, f m . . F , f = . - PowerPoint PPT Presentation

Lesson 4 F AST F OURIER T RANSFORM

• We want to reinvestigate to the computation of � � � � αθ , f � � m . . F α , β f = � � . � � � � � � βθ , f m • The DFT is an O algorithm, we instead want an O ( m ��� m ) algorithm � m 2 � • The algorithm is based on carefully splitting the inner products for m = 2 q in terms of inner products for 2 q − 1 and iterating • We will also discuss convergence of the approximate Fourier series

S PLITTING I NNER P RODUCTS

� � � � � � � �������������� z j = � � θ j = − ω j − 1 ������� m ���������������� ω m = � 2 π � / m m � ������������������ m = 2 n � ����� ω n = ω 2 m � �����������������

� � � � � �������������� z j = � � θ j = − ω j − 1 ������� m ���������������� ω m = � 2 π � / m m � ������������������ m = 2 n � ����� ω n = ω 2 m � ����������������� � � k θ , f m = f ( θ 1 ) z k 1 + · · · + f ( θ m ) z k � � m m � �

� � � � � �������������� z j = � � θ j = − ω j − 1 ������� m ���������������� ω m = � 2 π � / m m � ������������������ m = 2 n � ����� ω n = ω 2 m � ����������������� � � k θ , f m = f ( θ 1 ) z k 1 + · · · + f ( θ m ) z k � � m m = ( − 1) k � � m + f ( θ 3 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m ) ω ( m − 1) k f ( θ 1 ) + f ( θ 2 ) ω k m � �

� � � � � �������������� z j = � � θ j = − ω j − 1 ������� m ���������������� ω m = � 2 π � / m m � ������������������ m = 2 n � ����� ω n = ω 2 m � ����������������� � � k θ , f m = f ( θ 1 ) z k 1 + · · · + f ( θ m ) z k � � m m = ( − 1) k � � m + f ( θ 3 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m ) ω ( m − 1) k f ( θ 1 ) + f ( θ 2 ) ω k m = ( − 1) k � � f ( θ 1 ) + f ( θ 3 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m − 1 ) ω ( m − 2) k + m � � f ( θ 2 ) + f ( θ 4 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m ) ω ( m − 2) k ( − 1) k ω k m m � �

� � � � � �������������� z j = � � θ j = − ω j − 1 ������� m ���������������� ω m = � 2 π � / m m � ������������������ m = 2 n � ����� ω n = ω 2 m � ����������������� � � k θ , f m = f ( θ 1 ) z k 1 + · · · + f ( θ m ) z k � � m m = ( − 1) k � � m + f ( θ 3 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m ) ω ( m − 1) k f ( θ 1 ) + f ( θ 2 ) ω k m = ( − 1) k � � f ( θ 1 ) + f ( θ 3 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m − 1 ) ω ( m − 2) k + m � � f ( θ 2 ) + f ( θ 4 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m ) ω ( m − 2) k ( − 1) k ω k m m = ( − 1) k � � n + · · · + f ( θ m − 1 ) ω ( n − 1) k f ( θ 1 ) + f ( θ 3 ) ω k + n � � n + · · · + f ( θ m ) ω ( n − 1) k ( − 1) k ω k f ( θ 2 ) + f ( θ 4 ) ω k m n � � � �� �

� �������������� z j = � � θ j = − ω j − 1 ������� m ���������������� ω m = � 2 π � / m m � ������������������ m = 2 n � ����� ω n = ω 2 m � ����������������� � � k θ , f m = f ( θ 1 ) z k 1 + · · · + f ( θ m ) z k � � m m = ( − 1) k � � m + f ( θ 3 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m ) ω ( m − 1) k f ( θ 1 ) + f ( θ 2 ) ω k m = ( − 1) k � � f ( θ 1 ) + f ( θ 3 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m − 1 ) ω ( m − 2) k + m � � f ( θ 2 ) + f ( θ 4 ) ω 2 k m + · · · + f ( θ m ) ω ( m − 2) k ( − 1) k ω k m m = ( − 1) k � � n + · · · + f ( θ m − 1 ) ω ( n − 1) k f ( θ 1 ) + f ( θ 3 ) ω k + n � � n + · · · + f ( θ m ) ω ( n − 1) k ( − 1) k ω k f ( θ 2 ) + f ( θ 4 ) ω k m n �� � � �� � θ + 2 π � � k θ , f n + ω k � � k θ , f � = n m m n

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� f h ( θ ) = f ( θ + h 2 π m ) � ������� � 1 , f � m ���������� � 1 , f 0 � n ��� � 1 , f 1 � n , ���������� ��� � � � � � � ���������� ��� ������������������ ������������������� �������� � ����������������������������� � � �������� ����������������������������������������������������������� ������ ������������ ���������� ��� ���

� � � � � � � � � � � � � ����� f h ( θ ) = f ( θ + h 2 π m ) � ������� � 1 , f � m ���������� � 1 , f 0 � n ��� � 1 , f 1 � n , � � θ , f m ���������� � � θ , f 0 ��� � � θ , f 1 � � � � � � n , n ���������� ��� ������������������ ������������������� �������� � ����������������������������� � � �������� ����������������������������������������������������������� ������ ������������ ���������� ��� ���

� � � � � � � ����� f h ( θ ) = f ( θ + h 2 π m ) � ������� � 1 , f � m ���������� � 1 , f 0 � n ��� � 1 , f 1 � n , � � θ , f m ���������� � � θ , f 0 ��� � � θ , f 1 � � � � � � n , n . . . � � � � � � � � ( m − 1) θ , f � � ( m − 1) θ , f 0 � � ( m − 1) θ , f 1 m ���������� ��� n , n ������������������ m ������������������� 2 m �������� � ����������������������������� � � �������� ����������������������������������������������������������� ������ ������������ ���������� ��� ���

� � � � � ����� f h ( θ ) = f ( θ + h 2 π m ) � ������� � 1 , f � m ���������� � 1 , f 0 � n ��� � 1 , f 1 � n , � � θ , f m ���������� � � θ , f 0 ��� � � θ , f 1 � � � � � � n , n . . . � � � � � � � � ( m − 1) θ , f � � ( m − 1) θ , f 0 � � ( m − 1) θ , f 1 m ���������� ��� n , n ������������������ m ������������������� 2 m �������� � ����������������������������� k = n � n = ( � 1) n � 1 , f h � n � � n θ , f h � � � �������� ����������������������������������������������������������� ������ ������������ ���������� ��� ���