Introduc1on to Computa1onal Manifolds and Applica1ons - - PowerPoint PPT Presentation

Trimester ¡Program ¡on ¡ ¡ Computa1onal ¡Manifolds ¡and ¡Applica1ons ¡ ¡

Introduc1on ¡to ¡Computa1onal ¡ ¡ Manifolds ¡and ¡Applica1ons ¡

¡ Differen1al ¡Operators ¡on ¡Manifolds ¡ Luis ¡Gustavo ¡Nonato ¡

Depto ¡Matemá3ca ¡Aplicada ¡e ¡Esta9s3ca ¡ ICMC-­‑USP-­‑Brazil ¡

Summary ¡

Today ¡(Tuesday): ¡Differen3al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ¡-­‑ ¡Differen3al ¡operators ¡in ¡the ¡parametric ¡domain ¡ ¡-­‑ ¡Cotangent ¡formula ¡ ¡-­‑ ¡Belkin’s ¡approach ¡ ¡-­‑ ¡SPH-­‑based ¡scheme ¡ ¡ Thursday: ¡Manifold ¡Harmonics ¡and ¡Applica3ons ¡ ¡-­‑ ¡Some ¡theore3cal ¡background ¡ ¡-­‑ ¡Mesh ¡Filtering ¡ ¡-­‑ ¡Rustamov ¡Embedding ¡ ¡ ¡-­‑ ¡Fiedler ¡tree ¡ ¡-­‑ ¡Other ¡applica3ons ¡

Scalar ¡Func1ons ¡on ¡Surfaces ¡

Scalar ¡Func1ons ¡on ¡Surfaces ¡

Scalar ¡Func1ons ¡on ¡Surfaces ¡

May ¡not ¡be ¡on ¡M ¡

Scalar ¡Func1ons ¡on ¡Surfaces ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ ? ¡

What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ ? ¡ Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ ? ¡ Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ ? ¡

Metric ¡tensor ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ ? ¡ Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ ? ¡ From ¡the ¡proper3es ¡of ¡the ¡metric ¡tensor ¡and ¡some ¡ ¡ algebraic ¡manipula3on ¡we ¡get: ¡ Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ ? ¡ Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ From ¡the ¡proper3es ¡of ¡the ¡metric ¡tensor ¡and ¡some ¡ ¡ algebraic ¡manipula3on ¡we ¡get: ¡

What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ ? ¡ The ¡Laplacian: ¡ Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ From ¡the ¡proper3es ¡of ¡the ¡metric ¡tensor ¡and ¡some ¡ ¡ algebraic ¡manipula3on ¡we ¡get: ¡

Jos ¡Stam ¡made ¡use ¡of ¡those ¡operators ¡defined ¡on ¡the ¡ ¡ parametric ¡domain ¡to ¡simulate ¡flows ¡on ¡surfaces. ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[Flows ¡on ¡Surfaces ¡of ¡Arbitrary ¡Topology, ¡ACM ¡TOG ¡2003] ¡ ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡be ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡be ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Using ¡Finite ¡Element ¡Formula3on ¡ 1 ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ In ¡the ¡canonical ¡domain ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Considering ¡the ¡two ¡triangles ¡sharing ¡the ¡edge ¡ij ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Considering ¡the ¡two ¡triangles ¡sharing ¡the ¡edge ¡ij ¡

Allows ¡to ¡discre3ze ¡the ¡Laplace ¡ ¡ equa3on ¡directly ¡on ¡the ¡surface. ¡

Least ¡Square-­‑based ¡

• O. ¡Sorkine, ¡Eurographics ¡2005. ¡

Boundary ¡Condi1ons ¡

Penalty ¡Method ¡

• O. ¡Sorkine, ¡Eurographics ¡2005. ¡

L ¡ P ¡

Least ¡Square-­‑based ¡ Boundary ¡Condi1ons ¡

• O. ¡Sorkine, ¡Eurographics ¡2005. ¡

L ¡ P ¡

large ¡ ¡ number ¡ Penalty ¡Method ¡ Least ¡Square-­‑based ¡ Boundary ¡Condi1ons ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent ¡formula ¡has ¡been ¡used ¡in ¡many ¡ geometry ¡processing ¡applica3ons. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent ¡formula ¡has ¡been ¡used ¡in ¡many ¡ geometry ¡processing ¡applica3ons. ¡

Mesh ¡Edi1ng ¡and ¡Deforma1on ¡

[O. ¡Sorkine, ¡Eurographics ¡2005] ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

Base ¡Mesh ¡Construc1on ¡

[Daniels ¡et ¡al., ¡SMI ¡2011] ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

Base ¡Mesh ¡Construc1on ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

Base ¡Mesh ¡Construc1on ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent-­‑based ¡discre3za3on ¡of ¡the ¡ ¡ Laplace ¡operator ¡is ¡not ¡consistent. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent-­‑based ¡discre3za3on ¡of ¡the ¡ ¡ Laplace ¡operator ¡is ¡not ¡consistent. ¡ Recently, ¡Hildebrandt ¡and ¡Polthier ¡(SPG’2011) ¡proposed ¡ a ¡weigh3ng ¡scheme ¡to ¡ensure ¡consistency ¡for ¡cotangent ¡ based ¡discre3za3on. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Recently, ¡Hildebrandt ¡and ¡Polthier ¡(SPG’2011) ¡proposed ¡ a ¡weigh3ng ¡scheme ¡to ¡ensure ¡consistency ¡for ¡cotangent ¡ based ¡discre3za3on. ¡ The ¡cotangent-­‑based ¡discre3za3on ¡of ¡the ¡ ¡ Laplace ¡operator ¡is ¡not ¡consistent. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ A ¡consistent ¡discre3za3on ¡schemes ¡have ¡been ¡ ¡ proposed ¡by ¡Belkin: ¡

[Belkin ¡et ¡al., ¡SCG’08] ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ A ¡consistent ¡discre3za3on ¡schemes ¡have ¡been ¡ ¡ proposed ¡by ¡Belkin: ¡

[Belkin ¡et ¡al., ¡SCG’08] ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Belkin ¡has ¡also ¡extended ¡the ¡operator ¡for ¡point ¡set ¡surfaces. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ A ¡Delaunay ¡triangula3on ¡is ¡built ¡on ¡the ¡tangent ¡plane ¡

• f ¡each ¡point ¡of ¡the ¡mesh. ¡

Belkin ¡has ¡also ¡extended ¡the ¡operator ¡for ¡point ¡set ¡surfaces. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Belkin ¡has ¡also ¡extended ¡the ¡operator ¡for ¡point ¡set ¡surfaces. ¡ A ¡Delaunay ¡triangula3on ¡is ¡built ¡on ¡the ¡tangent ¡plane ¡

• f ¡each ¡point ¡of ¡the ¡mesh. ¡

Projec3on ¡from ¡ the ¡tangent ¡plane ¡ back ¡to ¡the ¡surface ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡ is ¡a ¡kernel ¡func3on ¡sa3sfying ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡ is ¡a ¡kernel ¡func3on ¡sa3sfying ¡

Normal ¡extension ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡ is ¡a ¡kernel ¡func3on ¡sa3sfying ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ In ¡order ¡to ¡enforce ¡a ¡uniform ¡distribu3on ¡of ¡ ¡ area ¡elements ¡a ¡regulariza3on ¡term ¡is ¡incorporated ¡ ¡ and ¡the ¡following ¡minimiza3on ¡problem ¡is ¡solved: ¡

Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ In ¡order ¡to ¡enforce ¡a ¡uniform ¡distribu3on ¡of ¡ ¡ area ¡elements ¡a ¡regulariza3on ¡term ¡is ¡incorporated ¡ ¡ and ¡the ¡following ¡minimiza3on ¡problem ¡is ¡solved: ¡

Consistency ¡analysis ¡

Convergence ¡Analysis ¡

Convergence ¡Analysis ¡

There ¡are ¡at ¡least ¡other ¡two ¡approaches ¡we ¡have ¡ not ¡discussed: ¡ ¡ ¡-­‑ ¡Discrete ¡exterior ¡calculus ¡(Desbrun) ¡ ¡-­‑ ¡3D ¡constrained ¡to ¡surface ¡approach ¡(Kazhdan) ¡

Those ¡two ¡methods ¡have ¡been ¡discusses ¡during ¡ the ¡advanced ¡seminars. ¡

This ¡Thursday: ¡ ¡ ¡ ¡Manifold ¡Harmonics ¡!!! ¡