Exchange and ordering Stephen Blundell University of Oxford 2015 - PDF document

25/08/2015 ¡ Books Magnetism in Condensed Matter, S.J. Blundell, OUP (2001) Magnetism and Magnetic Materials, J.M.D. Coey, CUP (2009) Basic aspects of the quantum theory of magnetism, D.I. Khomskii, CUP(2010) Magnetism: A Very Short Introduction, S. J. Blundell, OUP (2012) Exchange and ordering Stephen Blundell University of Oxford ¡ 2015 European School of magnetism Cluj, August 2015 Magnetism in Condensed Matter, Magnetism: VSI Quantum Field Theory for the S.J. Blundell, S.J. Blundell, Gifted Amateur Part 1 36 Euros from amazon.de 8 Euros T. Lancaster and S.J. Blundell, 44 Euros 1 Outline ¡ Outline ¡ Exchange Exchange 1. Direct exchange 1. Direct exchange 2. Indirect exchange 2. Indirect exchange 3. Superexchange 3. Superexchange 3 4 Magnetism is fully quantum mechanical H = − 2 J S 1 · S 2 Magnetism is fully relativistic Magnetism is fully relativistic E = � ⇥ ⇤ E = � ⇥ ⇤ A A ⇤ ⇥ t � ⇤ B = ⇤ ⇤ ⇤ ⇥ ⇤ ⇤ ⇥ t � ⇤ B = ⇤ ⇤ ⇤ ⇥ ⇤ ⇤ � A ⇤ � A     − E x /c − E y /c − E z /c − E x /c − E y /c − E z /c 0 0 E x /c − B z B y E x /c − B z B y 0 0 F µ ν = F µ ν =         E y /c B z − B x E y /c B z − B x 0 0     E z /c − B y B x 0 E z /c − B y B x 0 5 6 1 ¡

25/08/2015 ¡ Magnetism is fully quantum mechanical S = 1 2 σ Louis ¡Néel ¡ (1904-­‑2000) ¡ Magnetism is fully relativistic E = � ⇥ ⇤ A ⇤ ⇥ t � ⇤ B = ⇤ ⇤ ⇤ ⇥ ⇤ ⇤ � A   − E x /c − E y /c − E z /c 0 E x /c − B z B y 0 F µ ν =     E y /c B z 0 − B x   E z /c − B y B x 0 7 8 Energy terms: ↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓ � 2 π 2 ↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑ • Kinetic energy eV L 2 = 2 m ↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓ antiferromagnet ↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑ e 2 ↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓ • Coulomb energy eV 4 ⇥� 0 L = ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ • Size of atom given by balance of these two terms ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ ferromagnet ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ • Spin-orbit ~ meV • Magnetocrystalline anisotropy ~ µ eV ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ 9 10 11 12 2 ¡

25/08/2015 ¡ Why ¡do ¡you ¡get ¡H 2 ¡and ¡not ¡He 2 ? ¡ Eigenfunc<ons: ¡ ¡ ¡ σ ¡= ¡(| ψ A > ¡+ ¡| ψ B >)/√2 ¡ ¡ ¡(Symmetric, ¡bonding) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ σ * ¡= ¡(| ψ A > ¡-­‑ ¡| ψ B >)/√2 ¡ ¡ ¡(An<symmetric, ¡an<bonding) ¡ 13 14 Two-electron model 15 Two-electron model Bethe-Slater curve 3 ¡

25/08/2015 ¡ Consider 2 electrons: their spins can combine to form either an antisymmetric • Interaction between pair of spins motivates the singlet state χ S ( S = 0) or a symmetric triplet state χ T ( S = 1). The wave general form of the Heisenberg model: function, which is a product of spatial and spin terms, must be antisymmetric overall. Hence: Ψ S = [ ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) + ψ 1 ( r 2 ) ψ 2 ( r 1 )] χ S H = − � ij J ij S i · S j = [ ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) − ψ 1 ( r 2 ) ψ 2 ( r 1 )] χ T Ψ T The energies of the two possible states are � S ˆ E S = Ψ ∗ H Ψ S d r 1 d r 2 • The quantity gives the exchange energy J ij between two spins. Be very careful on the factor � T ˆ E T = Ψ ∗ H Ψ T d r 1 d r 2 of two between different conventions of the definition of J . so that the di ff erence between the two energies is � 2 ( r 2 ) ˆ E S − E T = 4 ψ ∗ 1 ( r 1 ) ψ ∗ H ψ 1 ( r 2 ) ψ 2 ( r 1 ) d r 1 d r 2 . The energy is then E = 1 4 ( E S + 3 E T ) − ( E S − E T ) S 1 · S 2 . The spin-dependent term can be written H spin = − J S 1 · S 2 . 19 20 • Interaction between pair of spins motivates the general form of the Heisenberg model: H = − � ij J ij S i · S j • Direct exchange : important in many metals such as Fe, Co and Ni • Indirect exchange : mediated through the conduction electrons (RKKY) • Superexchange : exchange interaction mediated by oxygen. This leads to a very long exchange path. Important in many magnetic oxides, e.g. MnO, La 2 CuO 4 . 21 22 Magnetism and metals Outline ¡ Exchange 1. Direct exchange 2. Indirect exchange 3. Superexchange 23 24 4 ¡

25/08/2015 ¡ 25 26 27 28 29 5 ¡

25/08/2015 ¡ 31 32 Spin-­‑density ¡wave ¡ 1D ¡electron ¡gas ¡unstable ¡to ¡SDW ¡forma<on ¡ 33 34 TMTSF ¡salts TMTSF ¡salts Very ¡rich ¡ phase ¡diagram Stacks ¡of ¡TMTSF ¡molecules ¡ ⇒ ¡ ¡1D ¡chains ¡ 35 36 6 ¡

25/08/2015 ¡ 1 d 3 q χ q e i q · r = 2 k F χ p � χ ( r ) = F (2 k F r ) (2 π ) 3 π F ( x ) = − x cos x + sin x x 4 37 38 GMR = giant magnetoresistance (a) S. ¡S. ¡P. ¡Parkin ¡and ¡D. ¡Mauri, ¡Phys. ¡Rev. ¡B ¡ 44, ¡ 7131 ¡(1991) ¡ 39 40 GMR = giant magnetoresistance (b) 41 42 7 ¡

25/08/2015 ¡ • Interaction between pair of spins motivates the Outline ¡ general form of the Heisenberg model: H = − � ij J ij S i · S j Exchange 1. Direct exchange • Direct exchange : important in many metals such as Fe, Co and Ni • Indirect exchange : mediated through the 2. Indirect exchange conduction electrons (RKKY) • Superexchange : exchange interaction mediated 3. Superexchange by oxygen. This leads to a very long exchange path. Important in many magnetic oxides, e.g. MnO, La 2 CuO 4 . 43 44 Superexchange Toy model for superexchange • Case I: AF ordering • Case II: F ordering • KE advantage for AF ordering 45 46 Toy model for superexchange Toy model for superexchange J ≈ 2 t 2 U 47 48 8 ¡

25/08/2015 ¡ Toy model for superexchange J ≈ 2 t 2 U K. A. Müller J. G. Bednorz 49 In the next lecture: • magnetic order • frustration and triangles 52 9 ¡