Joohwan Kim and R. Srikant Dept. of Electrical and - - PowerPoint PPT Presentation

Joohwan ¡Kim ¡and ¡R. ¡Srikant ¡ ¡

• Dept. ¡of ¡Electrical ¡and ¡Computer ¡Engineering ¡and ¡ ¡

Coordinated ¡Science ¡Lab ¡ University ¡of ¡Illinois ¡at ¡Urbana-­‑Champaign ¡

1 ¡

A ¡Random ¡Graph ¡Problem ¡

— Consider ¡N ¡nodes: ¡1,2,…, ¡𝑂. ¡ ¡ — Create ¡a ¡directed ¡cycle ¡by ¡randomly ¡permuFng ¡the ¡nodes. ¡ — Create ¡another ¡independent ¡cycle ¡ — Max ¡distance ¡between ¡any ¡pair ¡of ¡nodes ¡in ¡each ¡cycle: ¡𝑃(𝑂) ¡

¡ ¡

2 ¡

8

2 ¡

7 1

10 ¡

6 ¡

4 9 5

12 ¡

3

11 ¡

4

12 ¡

1 9

3 ¡

10 ¡

7 ¡

6 2

11 ¡

5 8

A ¡Random ¡Graph ¡Problem ¡

— Consider ¡the ¡superposed ¡graph ¡of ¡the ¡two ¡cycles ¡

¡

— Distance ¡between ¡any ¡pair ¡of ¡two ¡nodes? ¡

— Answer: ¡𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡ ¡(Kim ¡and ¡Wormald, ¡2001) ¡

3 ¡

4

12 ¡

1 9

3 ¡

10 ¡

7 ¡

6 2

11 ¡

5 8

Broken ¡Cycle.… ¡

— Remove ¡each ¡RED ¡edge ¡with ¡some ¡probability ¡(say ¡½). ¡

¡ ¡

— Maximum ¡distance ¡from ¡node ¡1 ¡to ¡all ¡nodes? ¡

— Answer: ¡𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡with ¡high ¡probability ¡

4 ¡

4

12 ¡

1 9

3 ¡

10 ¡

7 ¡

6 2

11 ¡

5 8

Outline ¡

— Mo#va#on: ¡A ¡model ¡for ¡construc#ng ¡high ¡

throughput, ¡low-­‑delay ¡P2P ¡streaming ¡systems ¡

— Peer-­‑to-­‑Peer ¡(P2P) ¡Networks ¡

— Minimal ¡centralized ¡support ¡

— Key ¡Ideas: ¡

— Superposi#on ¡of ¡random ¡Hamiltonian ¡cycles ¡(even ¡

with ¡some ¡edges ¡removed) ¡has ¡good ¡diameter ¡ proper#es ¡

— Two ¡ways ¡to ¡construct ¡Hamiltonian ¡cycles ¡

— Comparison ¡with ¡Prior ¡Work ¡

5 ¡

Client-­‑Server ¡vs. ¡Peer-­‑to-­‑Peer ¡

Client-­‑Server ¡ Peer-­‑to-­‑Peer ¡

• Direct ¡transmission ¡from ¡the ¡source ¡to ¡

𝑂 ¡clients ¡

• Direct ¡transmission ¡to ¡a ¡few ¡peers ¡
• Data ¡exchange ¡by ¡the ¡peers ¡
• Upload ¡bandwidth ¡of ¡the ¡server ¡= ¡c ¡
• Upload ¡bandwidth ¡of ¡a ¡peer ¡= ¡1 ¡
• Available ¡upload ¡bandwidth ¡= ¡𝑂 ¡
• Streaming ¡rate ¡per ¡client ¡= ¡​𝑑/𝑂 ¡
• Streaming ¡rate ¡per ¡client ¡≈1 ¡

6 ¡

Required ¡bandwidth ¡for ¡P2P ¡streaming ¡does ¡not ¡grow ¡with ¡the ¡network ¡size! ¡

P2P ¡File-­‑sharing ¡vs. ¡P2P ¡streaming ¡

— P2P ¡File-­‑sharing ¡

— Big ¡file ¡→ ¡MulFple ¡chunks. ¡ — ObjecFve: ¡Collect ¡all ¡the ¡chunks ¡ ¡ — Gnutella, ¡BitTorrent, ¡etc. ¡

— In ¡this ¡talk: ¡P2P ¡Streaming ¡

— Source ¡peer ¡: ¡generates ¡chunks ¡of ¡real-­‑Fme ¡content ¡ ¡sequenFally ¡ — ObjecFve: ¡Play ¡out ¡chunks ¡sequenFally ¡with ¡low ¡delay ¡ — PPLive, ¡CoolStreaming, ¡etc. ¡

7 ¡

Thousands ¡

• f ¡Peers ¡

1

Delay ¡Requirement ¡for ¡Real-­‑Fme ¡Content ¡

— Streaming ¡delay: ¡Fme ¡taken ¡for ¡a ¡chunk ¡to ¡be ¡disseminated ¡

from ¡the ¡source ¡to ¡all ¡peers ¡

— Buffering ¡to ¡miFgate ¡out ¡of ¡sequence ¡delivery ¡of ¡chunks ¡

— OpFmal ¡streaming ¡delay? ¡How ¡to ¡achieve ¡this? ¡

2

8 ¡

Playout ¡buffer ¡of ¡a ¡Peer ¡ 1 2 3 4 playout ¡ Broadcaster ¡ (Source) ¡ 3 4 5

X ¡

6

Problem ¡Statement ¡

— We ¡want ¡each ¡peer ¡to ¡have ¡a ¡small ¡number ¡of ¡neighbors ¡with ¡

whom ¡it ¡interacts ¡

— QuesFons: ¡

• 1. How ¡should ¡the ¡neighborhood ¡of ¡each ¡peer ¡be ¡chosen? ¡
• 2. What ¡policy ¡should ¡each ¡peer ¡use ¡to ¡disseminate ¡chunks ¡to ¡

neighbors? ¡

• 3. How ¡should ¡each ¡peer ¡update ¡its ¡neighborhood ¡in ¡response ¡

to ¡peer ¡churn ¡(arrivals, ¡departures ¡of ¡peers)? ¡ ¡

— Goal: ¡Design ¡an ¡algorithm ¡that ¡can ¡achieve ¡high ¡throughput, ¡

low ¡delay, ¡and ¡is ¡robust ¡to ¡peer ¡churn. ¡

9 ¡

Our ¡Pairing ¡Algorithm ¡

— Every ¡peer ¡(including ¡the ¡source) ¡has ¡at ¡most ¡two ¡children ¡and ¡

two ¡parents. ¡

— Two ¡outgoing ¡edges ¡(Blue ¡and ¡Red) ¡per ¡peer ¡ — Two ¡incoming ¡edges ¡(Blue ¡and ¡Red) ¡per ¡peer ¡

— Neighborhood ¡is ¡updated ¡locally ¡in ¡response ¡to ¡peer ¡churn. ¡

10 ¡

v ¡ Children ¡ Parents ¡

Random ¡Peer ¡Pairing ¡Algorithm ¡

— (Law-­‑Siu ¡2003) ¡When ¡a ¡new ¡peer ¡arrives, ¡the ¡peer ¡

1.

Independently ¡chooses ¡one ¡BLUE ¡edge ¡and ¡one ¡RED ¡edge ¡ uniformly ¡at ¡random. ¡(Using ¡a ¡tracker) ¡

2.

Breaks ¡into ¡the ¡edges. ¡

11 ¡

1 2 1 2

Blue ¡Layer ¡ Red ¡Layer ¡

3 3

x ¡ x ¡

• ¡
• ¡
• ¡
• ¡

Random ¡Peer ¡Pairing ¡Algorithm ¡

— When ¡a ¡new ¡peer ¡arrives, ¡the ¡peer ¡

1.

Independently ¡chooses ¡one ¡BLUE ¡and ¡one ¡RED ¡edge ¡uniformly ¡ at ¡random. ¡(Note: ¡needs ¡a ¡tracker) ¡

2.

Breaks ¡into ¡the ¡edges. ¡

12 ¡

1 2 1 2

Blue ¡Layer ¡ Red ¡Layer ¡

+ ¡

3 3 4 4

x ¡ x ¡

• ¡
• ¡
• ¡
• ¡

Random ¡Peer ¡Pairing ¡Algorithm ¡

— When ¡an ¡exisFng ¡peer ¡leaves, ¡ ¡

— Its ¡parent ¡in ¡each ¡layer ¡contacts ¡its ¡child ¡directly. ¡ — They ¡repair ¡the ¡pairing. ¡

— Takes ¡advantange ¡of ¡peer ¡churn ¡

13 ¡

1 1 2 2

Blue ¡Layer ¡ Red ¡Layer ¡

3 3 4 4

x ¡ x ¡ x ¡ x ¡

• ¡
• ¡

Equivalent ¡DescripFon ¡of ¡Layers ¡

— BLUE ¡and ¡RED ¡layers ¡are ¡cycles ¡with ¡independently ¡permuted ¡

• rders ¡of ¡peers. ¡ ¡

¡

14 ¡

8

2 ¡

7 1

10 ¡

6 ¡

4 9 5

12 ¡

3

11 ¡

Blue ¡Layer ¡ Red ¡Layer ¡ ¡

4

12 ¡

1 9

3 ¡

10 ¡

7 ¡

6 2

11 ¡

5 8

Next: ¡Chunk ¡DisseminaFon ¡ ¡

— Recall ¡that ¡mulFmedia ¡content ¡is ¡generated ¡in ¡the ¡form ¡of ¡

chunks ¡ ¡

— At ¡each ¡Fme ¡instant, ¡a ¡peer ¡has ¡a ¡subset ¡of ¡the ¡chunks ¡

generated ¡so ¡far. ¡It ¡has ¡to ¡make ¡two ¡decisions: ¡

— Neighbor ¡selecFon: ¡It ¡has ¡to ¡pick ¡a ¡neighbor ¡to ¡which ¡it ¡will ¡

upload ¡one ¡of ¡its ¡chunks ¡

— Chunk ¡SelecFon: ¡It ¡has ¡to ¡decide ¡which ¡chunk ¡to ¡upload ¡

— Chunk ¡DisseminaFon: ¡Neighbor ¡selecFon ¡+ ¡Chunk ¡selecFon ¡

15 ¡

Recall: ¡Maximum ¡Streaming ¡Rate ¡

— Each ¡peer ¡can ¡upload ¡ ¡one ¡chunk ¡per ¡Fme ¡slot ¡to ¡one ¡of ¡its ¡

neighbors ¡ ¡

— If ¡there ¡are ¡N ¡peers ¡in ¡the ¡network, ¡the ¡total ¡upload ¡capacity ¡is ¡

N ¡chunks ¡per ¡Fme ¡slot ¡

— This ¡upload ¡capacity ¡must ¡be ¡used ¡to ¡serve ¡N ¡peers. ¡So ¡max ¡

streaming ¡rate ¡possible ¡is ¡​𝑂/𝑂 =1 ¡

— We ¡will ¡first ¡present ¡an ¡algorithm ¡which ¡achieves ¡a ¡streaming ¡

rate ¡of ¡​1/2 . ¡

16 ¡

Chunk ¡DisseminaFon ¡Algorithm ¡

— One ¡chunk ¡arrives ¡at ¡the ¡source ¡during ¡every ¡two ¡Fmeslots ¡

— Arrival ¡rate ¡at ¡source ¡= ¡​1/2 ¡

¡

— Every ¡peer ¡(including ¡the ¡source) ¡alternates ¡between ¡

transmilng ¡over ¡the ¡BLUE ¡edge ¡and ¡ ¡the ¡RED ¡edge: ¡

— Transmits ¡the ¡latest ¡chunk ¡over ¡the ¡selected ¡edge. ¡

17 ¡

v ¡

1 2 3 4 2 2 2

Theorem ¡

Under ¡our ¡pairing ¡and ¡disseminaFon ¡algorithm: ¡

— Streaming ¡rate ¡= ¡​1/2 ¡

— Each ¡chunk ¡is ¡eventually ¡disseminated ¡to ¡all ¡peers. ¡

— 𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡delay ¡with ¡high ¡probability. ¡ ¡

— Each ¡chunk ¡is ¡disseminated ¡to ¡all ¡peers ¡within ¡𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡

Fmeslots ¡

¡

18 ¡

Outline ¡of ¡the ¡Proof ¡

Under ¡our ¡dissemina#on ¡algorithm: ¡

¡

• 1. [No ¡overtaking] ¡If ¡chunk ¡𝑙 ¡is ¡received ¡for ¡the ¡first ¡Fme ¡at ¡

Fmeslot ¡𝑢 ¡by ¡a ¡peer, ¡then ¡the ¡peer ¡must ¡have ¡received ¡ chunk ¡𝑙−1 ¡by ¡Fmeslot ¡𝑢−2. ¡ ¡

• 2. [DisseminaFon ¡speed] ¡A ¡peer ¡at ¡a ¡distance ¡𝑒 ¡from ¡source ¡𝑡 ¡

receives ¡a ¡new ¡chunk ¡within ¡2𝑒 ¡Fmeslots. ¡

• 3. [Delay] ¡Max ¡distance ¡of ¡a ¡peer ¡from ¡the ¡source ¡is ¡𝑃(​log⁠𝑂) ¡ ¡

19 ¡

1 3 5

No ¡Overtaking ¡& ¡DisseminaFon ¡Speed ¡

— Proof ¡by ¡InducFon ¡

¡

Depth=3 ¡hops ¡ Source ¡ 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 2 4 6 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1

• 1. No ¡chunk ¡is ¡overtaken ¡by ¡later ¡chunks. ¡
• 2. Chunk ¡1 ¡generated ¡at ¡Fmeslot ¡1 ¡is ¡disseminated ¡to ¡all ¡peers ¡

within ¡3 ¡hops ¡by ¡Fmeslot ¡7. ¡ ¡

Delay ¡from ¡the ¡Source ¡to ¡a ¡Peer ¡

— ¡Each ¡chunk ¡is ¡transmiped ¡over ¡both ¡blue ¡and ¡red ¡edges ¡

— ¡So ¡we ¡need ¡to ¡compute ¡the ¡shortest ¡distance ¡from ¡the ¡source ¡to ¡

a ¡peer ¡in ¡the ¡superposed ¡graph ¡of ¡red ¡and ¡blue ¡edges ¡

— ¡Recall ¡that ¡if ¡the ¡max ¡depth ¡= ¡𝑃(​log⁠𝑂 ), ¡delay ¡= ¡𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡

21 ¡

Is ¡the ¡max ¡depth ¡= ¡𝑃(​log⁠𝑂 )? ¡

4

12 ¡

1 9

3 ¡

10 ¡

7 ¡

6 2

11 ¡

5 8

Edge ¡Expansion ¡

— Cut-­‑set(S, ¡Sc) ¡: ¡set ¡of ¡edges ¡that ¡go ¡out ¡

from ¡the ¡peers ¡in ¡set ¡𝑇. ¡

— Conductance ¡of ¡cut ¡(𝑇,​𝑇↑𝑑 ): ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡𝜒(𝑇)≜​|𝑑𝑣𝑢−𝑡𝑓𝑢(𝑇,​𝑇↑𝑑 )|/​ min┬ ⁠{|𝑇|, ¡|​𝑇↑𝑑 |} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡​𝜒↑∗ =​min┬(𝑇,​𝑇↑𝑑 ) ⁠𝜒 (𝑇) ¡ ¡ Theorem: ¡ ¡There ¡exists ¡𝜔>0 ¡ ¡such ¡that ¡​𝜒↑∗ >𝜔 ¡with ¡high ¡ probability ¡(w.h.p.) ¡ ¡

— The ¡number ¡of ¡nodes ¡in ¡​𝑇↑𝑑 ¡connected ¡to ¡𝑇 ¡is ¡at ¡least ¡​𝜔|𝑇|/2 ¡ ¡

22 ¡

|𝑑𝑣𝑢−𝑡𝑓𝑢(𝑇,​𝑇↑𝑑 )|=4 ¡ 𝑇 ¡ ​𝑇↑𝑑 ¡

Edge ¡Expansion ¡⇒Θ(​log⁠𝑂) ¡Depth ¡

— ​(1+𝜔′)↑ℎ ¡peers ¡within ¡ℎ ¡hops ¡from ¡the ¡first ¡𝑙 ¡peers. ¡ — Θ(​log⁠𝑂 ) ¡steps ¡to ¡cover ¡​𝑂/2 ¡peers! ¡

23 ¡

𝑙 ¡peers ¡ 𝜔′⋅𝑙 ¡ ¡ peers ¡ ¡ (1+𝜔′)𝑙 ¡peers ¡ 𝜔′(1+𝜔′) ¡𝑙 ¡ ¡ peers ¡ ​(1+𝜔′)↑2 𝑙 ¡peers ¡

¡

— Two ¡outgoing ¡(incoming) ¡edges ¡per ¡peer ¡ — Streaming ¡rate ¡= ¡​1/2 ¡ — Delay ¡= ¡𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡with ¡high ¡probability ¡ ¡

¡ Extension: ¡Can ¡we ¡achieve ¡throughput ¡≈1 ¡with ¡𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡ delay? ¡

¡

24 ¡

What ¡we ¡have ¡so ¡far… ¡

¡

— Two ¡outgoing ¡(incoming) ¡edges ¡per ¡peer ¡ — Streaming ¡rate ¡= ¡1−​1/𝐿 ¡for ¡any ¡fixed ¡𝐿≥2 ¡can ¡be ¡

achieved ¡

— Delay ¡= ¡𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡with ¡high ¡probability ¡

¡ By ¡modifying ¡the ¡disseminaFon ¡algorithm, ¡we ¡can ¡ improve ¡throughput, ¡while ¡maintaining ¡the ¡same ¡delay. ¡

¡

25 ¡

Main ¡Result ¡

Chunk ¡DisseminaFon ¡Algorithm ¡(K=3) ¡

— Two ¡chunks ¡arrives ¡at ¡the ¡source ¡during ¡every ¡three ¡Fmeslots ¡

— Odd ¡chunks ¡and ¡even ¡chunks ¡ — Arrival ¡rate ¡at ¡source ¡= ¡​2/3 ¡

¡

— Every ¡peer ¡(including ¡the ¡source) ¡cycles ¡through ¡(blue, ¡blue, ¡red) ¡

edges ¡and ¡transmits ¡the ¡latest ¡(odd, ¡even, ¡​𝜓↓𝑤 ) ¡chunk. ¡ ¡

— ​𝜓↓𝑤 ¡is ¡random ¡: ¡Odd ¡or ¡Even ¡on ¡Red ¡edge ¡

— Different ¡for ¡each ¡peer, ¡but ¡fixed ¡once ¡selected ¡

26 ¡

7

O E O E O E Neighbor ¡SelecFon: ¡ ¡B, ¡B, ¡R, ¡ ¡ ¡B, ¡B, ¡R, ¡ ¡B, ¡B, ¡R ¡ ​𝜓↓7 =Even ¡

3

B, ¡B, ¡R, ¡ ¡ ¡B, ¡B, ¡R, ¡ ¡B, ¡B, ¡R ¡ O, ¡E,O, ¡ ¡ ¡O, ¡E,O, ¡ ¡O, ¡E, ¡O ¡ ​𝜓↓3 =Odd ¡ Chunk ¡SelecFon: ¡ ¡ ¡ ¡O, ¡E, ¡E, ¡ ¡ ¡O, ¡E, ¡E, ¡ ¡O, ¡E, ¡E ¡

Odd ¡Graph ¡and ¡Even ¡Graph ¡

— Odd ¡(Even) ¡Graph ¡

— Graph ¡only ¡with ¡the ¡edges ¡delivering ¡Odd ¡(Even) ¡chunks ¡

4

12 ¡

1 9

3 ¡

10 ¡

7 ¡

6 2

11 ¡

5 8 8

2 ¡

7 1

10 ¡

6 ¡

4 9 5

12 ¡

3

11 ¡

Blue ¡Layer ¡ Red ¡Layer ¡with ¡𝜓 ¡values ¡ E ¡ E ¡ E ¡ E ¡ E ¡ E ¡ E ¡ O ¡ O ¡ O ¡ O ¡ O ¡

27 ¡

4

12 ¡

1 9

3 ¡

10 ¡

7 ¡

6 2

11 ¡

5 8

Odd ¡Graph ¡

Even ¡Graph ¡

AlternaFve ¡ConstrucFon ¡of ¡Random ¡Cycles ¡

— Draw ¡BLUE ¡and ¡RED ¡edges ¡itera#vely. ¡ ¡ — On ¡average, ¡each ¡node ¡

generates ¡ ¡less ¡than ¡1.5 ¡new ¡ nodes ¡ ¡

— 𝑎(𝑢) ¡: ¡Set ¡of ¡nodes ¡generated ¡

by ¡iteraFon ¡𝑢. ¡

—

Includes ¡the ¡children ¡of ¡the ¡𝑢 ¡ closest ¡peers ¡to ¡node ¡1 ¡

¡

28 ¡

12 ¡ 4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 9 ¡ 6 ¡ 8 ¡ 1 ¡

Source ¡

5 ¡

11 ¡ 6 ¡closest ¡ peers ¡ 𝑎(6) ¡

Expression ¡of ¡𝑎(𝑢) ¡

— Recursive ¡form ¡of ¡𝐹[ ¡|𝑎(𝑢)| ¡] ¡

— 𝐶(𝑢−1) ¡={Blue ¡edges ¡drawn ¡by ¡iteraFon ¡t-­‑1} ¡ — 𝑆(𝑢−1) ¡={Red ¡edges ¡drawn ¡by ¡iteraFon ¡t-­‑1} ¡

¡

𝐹[ ¡𝑂−|𝑎(𝑢)| ¡|𝐶(𝑢−1), ¡𝑆(𝑢−1) ¡]=​𝑂−𝑢−1/𝑂−𝑢 (1−​1/2(𝑂−1−|𝑆(𝑢 −1)|) )(𝑂−|𝑎(𝑢−1)|) ¡

— [Expression ¡for ¡|Z(t)|] ¡ ¡For ¡1≤𝑢≤𝑂−1, ¡

¡ ¡ ¡ ¡𝐹[ ¡|𝑎(𝑢)| ¡]=​1/2(𝑂−1) (3(𝑂−1)𝑢−​𝑢↑2 )+1. ¡

29 ¡

InterpretaFon ¡of ¡𝑎(𝑢) ¡

— 𝐹[ ¡|𝑎(𝑢)| ¡]>(1+𝜔) ¡𝑢 ¡ ¡for ¡some ¡𝜔∈(0,​1/4 ) ¡and ¡𝑢≤​1/2 (𝑂−1) ¡ ¡ ¡

¡

— Is ¡|𝑎(𝑢)|>(1+𝜔) ¡𝑢 ¡ ¡with ¡high ¡

¡ ¡with ¡high ¡ probability? ¡

— [ConcentraFon ¡Result] ¡ ¡

For ¡any ¡𝜔∈(0,​1/4 ), ¡there ¡exists ¡𝜏>0 ¡such ¡that ¡|𝑎(𝑢)|>(1+𝜔)𝑢 ¡ with ¡prob. ¡1−𝑃(​exp⁠(−𝜏𝑢) ) ¡

30 ¡

𝑢 ¡closest ¡ peers ¡ |𝑎(𝑢)|−𝑢 ¡ ¡ peers ¡

Conductance ¡Result ¡⇒Θ(​log⁠𝑂) ¡Depth ¡

— ​(1+𝜔)↑ℎ ¡peers ¡within ¡ℎ ¡hops ¡from ¡the ¡first ¡𝑙 ¡peers. ¡ — Θ(​log⁠𝑂 ) ¡steps ¡to ¡cover ¡​𝑂/2 ¡peers! ¡

31 ¡

𝑙 ¡closest ¡ peers ¡ 𝜔⋅𝑙 ¡ ¡ peers ¡ ¡ (1+𝜔)𝑙 ¡peers ¡ 𝜔(1+𝜔) ¡𝑙 ¡ ¡ peers ¡ ​(1+𝜔)↑2 𝑙 ¡peers ¡

Discussion ¡

— Why ¡use ¡only ¡two ¡parents ¡and ¡two ¡children? ¡

— The ¡result ¡works ¡for ¡any ¡number ¡of ¡parents ¡and ¡children ¡

— Small ¡number ¡of ¡neighbors ¡means ¡that ¡the ¡overhead ¡is ¡low ¡ — More ¡neighbors ¡leads ¡to ¡a ¡more ¡robust ¡network ¡

32 ¡

Prior ¡Work: ¡Overlay ¡Tree ¡SoluFon ¡

¡

— Two ¡directed ¡binary ¡trees ¡rooted ¡at ¡the ¡source ¡ — Each ¡peer ¡must ¡be ¡an ¡internal ¡node ¡in ¡only ¡one ¡tree. ¡ — Throughput ¡opFmal; ¡Depth ¡and ¡delay: ¡𝑃(​log⁠𝑂 ) ¡ — Centralized ¡control ¡to ¡maintain ¡the ¡trees. ¡Vulnerable ¡to ¡

peer ¡churn. ¡

33 ¡

3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

s

​ 1 / 2 ​ 1 / 2 ​ 1 / 2

s

​ 1 / 2 ​ 1 / 2 ​ 1 / 2 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 15

Prior ¡Work ¡(Overlay ¡Trees) ¡

— ConstrucFon ¡of ¡throughput-­‑opFmal ¡overlay ¡trees ¡

— Edge ¡capacitated ¡networks ¡

— [Chu, ¡Liu ¡‘65] ¡[Edmonds ¡‘67] ¡[Tarjan ¡‘77] ¡

¡

— Node ¡capacitated ¡networks ¡without ¡degree ¡bound ¡

— [Li, ¡Chou, ¡Zhang ¡‘05] ¡, ¡[Ross, ¡Liu, ¡Kumar ¡‘07], ¡[Mundinger, ¡Weber ¡‘08] ¡

¡

— Node ¡capacitated ¡networks ¡with ¡constant ¡neighborhood ¡size ¡

— Snowball ¡Algo. ¡[Liu, ¡Zhang-­‑Shen, ¡Jiang, ¡Rexford, ¡Chiang ¡‘08] ¡ — Bubble ¡Algo. ¡[Liu, ¡Chen, ¡Sengupta, ¡Chiang, ¡Li, ¡Chou ¡‘10] ¡

34 ¡

Prior ¡Work: ¡Unstructured ¡ Networks ¡

— Unstructured ¡Peer-­‑to-­‑Peer ¡networks ¡

— CoolStreaming ¡[Zhang, ¡Liu, ¡Li, ¡Yum ¡05] ¡

— Random ¡neighborhood ¡selecFon ¡

— Throughput ¡opFmal ¡in ¡a ¡sparse ¡graph ¡[Zhao, ¡Lin, ¡Wu ¡11] ¡

— Neighborhood ¡size ¡= ¡Θ(​log⁠𝑂 ) ¡ — Delay ¡opFmality ¡is ¡not ¡assured ¡ ¡

— OpFmal ¡delay ¡in ¡a ¡complete ¡graph ¡: ¡Θ(​log⁠𝑂) ¡ ¡

— Single ¡chunk ¡disseminaFon ¡ ¡(gossip) ¡: ¡Θ(​log⁠𝑂) ¡delay ¡

— [Frieze ¡and ¡Grimmep, ¡‘85] ¡

— MulFple ¡chunk ¡disseminaFon ¡(streaming) ¡: ¡Θ(​log⁠𝑂) ¡delay ¡

— Latest-­‑blind ¡algorithm: ¡(1−​𝑓↑−1 ) ¡opFmal ¡capacity ¡

¡[Sanghavi, ¡Hajek, ¡Massoulie ¡‘07]. ¡

— Latest-­‑useful ¡algorithm: ¡Almost ¡opFmal ¡capacity ¡ ¡

[Bonald, ¡Massoulie, ¡Mathieu, ¡Perino, ¡Twigg ¡‘10] ¡. ¡

35 ¡

Conclusions ¡

— A ¡simple ¡peer-­‑pairing ¡and ¡chunk-­‑disseminaFon ¡

algorithm ¡with ¡a ¡small ¡neighborhood ¡ ¡

— Can ¡achieve ¡Θ(​log⁠𝑂 ) ¡delay ¡and ¡(1−​1/𝐿 ) ¡of ¡the ¡

• pFmal ¡streaming ¡rate, ¡for ¡any ¡given ¡𝐿. ¡

¡

— Takes ¡advantage ¡of ¡peer ¡churn ¡

36 ¡