Examining the Impact of Prandtl Number and Heat Transport Models - PowerPoint PPT Presentation

Examining ¡the ¡Impact ¡of ¡Prandtl ¡ Number ¡and ¡Heat ¡Transport ¡Models ¡ on ¡Convec>ve ¡Amplitudes Bridget ¡O’Mara, ¡Mark ¡Miesch, ¡Kyle ¡Augustson, ¡Nicholas ¡Featherstone ¡ Regis ¡University, ¡3333 ¡Regis ¡Blvd. ¡Denver, ¡CO ¡ HAO, ¡Boulder, ¡CO ¡

¡ Some ¡Defini>ons • ConvecCon ¡describes ¡ the ¡transport ¡of ¡heat ¡ by ¡the ¡moCon ¡of ¡a ¡ fluid. ¡ • ConvecCve ¡Amplitude ¡ ¡ refers ¡to ¡the ¡root ¡mean ¡ ¡ squared ¡velocity ¡( ​𝑤↓𝑠𝑛𝑡 ) ¡ of ¡convecCon ¡ Recall: ¡ ¡ • KineCc ¡Energy ¡(KE) ¡ ∝ ¡ ​𝑤↓𝑠𝑛𝑡↑ 2 ¡ hIp://www.kidsgeo.com/geography-­‑for-­‑kids/0064-­‑convecCon.php ¡ ¡

Why ¡Study ¡it? ¡ • ConvecCon: ¡IT’S ¡EVERYWHERE!!! ¡ Cold! ¡ • The ¡Rayleigh ¡number ¡ describes ¡heat ¡transfer ¡ between ¡a ¡hot ¡and ¡cold ¡ Hot! ¡ plate ¡ ¡ hIp://www.mis.mpg.de/applan/research/rayleigh.html ¡ ¡ ​𝑆↓𝑏 = ​𝛽 Δ 𝑈𝑕​𝐸↑ 3 /​𝑄↓𝑠 ​𝜆↑ 2 ¡

Other ¡reasons • MagneCc ¡Field ¡ GeneraCon ¡ • Coronal ¡Mass ¡EjecCons ¡ • Solar ¡Flares ¡

Insert ¡Movie hIp://sdo.gsfc.nasa.gov/gallery/firstlight/ ¡ ¡

Wha What ¡is ¡the ¡ t ¡is ¡the ¡Pr Prandtl andtl ¡ ¡Numb mber? • RaCo ¡of ¡the ¡viscous ¡diffusivity ¡to ¡the ¡thermal ¡diffusivity, ¡where: ¡ ¡ • 𝜉 = 𝑤𝑗𝑡𝑑𝑝𝑣𝑡 ¡ 𝑒𝑗𝑔𝑔𝑣𝑡𝑗𝑤𝑗𝑢𝑧 • 𝑙 = 𝑢ℎ𝑓𝑠𝑛𝑏𝑚 ¡ 𝑒𝑗𝑔𝑔𝑣𝑡𝑗𝑤𝑗𝑢𝑧 ¡ ¡ ​𝑆↓𝑏 = ​𝛽 Δ 𝑈𝑕​𝐸↑ 3 /​𝑄↓𝑠 ​𝜆↑ 2 ¡ So ¡(mathemaCcally) ¡ ​𝑄↓𝑠 = ​𝜉/𝜆 ¡ Which ¡is ¡inversely ¡proporConal ¡to ¡the ¡Rayleigh ¡number ¡ ¡

• Typically, ¡we ¡expect ¡to ¡ see ¡an ¡increasing ¡KE ¡with ¡ an ¡increasing ¡Rayleigh ¡ number ¡and ¡increasing ¡ ​ 1 / 𝜆 ¡ ¡

2 ¡parts ¡to ¡Convec>on: • Small ¡scale ¡surface ¡ convecCon ¡ • Large ¡scale ¡deep ¡ convecCon ¡ • Scales ¡too ¡far ¡apart ¡for ¡ any ¡computer ¡to ¡ replicate ¡ ¡

hIp://kepler.nasa.gov/news/nasakeplernews/index.cfm?FuseAcCon=ShowNews&NewsID=138 ¡

Th The ¡ e ¡Na Navi vier er ¡S ¡Stok okes ¡E es ¡Equa> a>on ons ¡u s ¡under ¡an er ¡an ¡ ¡ anelas>c ¡c anelas>c ¡con onstrain aint • The ¡Navier-­‑Stokes ¡equaCons ¡ Based ¡on ¡the ¡conservaCon ¡equaCons: ¡ describe ¡the ¡relaConship ¡ • ConservaCon ¡of ¡Mass ¡ among ¡velocity, ¡pressure, ¡ • ConservaCon ¡of ¡Momentum ¡ temperature, ¡and ¡density ¡ • ConservaCon ¡of ¡Energy ¡ within ¡a ¡moving ¡fluid ¡(i.e, ¡ convecCon) ¡ • AnelasCc ¡constraint: ¡ ¡ 𝛼 ∙ (​𝜍 ​𝑤 ) =0 ¡

Fluxes ¡in ¡the ¡Sun • Heat ¡transport ¡can ¡be ¡ described ¡with ¡the ¡ fluxes: ¡ • RadiaCve ¡ ¡ • Enthalpy ¡ ¡& ¡KineCc ¡ Energy ¡ ¡ ¡ • ConducCve ¡ The ¡sum ¡of ¡these ¡fluxes ¡adds ¡ to ¡constant: ¡ ¡ ​𝑀↓ ⊙ / 4 𝜌​𝑠↑ 2 ¡ (𝑝𝑠)​ ¡ 𝐺↓ ⊙ ¡ ​𝑀↓ ⊙ = ¡Luminosity ¡of ¡the ¡Sun ¡ ¡ hIp://www.astronomy.ohio-­‑state.edu/~pogge/TeachRes/Ast162/Stars/index.html ¡ ¡

Fluxes ¡in ¡the ¡Sun ConservaCon ¡of ¡Energy: ¡ Recall: ¡ ¡ ​𝐺↓𝑑𝑝𝑜𝑒 ¡represents ¡ ¡small ¡scale ¡convecCon ¡ • ​𝜍 ​𝑈 ​𝜖𝑇/𝜖𝑢 =− 𝛼 ∙ (​𝐺↓𝑠𝑏𝑒 + ​𝐺↓𝑓 + ​𝐺↓𝑙 + ​𝐺↓𝑑𝑝𝑜𝑒 ) ¡ Problem: ¡ ​𝐺↓𝑑𝑝𝑜𝑒 ∝− 𝜆​𝑒𝑇/𝑒𝑠 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ � ¡As ¡ 𝜆 ¡decreases, ¡ ​𝑤↓𝑠𝑛𝑡 ¡ ¡increases, ¡ ¡and ¡no ¡ ¡ longer ¡matches ¡observaCons ¡of ¡the ¡sun ¡( ​𝜆↓𝑡𝑣𝑜 ~ ​ 10 ↑ 7 , ¡ ​𝜆↓𝑛𝑝𝑒𝑓𝑚 ~ ​ 10 ↑ 12 ) ¡ ¡

For ¡Example…

Also… Conclusion: ¡We ¡might ¡need ¡a ¡new ¡model ¡to ¡replace ¡ ​ 𝐺↓𝑑𝑝𝑜𝑒 ¡

New ¡model • We ¡add ¡a ¡new ¡flux, ¡the ¡granulaCon ¡ flux, ¡to ¡ ​𝐺↓𝑑𝑝𝑜𝑒 ¡ ​𝐺↓𝑕 = ​ ¡ 𝐺↓ ⊙ ( 0.5+0.5 ​ tanh ⁠ 𝑦 ) ¡ • Where ¡ 𝑦 = ¡ ​𝑠 − ​𝑠↓𝑕 /​𝑒↓𝑕 ¡ � (​𝑠↓𝑕 ¡ 𝑏𝑜𝑒 ¡ ​𝑒↓𝑕 ¡ 𝑏𝑠𝑓 ¡ 𝑑𝑝𝑜𝑡𝑢𝑏𝑜𝑢𝑡) ¡ • 0.5+0.5 ​ tanh ⁠ 𝑦 ¡saCsfies ¡the ¡boundary ¡ condiCons: ¡ ​ lim ┬𝑦 →0 ⁠ ​𝐺↓𝑕 =0 ¡and ¡ ​ lim ┬𝑦 →∞ ⁠ ​𝐺↓𝑕 = ​ ¡ 𝐺↓ ⊙ ¡ • Advantage: ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡ 𝑗𝑡 ¡ 𝑜𝑝𝑢 ¡ 𝑞𝑠𝑝𝑞𝑝𝑠𝑢𝑗𝑝𝑜𝑏𝑚 ¡ 𝑢𝑝 ¡− 𝜆​𝑒𝑇/𝑒𝑠 ¡ so ¡we ¡can ¡lower ¡ 𝜆 ¡without ¡raising ¡the ¡ velocity ¡

Comp mparing ¡ ¡the ¡ ¡new ¡ ¡vs. ¡ ¡the ¡ ¡old • KE ¡vs ¡Cme ¡ • Flux ¡balance ¡ ¡ • Power ¡spectra ¡ • ConvecCon ¡structure ¡ ¡ • ​𝑤↓𝑠𝑛𝑡 ¡ ¡vs. ¡ ¡ ​ 1 /𝜆 ¡ ¡

KE ¡ ¡vs. ¡ ¡Time me ¡ ¡ • Without ¡ ​ • With ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡ 𝐺↓𝑕 ¡

Fl Flux ¡ ¡Balances • Without ¡ ​ • With ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡ 𝐺↓𝑕 ¡ Note: ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡has ¡been ¡added ¡to ¡ ​𝐺↓𝑠𝑏𝑒 ¡

Fl Flux ¡ ¡Balances • Without ¡ ​ • With ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡ 𝐺↓𝑕 ¡

Fl Flux ¡ ¡Balances • Without ¡ ​ • With ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡ 𝐺↓𝑕 ¡

Po Power ¡ ¡ Spe Spectr tra • Without ¡ ​ • With ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡ 𝐺↓𝑕 ¡ 𝑋𝑏𝑤𝑓 ¡ 𝑜𝑣𝑛𝑐𝑓𝑠 = ¡ ​ 2 𝜌/𝑀 , ¡Where ¡L ¡is ¡the ¡length ¡of ¡an ¡eddy ¡

hIps://www.youtube.com/watch?v=W_Scoj4HqCQ ¡ ¡

Con Convec> ec>on on ¡ ¡ Struc Structur ture • Without ¡ ​ 𝐺↓𝑕 ¡ • With ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡ • Colored ¡bars ¡show ¡ ​𝑤↓𝑠𝑛𝑡 ¡value ¡ ( ​𝑑𝑛/𝑡 ) ¡

Con Convec> ec>on on ¡ ¡ Struc Structur ture • Without ¡ ​ 𝐺↓𝑕 ¡ • With ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡

Con Convec> ec>on on ¡ ¡ Struc Structur ture • Without ¡ ​ 𝐺↓𝑕 ¡ • With ¡ ​𝐺↓𝑕 ¡

Kine>c ¡Energy ¡vs. ¡1/kappa • Recall: ¡ ​𝑆↓𝑏 ∝ 𝐿𝐹 ¡∝ ¡ ​ 1 /𝜆 ¡ ¡

Results: • Opposite ¡from ¡ expected ¡ Why? ¡

Prandtl ¡Number ¡Effect ¡ Tests ¡ • Recall ¡ ​𝑄↓𝑠 = ​𝜉/𝜆 ¡ ¡ • Ran ¡tests ¡varying ¡ 𝜉 ¡and ¡ 𝜆 ¡ to ¡observe ¡the ¡Prandtl ¡ number ¡effect ¡on ¡ convecCve ¡amplitude ¡ ¡ ¡ ¡

• Models ¡correspond ¡when ¡Prandtl ¡ ¡ number ¡is ¡constant ¡

• We ¡can ¡plot ¡against ¡ the ¡ ​𝑤↓𝑠𝑛𝑡 ¡ (convecCve ¡ amplitude) ¡instead ¡of ¡ KE ¡to ¡get ¡a ¡beIer ¡ look ¡at ¡the ¡Prandtl ¡ Number ¡Effect ¡ • The ¡convecCve ¡ amplitude ¡(i.e, ¡ ​𝑤↓𝑠𝑛𝑡 ) ¡ decreases ¡with ¡ increasing ¡Prandtl ¡ number ¡

Entropies

Summary • The ¡structure ¡and ¡amplitude ¡of ¡deep ¡convecCon ¡is ¡similar ¡for ¡both ¡ models ¡of ¡surface ¡convecCon ¡considered ¡(conducCon ¡and ¡fixed-­‑flux) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑ ¡Suggests ¡that ¡deep ¡convecCon ¡is ¡not ¡very ¡sensiCve ¡to ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡details ¡of ¡the ¡surface ¡convecCon ¡ • The ¡Prandtl ¡number ¡makes ¡a ¡big ¡difference ¡on ¡the ¡convecCve ¡ amplitude! ¡ ¡ ¡ ¡-­‑ ¡As ¡kappa ¡is ¡decreased, ¡holding ¡Pr ¡constant, ¡vrms ¡increases ¡ ¡ ¡ ¡-­‑ ¡As ¡kappa ¡is ¡decreased, ¡holding ¡nu ¡constant ¡(increasing ¡Pr), ¡vrms ¡ ¡ ¡ ¡decreases! ¡(surprise!) ¡ ¡-­‑ ¡The ¡second ¡situaCon ¡(increasing ¡Pr) ¡is ¡very ¡promising ¡because ¡ ¡ ¡ ¡ ¡vrms ¡in ¡current ¡convecCon ¡simulaCons ¡might ¡be ¡too ¡big ¡and ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡real ¡kappa ¡of ¡the ¡Sun ¡is ¡very ¡small ¡ ¡