I (1) 2 r B has a curly field pa=ern, it is into the - - PowerPoint PPT Presentation

Lecture ¡21 ¡

For ¡a ¡long ¡wire ¡with ¡current ¡I, ¡we ¡have ¡ found ¡at ¡P ¡a ¡distance ¡r ¡from ¡the ¡wire: ¡

B = µ0I 2πr

I

P P'

B ¡has ¡a ¡curly ¡field ¡pa=ern, ¡it ¡is ¡into ¡the ¡ page ¡at ¡P ¡and ¡out ¡of ¡the ¡page ¡at ¡P’. ¡ ¡

P' P

Top ¡View: ¡

(1) ¡

Rewrite (1) as 2πrB = µ0I LHS = I

S

~ B · d~ l

circle ¡ Ampere’s ¡law ¡in ¡it’s ¡simplest ¡case ¡says ¡for ¡cylindrically ¡ symmetric ¡current, ¡choose ¡“Amperian ¡loop” ¡to ¡be ¡a ¡circle ¡

Ampere’s ¡law ¡in ¡it’s ¡simplest ¡case ¡says ¡for ¡cylindrically ¡ symmetric ¡current, ¡choose ¡“Amperian ¡loop” ¡to ¡be ¡a ¡circle ¡

I

S

Bdl = µ0IS B? at P. Let S be the circular loop, LHS = B? I dl = 2πrB? RHS = µ0IS = µ0I IS = current enclosed by S

Denote: ¡

Long, ¡thick ¡wire: ¡Assume ¡current ¡density ¡is ¡uniform. ¡

for r < R, where B = B? r R

B?

B??

Define: J = ∆I ∆A = I πR2 r < R : r > R :

B R r

µ0I 2πR

NotaMons: ¡

for r > R, where B = B?? 2πrB? = µ0

• Jπr2

∴ B? ∝ r 2πrB?? = µ0I ∴ B?? ∝ 1 r

Coaxial ¡Cable ¡(example ¡problem): ¡

Let Iin = Iout = I0 Find: B? at D, where r = r3. Hint: Ampere’s Law LHS = I

L

Bdl = 2πr3B ∴ RHS = µ0I " Aring

b→r3

Aring

b→a

# Aring

r1→r2 = πr2

2 − πr2 1

RHS = µ0IL = µ0JAring

b→r3

J = I0 Aring

b→a

Discussion ¡on ¡example ¡problem ¡ Given: Total current I0 flows through a long conductor with a hole.

Ahole = π ✓R 2 ◆2 = A1 4 Acyl = πR2 = A1 A0 = Area of conduction medium = Acyl − Ahole = 3A1 4

Assume I0 flows out of the page, current density is constant. J = I0 A0 Magnitude: Icyl = JA, Ihole = J A1 4 Icyl = I0 A0 A1 = 4 3I0 Ihole = I0 A0 A1 4 = 1 3I0

(out) ¡ (into) ¡ Find: ¡B ¡at ¡P ¡

B = Bcyl − Bhole Bcyl = µ0Icyl 2πx Bhole = µ0Ihole 2π

• x − R

2

Solenoid ¡Discussion ¡

LHS = 0 + 0 + 0 + B?d RHS = µ0IS = µ0∆dI LHS = RHS = B?d = µ0 N L dI ∴ B? = µ0 N L I