6/26/13 ¡ Distributed optimization Mikael Johansson KTH – Stockholm - Sweden Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Aim of these lectures “To present some of the key techniques for distributed optimization in a coherent and comprehensible manner” Focus on understanding, not all the details – each lecture could be a full-semester course – you will have to work with the material yourself! Focus on fundamentals, not fads – many techniques date back to 60’s-80’s, … – but some are very recent, and research frontier is not far away Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 1 ¡
6/26/13 ¡ Why distributed optimization Optimization on a “Google scale” – information processing on huge data sets Coordination and control of large-scale systems – power and water distribution – vehicle coordination and planning – sensor, social, and data networks Theoretical foundation for communication protocol design – Internet congestion control – scheduling and power control in wireless systems Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Example: water distribution Coordinated control of water distribution in city of Barcelona (WIDE) Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 2 ¡
6/26/13 ¡ Example: multi-agent coordination Cooperate to find jointly optimal controls and rendez-vous point minimize P i ∈ V f i ( θ ) subject to θ ∈ Θ where t =0 ( x t − θ ) T Q ( x t − θ ) + u T P T f i ( θ ) = min t Ru t s.t. x t +1 = Ax t + Bu t , t = 0 , . . . , T − 1 Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Example: communication protocol design Understand how TCP/IP shares network resources between users maximize P i u i ( x i ) subject to P i ∈ P ( l ) x i ≤ c l , l ∈ L Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 3 ¡
6/26/13 ¡ Lecture overview Lecture 1: first-order methods for convex optimization Lecture 2: multi-agent optimization Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Part I: Convex optimization using first-order methods Aim: to understand – properties and analysis techniques for basic gradient method – the interplay between problem structure and convergence rate guarantees – how we can deal with non-smoothness, noise and constraints Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 4 ¡
6/26/13 ¡ Rationale Convex optimization: – minimize convex function subject to convex constraints – local minima global, strong and useful theory First-order methods: – only use function and gradient evaluations (i.e. no Hessians) – easy to analyze, implement and distribute, yet competitive Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Convex functions and convex sets y f ( y ) f ( x ) x α x + (1 − α ) y ∈ X, α ∈ [0 , 1] α f ( x ) + (1 − α ) f ( y ) ≥ f ( α x + (1 − α ) y ) , α ∈ [0 , 1] Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 5 ¡
6/26/13 ¡ A ffi ne lower bounds from convexity f ( y ) f ( x ) f ( y ) � f ( x ) + hr f ( x ) , y � x i Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Strong convexity – quadratic lower bounds f ( y ) f ( x ) f ( y ) � f ( x ) + hr f ( x ) , y � x i + c 2 k y � x k 2 Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 6 ¡
6/26/13 ¡ Lipschitz continuous gradient – upper bounds Lipschitz-continuous gradient: kr f ( x ) � r f ( y ) k L k x � y k f ( y ) f ( x ) Yields upper quadratic bound: f ( y ) f ( x ) + hr f ( x ) , y � x i + L 2 k y � x k 2 Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Strongly convex functions with Lipschitz gradient Bounded from above and below by quadratic functions Condition number impacts performance of first-order methods. κ = L/c Note: limited function class when required to hold globally. Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 7 ¡
6/26/13 ¡ The basic gradient method Basic gradient method x ( t + 1) = x ( t ) � α ( t ) r f ( x ( t )) A descent method (for small enough step-size ). α ( t ) Convergence proof. k x ( t + 1) � x ? k 2 2 = k x ( t ) � x ? k 2 2 � 2 α ( t ) hr f ( x ( t )) , x ( t ) � x ? i + α ( t ) 2 kr f ( x ( t )) k 2 2 k x ( t ) � x ? k 2 2 � 2 α ( t ) ( f ( x ( t )) � f ? ) + α ( t ) 2 kr f ( x ( t )) k 2 2 Where the inequality follows from convexity of f Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Gradient method convergence proof Applying recursively, we find T − 1 T − 1 X X k x ( T ) � x ? k 2 2 k x (0) � x ? k 2 α 2 ( t ) kr f ( x ( t )) k 2 2 � 2 α ( t )( f ( x ( t )) � f ? ) + 2 t =0 t =0 Since gradient method is descent, and norms are non-negative T − 1 T − 1 X α ( t ) k x (0) � x ? k 2 X α 2 ( t ) kr f ( x ( t )) k 2 2( f ( x ( T )) � f ? ) 2 + 2 t =0 t =0 Hence, with R 0 = k x (0) � x ? k 0 + P T − 1 f ( x ( T )) � f ? ) R 2 t =0 α 2 ( t ) kr f ( x ( t )) k 2 2 2 P T − 1 t =0 α ( t ) Further assumptions needed to guarantee convergence! Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 8 ¡
6/26/13 ¡ Gradient method discussion If we assume that f is Lipschitz, i.e. kr f ( x ( t )) k L f P T − 1 R 2 0 + L 2 t =0 α 2 ( t ) f f ( x ( T )) − f ? ) ≤ 2 P T − 1 t =0 α ( t ) Then, – For fixed step-size α ( t ) = α α L 2 T →∞ f ( x ( T )) ≤ f ? + f lim 2 – For diminishing stepsizes P ∞ t =0 α 2 ( t ) < ∞ , P ∞ t =0 α ( t ) = ∞ T →∞ f ( x ( T )) = f ? lim ( R 0 L f ) 2 / ε 2 – Accuracy can be obtained in steps ε Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ Example Smaller residual error for smaller stepsize, convergence for diminishing Hycon2 ¡PhD ¡School, ¡July ¡2013 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mikael ¡Johansson ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mikaelj@ee.kth.se ¡ ¡ ¡ 9 ¡
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