Game Theory -- Lecture 2 Patrick Loiseau - - PowerPoint PPT Presentation

Game ¡Theory ¡

• ­‑-­‑ ¡

Lecture ¡2 ¡ ¡ ¡

Patrick ¡Loiseau ¡ EURECOM ¡ Fall ¡2013 ¡

1 ¡

Lecture ¡1 ¡recap ¡

• Defined ¡games ¡in ¡normal ¡form ¡
• Defined ¡dominance ¡noGon ¡

– IteraGve ¡deleGon ¡ – Does ¡not ¡always ¡give ¡a ¡soluGon ¡

• Defined ¡best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

– Computed ¡Nash ¡equilibrium ¡in ¡some ¡examples ¡

à à ¡Can ¡we ¡always ¡find ¡a ¡Nash ¡equilibrium? ¡ à à ¡How? ¡

2 ¡

Outline ¡

• 1. Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡

– Equilibrium ¡computaGon ¡and ¡existence ¡theorem ¡ – Example: ¡Cournot ¡duopoly ¡

• 2. Mixed ¡strategies ¡

– Best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

• 3. Mixed ¡strategies ¡Nash ¡equilibrium ¡computaGon ¡
• 4. InterpretaGons ¡of ¡mixed ¡strategies ¡

3 ¡

Outline ¡

• 1. Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡

– Equilibrium ¡computaGon ¡and ¡existence ¡theorem ¡ – Example: ¡Cournot ¡duopoly ¡

• 2. Mixed ¡strategies ¡

– Best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

• 3. Mixed ¡strategies ¡Nash ¡equilibrium ¡computaGon ¡
• 4. InterpretaGons ¡of ¡mixed ¡strategies ¡

4 ¡

The ¡partnership ¡game ¡(see ¡exercise ¡ sheet ¡1) ¡

• Two ¡partners ¡choose ¡effort ¡si ¡in ¡Si=[0, ¡4] ¡
• Share ¡revenue ¡and ¡have ¡quadraGc ¡costs ¡

u1(s1 ¡, ¡s2) ¡= ¡½ ¡[4 ¡(s1 ¡+ ¡s2 ¡+ ¡b ¡s1 ¡s2)] ¡-­‑ ¡s1

2 ¡ ¡

u2(s1 ¡, ¡s2) ¡= ¡½ ¡[4 ¡(s1 ¡+ ¡s2 ¡+ ¡b ¡s1 ¡s2)] ¡-­‑ ¡s2

2 ¡ ¡

• Best ¡responses: ¡

ŝ1 ¡= ¡1 ¡+ ¡b ¡s2 ¡ ¡ ¡= ¡BR1(s2) ¡ ŝ2 ¡= ¡1 ¡+ ¡b ¡s1 ¡ ¡ ¡= ¡BR2(s1) ¡

5 ¡

Finding ¡the ¡best ¡response ¡(with ¡twice ¡ conGnuously ¡differenGable ¡uGliGes) ¡

∂u1(s1,s2) ∂s1 = 0 ∂2u1(s1,s2) ∂2s1 ≤ 0

• First ¡order ¡condiGon ¡(FOC) ¡
• Second ¡order ¡condiGon ¡(SOC) ¡
• Remark: ¡the ¡SOC ¡is ¡automaGcally ¡saGsfied ¡if ¡ui(si,s-­‑i) ¡is ¡

concave ¡in ¡si ¡for ¡all ¡s-­‑i ¡(very ¡standard ¡assumpGon) ¡

6 ¡

Nash ¡equilibrium ¡graphically ¡

• NE ¡is ¡fixed ¡point ¡of ¡(s1, ¡s2) ¡à ¡(BR(s2), ¡BR(s1)) ¡

7 ¡

0 ¡ 5 ¡ 4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 5 ¡ 4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 ¡ s1 ¡ s2 ¡ BR1(s2) ¡ BR2(s1) ¡

Best ¡response ¡correspondence ¡

• DefiniGon: ¡ŝi ¡is ¡a ¡BR ¡to ¡s-­‑i ¡if ¡ŝi ¡solves ¡max ¡ui(si ¡, ¡s-­‑i) ¡
• The ¡BR ¡to ¡s-­‑i ¡may ¡not ¡be ¡unique! ¡
• BR(s-­‑i): ¡set ¡of ¡si ¡that ¡solve ¡max ¡ui(si ¡, ¡s-­‑i) ¡ ¡
• The ¡definiGon ¡can ¡be ¡wriden: ¡ ¡

ŝi ¡is ¡a ¡BR ¡to ¡s-­‑i ¡if ¡

• Best ¡response ¡correspondence ¡of ¡i: ¡s-­‑i ¡à ¡BRi(s-­‑i) ¡
• (Correspondence ¡= ¡set-­‑valued ¡funcGon) ¡

8 ¡

ˆ si ∈ BRi(s−i) = argmax

si

ui(si,s−i)

Nash ¡equilibrium ¡as ¡a ¡fixed ¡point ¡

• Game ¡
• Let’s ¡define ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(set ¡of ¡strategy ¡profiles) ¡

and ¡the ¡correspondence ¡

• For ¡a ¡given ¡s, ¡B(s) ¡is ¡the ¡set ¡of ¡strategy ¡profiles ¡s’ ¡

such ¡that ¡si’ ¡is ¡a ¡BR ¡to ¡s-­‑i ¡for ¡all ¡i. ¡ ¡

• A ¡strategy ¡profile ¡s* ¡is ¡a ¡Nash ¡eq. ¡iif ¡

(just ¡a ¡re-­‑wriGng ¡of ¡the ¡definiGon) ¡ ¡

9 ¡

N, Si

( )i∈N , ui ( )i∈N

( )

S = ×i∈N Si

B : S → S s  B(s) = ×i∈N BRi(s−i)

s* ∈ B(s*)

Kakutani’s ¡fixed ¡point ¡theorem ¡

10 ¡

Theorem: ¡Kakutani’s ¡fixed ¡point ¡theorem ¡ Let ¡X ¡be ¡a ¡compact ¡convex ¡subset ¡of ¡Rn ¡and ¡let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡be ¡a ¡set-­‑valued ¡funcGon ¡for ¡which: ¡

• for ¡all ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡the ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡nonempty ¡convex; ¡
• the ¡graph ¡of ¡f ¡is ¡closed. ¡

Then ¡there ¡exists ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡such ¡that ¡x* ∈ f (x*) x* ∈ X x ∈ X f (x) f : X → X

Closed ¡graph ¡(upper ¡hemiconGnuity) ¡

• DefiniGon: ¡f ¡has ¡closed ¡graph ¡if ¡for ¡all ¡sequences ¡(xn) ¡and ¡(yn) ¡

such ¡that ¡yn ¡is ¡in ¡f(xn) ¡for ¡all ¡n, ¡xnàx ¡and ¡ynày, ¡y ¡is ¡in ¡f(x) ¡

• AlternaGve ¡definiGon: ¡f ¡has ¡closed ¡graph ¡if ¡for ¡all ¡x ¡we ¡have ¡the ¡

following ¡property: ¡for ¡any ¡open ¡neighbourhood ¡V ¡of ¡f(x), ¡ there ¡exists ¡a ¡neighbourhood ¡U ¡of ¡x ¡such ¡that ¡for ¡all ¡x ¡in ¡U, ¡f(x) ¡ is ¡a ¡subset ¡of ¡V. ¡

• Examples: ¡

11 ¡

Existence ¡of ¡(pure ¡strategy) ¡Nash ¡ equilibrium ¡

¡ ¡

• Remark: ¡the ¡concave ¡assumpGon ¡can ¡be ¡relaxed ¡

12 ¡

Theorem: ¡Existence ¡of ¡pure ¡strategy ¡NE ¡ Suppose ¡that ¡the ¡game ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡saGsfies: ¡ ¡

• The ¡acGon ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡each ¡player ¡is ¡a ¡nonempty ¡

compact ¡convex ¡subset ¡of ¡Rn ¡

• The ¡uGlity ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡each ¡player ¡is ¡conGnuous ¡in ¡ ¡ ¡

(on ¡ ¡ ¡) ¡and ¡concave ¡in ¡ ¡ ¡ ¡(on ¡ ¡ ¡ ¡) ¡ Then, ¡it ¡exists ¡a ¡(pure ¡strategy) ¡Nash ¡equilibrium. ¡

N, Si

( )i∈N , ui ( )i∈N

( )

Si ui s si Si S

Proof ¡

• Define ¡B ¡as ¡before. ¡B ¡saGsfies ¡the ¡assumpGons ¡of ¡

Kakutani’s ¡fixed ¡point ¡theorem ¡

• Therefore ¡B ¡has ¡a ¡fixed ¡point ¡which ¡by ¡definiGon ¡is ¡a ¡

Nash ¡equilibrium! ¡

• Now, ¡we ¡need ¡to ¡actually ¡verify ¡that ¡B ¡saGsfies ¡the ¡

assumpGons ¡of ¡Kakutani’s ¡fixed ¡point ¡theorem! ¡

13 ¡

Example: ¡the ¡partnership ¡game ¡

• N ¡= ¡{1, ¡2} ¡
• S ¡= ¡[0,4]x[0,4] ¡compact ¡convex ¡
• UGliGes ¡are ¡conGnuous ¡and ¡concave ¡

u1(s1 ¡, ¡s2) ¡= ¡½ ¡[4 ¡(s1 ¡+ ¡s2 ¡+ ¡b ¡s1 ¡s2)] ¡-­‑ ¡s1

2 ¡ ¡

u2(s1 ¡, ¡s2) ¡= ¡½ ¡[4 ¡(s1 ¡+ ¡s2 ¡+ ¡b ¡s1 ¡s2)] ¡-­‑ ¡s2

2 ¡ ¡

• Conclusion: ¡there ¡exists ¡a ¡NE! ¡
• Ok, ¡for ¡this ¡game, ¡we ¡already ¡knew ¡it! ¡
• But ¡the ¡thm ¡is ¡much ¡more ¡general ¡and ¡applies ¡to ¡

games ¡where ¡finding ¡the ¡equilibrium ¡is ¡much ¡ more ¡difficult ¡

14 ¡

One ¡more ¡word ¡on ¡the ¡partnership ¡ game ¡before ¡we ¡move ¡on ¡

• We ¡have ¡found ¡that ¡ ¡

– At ¡Nash ¡equilibrium: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡s*1 ¡= ¡s*2 ¡=1/(1-­‑b) ¡ ¡ – To ¡maximize ¡the ¡sum ¡of ¡uGliGes: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡sW

1 ¡= ¡sW 2 ¡=1/(1/2-­‑b) ¡> ¡s*1 ¡

• Sum ¡of ¡uGliGes ¡called ¡social ¡welfare ¡
• Both ¡partners ¡would ¡be ¡beder ¡off ¡if ¡they ¡

worked ¡sW

1 ¡(with ¡social ¡planner, ¡contract) ¡

• Why ¡do ¡they ¡work ¡less ¡than ¡efficient? ¡ ¡

15 ¡

Externality ¡

• At ¡the ¡margin, ¡I ¡bear ¡the ¡cost ¡for ¡the ¡extra ¡unit ¡of ¡

effort ¡I ¡contribute, ¡but ¡I’m ¡only ¡reaping ¡half ¡of ¡the ¡ induced ¡profits, ¡because ¡of ¡profit ¡sharing ¡

• This ¡is ¡known ¡as ¡an ¡“externality” ¡

è When ¡I’m ¡figuring ¡out ¡the ¡effort ¡I ¡have ¡to ¡put ¡I ¡don’t ¡ take ¡into ¡account ¡that ¡other ¡half ¡of ¡profit ¡that ¡goes ¡to ¡ my ¡partner ¡ è In ¡other ¡words, ¡my ¡effort ¡benefits ¡my ¡partner, ¡not ¡just ¡ me ¡

• ExternaliGes ¡are ¡omnipresent: ¡public ¡good ¡problems, ¡

free ¡riding, ¡etc. ¡(see ¡more ¡in ¡the ¡netecon ¡course) ¡

16 ¡

Outline ¡

• 1. Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡

– Equilibrium ¡computaGon ¡and ¡existence ¡theorem ¡ – Example: ¡Cournot ¡duopoly ¡

• 2. Mixed ¡strategies ¡

– Best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

• 3. Mixed ¡strategies ¡Nash ¡equilibrium ¡computaGon ¡
• 4. InterpretaGons ¡of ¡mixed ¡strategies ¡

17 ¡

Cournot ¡Duopoly ¡

• Example ¡of ¡applicaGon ¡of ¡games ¡with ¡conGnuous ¡

acGon ¡set ¡

• This ¡games ¡lies ¡between ¡two ¡extreme ¡cases ¡in ¡

economics, ¡in ¡situaGons ¡where ¡firms ¡(e.g. ¡two ¡ companies) ¡are ¡compeGng ¡on ¡the ¡same ¡market ¡

– Perfect ¡compeGGon ¡ – Monopoly ¡

• We’re ¡interested ¡to ¡understand ¡what ¡happens ¡in ¡

the ¡middle ¡ ¡

– The ¡game ¡analysis ¡will ¡give ¡us ¡interesGng ¡economic ¡ insights ¡on ¡the ¡duopoly ¡market ¡

18 ¡

Cournot ¡Duopoly: ¡the ¡game ¡

• The ¡players: ¡2 ¡Firms, ¡e.g. ¡Coke ¡and ¡Pepsi ¡
• Strategies: ¡quanGGes ¡players ¡produce ¡of ¡iden%cal ¡

products: ¡qi, ¡q-­‑i ¡ ¡

– Products ¡are ¡perfect ¡subsGtutes ¡

• Cost ¡of ¡producGon: ¡c ¡* ¡q ¡

– Simple ¡model ¡of ¡constant ¡marginal ¡cost ¡ ¡

• Prices: ¡p ¡= ¡a ¡– ¡b ¡(q1 ¡+ ¡q2) ¡= ¡a ¡– ¡bQ ¡

– Market-­‑clearing ¡price ¡

19 ¡

Price ¡in ¡the ¡Cournot ¡duopoly ¡

20 ¡

0 ¡ a ¡ q1 ¡+ ¡q2 ¡ p ¡

Slope: ¡-­‑b ¡ Demand ¡curve ¡

¡ Tells ¡the ¡quanGty ¡ demanded ¡for ¡a ¡ ¡ given ¡price ¡

Cournot ¡Duopoly: ¡payoffs ¡

• The ¡payoffs: ¡firms ¡aim ¡to ¡maximize ¡profit ¡

u1(q1,q2) ¡= ¡p ¡* ¡q1 ¡– ¡c ¡* ¡q1 ¡ p ¡= ¡a ¡– ¡b ¡(q1 ¡+ ¡q2) ¡ ¡ Ø u1(q1,q2) ¡= ¡a ¡* ¡q1 ¡– ¡b ¡* ¡q2

1 ¡– ¡b ¡* ¡q1 ¡q2 ¡– ¡c ¡* ¡q1 ¡

• The ¡game ¡is ¡symmetric ¡ ¡

Ø u2(q1,q2) ¡= ¡a ¡* ¡q2 ¡– ¡b ¡* ¡q2

2 ¡– ¡b ¡* ¡q1 ¡q2 ¡– ¡c ¡* ¡q2 ¡

21 ¡

Cournot ¡Duopoly: ¡best ¡responses ¡

2 2

2 1

< − = − − − b c bq bq a

• First ¡order ¡condiGon ¡
• Second ¡order ¡condiGon ¡

[make sure it’s a max]

¡ è ¡ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − = = − − = = 2 2 ) ( ˆ 2 2 ) ( ˆ

1 1 2 2 2 2 1 1

q b c a q BR q q b c a q BR q

22 ¡

Cournot ¡Duopoly: ¡best ¡response ¡ diagram ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

23 ¡

0 ¡ q1 ¡ q2 ¡

b c a 2 − b c a − NE ¡ BR2 ¡ BR1 ¡ b c a qCournot 3 − = b c a − b c a 2 −

Best ¡response ¡at ¡q2=0 ¡

• BR1(q2=0) ¡= ¡(a-­‑c)/(2b) ¡
• InterpretaGon: ¡

monopoly ¡quanGty ¡ Ø marginal ¡revenue ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡marginal ¡cost ¡

24 ¡

0 ¡ q1 ¡ p ¡

Demand ¡curve ¡ Slope: ¡-­‑b ¡

Marginal ¡cost: ¡c ¡

Marginal ¡revenue ¡ Slope: ¡-­‑2b ¡ b c a 2 − a ¡ MONOPOLY ¡

When ¡is ¡BR1(q2) ¡= ¡0? ¡ ¡

25 ¡

• BR1(q2=(a-­‑c)/(2b)) ¡= ¡0 ¡
• Perfect ¡compeGGon ¡

quanGty ¡ Ø Demand ¡= ¡marginal ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡cost ¡

0 ¡ q1+q1 ¡ p ¡

Demand ¡curve ¡ Slope: ¡-­‑b ¡

Marginal ¡cost ¡

Marginal ¡revenue ¡ Slope: ¡-­‑2b ¡ b c a 2 − a ¡ b c a − MONOPOLY ¡ PERFECT ¡ ¡ COMPETITION ¡

If ¡Firm ¡1 ¡would ¡produce ¡more, ¡the ¡ ¡ selling ¡price ¡would ¡not ¡cover ¡her ¡costs ¡

Cournot ¡Duopoly: ¡best ¡response ¡ diagram ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

26 ¡

0 ¡ q1 ¡ q2 ¡

b c a 2 − b c a − NE ¡ BR2 ¡ BR1 ¡ b c a qCournot 3 − =

Monopoly ¡ Perfect ¡ compeGGon ¡

Strategic ¡subsGtutes/complements ¡

• In ¡Cournot ¡duopoly: ¡the ¡more ¡the ¡other ¡player ¡

does, ¡the ¡less ¡I ¡would ¡do ¡ è ¡This ¡is ¡a ¡game ¡of ¡strategic ¡subs%tutes ¡

– Note: ¡of ¡course ¡the ¡goods ¡were ¡subsGtutes ¡ – We’re ¡talking ¡about ¡strategies ¡here ¡

• In ¡the ¡partnership ¡game, ¡it ¡was ¡the ¡opposite: ¡

the ¡more ¡the ¡other ¡player ¡would ¡the ¡more ¡I ¡ would ¡do ¡ è ¡This ¡is ¡a ¡game ¡of ¡strategic ¡complements ¡

27 ¡

Cournot ¡duopoly: ¡Market ¡perspecGve ¡

• Total ¡industry ¡

profit ¡ maximized ¡for ¡ monopoly ¡

28 ¡

0 ¡ q1 ¡ q2 ¡

b c a 2 − b c a −

Industry ¡profits ¡ are ¡maximized ¡

BR2 ¡ BR1 ¡ b c a qCournot 3 − =

Cartel, ¡agreement ¡

• How ¡could ¡the ¡

firms ¡set ¡an ¡ agreement ¡to ¡ increase ¡profit? ¡

• What ¡can ¡be ¡

the ¡problems ¡ with ¡this ¡ agreement? ¡

29 ¡

0 ¡ q1 ¡ q2 ¡

b c a 2 − b c a − BR2 ¡ BR1 ¡ b c a qCournot 3 − =

Both ¡firms ¡ produce ¡half ¡

• f ¡the ¡monopoly ¡

quanGty ¡

Cournot ¡Duopoly: ¡last ¡observaGons ¡

• How ¡do ¡quanGGes ¡and ¡prices ¡we’ve ¡

encountered ¡so ¡far ¡compare? ¡

Perfect ¡ CompeGGon ¡ Cournot ¡ QuanGty ¡ Monopoly ¡ Monopoly ¡ Cournot ¡ QuanGty ¡ Perfect ¡ CompeGGon ¡

b c a − b c a 3 ) ( 2 − b c a 2 −

QUANTITIES ¡ PRICES ¡

30 ¡

Outline ¡

• 1. Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡

– Equilibrium ¡computaGon ¡and ¡existence ¡theorem ¡ – Example: ¡Cournot ¡duopoly ¡

• 2. Mixed ¡strategies ¡

– Best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

• 3. Mixed ¡strategies ¡Nash ¡equilibrium ¡computaGon ¡
• 4. InterpretaGons ¡of ¡mixed ¡strategies ¡

31 ¡

Example: ¡installing ¡checkpoints ¡

• Two ¡road, ¡Police ¡choose ¡on ¡which ¡to ¡check, ¡

Terrorists ¡choose ¡on ¡which ¡to ¡pass ¡

32 ¡

R1 ¡ R2 ¡ R1 ¡ R2 ¡ 1 ¡, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

Police ¡ Terrorist ¡

• Can ¡you ¡find ¡a ¡Nash ¡

equilibrium? ¡ à ¡Players ¡must ¡ randomize ¡

Matching ¡pennies ¡

• Similar ¡examples: ¡ ¡

– Checkpoint ¡placement ¡ – Intrusion ¡detecGon ¡ – Penalty ¡kick ¡ – Tennis ¡game ¡

• Need ¡to ¡be ¡unpredictable ¡

33 ¡

heads ¡ tails ¡ heads ¡ tails ¡ 1 ¡, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡

Pure ¡strategies/Mixed ¡strategies ¡

• Game ¡
• Ai: ¡set ¡of ¡acGons ¡of ¡player ¡i ¡(what ¡we ¡called ¡Si ¡

before) ¡

• AcGon ¡= ¡pure ¡strategy ¡ ¡
• Mixed ¡strategy: ¡distribuGon ¡over ¡pure ¡strategies ¡

– Include ¡pure ¡strategy ¡as ¡special ¡case ¡ – Support: ¡ ¡

• Strategy ¡profile: ¡ ¡

34 ¡

N, Ai

( )i∈N , ui ( )i∈N

( )

si ∈ Si = Δ(Ai) s = (s1,,sn) ∈ S = S1 ×× Sn supp si = {ai ∈ Ai : si(ai) > 0}

Matching ¡pennies: ¡payoffs ¡

• What ¡is ¡Player ¡1’s ¡payoff ¡if ¡Player ¡2 ¡

plays ¡s2 ¡= ¡(1/4, ¡3/4) ¡and ¡he ¡plays: ¡ ¡ ¡

– Heads? ¡ – Tails? ¡ – s1 ¡= ¡(½, ¡½)? ¡

35 ¡

heads ¡ tails ¡ heads ¡ tails ¡ 1 ¡, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡

Payoffs ¡in ¡mixed ¡strategies: ¡general ¡ formula ¡

• Game ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡let ¡ ¡
• If ¡players ¡follow ¡a ¡mixed-­‑strategy ¡profile ¡s, ¡the ¡

expected ¡payoff ¡of ¡player ¡i ¡is: ¡

• a: ¡pure ¡strategy ¡(or ¡acGon) ¡profile ¡
• Pr(a|s): ¡probability ¡of ¡seeing ¡a ¡given ¡the ¡

mixed ¡strategy ¡profile ¡s ¡

36 ¡

ui(s) = ui

a∈A

∑

(a)Pr(a | s) where Pr(a | s) = si(ai)

i∈N

∏

N, Ai

( )i∈N , ui ( )i∈N

( )

A = ×

i∈N Ai

Matching ¡pennies: ¡payoffs ¡check ¡

• What ¡are ¡the ¡payoffs ¡of ¡Player ¡1 ¡

and ¡Player ¡2 ¡if ¡s ¡= ¡((½, ¡½), ¡(¼, ¡¾))? ¡

• Does ¡that ¡look ¡like ¡it ¡could ¡be ¡a ¡

Nash ¡equilibrium? ¡

37 ¡

heads ¡ tails ¡ heads ¡ tails ¡ 1 ¡, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡

Best ¡response ¡

• The ¡definiGon ¡for ¡mixed ¡strategies ¡is ¡

unchanged! ¡

• BRi(s-­‑i): ¡set ¡of ¡best ¡responses ¡of ¡i ¡to ¡s-­‑i ¡

38 ¡

DefiniGon: ¡Best ¡Response ¡ Player ¡i’s ¡strategy ¡ŝi ¡is ¡a ¡BR ¡to ¡strategy ¡s-­‑i ¡of ¡

• ther ¡players ¡if: ¡

ui(ŝi ¡, ¡s-­‑i) ¡≥ ¡ui(s’i ¡, ¡s-­‑i) ¡for ¡all ¡s’i ¡in ¡Si ¡ ¡

Matching ¡pennies: ¡best ¡response ¡

• What ¡is ¡the ¡best ¡response ¡of ¡

Player ¡1 ¡to ¡s2 ¡= ¡(¼, ¡¾)? ¡

• For ¡all ¡s1, ¡u1(s1, ¡s2) ¡lie ¡between ¡

u1(heads, ¡s2) ¡and ¡u1(tails, ¡s2) ¡ ¡ ¡ (the ¡weighted ¡average ¡lies ¡ between ¡the ¡pure ¡strategies ¡

• exp. ¡Payoffs) ¡

à ¡Best ¡response ¡is ¡tails! ¡

39 ¡

heads ¡ tails ¡ heads ¡ tails ¡ 1 ¡, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡

Important ¡property ¡

• If ¡a ¡mixed ¡strategy ¡is ¡a ¡best ¡response ¡then ¡

each ¡of ¡the ¡pure ¡strategies ¡in ¡the ¡mix ¡must ¡be ¡ best ¡responses ¡ è ¡They ¡must ¡yield ¡the ¡same ¡expected ¡payoff ¡

40 ¡

ProposiGon: ¡ ¡

For ¡any ¡(mixed) ¡strategy ¡s-­‑i, ¡if ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡then ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ In ¡parGcular, ¡ui(ai, ¡s-­‑i) ¡is ¡the ¡same ¡for ¡all ¡ai ¡such ¡that ¡ ¡ ¡

si ∈ BRi(s−i) ai ∈ BRi(s−i) for all ai such that si(ai) > 0 si(ai) > 0

Wordy ¡proof ¡

• Suppose ¡it ¡were ¡not ¡true. ¡Then ¡there ¡must ¡be ¡at ¡least ¡one ¡

pure ¡strategy ¡ai ¡that ¡is ¡assigned ¡posiGve ¡probability ¡by ¡my ¡ best-­‑response ¡mix ¡and ¡that ¡yields ¡a ¡lower ¡expected ¡payoff ¡ against ¡si ¡

• If ¡there ¡is ¡more ¡than ¡one, ¡focus ¡on ¡the ¡one ¡that ¡yields ¡the ¡

lowest ¡expected ¡payoff. ¡Suppose ¡I ¡drop ¡that ¡(low-­‑yield) ¡pure ¡ strategy ¡from ¡my ¡mix, ¡assigning ¡the ¡weight ¡I ¡used ¡to ¡give ¡it ¡to ¡

• ne ¡of ¡the ¡other ¡(higher-­‑yield) ¡strategies ¡in ¡the ¡mix ¡ ¡
• This ¡must ¡raise ¡my ¡expected ¡payoff ¡
• But ¡then ¡the ¡original ¡mixed ¡strategy ¡cannot ¡have ¡been ¡a ¡best ¡

response: ¡it ¡does ¡not ¡do ¡as ¡well ¡as ¡the ¡new ¡mixed ¡strategy ¡

• This ¡is ¡a ¡contradicGon ¡

41 ¡

Matching ¡pennies ¡again ¡

• What ¡is ¡the ¡best ¡response ¡
• f ¡Player ¡1 ¡to ¡s2 ¡= ¡(¼, ¡¾)? ¡
• What ¡is ¡the ¡best ¡response ¡
• f ¡Player ¡1 ¡to ¡s2 ¡= ¡(½, ¡½)? ¡

42 ¡

heads ¡ tails ¡ heads ¡ tails ¡ 1 ¡, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡

Nash ¡equilibrium ¡definiGon ¡

• Same ¡definiGon ¡as ¡for ¡pure ¡strategies! ¡

– But ¡here ¡the ¡strategies ¡si

* ¡are ¡mixed ¡strategies ¡

43 ¡

DefiniGon: ¡Nash ¡Equilibrium ¡ A ¡strategy ¡profile ¡(s1*, ¡s2*,…, ¡sN*) ¡is ¡a ¡Nash ¡ Equilibrium ¡(NE) ¡if, ¡for ¡each ¡i, ¡her ¡choice ¡si* ¡is ¡a ¡ best ¡response ¡to ¡the ¡other ¡players’ ¡choices ¡s-­‑i* ¡

Matching ¡pennies ¡again ¡

• Nash ¡equilibrium: ¡ ¡

((½, ¡½), ¡(½, ¡½)) ¡ ¡

44 ¡

heads ¡ tails ¡ heads ¡ tails ¡ 1 ¡, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

1, ¡-­‑1 ¡

• ­‑1, ¡1 ¡

Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡

Nash ¡equilibrium ¡existence ¡theorem ¡

• In ¡mixed ¡strategy! ¡

– Not ¡true ¡in ¡pure ¡strategy ¡

• Finite ¡game: ¡finite ¡set ¡of ¡player ¡and ¡finite ¡

acGon ¡set ¡for ¡all ¡players ¡

– Both ¡are ¡necessary! ¡

• Proof: ¡reducGon ¡to ¡Kakutani’s ¡fixed-­‑point ¡thm ¡

45 ¡

Theorem: ¡Nash ¡(1951) ¡ Every ¡finite ¡game ¡has ¡a ¡Nash ¡equilibrium. ¡

Outline ¡

• 1. Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡

– Equilibrium ¡computaGon ¡and ¡existence ¡theorem ¡ – Example: ¡Cournot ¡duopoly ¡

• 2. Mixed ¡strategies ¡

– Best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

• 3. Mixed ¡strategies ¡Nash ¡equilibrium ¡computaGon ¡
• 4. InterpretaGons ¡of ¡mixed ¡strategies ¡

46 ¡

ComputaGon ¡of ¡mixed ¡strategy ¡NE ¡

• Hard ¡if ¡the ¡support ¡is ¡not ¡known ¡
• If ¡you ¡can ¡guess ¡the ¡support, ¡it ¡becomes ¡very ¡

easy, ¡using ¡the ¡property ¡shown ¡earlier: ¡ ¡

47 ¡

ProposiGon: ¡ ¡

For ¡any ¡(mixed) ¡strategy ¡s-­‑i, ¡if ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡then ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ In ¡parGcular, ¡ui(ai, ¡s-­‑i) ¡is ¡the ¡same ¡for ¡all ¡ai ¡such ¡that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(i.e., ¡ai ¡in ¡the ¡support ¡of ¡si) ¡

si ∈ BRi(s−i) ai ∈ BRi(s−i) for all ai such that si(ai) > 0 si(ai) > 0

Example: ¡badle ¡of ¡the ¡sexes ¡

• We ¡have ¡seen ¡that ¡(O, ¡O) ¡and ¡(S, ¡S) ¡are ¡NE ¡
• Is ¡there ¡any ¡other ¡NE ¡(in ¡mixed ¡strategies)? ¡

– Let’s ¡try ¡to ¡find ¡a ¡NE ¡with ¡support ¡{O, ¡S} ¡for ¡each ¡ player ¡ 2,1 ¡ 0,0 ¡ 0,0 ¡ 1,2 ¡

Opera ¡ Soccer ¡ Opera ¡ Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡ Soccer ¡

48 ¡

Example: ¡badle ¡of ¡the ¡sexes ¡(2) ¡

• Let ¡s2 ¡= ¡(p, ¡1-­‑p) ¡
• If ¡s1 ¡is ¡a ¡BR ¡with ¡support ¡{O, ¡S}, ¡then ¡Player ¡1 ¡

must ¡be ¡indifferent ¡between ¡O ¡and ¡S ¡ ¡ à ¡p ¡= ¡1/3 ¡ ¡

2,1 ¡ 0,0 ¡ 0,0 ¡ 1,2 ¡

Opera ¡ Soccer ¡ Opera ¡ Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡ Soccer ¡

49 ¡

Example: ¡badle ¡of ¡the ¡sexes ¡(3) ¡

• Similarly, ¡let ¡s1 ¡= ¡(q, ¡1-­‑q) ¡
• If ¡s2 ¡is ¡a ¡BR ¡with ¡support ¡{O, ¡S}, ¡then ¡Player ¡2 ¡

must ¡be ¡indifferent ¡between ¡O ¡and ¡S ¡ ¡ à ¡q ¡= ¡2/3 ¡ ¡

2,1 ¡ 0,0 ¡ 0,0 ¡ 1,2 ¡

Opera ¡ Soccer ¡ Opera ¡ Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡ Soccer ¡

50 ¡

Example: ¡badle ¡of ¡the ¡sexes ¡(4) ¡

• Conclusion: ¡((2/3, ¡1/3), ¡(1/3, ¡2/3)) ¡is ¡a ¡NE ¡

2,1 ¡ 0,0 ¡ 0,0 ¡ 1,2 ¡

Opera ¡ Soccer ¡ Opera ¡ Player ¡1 ¡ Player ¡2 ¡ Soccer ¡

51 ¡

Example: ¡prisoner’s ¡dilemma ¡

• We ¡know ¡that ¡(D, ¡D) ¡is ¡NE ¡
• Can ¡we ¡find ¡a ¡NE ¡with ¡

support ¡{C, ¡D} ¡with ¡each? ¡

• A ¡NE ¡in ¡strictly ¡dominant ¡

strategies ¡is ¡unique! ¡

52 ¡

D ¡ C ¡ D ¡ C ¡

• ­‑5, ¡-­‑5 ¡

0, ¡-­‑6 ¡

• ­‑2, ¡-­‑2 ¡
• ­‑6, ¡0 ¡

Prisoner ¡1 ¡ Prisoner ¡2 ¡

General ¡methods ¡to ¡compute ¡Nash ¡ equilibrium ¡

• If ¡you ¡know ¡the ¡support, ¡write ¡the ¡equaGons ¡

translaGng ¡indifference ¡between ¡strategies ¡in ¡ the ¡support ¡(works ¡for ¡any ¡number ¡of ¡ acGons!) ¡

• Otherwise: ¡

– The ¡Lemke-­‑Howson ¡Algorithm ¡(1964) ¡ – Support ¡enumeraGon ¡method ¡(Porter ¡et ¡al. ¡2004) ¡

• Smart ¡heurisGc ¡search ¡through ¡all ¡sets ¡of ¡support ¡
• ExponenGal ¡Gme ¡worst ¡case ¡complexity ¡

53 ¡

Complexity ¡of ¡finding ¡Nash ¡equilibrium ¡

• Is ¡it ¡NP-­‑complete? ¡ ¡

– No, ¡we ¡know ¡there ¡is ¡a ¡soluGon ¡ – But ¡many ¡derived ¡problems ¡are ¡(e.g., ¡does ¡there ¡ exists ¡a ¡strictly ¡Pareto ¡opGmal ¡Nash ¡equilibrium?) ¡

• PPAD ¡(“Polynomial ¡Parity ¡Arguments ¡on ¡

Directed ¡graphs”) ¡[Papadimitriou ¡1994] ¡

• Theorem: ¡CompuGng ¡a ¡Nash ¡equilibrium ¡is ¡

PPAD-­‑complete ¡[Chen, ¡Deng ¡2006] ¡

54 ¡

Complexity ¡of ¡finding ¡Nash ¡equilibrium ¡ (2) ¡

55 ¡

P ¡ NP ¡ PPAD ¡ NP-­‑complete ¡ NP-­‑hard ¡

Outline ¡

• 1. Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡

– Equilibrium ¡computaGon ¡and ¡existence ¡theorem ¡ – Example: ¡Cournot ¡duopoly ¡

• 2. Mixed ¡strategies ¡

– Best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡

• 3. Mixed ¡strategies ¡Nash ¡equilibrium ¡computaGon ¡
• 4. InterpretaGons ¡of ¡mixed ¡strategies ¡

56 ¡

Mixed ¡strategies ¡interpretaGons ¡

• Players ¡randomize ¡
• Belief ¡of ¡others’ ¡acGons ¡(that ¡make ¡you ¡

indifferent) ¡

• Empirical ¡frequency ¡of ¡play ¡in ¡repeated ¡

interacGons ¡

• FracGon ¡of ¡a ¡populaGon ¡

– Let’s ¡see ¡an ¡example ¡of ¡this ¡one ¡

57 ¡

The ¡Income ¡Tax ¡Game ¡(1) ¡

• Assume ¡simultaneous ¡move ¡game ¡
• Is ¡there ¡a ¡pure ¡strategy ¡NE? ¡
• Find ¡mixed ¡strategy ¡NE ¡

2,0 ¡ 4,-­‑10 ¡ 4,0 ¡ 0,4 ¡

A ¡ N ¡ Honest ¡ Cheat ¡ q ¡ 1-­‑q ¡ p ¡ (1-­‑p) ¡ Auditor ¡ Tax ¡payer ¡

58 ¡

The ¡Income ¡Tax ¡Game: ¡NE ¡ computaGon ¡

• Mixed ¡strategies ¡NE: ¡

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

7 2 14 4 ) 1 ( 4 10 1 , , 1 , , 3 2 ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 4 1 , , ) 1 ( 4 2 1 , ,

2 2 1 1

= ⇒ = ⎭ ⎬ ⎫ − + − = − = − = ⇒ − = ⎭ ⎬ ⎫ − + = − − + = − p p p p p p C U E p p H U E q q q q q q q N U E q q q q A U E

Look ¡at ¡tax ¡ payers ¡ payoffs ¡ To ¡find ¡ auditors ¡ mixing ¡

59 ¡

The ¡Income ¡Tax ¡Game: ¡mixed ¡strategy ¡ interpretaGon ¡

• From ¡the ¡auditor’s ¡point ¡of ¡view, ¡he/she ¡is ¡going ¡

to ¡audit ¡a ¡single ¡tax ¡payer ¡2/7 ¡of ¡the ¡Gme ¡ è This ¡is ¡actually ¡a ¡randomizaLon ¡(which ¡is ¡applied ¡ by ¡law) ¡

• From ¡the ¡tax ¡payer ¡perspecGve, ¡he/she ¡is ¡going ¡

to ¡be ¡honest ¡2/3 ¡of ¡the ¡Gme ¡ è ¡This ¡in ¡reality ¡implies ¡that ¡2/3rd ¡of ¡populaGon ¡is ¡ going ¡to ¡pay ¡taxes ¡honestly, ¡i.e., ¡this ¡is ¡a ¡fracLon ¡

• f ¡a ¡large ¡populaLon ¡paying ¡taxes ¡

60 ¡

The ¡Income ¡Tax ¡Game ¡(6) ¡

• What ¡could ¡ever ¡be ¡done ¡if ¡one ¡policy ¡maker ¡

(e.g. ¡the ¡government) ¡would ¡like ¡to ¡increase ¡ the ¡proporGon ¡of ¡honest ¡tax ¡payers? ¡

• One ¡idea ¡could ¡be ¡for ¡example ¡to ¡“prevent” ¡

fraud ¡by ¡increasing ¡the ¡number ¡of ¡years ¡a ¡tax ¡ payer ¡would ¡spend ¡in ¡jail ¡if ¡found ¡guilty ¡

61 ¡

The ¡Income ¡Tax ¡Game: ¡Trying ¡to ¡make ¡ people ¡pay ¡

• How ¡to ¡make ¡people ¡pay ¡their ¡taxes? ¡
• One ¡idea: ¡increase ¡penalty ¡for ¡cheaGng ¡
• What ¡is ¡the ¡new ¡equilibrium? ¡

2,0 ¡ 4,-­‑20 ¡ 4,0 ¡ 0,4 ¡

A ¡ N ¡ Honest ¡ Cheat ¡ q ¡ 1-­‑q ¡ p ¡ (1-­‑p) ¡ Auditor ¡ Tax ¡payer ¡

62 ¡

The ¡Income ¡Tax ¡Game: ¡new ¡NE ¡

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

7 2 6 1 4 24 ) 1 ( 4 20 1 , , 1 , , 3 2 ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 4 1 , , ) 1 ( 4 2 1 , ,

2 2 1 1

< = ⇒ = ⎭ ⎬ ⎫ − + − = − = − = ⇒ − = ⎭ ⎬ ⎫ − + = − − + = − p p p p p p C U E p p H U E q q q q q q q N U E q q q q A U E

• The ¡proporGon ¡of ¡honest ¡tax ¡payers ¡didn’t ¡change! ¡

– What ¡determines ¡the ¡equilibrium ¡mix ¡for ¡the ¡column ¡ player ¡is ¡the ¡row ¡ ¡player’s ¡payoffs ¡

• The ¡probability ¡of ¡audit ¡decreased ¡

– SGll ¡good, ¡audits ¡are ¡expensive ¡

• To ¡make ¡people ¡pay ¡tax: ¡change ¡auditor’s ¡payoff ¡

– Make ¡audits ¡cheaper, ¡more ¡profitable ¡

63 ¡

Important ¡remark ¡

• Row ¡player’s ¡NE ¡mix ¡determined ¡by ¡column ¡

player’s ¡payoff ¡and ¡vice ¡versa ¡

• Neutralize ¡the ¡opponent ¡(make ¡him ¡

indifferent) ¡

• In ¡some ¡sense ¡the ¡opposite ¡of ¡opGmizaGon ¡

(my ¡choice ¡is ¡independent ¡of ¡my ¡own ¡payoff) ¡

64 ¡

The ¡penalty ¡kick ¡game ¡

• 2 ¡players: ¡kicker ¡and ¡goalkeeper ¡
• 2 ¡acGons ¡each ¡

– Kicker: ¡kick ¡le•, ¡kick ¡right ¡ – Goalkeeper: ¡jump ¡le•, ¡jump ¡right ¡

• Payoff: ¡probability ¡to ¡score ¡for ¡the ¡kicker, ¡

probability ¡to ¡stop ¡it ¡for ¡the ¡goalkeeper ¡

• Scoring ¡probabiliGes: ¡

65 ¡

58.30 ¡ 94.97 ¡ 92.91 ¡ 69.92 ¡

L ¡ R ¡ L ¡ R ¡ Kicker ¡ Goal ¡keeper ¡

The ¡penalty ¡kick ¡game: ¡results ¡

• Ignacio ¡Palacios-­‑Huerta. ¡Professionals ¡Play ¡
• Minimax. ¡Review ¡of ¡Economics ¡Studies ¡(2003). ¡
• Result: ¡
• For ¡a ¡given ¡kicker, ¡his ¡strategy ¡is ¡also ¡serially ¡

independent ¡

66 ¡

41.99 ¡ 58.01 ¡ 38.54 ¡ 61.46 ¡ 42.31 ¡ 57.69 ¡ 39.98 ¡ 60.02 ¡ NE ¡predicGon ¡ Observed ¡freq. ¡ Goal ¡L ¡ Goal ¡R ¡ Kicker ¡L ¡ Kicker ¡R ¡

Summary ¡

• Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡(pure ¡strategies) ¡

– Compute ¡equilibrium ¡with ¡FOC, ¡SOC ¡ – Equilibrium ¡exists ¡under ¡concavity ¡and ¡conGnuity ¡condiGons ¡ – Cournot ¡duopoly ¡

• Mixed ¡strategies: ¡distribuGon ¡over ¡acGons ¡

– A ¡Nash ¡equilibrium ¡in ¡mixed ¡strategies ¡always ¡exists ¡for ¡finite ¡ games ¡ – ComputaGon ¡is ¡easy ¡if ¡the ¡support ¡is ¡known ¡

• All ¡pure ¡strategies ¡in ¡the ¡support ¡of ¡a ¡best ¡response ¡are ¡also ¡best ¡

responses ¡

• Makes ¡other ¡player ¡indifferent ¡in ¡his ¡support ¡

– ComputaGon ¡is ¡hard ¡if ¡the ¡support ¡is ¡not ¡known ¡ – Several ¡interpretaGons ¡depending ¡on ¡the ¡game ¡at ¡stake ¡

67 ¡