[PPT] - ePlace: Electrosta-cs Based Placement Using Nesterovs Method PowerPoint Presentation

SLIDE 1

ePlace: ¡Electrosta-cs ¡Based ¡Placement ¡ Using ¡Nesterov’s ¡Method ¡

¡

1Jingwei ¡Lu, ¡2Pengwen ¡Chen, ¡3Chin-‑Chih ¡Chang, ¡3Lu ¡Sha, ¡ ¡ 3Dennis ¡J.-‑H. ¡Huang, ¡3Chin-‑Chi ¡Teng, ¡1Chung-‑Kuan ¡Cheng ¡

1 ¡

SLIDE 2

Outline ¡

Introduc-on ¡
Density ¡Func-on ¡– ¡electrosta)c ¡system ¡model ¡
Numerical ¡Solu-on ¡– ¡spectral ¡methods ¡
Nonlinear ¡Op-miza-on ¡– ¡Nesterov’s ¡method ¡
ePlace ¡Integra-on ¡– ¡a ¡flat ¡nonlinear ¡algorithm ¡
Experimental ¡Results ¡
Conclusion ¡

2 ¡

core ¡contribu)ons ¡

SLIDE 3

Placement ¡– ¡An ¡NP-‑Hard ¡Problem ¡

3 ¡

shortest ¡ ¡ connect ¡ even ¡ density ¡

from ¡[Kahng10] ¡

SLIDE 4

Density ¡Func-on ¡

4 ¡

Cell ¡Area ¡(Ai) ¡ Charge ¡Quan)ty ¡(qi) ¡ Cell ¡Instance ¡

Electric Particles

+

Placement ¡Instance ¡ Electrosta)c ¡System ¡

Even ¡Density ¡Distr. ¡

Min. ¡Poten)al ¡Energy ¡

Cell ¡Coor ¡& ¡Dim. ¡ Charge ¡Coor ¡& ¡Dim. ¡

f(v) ¡= ¡W(v)+λN(v) ¡

N(v) ¡= ¡Σqiψi ¡ ¡

SLIDE 5

5 ¡

charge ¡density ¡distr. ¡ ISPD05 ¡adaptec1, ¡ 128x128 ¡grid ¡ electric ¡poten)al ¡distr. ¡ cell ¡& ¡macro ¡distr. ¡ electric ¡field ¡distr. ¡

SLIDE 6

: ¡the ¡outer ¡norm ¡vector ¡

Poisson’s ¡Equa-on ¡

6 ¡

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ = = ∂ ∈ = ∇ ⋅ ∈ − = ∇ ⋅ ∇

∫∫ ∫∫

R y x y x y x R y x y x R y x y x y x , , , , , n ˆ , , , ψ ρ ψ ρ ψ

sum ¡of ¡charge ¡=> ¡zero ¡ ρ(x,y): ¡density ¡distr. ¡ ψ(x,y): ¡poten)al ¡distr. ¡ n ˆ Neumann ¡boundary ¡condi)on ¡ sum ¡of ¡poten)al ¡=> ¡zero ¡ even ¡density ¡distr. ¡ unique ¡solu)on ¡

SLIDE 7

Numerical ¡Solu-on ¡

7 ¡

Density ¡Coefs ¡ Density ¡Expr ¡

( ) ( ) ( )

∑∑

− − = − − =

+ =

1 1 2 2 ,

cos cos ,

n n u n n v v u v u v u

y w x w w w a y x ψ

Electric ¡ Poten)al ¡ Electric ¡Field ¡

( ) ( ) ( )

∑ ∑

− − = − − =

=

1 1 ,

cos cos , 2 1

n n u n n v v u v u

y w x w y x n a ρ

( ) ( ) ( ) ( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + =

∑∑ ∑∑

u v v u v u v v u y u v v u v u u v u x

y w x w w w w a E y w x w w w w a E sin cos cos sin

2 2 , 2 2 ,

( ) ( ) ( )

∑ ∑

− − = − − =

=

1 1 ,

cos cos ,

n n u n n v v u v u

y w x w a y x ρ

SLIDE 8

Density ¡Func-on ¡Analysis ¡

Global ¡smoothness ¡

– Shortest ¡path: ¡no ¡fixed-‑block ¡detours ¡

Generalized ¡solu-on ¡

– Same ¡treatment ¡for ¡std-‑cells, ¡macros ¡& ¡blockages ¡ ¡ – No ¡special ¡smoothing ¡or ¡physical ¡perturba-on ¡

Determinis-c ¡

– Simula-on ¡of ¡electrosta-c ¡system: ¡guaranteed ¡ convergence ¡

Complexity: ¡O(nlogn) ¡

– FFT ¡property: ¡n ¡is ¡total ¡# ¡movable ¡objects ¡

8 ¡

SLIDE 9

Nesterov’s ¡Method ¡[Nesterov83] ¡

9 ¡

steplength ¡ requirement ¡

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∇ ≥ ∇ − − ∇

2

2 1 max

k k k k k k k

f f f f α α α v

k k k k

f ∇ − = α v u

solu)on ¡& ¡ param ¡update ¡ ¡

( )( )

1 1 /

1

+ −

− − + =

k k k k k k

a a u u u v

( ) 2

/ 1 4 1

2 1

+ + =

+ k k

a a

convex ¡func)on ¡f(v) ¡ Lipschitz ¡con)nuous ¡ gradient ¡∇f(v) ¡ O(1/k2) ¡convergence ¡rate, ¡k: ¡# ¡itera)ons ¡

SLIDE 10

are ¡known ¡ ¡

Lipschitz ¡Constant ¡Predic-on ¡

10 ¡

( ) ( )

1 1 /

~

− −

− ∇ − ∇ =

k k k k f k

f f L v v v v

( ) ( )

1 1

~ 1

− −

∇ − ∇ − = =

k k k k f k

f f L

k

v v v v α

steplength ¡ predic)on ¡

∇f vk

( ), ∇f vk−1 ( )

vk, vk−1

∃L > 0, ∀ u & v ∈ E, ∇f u

( )− ∇f v ( ) ≤ L⋅ u − v

defini)on ¡

line ¡search? ¡

zero ¡run)me ¡overhead ¡

3.3x ¡speedup ¡

SLIDE 11

steplength ¡overes)mate ¡? ¡

Steplength ¡Backtracking ¡

11 ¡

( ) ( )

1 1 /

ˆ

− −

∇ − ∇ − =

k k k k k

f f v v v v α

temp. ¡steplength ¡
temp. ¡solu)on ¡

( )

k k k k

f v v v ∇ ⋅ − =

+

α ˆ ˆ

1

ref. ¡steplength ¡

( ) ( )

k k k k k

f f v v v v ∇ − ∇ − = ʹ″

+ + 1 1

ˆ / ˆ ˆ α

final ¡solu)on ¡

if ˆ αk > ˆ! αk

( )

ˆ αk = ˆ! αk

.w.

αk = ˆ! αk

( )

k k k k

f v v v ∇ ⋅ − =

+

α

1

average ¡# ¡backtracks: ¡1.04 ¡

SLIDE 12

Std-‑Cell ¡Placement: ¡ADAPTEC1 ¡of ¡ISPD05 ¡

12 ¡

fillers ¡ std-‑cells ¡ fixed ¡macros ¡

SLIDE 13

Extension: ¡Mixed-‑Size ¡Placement ¡

13 ¡

Lipschitz Prediction Hessian Pre- conditioning W’, D’ Gradient Computation Steplength Backtracking xlo Converge? (τ < 10%) no inst. Fix Macros xcDP Random Filler Insertion Remove Filler, Fix Std-Cells xmLG xcGP Macro Legalization (mLG) Initial Placement (mIP) W’pre, D’pre

α

else Nesterov’s Optimizer pass Anneal Macro Legalization Filler-Only Placement

xmGP

Std-Cell & Filler Co-Placement Detail Placement (cDP) xmIP xfill

pt. xfill

xmLG xm Std-Cell Global Placemnet (cGP) Mixed-Size Global Placement (mGP)

SLIDE 14

Nonlinear ¡Precondi-oning ¡

14 ¡

( )

T n n f

q E q E H

− −

+ + ≈ λ λ , ,

1 1 1

…

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =

2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

... ...

n n n n n n f

x f x f x f x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x f H …

…

…

…

2 2 2 2 2 2 i i i

x N x W x f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ λ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≈ ∂ ∂ = ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ = ∂ ∂

∑

∈ i i i i i i E j i j i

q x q x N E x W x W

i

2 2 2 2 2 2 2 2

ψ

eigenvector ¡clustering ¡ zero ¡run)me ¡overhead ¡

i i i

q E x f λ + ≈ ∂ ∂

2 2

/

~20% ¡shorter ¡HPWL ¡

SLIDE 15

Mixed-‑Size ¡Placement: ¡ADAPTEC1 ¡of ¡MMS ¡

15 ¡

fillers ¡ std-‑cells ¡ movable ¡macros ¡

SLIDE 16

Experiment ¡Setup ¡

Intel ¡i7 ¡920 ¡2.67GHz ¡CPU ¡& ¡12GB ¡RAM. ¡
ISPD ¡2005 ¡[Nam05] ¡& ¡2006 ¡[Nam06], ¡MMS ¡[Yan09] ¡benchmarks ¡

– Up ¡to ¡2.5M ¡std-‑cells ¡& ¡3.7K ¡macros, ¡different ¡target ¡densi-es ¡

16 ¡

min-‑cut nonlinear FastPlace3.0 ¡

[Viswanathan07b]

ComPLx ¡[Kim12b] Aplace3 ¡[Kahng05] RQL ¡[Viswanathan07a] MAPLE ¡[Kim12a] NTUplace3 ¡[Hsu12] mPL6 ¡[Chan06] FFTPL ¡[Lu13] constructive Capo10.5 ¡

[Roy06]

FastPlace3.0 ¡

[Viswanathan07b]

ComPLx ¡[Kim12] POLAR ¡[Lin13] NTUplace3 ¡[Hsu12] mixed-‑size ¡ placers

ne-‑stage

mPL6 ¡[Chan06] FLOP ¡[Yan09] NTUplace3-‑NR ¡[Hsu12] quadratic std-‑cell ¡ placers POLAR ¡[Lin13] Capo10.5 ¡

[Roy06]

BonnPlace ¡

[Struzyna13]

SLIDE 17

8.94 0.53 0.91 3.40 0.52 3.05 0.52 9.14 1.40 3.78 1.00

0.00 5.00 10.00

CPU ¡(x)

21.14% 10.01% 5.40% 3.21% 4.50% 2.83% 3.08% 14.28% 12.05% 8.33% 0.00%

0% 10% 20%

Wirelength ¡(%)

ISPD ¡2005 ¡Results ¡

17 ¡

* ¡cited ¡ ¡ results ¡

SLIDE 18

8.48 0.74 N/A N/A 0.69 0.69 13.08 2.08 4.59 1.00

0.00 10.00 20.00

CPU ¡(x)

43.73% 16.25% 7.99% 4.59% 4.86% 7.16% 18.38% 7.74% 10.11% 0.00%

0.00% 20.00% 40.00% 60.00%

Wirelength ¡(%)

ISPD ¡2006 ¡Results ¡

18 ¡

* ¡cited ¡ ¡ results ¡

SLIDE 19

14.69 2.02 2.14 0.37 1.15 0.70 6.34 0.81 1.05 1.00

5 10 15 20

CPU ¡(x)

MMS ¡Results ¡

19 ¡

64.42% 18.92% 14.31% 18.43% 11.03% 30.69% 16.13% 7.40% 7.13% 0.00%

0% 20% 40% 60% 80%

Wirelength ¡(%)

* ¡cited ¡ ¡ results ¡

SLIDE 20

Conclusion ¡

ePlace: ¡a ¡novel ¡flat ¡analy-c ¡nonlinear ¡placement ¡
Density ¡func-on: ¡electrosta-c ¡analogy ¡

– Poisson’s ¡equa-on, ¡& ¡Neumann ¡condi-on ¡ – Global ¡smoothness: ¡no ¡detour ¡around ¡blockages ¡

Numerical ¡solu-on: ¡spectral ¡methods, ¡FFT ¡

– O(nlogn) ¡-me: ¡enable ¡flat ¡netlist ¡& ¡grid ¡

Nonlinear ¡op-miza-on: ¡Nesterov’s ¡method ¡

– Precondi-on: ¡same ¡handling ¡of ¡macros ¡& ¡std-‑cells ¡ – Lipschitz ¡predic-on ¡& ¡backtracking: ¡avoid ¡line ¡search ¡

Experiments ¡and ¡results ¡ ¡

– ISPD ¡2005, ¡ISPD ¡2006, ¡MMS ¡benchmark ¡suites ¡ – ≥3% ¡wirelength ¡improvement ¡& ¡comparable ¡run-me ¡

20 ¡

SLIDE 21

Q ¡& ¡A ¡

21 ¡

ePlace: ¡Electrosta-cs ¡Based ¡Placement ¡ Using ¡Nesterov’s ¡Method ¡

Outline ¡

core ¡contribu)ons ¡

Placement ¡– ¡An ¡NP-­‑Hard ¡Problem ¡

shortest ¡ ¡ connect ¡ even ¡ density ¡

Density ¡Func-on ¡

Cell ¡Area ¡(Ai) ¡ Charge ¡Quan)ty ¡(qi) ¡ Cell ¡Instance ¡

Electric Particles

Placement ¡Instance ¡ Electrosta)c ¡System ¡

Even ¡Density ¡Distr. ¡

Cell ¡Coor ¡& ¡Dim. ¡ Charge ¡Coor ¡& ¡Dim. ¡

f(v) ¡= ¡W(v)+λN(v) ¡

N(v) ¡= ¡Σqiψi ¡ ¡

charge ¡density ¡distr. ¡ ISPD05 ¡adaptec1, ¡ 128x128 ¡grid ¡ electric ¡poten)al ¡distr. ¡ cell ¡& ¡macro ¡distr. ¡ electric ¡field ¡distr. ¡

: ¡the ¡outer ¡norm ¡vector ¡

Poisson’s ¡Equa-on ¡

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ = = ∂ ∈ = ∇ ⋅ ∈ − = ∇ ⋅ ∇

∫∫ ∫∫

R y x y x y x R y x y x R y x y x y x , , , , , n ˆ , , , ψ ρ ψ ρ ψ

sum ¡of ¡charge ¡=> ¡zero ¡ ρ(x,y): ¡density ¡distr. ¡ ψ(x,y): ¡poten)al ¡distr. ¡ n ˆ Neumann ¡boundary ¡condi)on ¡ sum ¡of ¡poten)al ¡=> ¡zero ¡ even ¡density ¡distr. ¡ unique ¡solu)on ¡

Numerical ¡Solu-on ¡

Density ¡Coefs ¡ Density ¡Expr ¡

( ) ( ) ( )

∑∑

+ =

cos cos ,

y w x w w w a y x ψ

Electric ¡ Poten)al ¡ Electric ¡Field ¡

( ) ( ) ( )

∑ ∑

=

cos cos , 2 1

y w x w y x n a ρ

( ) ( ) ( ) ( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + =

∑∑ ∑∑

y w x w w w w a E y w x w w w w a E sin cos cos sin

( ) ( ) ( )

∑ ∑

=

cos cos ,

y w x w a y x ρ

Density ¡Func-on ¡Analysis ¡

– Shortest ¡path: ¡no ¡fixed-­‑block ¡detours ¡

– Same ¡treatment ¡for ¡std-­‑cells, ¡macros ¡& ¡blockages ¡ ¡ – No ¡special ¡smoothing ¡or ¡physical ¡perturba-on ¡

– Simula-on ¡of ¡electrosta-c ¡system: ¡guaranteed ¡ convergence ¡

– FFT ¡property: ¡n ¡is ¡total ¡# ¡movable ¡objects ¡

Nesterov’s ¡Method ¡[Nesterov83] ¡

steplength ¡ requirement ¡

( )

f ∇ − = α v u

solu)on ¡& ¡ param ¡update ¡ ¡

( )( )

1

− − + =

a a u u u v

( ) 2

/ 1 4 1

+ + =

a a

convex ¡func)on ¡f(v) ¡ Lipschitz ¡con)nuous ¡ gradient ¡∇f(v) ¡ O(1/k2) ¡convergence ¡rate, ¡k: ¡# ¡itera)ons ¡

are ¡known ¡ ¡

Lipschitz ¡Constant ¡Predic-on ¡

( ) ( )

~

− ∇ − ∇ =

f f L v v v v

( ) ( )

~ 1

∇ − ∇ − = =

f f L

v v v v α

steplength ¡ predic)on ¡

∇f vk

( ), ∇f vk−1 ( )

vk, vk−1

∃L > 0, ∀ u & v ∈ E, ∇f u

( )− ∇f v ( ) ≤ L⋅ u − v

defini)on ¡

Placement ¡– ¡An ¡NP-‑Hard ¡Problem ¡

– Shortest ¡path: ¡no ¡fixed-‑block ¡detours ¡

– Same ¡treatment ¡for ¡std-‑cells, ¡macros ¡& ¡blockages ¡ ¡ – No ¡special ¡smoothing ¡or ¡physical ¡perturba-on ¡

Std-‑Cell ¡Placement: ¡ADAPTEC1 ¡of ¡ISPD05 ¡

fillers ¡ std-‑cells ¡ fixed ¡macros ¡

Extension: ¡Mixed-‑Size ¡Placement ¡

Mixed-‑Size ¡Placement: ¡ADAPTEC1 ¡of ¡MMS ¡

fillers ¡ std-‑cells ¡ movable ¡macros ¡