I n fj n i t e - n o i s e c r i t i c a l i t - PowerPoint PPT Presentation

I n fj n i t e - n o i s e c r i t i c a l i t y E P L , 3 0 0 0 2 ( 2 0 1 5 ) 1 1 2 a r X i v : 1 5 0 7 . 0 5 6 7 7 J o s é A . H o y o s * I n s t i t u t o d e F í s i c a d e S ã o C a r l o s - U S P C o l l a b o r a t i o n : T h o ma s V o j t a Financial support: * h o y o s @ i f s c . u s p . b r

O u t l i n e ● I n t r o d u c t i o n : t h e c o n t a c t p r o c e s s – D e fj n i t i o n a n d a p p l i c a t i o n s t o n o n e q u i l i b r i u m P T ● C r i t i c a l i t y o n a fm u c t u a t i n g ( n o i s y ) e n v i r o n me n t d = 1 : – I n fj n i t e - n o i s e c r i t i c a l i t y a t r a n d o m w a l k – I d : n fj n i t e - n o i s e c r i t i c a l i t y a t fj n i t e r e a l - t i me R G ● O b s e r v a b l e s a n d c r i t i c a l b e h a v i o u r ● C o n c l u s i o n s

T h e c o n t a c t p r o c e s s : d e fj n i t i o n Prototypical model for epidemic spreading - T. E. Harris, Ann. Prob. 2 , 969 (1974) A C T I V E ( i n f e c t e d ) I N A C T I V E ( h e a l t h y ) S t o c h a s t i c d y n a mi c s : D e c a y ( h e a l i n g ) r a t e : O fg s p r i n g p r o d u c t i o n ( i n f e c t i o n ) r a t e : A c t i v e s i t e s s t e a d y - s t a t e d e n s i t y :

T h e c o n t a c t p r o c e s s : n o n e q . P T A c t i v e s i t e s s t e a d y - s t a t e d e n s i t y : N E P T i n t o a n a b s o r b i n g s t a t e a t D i r e c t e d P e r c o l a t i o n u n i v e r s a l i t y c l a s s A b s o r b i n g ( i n a c t i v e ) s t a t e A c t i v e ( fm u c t u a t i n g ) s t e a d y s t a t e

T h e c o n t a c t p r o c e s s : D P u n i v e r s a l i t y c l a s s 2 n d o r d e r P T P e r c o l a t i o n a n d d i r e c t e d p e r c o l a t i o n : g e o me t r i c P T s P i c t u r e c r e d i t : T h e C P c a n b e ma p p e d o n a d +1 D P g e o me t r i c p r o b l e m H i n r i c h s e n , A d v . P h y s . 4 9 , 8 1 5 ( 2 0 0 0 )

O u r mo d e l C o n t a c t p r o c e s s i n a fm u c t u a t i n g ( n o i s y ) e n v i r o n me n t : H e a l i n g r a t e : T i me - d e p e n d e n t i i d I n f e c t i o n r a t e : t i me T i me i n t e r v a l s a r e fj n i t e .

Wh a t d o w e w a n t t o k n o w ? C o n t a c t p r o c e s s i n a fm u c t u a t i n g ( n o i s y ) e n v i r o n me n t : H e a l i n g r a t e : T i me - d e p e n d e n t i i d I n f e c t i o n r a t e : t i me D e n s i t y P D F a s a f u n c t i o n o f t i me ? I s t h e me a n d e n s i t y r e p r e s e n t a t i v e o f t h e ma n y p o s s i b l e t i me h i s t o r i e s ? L i f e t i me o f fj n i t e s y s t e ms ? C o r r e l a t i o n l e n g t h / t i me ?

O u r mo d e l : l i mi t i n g c a s e s C o n t a c t p r o c e s s i n a fm u c t u a t i n g ( n o i s y ) e n v i r o n me n t : H e a l i n g r a t e : T i me - d e p e n d e n t i i d I n f e c t i o n r a t e : t i me I n a l l t i me i n t e r v a l s , t h e s y s t e m i s i n t h e A C T I V E p h a s e : A B S O R B I N G p h a s e : T h e n , u s u a l d y n a mi c s . T i me d i s o r d e r h a s “ l i t t l e ” e fg e c t s . I n t e r e s t i n g c a s e : “ t i me p a t c h e s ” a r e i n o p p o s i t e p h a s e s – p h a s e t r a n s i t i o n .

Wh a t d o w e e x p e c t ? L a r g e d e n s i t y fm u c t u a t i o n s – fj e l d - t h e o r e t i c a l me t h o d s a r e n o t a p p r o p r i a t e . Mo n t e C a r l o t i me e v o l u t i o n o f t h e d e n s i t y a t c r i t i c a l i t y .

Me a n fj e l d a p p r o a c h H o w d o w e f a c e t h e p r o b l e m? L e t ' s t r y s o me t h i n g s i mp l e . L a n g e v i n E q . i n MF l e v e l : ½> 1 N o n l i n e a r t e r m p r e v e n t i n g I n t e g r a t i n g : L e t s n e g l e c t i t a n d r e c o v e r l i n e a r i t y R A N D O M WA L K L e t Wh a t i s t h e r o l e p l a y e d b y ? - T o e n s u r e t h e w a l k e r i s i n t h e p o s i t i v e s i d e H o w d o w e p u t t h e n o n l i n e a r i t y b a c k i n t h e g a me ? R A N D O M WA L K w i t h a r e fm e c t i n g h a r d w a l l

Me a n fj e l d a p p r o a c h : P h a s e t r a n s i t i o n P r o b . o f fj n d i n g t h e w a l k e r b e t w e e n [ x , x + dx ] a t t i me S o l v e R A N D O M WA L K w i t h a H a r d w a l l c o n s t r a i n t a t x =0. r e fm e c t i n g h a r d w a l l

Me a n fj e l d a p p r o a c h : P h a s e t r a n s i t i o n P r o b . o f fj n d i n g t h e w a l k e r b e t w e e n [ x , x + dx ] a t t i me U s u a l G a u s s i a n I mp l i c a t i o n s : R A N D O M WA L K w i t h a s t 1 r e g i me : I n a c t i v e p h a s e r e fm e c t i n g h a r d w a l l

Me a n fj e l d a p p r o a c h : P h a s e t r a n s i t i o n P r o b . o f fj n d i n g t h e w a l k e r b e t w e e n [ x , x + dx ] a t t i me S t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n I mp l i c a t i o n s : S t r o n g d e n s i t y fm u c t u a t i o n s n e a r c r i t i c a l i t y v ! 0 R A N D O M WA L K w i t h a n d 2 r e g i me : A c t i v e p h a s e r e fm e c t i n g h a r d w a l l

Me a n fj e l d a p p r o a c h : P h a s e t r a n s i t i o n P r o b . o f fj n d i n g t h e w a l k e r b e t w e e n [ x , x + dx ] a t t i me I mp l i c a t i o n s : H a l f G a u s s i a n I n fj n i t y d e n s i t y fm u c t u a t i o n s I n fj n i t e - n o i s e c r i t i c a l i t y R A N D O M WA L K w i t h a r d 3 r e g i me : C r i t i c a l p o i n t r e fm e c t i n g h a r d w a l l

Me a n fj e l d : c o mp a r i s o n w i t h n u me r i c s H a l f G a u s s i a n a t c r i t i c a l i t y : i n a g r e e me n t w i t h o u r e x p e c t a t i o n s

Me a n fj e l d a p p r o a c h : L i f e t i me A n y fj n i t e s y s t e m e v e n t u a l l y d e c a y s i n t o t h e a b s o r b i n g s t a t e A c t i v e p h a s e s t 1 p a s s a g e t i me C r i t i c a l i t y I n a c t i v e p h a s e