmk +8i{¯ λ ˙

α, (¯

σmDmλ) ˙

α} − 8i{λα, (σmDm¯

λ)α} −4[vm, [vm, d]].

The flow of the matter field

˙ ¯ χ = ¯ χ← − ∆ + α0 ¯ χ∂νBν, ˙ χ = ∆χ − α0∂νBνχ.

Luscher’s one We find that if we regard Δ as , Lucher’s one are almost similar to our results except for terms and the point that α0 terms are described in terms of commutation relations. / D2

[λ, d] ˙ ¯ λ = −16¯ σkσmDkDm¯ λ + 8[¯ λ, d + i∂mvm], ˙ λ = −16σk¯ σmDkDmλ − 8[λ, d − i∂mvm].

Our results

• iii. Large N Gradient Flow

Equation

Gradient Flow Equation of 2 Dimensional O(N) Nonlinear Sigma Model

d dtφa = φa + φa∂µ⃗ φ · ∂µ⃗ φ + φa(∂µ⃗ φ2)2 4(1 − ⃗ φ2) .

Solving the equation, we would like to prove the finiteness of the correlation function “non-perturbatively” A drastic reduction takes place after dropping the subleading contribution at large N limit Fig.1

d dt

= + +

X(

)n

−p2

−p2 · p3

−(p2 + p3)(p4 + p5)

Large N Limit

d dt

=

−p2

−p2 · p3

+

d dta = ⇤a + a < @µ~ · @µ~ >

Large N Gradient Flow Equqtion

Solution at Leading order

Consider the correlation function of the flowed field φ(t, x), which is satisfied the G.F.eq. and usual field O1. (L.H.S) = (R.H.S) =

< ˙ φa(t, p)O1 >

< [−p2a(t, p) − Z 3

p

a(t, p1)(p2 · p3) < ~ (t, p2) · ~ (t, p3) >]O1 > At the large N limit,

• In order to Solve equation, substituting the solution into the two point function, We

give the ansatz for the large N gradient flow equation as follows

φa(t, p) = f(t)e−tp2ϕa(p)

We can solve this differential equation as

˙ f(t) = λf 3(t) ˙ J(t)

J(t) = −1 2 Z

q

e−2q2t q2 + m2 where

f(t) = e−m2t r 4π λ 1 p Ei(−2t(Λ2 + m2)) − Ei(−2tm2) where Ei is the Exponential Integral function, which is finite. Ei(−x) =

Z dxe−x x

From the large N gradient flow equation, f(t) should satisfy the following differential equation.

Finiteness of Two Point Function

Two point function of the flowed field

⟨φa(t1, p1)φb(t2, p2)⟩ = f(t1)f(t2)e−p2

1t1e−p2 2t2⟨ϕa(p1)ϕb(p2)⟩

= f(t1)f(t2)λ N δabˆ δ(p1 + p2)e−p2

1(t1+t2)

p2

1 + m2 .

Two point function of flowed field is finite!

Note that any n point function of the 2 dimensional NLSM is described by the only 2 point function at the large N limit, we can say that the flowed 2 dimensional NLSM is finite at the large N limit non-perturbatively.

lim

Λ→∞ λf(t1)f(t2) = 4π

e−m2(t1+t2)

• −Ei(−2t1m2)
• −Ei(−2t2m2)

,

• . Short Summary

Outline

• 1. Generalized Gradient Flow Equation
• 2. SUSY Gradient Flow

Equation

• 3. Large N Gradient Flow

Equation SU(N) Yang-Mills Gradient Flow Equation

Generalization Apply it to N=1 d=4 Super Yang-Mills Theory Apply it to 2d O(N) Nonlinear Sigma model

3 keywords!

SUSY Gradient Flow Equation Large N Gradient Flow Equation

Generalized Gradient Flow Equation

We applied the equation to the super Yang-Mills theory. We applied the equation to the 2d O(N) non- linear sigma model, and took the large N limit.

• We obtained the SUSY GF eq., which has

manifest SUSY and supergauge symmetry.

• We found the special α0 term to keep the

flow under the WZ gauge consistently.

• We derived the gradient flow equation of

matter field very naturally.

• We obtained the Large N GF eq.
• We proved the UV finiteness of the 2 point

function non-perturbatively.

• We obtained the Connected four point

function in terms of the flowed field as the sub- leading order. We proposed the generalized gradient flow equation for the QFT with nonlinearly realized symmetry.

Short Summary

. Current Research

Sphaleron from Gradient Flow

with Y. Hamada (Kyoto Univ.)

NCS

vacuum (NCS = 0,1,)

field configuration space Energy

sphaleron (NCS = 1

2 , 3 2 , )

∂sΦA(x, s) = FA(x, s) − ˜ β GA(x, s),

where

FA(x, s) ≡ − δE[Φ] δΦA(x, s). ˜ ⌘ hG|Fi hG|Gi ,

GA(x, s) ⌘ NCS[Φ] ΦA(x, s).

Modified gradient flow Modified term gradient of the action→classical configuration at large t projection g to F Gradient of the Chern-Simons number arXiv 2003.02070[hep-th] (to appear PRD ) Research 1

Gradient flow and non-renormalization theorem

with D.Kadoh(National Tsing-Hua Univ.) N.Ukita (Tsukuba Univ.) Research 2 gauge theory N=1,4 dimensional Wess-Zumino model

• 1. Most simple model of the SUSY theory, which does not have gauge symmetry
• 2. Non-renormalization theorem

It is nontrivial question whether the flowed theories without gauge symmetry has the properties of the finiteness or not. → Because the gauge symmetry is an important key of the proof of the finiteness in Luscher-Weisz theorem. How do SUSY and non-renormalization theorem effect on the gradient flow? This flow does not even need the wave function renormalization of the flow field, which is different from the free flow of φ4 theory. In this sense, the Wess-Zumino gradient flow works perfectly. We would like to understand the essential of the gradient flow. Models Motivation Results

⟨Φt1=0(p1) . . . Φtn=0(pn)¯ Φs1=0(q1) . . . ¯ Φsm=0(qm)⟩ = (gα)n(g∗α)m⟨Ω1(p1) . . . Ωn(pn)¯ Ω1(q1) . . . ¯ Ωm(qm)⟩ = (Z−3α/2gα

r )n(Z−3α/2g∗α r )m⟨Z1/2Ω1,r(p1) . . . Z1/2Ωn,r(pn)Z1/2 ¯

Ω1,r(q1) . . . Z1/2 ¯ Ωm,r(qm)⟩ = Zn(1/2−3α/2)Zm(1/2−3α/2)g(nα)

r

g∗mα

r

⟨Ω1,r(p1) . . . Ωn,r(pn)¯ Ω1,r(q1) . . . ¯ Ωm,r(qm)⟩

. In a renormalizable theory, any correlation functions are able to be finite by renormalizing the coupling constants and the wave functions.renormalizable at the boundary

• 2. All of the wave function renormalizations are able to be rewritten in terms of the

coupling constants renormalization due to the non-renormalization theorem. So, the correlation function of the flow fields would be finite if one chooses the appropriate initial condition for the flow fields as the product of the boundary field and the bare coupling constants. non-renormalization theorem

Proof of finiteness to all order using non-renormalization theorem

finite from renormalizable at the boundary

when α=1/3, they are independent on Z factor, then they are finite

non-renormalization theorem Initial condition

Φta=0(p) = gαΩa(p) ¯ Φta=0(p) = g∗α ¯ Ωa(p)

Proof Initial condition Correlation function

⟨Φt1(p1) . . . Φtn(pn)¯ Φs1(q1) . . . ¯ Φsm(qm)⟩ = e− n

Φs1=0(q1) . . . ¯ Φsm=0(qm)⟩

Φ

: flowed field

Ω

: boundary field

Gradient Flow Equation and Exact Renormalization Group

Unified method to give the ERG eq. = Change of variables 1974 Wegner ERG eq.

Polchinski eq.

Wetterich eq. Wegner-Houghton eq.

GF eq. Generalized GF eq. ∂φa ∂t = −δS(φ) δφa

∂φa ∂t = −gab(φ)δS(φ) δφb Change of variables

Physical meaning of the GF ERG eq. to keep gauge symmetry manifestly

Research 3 We already have the method to keep the symmetry appropriately!! This research will give

. Summary and Discussion

Summary and Discussion

What is the Gradient Flow?

Gradient flow is the hot topic in the high energy physics, and gives a new research direction in quantum field theory SUSY Gradient Flow Equation Large N Gradient Flow Equation

Generalized Gradient Flow Equation

We applied the equation to the super Yang-Mills theory. We applied the equation to the 2d O(N) non- linear sigma model, and took the large N limit. We proposed the generalized gradient flow equation for the QFT with nonlinearly realized symmetry.

Summary and Discussion 2

Current work

• 1. Sphaleron from Gradient Flow leads to

new direction of the GF methods new methods to analyze the various research fields

• 2. GF and non-renormalization theorem leads to

the guiding principle to construct the GF including interaction. the numerical analysis of SUSY theory and extended SUSY for AdS-CFT correspondence

• 3. The relation between ERG and GF leads to

the physical meaning of GF ERG to keep manifest symmetry

So if you are interested in my work, please discuss anytime and collaborates with your research field. Welcome!!! Wanted QFT-core group member!!

Thank you for your kind attention.