j =0 1 Noncommutative torus d y d x = R \ Q 1.0 C ( T 2 ) ' C ( - PowerPoint PPT Presentation

The term in the heat kernel a 4 Trace ( a exp( − t ∆ )) expansion of nonccommutative tori ∼ ∞ Alain Connes and Farzad Fa ti izadeh X ϕ 0 ( a a 2 j ) t j − m/ 2 j =0 1

Noncommutative torus d y d x = θ ∈ R \ Q 1.0 C ( T 2 θ ) ' C ( S 1 ) o Z 0.8 0.6 V U = e 2 π i θ UV 0.4 U ∗ = U − 1 0.2 V ∗ = V − 1 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2

Derivations θ ) → C ∞ ( T 2 δ j : C ∞ ( T 2 θ ) δ 1 ( U ) = U δ 1 ( V ) = 0 α ( s 1 ,s 2 ) ( U m V n ) δ 2 ( U ) = 0 = δ 2 ( V ) = V e i ( s 1 m + s 2 n ) U m V n 3

Laplacians ∆ = δ 2 1 + δ 2 2 : C ∞ ( T 2 θ ) → C ∞ ( T 2 θ ) ∆ h = e h/ 2 ∆ e h/ 2 h = h ∗ ∈ C ∞ ( T 2 θ ) 4

Conformal factor h = h ∗ ∈ C ∞ ( T 2 θ ) ϕ 0 : C ( T 2 θ ) → C ϕ : C ( T 2 θ ) → C 0 1 @ X ϕ ( a ) = ϕ 0 ( a e − h ) a m,n U m V n A = a 0 , 0 ϕ 0 m,n ∈ Z ϕ ( x y ) = ϕ ( y σ i ( x )) ϕ 0 ( x y ) = ϕ 0 ( y x ) σ t ( x ) = e ith x e − ith 5

Functional calculus w. the modular automorphism r ( x ) = log σ i ( x ) = � h x + x h x 1 , . . . , x n ∈ C ( T 2 θ ) Z R n e − i ( t 1 s 1 + ··· + t n s n ) g ( t 1 , . . . , t n ) dt 1 · · · dt n L ( s 1 , . . . , s n ) = Z L ( r , . . . , r )( x 1 · · · x n ) = R n σ t 1 ( x 1 ) · · · σ t n ( x n ) g ( t 1 , . . . , t n ) dt 1 · · · dt n 6

Heat kernel expansion a e − t ∆ h � ∼ � Tr → 0 t ϕ 0 ( a a 0 ) t − 1 + ϕ 0 ( a a 2 ) + ϕ 0 ( a a 4 ) t + · · · a 0 = π e − h � 2 1 ( ` ) + � 2 � � a 2 = R 1 ( r ) 2 ( ` ) + R 2 ( r , r ) ( � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 2 ( ` )) ` = h 2 ∈ C ∞ ( T 2 θ ) ( Connes-Moscovici; 2 π (2 + e s 1 ( − 2 + s 1 ) + s 1 ) s 1 R 1 ( s 1 ) = 4 e ( − 1 + e s 1 ) 2 s 1 Fathizadeh-Khalkhali 2011 ) R 2 ( s 1 , s 2 ) = − 4 π (cosh [ s 2 ] s 1 ( s 1 + s 2 ) − cosh [ s 1 ] s 2 ( s 1 + s 2 ) − ( s 1 − s 2 ) (sinh [ s 1 ] + sinh [ s 2 ] − sinh [ s 1 + s 2 ] + s 1 + s 2 )) sinh 2 ⇥ 1 ⇥ s 1 ⇥ s 2 ⇤ ⇤ ⇤ sinh sinh 2 ( s 1 + s 2 ) s 1 s 2 ( s 1 + s 2 ) 2 2 7

Connes-Tretkoff (Cohen) calculation in late 80’s ϕ 0 ( a 2 ) = a lengthy expression that is not a priori equal to 0. Their further calculations in 2009 confirmed the vanishing of the expression, hence the analog of the Gauss-Bonnet theorem. For general translation-invariant conformal structures: Fathizdeh-Khalkhali 2010. 8

Symbolic calculus (Connes 1980) Z Z e − is · ξ ρ ( ξ ) α s ( x ) ds d ξ ∆ h ( x ) = P ρ ( x ) = (2 π ) − 2 \ ρ = p 2 + p 1 + p 0 : R 2 → C ∞ ( T 2 θ ) 2 ) e h p 2 ( ξ ) = ( ξ 2 1 + ξ 2 p 1 ( ξ ) = 2 ξ 1 e h/ 2 δ 1 ( e h/ 2 ) + 2 ξ 2 e h/ 2 δ 2 ( e h/ 2 ) p 0 ( ξ ) = e h/ 2 δ 2 1 ( e h/ 2 ) + e h/ 2 δ 2 2 ( e h/ 2 ) 9

Heat kernel 4 γ 2 > 1 Z e − t λ ( ∆ h − λ ) − 1 d λ e − t ∆ h = 2 π i γ - 1 1 2 3 4 5 6 - 2 R λ ∼ ( ∆ h − λ ) − 1 - 4 σ ( R λ ) = r 0 ( ξ , λ ) + r 1 ( ξ , λ ) + r 2 ( ξ , λ ) + r 3 ( ξ , λ ) + r 4 ( ξ , λ ) + · · · r j ( t ξ , t 2 λ ) = t − 2 − j r j ( ξ , λ ) Ti e local geome ts ic tf rms: 1 Z Z e − λ r 2 n ( ξ , λ ) d λ d ξ a 2 n = 2 π i R 2 γ 10

a 4 = � e 2 ` ⇣ � 2 1 � 2 � 4 1 ( ` ) + � 4 � � � � K 1 ( r ) 2 ( ` ) + K 2 ( r ) 2 ( ` ) + K 3 ( r , r ) (( � 1 � 2 ( ` )) · ( � 1 � 2 ( ` ))) � 2 1 ( ` ) · � 2 2 ( ` ) + � 2 2 ( ` ) · � 2 � 2 1 ( ` ) · � 2 1 ( ` ) + � 2 2 ( ` ) · � 2 � � � � + K 4 ( r , r ) 1 ( ` ) + K 5 ( r , r ) 2 ( ` ) � 1 ( ` ) · � 3 � 1 � 2 + � 2 ( ` ) · � 3 � 2 � � � � �� + K 6 ( r , r ) 1 ( ` ) + � 1 ( ` ) · 2 ( ` ) 2 ( ` ) + � 2 ( ` ) · 1 � 2 ( ` ) � 3 � 1 � 2 · � 1 ( ` ) + � 3 � 2 � � � � � � + K 7 ( r , r ) 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) + 2 ( ` ) 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) + 1 � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 2 2 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 2 � � + K 8 ( r , r , r ) 1 ( ` ) + K 9 ( r , r , r ) ( � 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) · ( � 1 � 2 ( ` )) + � 2 ( ` ) · � 1 ( ` ) · ( � 1 � 2 ( ` ))) + K 10 ( r , r , r ) ( � 1 ( ` ) · ( � 1 � 2 ( ` )) · � 2 ( ` ) + � 2 ( ` ) · ( � 1 � 2 ( ` )) · � 1 ( ` )) � 1 ( ` ) · � 2 2 ( ` ) · � 1 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 2 � � + K 11 ( r , r , r ) 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) � 2 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) + � 2 � � + K 12 ( r , r , r ) 2 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) + K 13 ( r , r , r ) (( � 1 � 2 ( ` )) · � 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) + ( � 1 � 2 ( ` )) · � 2 ( ` ) · � 1 ( ` )) � 2 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) + � 2 � � + K 14 ( r , r , r ) 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 2 1 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 2 � � + K 15 ( r , r , r ) 2 ( ` ) � 1 ( ` ) · � 2 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 2 � � + K 16 ( r , r , r ) 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) + K 17 ( r , r , r , r ) ( � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 1 ( ` )) + K 18 ( r , r , r , r ) ( � 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 1 ( ` )) + K 19 ( r , r , r , r ) ( � 1 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 1 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 2 ( ` )) ⌘ 11 + K 20 ( r , r , r , r ) ( � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) · � 1 ( ` ) + � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 2 ( ` ) · � 2 ( ` )) .

Explicit formulas 3 s 1 4 e s 1 + e 2 s 1 + 1 s 1 − 3 e 2 s 1 + 3 2 �� � � K 1 ( s 1 ) = − 4 π e ( e s 1 − 1) 4 s 1 K num ( s 1 , s 2 ) 3 K 3 ( s 1 , s 2 ) = ( e s 1 − 1) 2 ( e s 2 − 1) 2 ( e s 1 + s 2 − 1) 4 s 1 s 2 ( s 1 + s 2 ) h 3 s 1 2 + 3 s 2 K num e s 1 + s 2 − 1 � � � ( s 1 , s 2 ) = 16 e ( e s 1 − 1) ( e s 2 − 1) 2 π 3 − 5 e s 1 − e s 2 + 6 e s 1 + s 2 − e 2 s 1 + s 2 − 5 e s 1 +2 s 2 + 3 e 2 s 1 +2 s 2 + 3 � � s 1 + e s 1 + 5 e s 2 − 6 e s 1 + s 2 + 5 e 2 s 1 + s 2 + e s 1 +2 s 2 − 3 e 2 s 1 +2 s 2 − 3 � � s 2 e s 1 + s 2 − 1 � � − 2 ( e s 1 − e s 2 ) − e s 1 − e s 2 − e 2 s 1 + s 2 − e s 1 +2 s 2 + 2 e 2 s 1 +2 s 2 + 2 � � s 1 s 2 +2 e s 1 ( e s 2 − 1) 3 � e s 1 − e s 1 + s 2 + 2 e 2 s 1 + s 2 − 2 s 2 � 1 i − 2 e s 2 ( e s 1 − 1) 3 � e s 2 − e s 1 + s 2 + 2 e s 1 +2 s 2 − 2 � s 2 2 12

Rearrangement lemma n Z ∞ ρ j ( e h u + 1) − m j u | m | − 3 du Y ( e h u + 1) − m 0 m = ( m 0 , m 1 , . . . , m n ) ∈ Z n +1 > 0 0 j =1 ρ 1 , . . . , ρ n ∈ C ( T 2 θ ) = σ i ( x ) = e r ( x ) = e � h x e h e − ( | m | − 2) h F v m ( σ i , . . . , σ i )( ρ 1 · · · ρ n ) ! − m j j n Z ∞ x | m | − 3 Y Y F v m ( u 1 , . . . , u n ) = u ν + 1 x dx ( x + 1) m 0 0 ν =1 j =1 13

More noncommutative features e − h δ j 1 ( e h ) = G 1 ( r )( δ j 1 ( h )) e − h δ j 1 δ j 2 ( e h ) = G 1 ( r )( δ j 1 δ j 2 ( h ))+ G 2 ( r , r ) ( δ j 1 ( h ) · δ j 2 ( h ) + δ j 2 ( h ) · δ j 1 ( h )) e − h δ j 1 δ j 2 δ j 3 ( e h ) = G 1 ( r )( ⇤ 3 , 1 ( h )) + G 2 ( r , r )( ⇤ 3 , 2 ( h )) + G 3 ( r , r , r )( ⇤ 3 , 3 ( h )) e − h δ j 1 δ j 2 δ j 3 δ j 4 ( e h ) = G 1 ( r )( ⇤ 4 , 1 ( h ))+ G 2 ( r , r )( ⇤ 4 , 2 ( h ))+ G 3 ( r , r , r )( ⇤ 4 , 3 ( h ))+ G 4 ( r , r , r , r )( ⇤ 4 , 4 ( h )) 14

⇤ 3 , 1 ( h ) = δ j 1 δ j 2 δ j 3 ( h ) ⇤ 3 , 2 ( h ) = δ j 1 ( h ) · ( δ j 2 δ j 3 ) ( h ) + δ j 2 ( h ) · ( δ j 1 δ j 3 ) ( h ) + ( δ j 1 δ j 2 ) ( h ) · δ j 3 ( h ) + δ j 3 ( h ) · ( δ j 1 δ j 2 ) ( h ) + ( δ j 1 δ j 3 ) ( h ) · δ j 2 ( h ) + ( δ j 2 δ j 3 ) ( h ) · δ j 1 ( h ) ⇤ 3 , 3 ( h ) = δ j 1 ( h ) · δ j 2 ( h ) · δ j 3 ( h ) + δ j 1 ( h ) · δ j 3 ( h ) · δ j 2 ( h ) + δ j 2 ( h ) · δ j 1 ( h ) · δ j 3 ( h ) + δ j 2 ( h ) · δ j 3 ( h ) · δ j 1 ( h ) + δ j 3 ( h ) · δ j 1 ( h ) · δ j 2 ( h ) + δ j 3 ( h ) · δ j 2 ( h ) · δ j 1 ( h ) ⇤ 4 , 1 ( h ) = ( δ j 1 δ j 2 δ j 3 δ j 4 ) ( h ) ⇤ 4 , 2 ( h ) = δ j 1 ( h ) · ( δ j 2 δ j 3 δ j 4 ) ( h )+ δ j 2 ( h ) · ( δ j 1 δ j 3 δ j 4 ) ( h )+( δ j 1 δ j 2 ) ( h ) · ( δ j 3 δ j 4 ) ( h )+ δ j 3 ( h ) · ( δ j 1 δ j 2 δ j 4 ) ( h ) + ( δ j 1 δ j 3 ) ( h ) · ( δ j 2 δ j 4 ) ( h ) + ( δ j 2 δ j 3 ) ( h ) · ( δ j 1 δ j 4 ) ( h ) + ( δ j 1 δ j 2 δ j 3 ) ( h ) · δ j 4 ( h )+ δ j 4 ( h ) · ( δ j 1 δ j 2 δ j 3 ) ( h )+( δ j 1 δ j 4 ) ( h ) · ( δ j 2 δ j 3 ) ( h )+( δ j 2 δ j 4 ) ( h ) · ( δ j 1 δ j 3 ) ( h ) + ( δ j 1 δ j 2 δ j 4 ) ( h ) · δ j 3 ( h ) + ( δ j 3 δ j 4 ) ( h ) · ( δ j 1 δ j 2 ) ( h ) + ( δ j 1 δ j 3 δ j 4 ) ( h ) · δ j 2 ( h ) + ( δ j 2 δ j 3 δ j 4 ) ( h ) · δ j 1 ( h ) 15