Die Mathematik des GPS Drei Segmente des GPS Koordinatensysteme - - PDF document

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MNU Bremerhaven — November 2005 — 1

Die Mathematik des GPS

richard.rascher-friesenhausen@hs-bremerhaven.de MNU Tagung Bremerhaven, November 2005

richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Das Programm

Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Drei Segmente des GPS Koordinatensysteme Notwendige Lineare Algebra Position ¨ uber Entfernungen Entfernungsmessung unter GPS Bancroft-Algorithmus Kleusberg-Algorithmus Fehler im GPS GPS und Relativit¨ atstheorie Dieser Vortrag will eine kurze Beschreibung des GPS liefern und insbesondere darauf eingehen, wo und welche Mathematik darin eine Rolle spielt. Haben uns viel vorgenommen. Mal sehn, wie weit wir kommen. . .

Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨

Uberblick.

Was ist GPS? Wer benutzt GPS? Wie funktioniert GPS? Geschichte und Fakten Was wir ansprechen werden und was nicht! Wie die ¨ Uberschrift schon sagt: ein sehr kurzer ¨ Uberblick.

Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Was ist GPS? richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Was ist GPS?

,GPS‘ ist ein Akronym und steht f¨ ur

Global Positioning System

Dabei handelt es sich um ein Satelliten Navigationssystem, welches einem weltweit und wetterunabh¨ angig erm¨

• glicht, seine genaue Position auf der Erde zu bestimmen.

Das GPS wurde von der amerikanischen Verteidigungsbeh¨

• rde (DoD) entwickelt und

wird von ihr betrieben (D.h., sie hat Kontrolle dar¨ uber).

Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Wer benutzt GPS? richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wer benutzt GPS?

Viele verschiedene Bereiche: ⊲ Milit¨ ar: Zurechtfinden auf fremden Terrain ⊲ Auto: Navigationssystem und Verkehrsf¨ uhrung ⊲ Maut: Abrechnung von Autobahnkilometern ⊲ Transport: exakte ¨ Uberwachung von Positionen ⊲ Landwirtschaft: optimierte Lenkung von M¨ ahmaschinen (USA) ⊲ Seefahrt: exakte k¨ ustennahe Navigation ⊲ Unterhaltung: ,Geo-Caching‘ ⊲ . . .

Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Wie funktioniert GPS? richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wie funktioniert GPS?

Ganz einfach und schnell gesagt funktioniert das GPS auf die folgende Art und Weise: Ein Empf¨ anger misst die Abst¨ ande zu Satelliten im Weltraum. Aufgrund der Abst¨ ande ist eine Umrechnung auf die Position des Empf¨ angers m¨

• glich:

Trilateration . Abst¨ ande werden ¨ uber Laufzeiten von Radiosignalen bestimmt. Ben¨

• tigt exakte Zeit-

messung und exakte Kenntnis der Satellitenpositionen. Das war die einfache Variante. Aber die technische und mathematische Umsetzung ben¨

• tigt dazu noch jede Menge Details.

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Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Geschichte und Fakten richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Geschichte und Fakten

⊲ DoD ist Entwickler und Betreiber des GPS. ⊲ GPS heisst offiziell NAVSTAR: Navigation Satellite Timing and Ranging. ⊲ erster GPS Satellit wurde 1978 gestartet. ⊲ die ersten 10 Satelliten (Block I) waren nur Entwicklungsmodelle. ⊲ das aktuelle System besteht aus Satelliten der 2. Generation (Block II). ⊲ zwischen 1989 und 1994 wurden 24 Satelliten (Block II) gestartet. ⊲ DoD erkl¨ arte 1995 das GPS f¨ ur vollst¨ andig operabel. ⊲ am 2. Mai 2000 wurde SA (selective availibility) ausgeschaltet. ⊲ die Kosten f¨ ur den Bau und Positionierung von 24 Satelliten betrugen 12 Milliarden Dollar. ⊲ in Russland gibt es GLONASS (Global Navigation Satellite System). ⊲ in Europa wird GALILEO gebaut (ab 2008 in Betrieb).

Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Was wir ansprechen werden und was nicht! richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Was wir ansprechen werden und was nicht!

Was wir ansprechen werden

• knappen ¨

Uberblick auf das System

• einfache Mathematik des GPS: Lineare Algebra, quadratische Gleichung, Dreiecks-

beziehungen

• . . .

Was wir nicht ansprechen werden

• Ausgleichsrechnung
• technische Aspekte
• Abstandmessung ¨

uber die Tr¨ ager-Frequenzen

• . . .und alles, was wirklich schwierig ist

Bemerkung: Unmengen von Informationen zum Thema GPS. Eine Google-Suche ,GPS‘ liefert 22.600.000 Treffer. Eingeschr¨ ankt auf deutsche Webseiten: 1.280.000 Treffer.

Drei Segmente des GPS richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Drei Segmente des GPS

Weltraumsegment Kontrollsegment Benutzersegment Das GPS besteht aus drei Segmenten oder Bausteinen:

• 1. dem ,Weltraumsegment‘, bestehend aus 24 Satelliten, die die Erde auf verschiede-

nen Bahnen umkreisen,

• 2. dem ,Kontrollsegment‘, bestehend aus 5 Stationen, die die Satelliten kontrollieren

und korrigieren, und

• 3. dem ,Benutzersegement‘, bestehend aus dem GPS-Empf¨

anger und den anschlies- senden Anwendungen. F¨ ur den Anwender ist nur das Benutzersegment von Interesse. F¨ ur das Funktionieren werden nat¨ urlich alle drei Bausteine ben¨

• tigt.

Drei Segmente des GPS richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Kontrollsegment

Benutzersegment Weltraumsegment

Signale fliessen zwischen ⊲ Weltraumsegment → Benutzersegment • ⊲ Weltraumsegment → Kontrollsegment • ⊲ Kontrollsegment → Weltraumsegment •

Drei Segmente des GPS Weltraumsegment richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Weltraumsegment

Das ,Weltraumsegment‘ besteht aus 24 Satelliten (21 aktiv und 3 zur Reserve), die die Erde in einer H¨

• he von 20182 km umkreisen. (26560 km vom Erdmittelpunkt aus.)

Jeweils 4 Satelliten kreisen auf einer von sechs Umlaufbahnen knapp 2 mal am Tag um die Erde (ein Orbit in 11h:58min). Diese Verteilung erm¨

• glicht es, dass stets eine gen¨

ugende Anzahl von Satelliten (min- destens 4) auf der ganzen Erde (ohne politische Grenzen) zu jeder Zeit sichtbar ist.

Drei Segmente des GPS Weltraumsegment richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Satelliten bewegen sich mit 3875 m/s, sind etwa 1660 kg schwer, und haben eine

Lebensdauer von 7.5 Jahren. Energieversorgung ¨ uber Solarkollektoren, f¨ ur den Notfall auch Batterien. Satelliten besitzen kleine D¨ usen zur Bahnkorrektur. Satelliten senden Signale auf zwei unterschiedlichen Radio-Frequenzen:

• 1. L1 mit 1575.42 MHz = 154 · 10.23 MHz
• 2. L2 mit 1227.60 MHz = 120 · 10.23 MHz

Diese Signale passieren Wolken, Glas und Plastik. Werden aber von Geb¨ auden oder Gebirgen abgeschirmt/abgelenkt. GPS funktioniert nicht in Geb¨ auden.

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Drei Segmente des GPS Kontrollsegment richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Kontrollsegment

Die Satelliten bewegen sich nicht auf geostation¨ aren Bahnen, damit jeder der Satelliten einmal am Tag eine der Kontrollstationen passiert. Davon gibt es insgesamt 5: eine Hauptstation und 4 unbemannte Stationen = ,Kontrollsegment‘.

• Hawaii (Pazifischer Ozean)
• Kwajalein (Pazifischer Ozean)
• Diego Garcia (Indischer Ozean)
• Ascension Island (Atlantischer Ozean)
• Colorado Springs, Falcon Air Base

Die Stationen erhalten st¨ andig Daten von den Satelliten, die in der Hauptstation aus- gewertet werden. Dort k¨

• nnen diese Daten dazu f¨

uhren, dass die Umlaufbahnen oder Uhren der Satelliten korrigiert werden.

Drei Segmente des GPS Benutzersegment richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Benutzersegment

Jeder, der GPS verwendet, geh¨

• rt zu dem ,Benutzersegment‘: beispielsweise Autofahrer,

Skipper, Piloten, Wanderer, J¨ ager, Milit¨ ar und viele mehr. Ein einzelner GPS Emf¨ anger ist nicht gr¨

• sser, als ein moderenes mobiles Telephon. Die

sich anschliessenden Anwendungen (Aufbereiten der Daten) k¨

• nnen zumeist deutlich

gr¨

• sser sein.

Koordinatensysteme richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Koordinatensysteme

L¨ ange, Breite, H¨

• he

WGS-84 Umrechnungen Man ben¨

• tigt ein gemeinsames Koordinatensystem, um Positionen zu kommunizieren.

Mathematik (Lineare Algebra) bevorzugt das ,Kartesische Koordinatensystem‘ x, y, z. Auf der Erde wird ein der Geometrie der Erdkugel angepasstes Koordinatensystem verwendet: mit ,L¨ angen‘ und ,Breiten‘ und ,H¨

• hen‘ λ, φ, h.

Alle Rechnungen f¨ ur GPS im kartesischen System. F¨ ur viele Anwendungen und f¨ ur das Zurechtfinden auf der Erde noch umrechnen. Das ist ein Thema f¨ ur sich! Hier nur ganz kurz.

Koordinatensysteme L¨ ange, Breite, H¨

• he

richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• L¨

ange, Breite, H¨

• he

Die ¨ ublichen Positionsbeschreibungen auf der Weltkugel sind L¨ ange λ, Breite φ und H¨

• he h.

Die Erdkugel wird l¨ angs (L¨ angengrade) und quer (Breitengrade) mit Kreisen ¨ uber- zogen. Man kommuniziert den L¨ angskreis und den Querkreis, die sich an der eigenen Position schneiden. F¨ ur die genaue Position kommt die aktu- elle H¨

• he ¨

uber/unter dem Meeresspiegel hinzu. Bemerkung: Die Erde ist eigentlich keine Kugel, sondern ein Ellipsoid mit grosser Halbachse a und kleiner Halbachse b. Diese werden lokal verschieden angegeben. Bemerkung: Die Erde ist eigentlich kein Ellipsoid, sondern eine Kartoffel oder ,Geoid‘.

Koordinatensysteme WGS-84 richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• WGS-84

,WGS-84‘, World Geodetic System, ist ein kartesisches System definiert ¨ uber

• Ursprung im Massenschwerpunkt der Erde
• z-Achse durch beide Pole
• x-Achse durch den Null-Meridian
• y-Achse orthogonal (Rechtssystem)

Dazu kommen noch die Halbachsen bzw. Abflachung des Ellipsoiden: a = 6378137 m , f = a − b a = 1 298.257223563 Wir werden alle weiteren Betrachtungen im x, y, z System des WGS-84 machen.

Koordinatensysteme Umrechnungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Umrechnungen

Nur der Vollst¨ andigkeit halber. . . Von (φ, λ, h) nach (x, y, z): x = (N + h) · cos φ cos λ y = (N + h) · cos φ sin λ z = ((1 − f)2N + h) · sin φ mit N = a

• 1 − f(2 − f) sin2 φ

Von (x, y, z) nach (φ, λ, h) nur iterativ (Start mit h = 0): φ = arctan

• z
• x2 + y2
• 1 − (2 − f)fN

N + h −1 , h =

• x2 + y2

cos φ − N und λ = arctan(y x)

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Notwendige Lineare Algebra richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Notwendige Lineare Algebra

Vektoren Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm Vektorprodukt im Raum Gegen¨ uberstellung Skalarprodukt, Vektorprodukt im Raum Nur knappe Wiederholung notwendiger Linearer Algebra. Nat¨ urlich nicht vollst¨ andig. Verwendete Nomenklatur:

• kleine griechische Buchstaben f¨

ur Skalare: α, β, γ, λ, η, . . .

• kleine lateinische Buchstaben f¨

ur Vektoren: s, v, w, p, . . .

• grosse lateinische Buchstaben f¨

ur Matrizen: A, B, M, . . . Was nicht immer gelingt. Prominente Ausnahmen sind die Koordinaten eines Vektors. Wenn immer der Vektor im Raum definiert ist, werden die Koordinaten mit x, y und z bezeichnet. Dar¨ uberhinaus werden die echten Entfernungen zwischen Punkten mit r bezeichnet. Alle Punkte/Positionen werden ebenfalls mit Grossbuchstaben bezeichnet.

Notwendige Lineare Algebra Vektoren richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Vektoren

Betrachten die Vektorr¨ aume R2, R3 und R4. v = ν1 ν2

• ∈ R2

, v =   ν1 ν2 ν3   ∈ R3 , v =     ν1 ν2 ν3 ν4     ∈ R4 Mit Vektoren kann man rechnen (hier f¨ ur den R3): Addition und Multiplikation mit Skalar. ∀v, w ∈ R3: v + w =   ν1 ν2 ν3   +   ω1 ω2 ω3   =   ν1 + ω1 ν2 + ω2 ν3 + ω3   ∈ R3 ∀α ∈ R ∀v ∈ R3: α · v = α ·   ν1 ν2 ν3   =   α · ν1 α · ν2 α · ν3   ∈ R3 Analog f¨ ur R2, R4, . . .

Notwendige Lineare Algebra Vektoren richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Bemerkung: Vektoren sind etwas anderes als Koordinaten eines Punktes. Ein Vektor

kann frei im Rn verschoben werden. Er gibt insbesondere eine Richtung an. Eine Koordinate ist fest gegeben. Der Vektor mit den Eintr¨ agen der Koordinate abgetragen an dem Ursprung des Koordinatensystems zeigt auf den Punkt.

x y P = (3, 2)T v v v

Notwendige Lineare Algebra Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm

Vektoren k¨

• nnen auch miteinander multipliziert werden.

Definition Eine Abbildung ·, ·: Rn×Rn → R heisst ,Skalarprodukt‘, wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

• 1. distributiv:

u + v, w = u, w + v, w ∀u, v, w ∈ Rn

• 2. kommutativ:

v, w = w, v ∀v, w ∈ Rn

• 3. homogen:

α · v, w = α · v, w ∀v, w ∈ Rn, ∀α ∈ R

• 4. positiv definit:

v, v > 0 ∀v ∈ Rn \ {o} Standardbeispiel dazu Definition Das ,euklidische Skalarprodukt‘ ist definiert ¨ uber v, w2 = vT · w = ν1 · ω1 + . . . + νn · ωn ∀v, w ∈ Rn Wir verwenden v, w2 im R3. M¨ ussten noch zeigen, dass v, w2 die Definition eines Skalarprodukts erf¨

• ullt. . .!

Notwendige Lineare Algebra Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wir m¨

ussen auch noch Abst¨ ande messen. Dazu Definition Die ,euklidische Norm‘ oder ,L¨ ange‘ eines Vektors ist definiert ¨ uber v2 =

• v, v2

∀v ∈ Rn. Eigentlich gibt es eine allgemeine Definition einer Norm (vergl. Skalarprodukt). Brau- chen wir aber hier nicht. Als ,Einheitsvektor‘ werden alle Vektoren mit der L¨ ange 1 bezeichnet. Geben eine Rich- tung an. Durch Normierung kann jeder von Null verschiedene Vektor zu einem Ein- heitsvektor gemacht werden: u = v v2 ∀v ∈ Rn \ {o} Mit dem euklidischen Skalarprodukt kann man Winkel messen. Lemma F¨ ur v, w ∈ Rn \ {o} gilt v, w2 = v2 · w2 · cos(∡(v, w))

• der

cos(∡(v, w)) = v, w2 v2 · w2

Notwendige Lineare Algebra Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Es gibt auch ,Skalarprodukte‘, die die (positive) Definitheit nicht erf¨

ullen, aber dennoch sinnvoll sein k¨

• nnen.

Ein Beispiel daf¨ ur ist das Lorentz-Produkt f¨ ur den R4. Definition Die Abbildung ·, ·L: R4 × R4 → R definiert ¨ uber v, wL = ν1 · ω1 + ν2 · ω2 + ν3 · ω3 − ν4 · ω4 ∀v, w ∈ R4 heisst ,Lorentz-Produkt‘. Bemerkung Vielleicht ist dem einen oder anderen die Lorentz-Transformation aus der Relativit¨ atstheorie her bekannt. Diese ist so angelegt, dass sie L¨ angen mit dem Lorentzprodukt misst. Bemerkung In der Linearen Algebra wird das Lorentz-Produkt auch kurz geschrieben zu v, wL = vT · M · w ∀v, w ∈ R4 mit der Matrix

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Notwendige Lineare Algebra Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• M =

    1 1 1 −1    

Hier kann man auch direkt ablesen, dass das Lorentz-Produkt nicht definit ist, denn M ist nicht positiv definit. Besitzt Eigenwert +1 und −1.

Notwendige Lineare Algebra Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Noch einige Fakten zum Lorentz-Produkt.

Lemma F¨ ur die Matrix M gilt MT = M , M−1 = M Lemma Das Lorentz-Produkt ist distributiv, kommutativ und homogen. Es ist nicht definit. D.h., man kann mit dem Lorentz-Produkt wie ¨ ublich rechnen. Nur keine L¨ angen messen. Lemma Es gilt Mv, MwL = v, wL ∀v, w ∈ R4

Notwendige Lineare Algebra Vektorprodukt im Raum richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Vektorprodukt im Raum

Speziell f¨ ur den R3 gibt es eine zweite M¨

• glichkeit, Vektoren miteinander zu Multipli-

zieren. Definition F¨ ur zwei Vektoren v, w ∈ R3 ist das ,Vektorprodukt‘ oder ,Kreuzprodukt‘ definert ¨ uber v × w =   ν1 ν2 ν3   ×   ω1 ω2 ω3   =   ν2ω3 − ν3ω2 ν3ω1 − ν1ω3 ν1ω2 − ν2ω1   ∈ R3 Bemerkung Die Berechnungsvorschrift ist leicht zu merken, wenn Determinanten bekannt sind

• x

ν1 ω1 y ν2 ω2 z ν3 ω3

• Notwendige Lineare Algebra

Vektorprodukt im Raum richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Einige Fakten zum Vektorprodukt.

Lemma F¨ ur das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:

• Antisymmetrie

v × w = −(w × v) ∀v, w ∈ R3

• Linearit¨

at (u+v)×w = u×w+v×w , (α·v)×w = α·(v×w) ∀u, v, w ∈ R3, α ∈ R

• Grassmann-Identit¨

at (doppeltes Kreuzprodukt) (u × v) × w = u, w2 · v − v, w2 · u ∀u, v, w ∈ R3 D.h., man kann mit dem Vektorprodukt rechnen. Und es hat was mit Winkeln zu tun. Lemma F¨ ur v, w ∈ R3 \ {o} gilt v × w2 = v2 · w2 · sin(∡(v, w))

• der

sin(∡(v, w)) = v × w2 v2 · w2

Notwendige Lineare Algebra Gegen¨ uberstellung Skalarprodukt, Vektorprodukt im Raum richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Gegen¨

uberstellung Skalarprodukt, Vektorprodukt im Raum

Skalarprodukt Vektorprodukt Definition v, w2 = ν1ω1 + ν2ω2 + ν3ω3 ∈ R v × w =   ν2ω3 − ν3ω2 ν3ω1 − ν1ω3 ν1ω2 − ν2ω1   ∈ R3 Interpretation v, w2 ∈ R Skalar. Ist Maß f¨ ur die L¨ ange der Projektion von w auf v. v × w ∈ R3 Vektor senkrecht zu v und

• w. L¨

ange ist ist Maß f¨ ur Fl¨ ache des Parallelogramms aus v, w. Winkel v, w2 = v2 · w2 · cos (∡(v, w)) v × w2 = v2 · w2 · sin (∡(v, w)) Senkrechte v ⊥ w ⇒ v, w2 = 0 v ⊥ w ⇒ v × w2 = v2 · w2 Quadrat v, v2 = v2

2

v × v = o Kommutativit¨ at v, w2 = w, v2 v × w = −w × v Linearit¨ at αv, w2 = αv, w2 , u, v + w2 = u, v2 + u, w2 (α · v) × w = α · v × w , u × (v + w) = u × v + u × w Zusammenhang v × w, v2 = v × w, w2 = 0 , v × w2

2 = v2 2w2 2 − v, w2 2

Position ¨ uber Entfernungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Position ¨

uber Entfernungen

Auf der Linie In der Ebene Im Raum Die Position ¨ uber Entfernungen zu bestimmen ist der nat¨ urliche Weg zur Navigation:

• W¨

ahle in der Umgebung Landmarken mit bekannten Koordinaten.

• Bestimme eigene Entfernung zu den Landmarken.
• Berechne daraus eigene Koordinaten.

Wir spielen dies der Reihe nach geometrisch durch f¨ ur

• die Linie (1d),
• die Ebene (2d),
• und den Raum (3d).

Wir behandeln nicht, wie die Entfernungen gemessen werden. Gehen davon aus, dass wir diese exakt kennen. Kommen darauf aber f¨ ur das GPS sp¨ ater zur¨ uck.

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Position ¨ uber Entfernungen Auf der Linie richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Auf der Linie

Wir beginnen auf der Linie. Fangen langsam an. Hier sind noch keine Vektoren und keine Lineare Algebra notwendig. Der Ursprung liegt in O. Wir messen in x-Richtung.

x O

Unsere eigene Position P darauf ist

x O P

Dazu kommen die Landmarken oder ,,Satelliten“ S1, S2

x O P S1 S2

Die Koordinaten gemessen vom Ursprung O lauten

• P:

x unbekannt

• S1:

x1 bekannt

• S2:

x2 bekannt

Position ¨ uber Entfernungen Auf der Linie richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Vergessen nun, wo wir sind. Wir messen den Abstand (irgendwie)

r1 = P − S12 = |x − x1|

x O S1 S2

Wir wissen nur, dass wir einen Abstand r1 von S1 haben.

x O S1 S2

Wir k¨

• nnen an zwei Orten auf der Linie sein. Brauchen eine weitere Messung

r2 = P − S22 = |x − x2|

x O S1 S2

Damit L¨

• sung eindeutig

x O S1 S2 P Position ¨ uber Entfernungen Auf der Linie richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wir haben zeichnerisch das Gleichungssystem

|x − x1| − r1 = 0 , |x − x2| − r2 = 0 nach x aufgel¨

• st.

Wir haben eine Unbekannte, x, ben¨

• tigen aber zwei Gleichungen zur eindeutigen

L¨

• sung!

Warum?

Es geht bei den Betr¨ agen ein Vorzeichen verloren. Und daf¨ ur braucht man noch eine Gleichung oder andere Vorabinformation.

Position ¨ uber Entfernungen Auf der Linie richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Bemerkung

,Erde‘ ist ein begrenzter Streckenzug auf der Linie. W¨ ahle Satelliten weit ausserhalb der Erde. Dann gen¨ ugt eine Entfernungsmessung f¨ ur eindeutige Posi-

• tionsbestimmung. Zweite L¨
• sung liegt nicht auf der ,Erde‘.

x O S1 S2

Bemerkung Anders als bei vielen anderen mathematischen Problemen wissen wir, dass eine eindeutige L¨

• sung existiert. Denn wir stehen mit unserem Empf¨

anger in der L¨

• sung. Keine Diskussion ¨

uber L¨

• sbarkeit und Eindeutigkeit.

Position ¨ uber Entfernungen In der Ebene richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• In der Ebene

Eine Dimension mehr. Jetzt brauchen wir auch Vektoren im R2. Wir haben unsere eigene Position P und drei Satelliten in S1, S2, S3. x y O P S1 S2 S3 s1 s2 s3 p Die Koordinaten gemessen vom Ur- sprung O lauten

• P: p = (x, y) unbekannt
• S1: s1 = (x1, y1) bekannt
• S2: s2 = (x2, y2) bekannt
• S3: s3 = (x3, y3) bekannt

Position ¨ uber Entfernungen In der Ebene richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Jetzt vergessen wir, wo wir sind.

x y O S1 S2 S3 Wir messen unsere Entfernung zu dem Punkt S1 r1 = p − s12

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MNU Bremerhaven — November 2005 — 7

Position ¨ uber Entfernungen In der Ebene richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Jetzt vergessen wir, wo wir sind.

x y O S1 S2 S3 Wir messen die Entfernung zu dem Punkt S1 r1 = p − s12 Wir sind irgendwo auf einer Kreislinie mit Radius r1 um S1.

Position ¨ uber Entfernungen In der Ebene richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Jetzt vergessen wir, wo wir sind.

x y O S1 S2 S3 Wir messen die Entfernung zu dem Punkt S1 r1 = p − s12 Wir sind irgendwo auf einer Kreislinie mit Radius r1 um S1. Das hilft noch nicht richtig weiter. Messen unsere Entfernung zum Punkt S2 r2 = p − s22

Position ¨ uber Entfernungen In der Ebene richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Jetzt vergessen wir, wo wir sind.

x y O S1 S2 S3 r1 = p − s12 , r2 = p − s22 Dies liefert zweiten Kreis mit Radius r2. Wir m¨ ussen auf einem von zwei Schnittpunkten

• stehen. Hierzu eine dritten Entfernungsmessung zu S3

r3 = p − s32

Position ¨ uber Entfernungen In der Ebene richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Jetzt vergessen wir, wo wir sind.

x y O S1 S2 S3 P Der dritte Kreis schneidet in unserer Position P. Die L¨

• sung ist eindeutig.
• Wir haben das folgende Gleichungssystem geometrisch gel¨
• st

p − s12 − r1 =

• (x1 − x)2 + (y1 − y)2 − r1 = 0

p − s22 − r2 =

• (x2 − x)2 + (y2 − y)2 − r2 = 0

p − s32 − r3 =

• (x3 − x)2 + (y3 − y)2 − r3 = 0

Position ¨ uber Entfernungen In der Ebene richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Bemerkung

F¨ ur den Fall einer endlichen Erde und weit ausserhalb aufgeh¨ angten Satelliten gen¨ ugen zumeist zwei Entfernungsmessungen, um die aktuelle Position ein- deutig zu bestimmen. Die zweite L¨

• sung liegt zu weit von der Erde entfernt.

x y O P S1 S2 S3

Position ¨ uber Entfernungen Im Raum richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Im Raum

Wieder eine Dimension mehr. Aus Kreisen werden Kugeln. Jeweils zwei Kugeln schneiden sich in einem Kreis. Zwei Kreise in zwei Punkten. Die vierte Kugel liefert die gesuchte Position. Das Gleichungssystem dazu lautet

p − s12 − r1 =

• (x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2 − r1 = 0

p − s22 − r2 =

• (x2 − x)2 + (y2 − y)2 + (z2 − z)2 − r2 = 0

p − s32 − r3 =

• (x3 − x)2 + (y3 − y)2 + (z3 − z)2 − r3 = 0

p − s42 − r4 =

• (x4 − x)2 + (y4 − y)2 + (z4 − z)2 − r4 = 0

Bemerkung F¨ ur den Fall der Erde und weit aus- serhalb aufgeh¨ angten Satelliten gen¨ ugen drei Ent- fernungsmessungen, um die aktuelle Position ein- deutig zu bestimmen. Die noch offene zweite L¨

• sung

liegt meist zu weit von der Erde entfernt. Befindet man sich auf dem Wasser, so kommt die Erde selber als vierte Kugel hinzu.

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MNU Bremerhaven — November 2005 — 8

Entfernungsmessung unter GPS richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Entfernungsmessung unter GPS

Positionen der Satelliten Laufzeitmessung Wissen jetzt, wie aus bekannten exakten Entfernungen eigene Position bestimmt wird. Aber wie kommen wir an die Entfernungen? Dazu zwei Fragen zu kl¨ aren:

• 1. Wo stehen die Satelliten?
• 2. Wie messe ich deren Abstand?

Schnelle Antworten darauf

• 1. Schlag nach im Almanach.
• 2. ¨

Uber Signallaufzeiten.

Entfernungsmessung unter GPS Positionen der Satelliten richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Positionen der Satelliten

GPS Satelliten bewegen sich auf sehr hohem Orbit (20180km ¨ uber NN). Satellitenbewegung l¨ asst sich beschreiben mit Newton-Gesetz und als 2 K¨

• rper-Problem

F = m · a , Kraft = Masse × Beschleunigung Analytische L¨

• sung mit Gravitation F f¨

uhrt auf ,Kepler-Bahnen‘. (Ein Thema f¨ ur

• sich. . .).

Kepler-Modell im GPS-Empf¨ anger implementiert: ,Almanach‘. Daraus grobe Positionierung der Satelliten m¨

• glich.

Feinjustierung der Bahnen ¨ uber ,Ephemeriden‘: akkurater Orbit als Funktion der Zeit. Die notwendigen Ephemeriden-Daten (16 Parameter) werden von jedem einzelnen Sa- telliten an den Empf¨ anger ¨

• ubertragen. Valide f¨

ur 4–6 Stunden. ¨ Anderungen der Bahnen werden von den Kontrollstationen ¨ uberwacht und korrigiert

• bzw. kommuniziert (¨

uber Satelliten).

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Laufzeitmessung

Abstandmessung eigentlich einfach. Und ¨ ahnlich der Bestimmung des Abstandes zu einem Gewitter: Man sieht den Blitz und f¨ angt an zu z¨ ahlen bis man den Donner h¨

• rt. Die gemes-

sene Zeit wird mit cs = 300 m/s (der Schallgeschwindigkeit) mal genommen und man hat den Abstand zur Gewitterfront. Der Blitz gilt als Marke, wann das Signal (der Donner) losgeschickt wurde. Da das Licht wahnsinnig schnell ist, gilt auf der Erde die Verz¨

• gerung durch die Laufzeit des

Lichtes von der Gewitterfront bis zu unserem Auge als vernachl¨ assigbar. Abstand = Laufzeit × Geschwindigkeit r = ∆t · cs Bei GPS werden die Laufzeiten von elektromagnetischen Wellen zwischen Satelliten und Empf¨ anger gemessen. Wellen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit c.

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wann beginnt Empf¨

anger zu z¨ ahlen? Satellit und Empf¨ anger erzeugen gleichzeitig denselben eindeutigen Code (das Signal): Pseudo-Random Code ,Zuf¨ allige‘ Folge von 0en und 1en. Vergleichbar einem Zufallsgenerator im Computer. Empf¨ anger bestimmt Zeitshift ∆t, mit dem Satellitensignal verz¨

• gert werden muss, um

perfekt zum eigenen Signal zu passen. Das ist die Laufzeit.

t s

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

erzeugt& sendet t erzeugt t empf¨ angt ∆t

Berechnung von ∆t ¨ uber Kreuzkorrelation empfangener und erzeugter Signale.

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• In der Laufzeitmessung steckt der Teufel im Detail. Und der Grund, warum man vier-

dimensional denken muss: Satellit und Empf¨ anger m¨ ussen Code gleichzeitig erzeugen Zeit in den Satelliten l¨ auft synchron. Jeder ausgestattet mit 4 Atomuhren und Kontrolle ¨ uber Bodenstation. Aber GPS Empf¨ anger mit Atomuhr zu teuer (100.000 ¤) und zu schwer. Hier werden normale Quartzuhren verwendet. Also: Zeit zwischen Satellit und Empf¨ anger nicht synchron. Zeitoffset dt.

Macht das was aus?

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Atomuhr besitzt relative Genauigkeit von 10−12, d.h.
• in 1 h = 60 min einen Fehler von 60 · 10−12 min
• in 1 d = 24 · 60 min einen Fehler von 24 · 60 · 10−12 min

= ⇒ 0.0000000864 s ≈ 10−7 s pro Tag

Ist das viel?

Eigentlich nicht. Aber das wird ja noch mit der Lichtgeschwindigkeit c = 299792458.0 m/s multipliziert: c · 0.000000086 s ≈ 26 m In der Praxis Fehler durch Satellitenuhren weniger als 1 m, da Korrekturen durch Bo- denstation. Und was ist mit der Uhr im Empf¨ anger?

SLIDE 9

MNU Bremerhaven — November 2005 — 9

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Quartzuhren haben relative Genauigkeit von 10−6. Nochmal rechnen
• in 1 h = 60 min einen Fehler von 60 · 10−6 min
• in 1 d = 24 · 60 min einen Fehler von 24 · 60 · 10−6 min

= ⇒ 0.0864 s ≈ 10−1 s pro Tag Zusammen mit der Lichtgeschwindigkeit c · 0.086 s ≈ 25902068 m ≈ 26000 km Das kann man nicht ignorieren. Bemerkung Nat¨ urlich ist das eine ,worst-case‘ Rechnung.

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wir haben also ein Zeitproblem. Aber:

Uhren-Offset dt des Empf¨ angers gegen¨ uber den Satellitenuhren ist f¨ ur alle Satelliten

• gleich. Alle Entfernungsmessungen sind um den gleichen Anteil

c · dt zu kurz oder zu lang.

Si P ri c dt ρi

Da dier Messungen nicht die wirklichen Entfernungen ri liefern, werden sie auch ,Pseudo- Entfernungen‘ (pseudo-range) ρi genannt. Anstelle von ri = si − p2 messen wir ρi = si − p2 + c · dt = ri + c · dt.

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Hier nochmal die Situation in der Ebene mit festem Uhrenoffset. Kreise haben Radius

ρi = ri + c · dt: x y O S1 S2 S3 P

• Die Kreise schneiden sich nicht mehr in einem Punkt!

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Alle vorhergehenden Betrachtungen m¨

ussen wir nun revidieren. K¨

• nnen nicht mehr

einfach geometrisch die gesuchte Position in P konstruieren, da eine weitere vierte Unbekannte dt im System! Gehen wir davon aus, dass wir im Raum bisher drei Gleichungen brauchten, um x, y, z zu bestimmen, so brauchen wir nun eine weitere mehr, um auch dt in den Griff zu bekommen. Das zu l¨

• sende Gleichungssystem lautet

ρ1 = s1 − p2 + c · dt =

• (x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2 + c · dt

ρ2 = s2 − p2 + c · dt =

• (x2 − x)2 + (y2 − y)2 + (z2 − z)2 + c · dt

ρ3 = s3 − p2 + c · dt =

• (x3 − x)2 + (y3 − y)2 + (z3 − z)2 + c · dt

ρ4 = s4 − p2 + c · dt =

• (x4 − x)2 + (y4 − y)2 + (z4 − z)2 + c · dt

Daf¨ ur zwei Algorithmen: − Bancroft (1985) − Kleusberg (1994)

Bancroft-Algorithmus richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Bancroft-Algorithmus

Ausgangslage Gleichungssystem ,Zeit‘ als vierte Dimension ,Lineares‘ System Quadratische Gleichung Algorithmus Wir berechnen unsere Position P im Raum, wenn wir vier Pseudo-Entfernungen von bekannten Satellitenpositionen S1, S2, S3 und S4 kennen.

Bancroft-Algorithmus Ausgangslage richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Ausgangslage

Wir betrachten folgende Konstellation im Raum x y z O P S1 S2 S3 S4 p s1 s2 s3 s4

• P:

p =   x y z   unbekannt

• S1:

s1 =   x1 y1 z1   bekannt

• S2:

s2 =   x2 y2 z2   bekannt

• S3:

s3 =   x3 y3 z3   bekannt

• S4:

s4 =   x4 y4 z4   bekannt

¨ Uber gemessene Signallaufzeiten ∆ti zwischen Si und P bekannte Pseudo-Entfernungen: ρi = c · ∆ti f¨ ur i = 1, 2, 3, 4.

SLIDE 10

MNU Bremerhaven — November 2005 — 10

Bancroft-Algorithmus Gleichungssystem richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Gleichungssystem

Entfernungen mit Uhren-Offset dt

Si P ri c dt ρi

Lineare Algebra liefert den Zusammenhang ρi = ri + c · dt = si − p2 + c · dt =

• (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 + c · dt

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4 Setzen abk¨ urzend β = c · dt und schreiben ρi − β = si − p2 =

• (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4.

Bancroft-Algorithmus Gleichungssystem richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Bisher

ρi − β =

• (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4. Beide Seiten quadriert und voll ausgeschrieben (ρ1 − β)2 = (x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2 (ρ2 − β)2 = (x2 − x)2 + (y2 − y)2 + (z2 − z)2 (ρ3 − β)2 = (x3 − x)2 + (y3 − y)2 + (z3 − z)2 (ρ4 − β)2 = (x4 − x)2 + (y4 − y)2 + (z4 − z)2 Dies ist das Gleichungssystem, welches wir l¨

• sen wollen, um die vier Unbekannten

x, y, z und β = c · dt zu bestimmen. Vier Gleichungen in vier Unbekannten, dass m¨ usste doch zu schaffen sein. Aber! Das System ist nichtlinear und damit dann doch nicht so einfach. (ρi − β)2 = (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 f¨ ur i = 1, 2, 3, 4.

Bancroft-Algorithmus Gleichungssystem richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Erst noch ein wenig umformen. Beginnen mit

(ρi − β)2 = (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 f¨ ur i = 1, 2, 3, 4. Klammern ausrechnen (zweite binomische Formel) ρ2

i −2βρi +β2 = x2 i −2xix+x2 +y2 i −2yiy +y2 +z2 i −2ziz +z2

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4 ,Geschickt‘ umstellen x2

i +y2 i +z2 i −ρ2 i −2 (xxi + yyi + zzi − βρi) = −(x2+y2+z2−β2)

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4

Sieht auch nicht einfacher aus, oder ?!

Bancroft-Algorithmus ,Zeit‘ als vierte Dimension richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• ,Zeit‘ als vierte Dimension

Nun kommt ein Trick! In zwei Schritten. . . Erster Schritt: wir gehen in den vierdimensionalen Raum. Erweitern alle 3d Vektoren um eine ,Zeit‘-Komponente zu 4d Vektoren. si = (xi, yi, zi)T ∈ R3 − → si = (xi, yi, zi, ρi)T ∈ R4 p = (x, y, z)T ∈ R3 − → p = (x, y, z, β)T ∈ R4 Bemerkung Die Gr¨

• ssen ρi und β haben ebenfalls die Einheit einer L¨

ange. Bemerkung In dem neuen Vektor p sind alle unsere Unbekannten versammelt. In den neuen si alles, was wir wissen. Zweiter Schritt: wir verwenden das Lorentz-Produkt im R4. v, wL = v1w1 + v2w2 + v3w3 − v4w4 = vTMw mit M =     1 1 1 −1     Mit v, wL kann man normal rechnen, nur keine L¨ angen messen!

Bancroft-Algorithmus ,Zeit‘ als vierte Dimension richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wozu das ?

Weil nun f¨ ur i = 1, 2, 3, 4 gilt si, siL = x2

i + y2 i + z2 i − ρ2 i

, p, pL = x2 + y2 + z2 − β2 p, siL = si, pL = x · xi + y · yi + z · zi − β · ρi Damit wird aus x2

i +y2 i +z2 i −ρ2 i −2 (xxi + yyi + zzi − βρi)+x2+y2+z2−β2 = 0

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4 si, siL − 2 · p, siL + p, pL = 0 f¨ ur i = 1, 2, 3, 4. Oder ausgeschrieben s1, s1L − 2 · p, s1L + p, pL = 0 s2, s2L − 2 · p, s2L + p, pL = 0 s3, s3L − 2 · p, s3L + p, pL = 0 s4, s4L − 2 · p, s4L + p, pL = 0 Daraus bauen wir jetzt ein ,lineares‘ Gleichungssystem. . .

Bancroft-Algorithmus ,Lineares‘ System richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• ,Lineares‘ System

Betrachten s1, s1L − 2 · p, s1L + p, pL = 0 s2, s2L − 2 · p, s2L + p, pL = 0 s3, s3L − 2 · p, s3L + p, pL = 0 s4, s4L − 2 · p, s4L + p, pL = 0 Setzen a =     s1, s1L s2, s2L s3, s3L s4, s4L     ∈ R4 Und     p, pL p, pL p, pL p, pL     = λ · e mit λ = p, pL ∈ R, e =     1 1 1 1     ∈ R4 Damit linke und rechte Spalte erledigt. Fehlt noch die mittlere Spalte. . .

SLIDE 11

MNU Bremerhaven — November 2005 — 11

Bancroft-Algorithmus ,Lineares‘ System richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Nochmal

s1, s1L − 2 · p, s1L + p, pL = 0 s2, s2L − 2 · p, s2L + p, pL = 0 s3, s3L − 2 · p, s3L + p, pL = 0 s4, s4L − 2 · p, s4L + p, pL = 0 F¨ ur die mittlere Spalte gilt p, siL = si, pL = sT

i Mp

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4. Definere nun die Matrix

B =     sT

1

sT

2

sT

3

sT

4

    =     x1 y1 z1 ρ1 x2 y2 z2 ρ2 x3 y3 z3 ρ3 x4 y4 z4 ρ4     ∈ R4×4

Damit

    s1, pL s2, pL s3, pL s4, pL     = BMp

Bemerkung In B stehen alle bekannten Eingangsdaten, in p alle gesuchten Gr¨

• ssen.

Bancroft-Algorithmus ,Lineares‘ System richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Aus

s1, s1L − 2 · p, s1L + p, pL = 0 s2, s2L − 2 · p, s2L + p, pL = 0 s3, s3L − 2 · p, s3L + p, pL = 0 s4, s4L − 2 · p, s4L + p, pL = 0 wird a − 2 · BMp + λ · e = o mit

• =

        ∈ R4

Bancroft-Algorithmus ,Lineares‘ System richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Es gilt

a − 2 · BMp + λ · e = o In p steckt alles, was wir wissen wollen. Deshalb stellen wir nach p um a − 2 · BMp + λ · e = o ⇐ ⇒ 2 · BMp = (a + λ · e) ⇐ ⇒ BMp = 1 2 · (a + λ · e) ⇐ ⇒ Mp = 1 2 · B−1 (a + λ · e) ⇐ ⇒ p = 1 2 · MB−1 (a + λ · e) Wir haben benutzt, dass M−1 = M gilt. Ist das die L¨

• sung?

p = 1 2 · MB−1 (a + λ · e) Sind wir fertig? Ist das wirklich so einfach? Das war doch eigentlich ein nichtlineares System (quadratische Gleichungen). Und nun eine L¨

• sung ¨

uber ein lineares System?!

Bancroft-Algorithmus Quadratische Gleichung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Quadratische Gleichung

Schau’n wir nochmal genau hin: p = 1 2 · MB−1 (a + λ · e) Oops! Die Unbekannten treten noch auf der rechten Seite auf, denn λ = p, pL Jetzt kommt noch ein Trick! Wir setzen unsere obige Darstellung von p in die untere Definition von λ ein. Mal sehn was passiert. . .

Bancroft-Algorithmus Quadratische Gleichung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Dann mal los:

λ = p, pL = 1 2MB−1 (a + λe), 1 2MB−1 (a + λe)L ⇔ λ = 1 4 · B−1 (a + λe), B−1 (a + λe)L ⇔ 4λ = B−1a, B−1aL + B−1a, λB−1eL + λB−1e, B−1aL + λB−1e, λB−1eL ⇔ 4λ = B−1a, B−1aL + 2 · B−1a, λB−1eL + λB−1e, λB−1eL ⇔ 4λ = B−1a, B−1aL + 2λ · B−1a, B−1eL + λ2 · B−1e, B−1eL ⇔ B−1a, B−1aL + 2λ

• B−1a, B−1eL − 2
• + λ2 · B−1e, B−1eL = 0

Und nun steht eine quadratische Gleichung f¨ ur λ da α2 · λ2 + 2 · α1 · λ + α0 = 0 mit den Koeffizienten α2 = B−1e, B−1eL , α1 = B−1a, B−1eL − 2 , α0 = B−1a, B−1aL. In diese Koeffizienten spielen nur die bekannten Eingangsdaten f¨ ur die Satellitenposi- tionen und die Pseudo-Entfernungen hinein: B, a.

Bancroft-Algorithmus Quadratische Gleichung richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Die quadratische Gleichung

α2 · λ2 + 2 · α1 · λ + α0 = 0 hat zwei reelle L¨

• sungen

λ1,2 = 1 α2 ·

• −α1 ±
• α2

1 − α2 · α0

• Bemerkung

Wir m¨ ussen uns keine Gedanken ¨ uber die reelle L¨

• sbarkeit dieser Glei-

chung machen! Wir wissen ja, dass eine reelle L¨

• sung existiert, weil wir darin stehen.

Und damit ist die zweite Nullstelle auch reell. Wir bekommen zwei reelle L¨

• sungen f¨

ur λ und damit zwei L¨

• sungen f¨

ur p. Eine ist gut, die andere unpassend zu den Daten. p1,2 = 1 2 · MB−1 (a + λ1,2 · e) Fertig!

SLIDE 12

MNU Bremerhaven — November 2005 — 12

Bancroft-Algorithmus Algorithmus richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Algorithmus

Nochmal alles zusammengefasst Input: Satellitenpositionen und Pseudoentfernungen Input: s1, s2, s3, s4, ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 1 Erweitere Vektoren um ,Zeit‘komponente: (si, ρi) 2 Bestimme Vektor a, Matrix B 3 Formuliere quadratische Gleichung α2λ2 + 2α1λ + α0 = 0 4 Bestimme L¨

• sungen der quadratischen Gleichung: λ1, λ2

5 Bestimme L¨

• sungen des Positionsproblems: p1, p2

6 Verifiziere korrekte L¨

• sung

Output: Empf¨ angerposition und Uhrenoffset: p, dt

Bancroft-Algorithmus Algorithmus richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Spielen den Bancroft-Algorithmus einmal durch f¨

ur die Eingangsdaten s1 = (−11716227.778, −10118754.628, 21741083.973)T , ρ1 = 22163882.029 s2 = (−12082643.974, −20428242.179, 11741374.154)T , ρ2 = 21492579.823 s3 = (14373286.650, −10448439.349, 19596404.858)T , ρ3 = 21492492.771 s4 = (10278432.244, −21116508.618, −12689101.970)T , ρ4 = 25284588.982 Erweiterte Vektoren si und Matrix B kann man direkt oben ablesen. Und a =

• 2.21096276 · 1014, 2.39232229 · 1014, 2.37853091 · 1014, 7.32559940 · 1013

Quadratische Gleichung lautet −1.08886617274 · 10−15 · λ2 − 3.62020402411 · λ + 1.48672796195 · 1014 = 0 Als L¨

• sungen ergeben sich

λ1 = −3.36531893223 · 1015 , λ2 = 4.0572407133 · 1013 Oder als Positionsvektoren (inkl. ,Zeit‘) p1 = (−1709347.365, 10519733.795, −7696634.911, 59482298.112)T p2 = (595024.880, −4856499.09, 4078329.21, 145.892213)T

Bancroft-Algorithmus Algorithmus richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wer macht Sinn? p1 oder p2? Plausibilit¨

atspr¨ ufung: s1 − p2 ≈ ρ1 Mal sehn ρ1 = 22163882.029 , s1−p12 = 37318416.0232 , s1−p22 = 22163735.9578 Damit ist p2 = (595024.880, −4856499.09, 4078329.21)T unsere Position und dt = β/c = 145.892213 m/c = 4.86644039093 · 10−7 s unser Uhren-Offset. Bemerkung Keine Angst vor grossen Zahlen. Aber diese machen numerische Schwie- rigkeiten.

Kleusberg-Algorithmus richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Kleusberg-Algorithmus

Abst¨ ande und Einheitsvektoren Dreiecksbeziehungen Vektorprodukt Kleusberg-Algorithmus Ok, nun zum zweiten Algorithmus zur Berechnung der Positionen aus fehlerhaften Entfernungen.

Kleusberg-Algorithmus richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Zuerst die geometrische Grundidee des Kleusberg-Algorithmus.

Betrachte zwei gleichzeitige Messungen mit Uhrenfehler dt ρ1 = r1 + c · dt , ρ2 = r2 + c · dt Differenz hat keinen Uhrenfehler mehr. ρ1 − ρ2 = r1 − r2 Empf¨ anger muss auf einem Hyperboloiden liegen mit den Satelliten als Foki. Dies ist der Graph aller der Punkte im Raum, deren Abstand zu den Satelliten sich durch ρ1−ρ2 unterscheiden. Eine dritte Messung liefert einen weiteren Hyperboloiden, der den ersten in einer Kurve schneidet. Eine vierte Messung liefert eine weitere Kurve, die die eben berechnete zumeist in zwei Punkten schneidet. Normalerweise liegt einer davon so weit ausserhalb des Raumes, dass er nicht in Frage kommt. Dies ist ein geometrischer Weg, die L¨

• sung unter fehllaufender Uhr zu bestimmen.

Kleusberg-Algorithmus Abst¨ ande und Einheitsvektoren richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Abst¨

ande und Einheitsvektoren

Ausgangslage ist

x y z O P S1 S2 S3 S4 s1 s2 s3 s4 p

• P:

p =   x y z   unbekannt

• S1:

s1 =   x1 y1 z1   bekannt

• S2:

s2 =   x2 y2 z2   bekannt

• S3:

s3 =   x3 y3 z3   bekannt

• S4:

s4 =   x4 y4 z4   bekannt

• ri: tats¨

achlicher Abstand zwischen Si und P

• ρi: gemessener Abstand

ρi = ri + c · dt =

• (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 + c · dt

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4

SLIDE 13

MNU Bremerhaven — November 2005 — 13

Kleusberg-Algorithmus Abst¨ ande und Einheitsvektoren richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Uhrenfehler verschwindet, wenn wir Differenzen von Pseudo-Entfernungen anschauen.

Hier Differenzen bezogen auf S1 δi = ρi − ρ1 =

• (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 −
• (x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2

= ri − r1 f¨ ur i = 2, 3, 4. In diesen drei Gleichungen kommen als Unbekannte nur noch die Koordinaten x, y, z von P vor.

Kleusberg-Algorithmus Abst¨ ande und Einheitsvektoren richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Kennen exakten Positionen der Satelliten. D.h. wir k¨
• nnen auch Entfernungen zwischen

den Satelliten bestimmen. Hier Abst¨ ande zu S1: βi = si − s12 f¨ ur i = 2, 3, 4.

x y z O P S1 S2 S3 S4 s1 β2 e2 β3 e3 β4 e4 r1 e

• Einheitsvektoren

e2 = s2 − s1 s2 − s12 , e3 = s3 − s1 s3 − s12 , e4 =

Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Dreiecksbeziehungen

Erst ein wenig Geometrie. In einem schiefwinkeligen Dreieck

a b c γ α β

gilt der Kosinussatz c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ). Betrachten nun f¨ ur i = 2, 3, 4 die Dreiecke

S1 P Si ϕi = ∡(e, ei)

mit cos(ϕi) = cos (∡(e, ei)) = e, ei2 = eTei

Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Kosinussatz f¨

ur das erste Dreieck

• x

y z O P S1 S2 S3 S4 β2 r2 r1 e2 e ∡(e, e2) r2

2 = β2 2 +r2 1−2·β2·r1·e, e22 Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Kosinussatz f¨

ur das zweite Dreieck x y z O P S1 S2 S3 S4 β3 r3 r1 e3 e ∡(e, e3)

• r2

2 = β2 2 + r2 1 − 2 · β2 · r1 · e, e22

r2

3 = β2 3 + r2 1 − 2 · β3 · r1 · e, e32 Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Kosinussatz f¨

ur das dritte Dreieck x y z O P S1 S2 S3 S4 β4 r4 r1 e4 e ∡(e, e4)

• r2

2 = β2 2 + r2 1 − 2 · β2 · r1 · e, e22

r2

3 = β2 3 + r2 1 − 2 · β3 · r1 · e, e32

r2

4 = β2 4 + r2 1 − 2 · β4 · r1 · e, e42

SLIDE 14

MNU Bremerhaven — November 2005 — 14

Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Bisher

r2

i = β2 i + r2 1 − 2 · βi · r1 · eTei

f¨ ur i = 2, 3, 4. Hatten schon δi = ρi − ρ1 = ri − r1 f¨ ur i = 2, 3, 4

• der

ri = δi + r1 f¨ ur i = 2, 3, 4

• der

r2

i = (δi + r1)2 = δ2 i + 2δir1 + r2 1

f¨ ur i = 2, 3, 4 Gleichsetzen eleminiert ri und liefert δ2

i + 2δir1 + r2 1 = β2 i + r2 1 − 2 · βi · r1 · eTei

f¨ ur i = 2, 3, 4

Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Bisher

δ2

i + 2δir1 + r2 1 = β2 i + r2 1 − 2 · βi · r1 · eTei

f¨ ur i = 2, 3, 4 Aufl¨

• sen nach r1

δ2

i + 2δir1 + r2 1 = β2 i + r2 1 − 2 · βi · r1 · eTei

δ2

i + 2δir1 = β2 i − 2 · βi · r1 · eTei

2δir1 + 2 · βi · r1 · eTei = β2

i − δ2 i

2r1

• δi + βi · eTei
• = β2

i − δ2 i

2r1 = β2

i − δ2 i

δi + βi · eTei f¨ ur i = 2, 3, 4 Ausschreiben f¨ ur i = 2, 3, 4 und gleichsetzten eleminiert r1 β2

2 − δ2 2

δ2 + β2 · eTe2 = β2

3 − δ2 3

δ3 + β3 · eTe3 = β2

4 − δ2 4

δ4 + β4 · eTe4

Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Gesucht wird e ∈ R3 aus zwei Gleichungen.

β2

2 − δ2 2

δ2 + β2 · eTe2 = β2

3 − δ2 3

δ3 + β3 · eTe3 β2

3 − δ2 3

δ3 + β3 · eTe3 = β2

4 − δ2 4

δ4 + β4 · eTe4

Reicht das?

Ja, denn bei e handelt es sich um einen Einheitsvektor: e2 = 1. Und das ist die dritte Gleichung.

Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Mit ein wenig Rechnerei l¨

asst sich in beiden Gleichungen e ausklammern. Wir spielen das nur f¨ ur die erste Gleichung durch β2

2 − δ2 2

δ2 + β2 · eTe2 = β2

3 − δ2 3

δ3 + β3 · eTe3 δ2 + β2 · eTe2 β2

2 − δ2 2

= δ3 + β3 · eTe3 β2

3 − δ2 3

δ2 β2

2 − δ2 2

+ β2 β2

2 − δ2 2

· eTe2 = δ3 β2

3 − δ2 3

+ β3 β2

3 − δ2 3

· eTe3 β2 β2

2 − δ2 2

· eTe2 − β3 β2

3 − δ2 3

· eTe3 = δ3 β2

3 − δ2 3

− δ2 β2

2 − δ2 2

• β2

β2

2 − δ2 2

· e2 − β3 β2

3 − δ2 3

· e3 T e = δ3 β2

3 − δ2 3

− δ2 β2

2 − δ2 2

Und analog

• β3

β2

3 − δ2 3

· e3 − β4 β2

4 − δ2 4

· e4 T e = δ4 β2

4 − δ2 4

− δ3 β2

3 − δ2 3 Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Ergebnis
• β2

β2

2 − δ2 2

· e2 − β3 β2

3 − δ2 3

· e3 T e = δ3 β2

3 − δ2 3

− δ2 β2

2 − δ2 2

• β3

β2

3 − δ2 3

· e3 − β4 β2

4 − δ2 4

· e4 T e = δ4 β2

4 − δ2 4

− δ3 β2

3 − δ2 3

sieht kompliziert aus. Aber alles darin, bis auf e, ist bekannt!Vereinfachen durch Umbenennen f2 = β2 β2

2 − δ2 2

· e2 − β3 β2

3 − δ2 3

· e3 ∈ R3 f3 = β3 β2

3 − δ2 3

· e3 − β4 β2

4 − δ2 4

· e4 ∈ R3 und η2 = δ3 β2

3 − δ2 3

− δ2 β2

2 − δ2 2

∈ R η3 = δ4 β2

4 − δ2 4

− δ3 β2

3 − δ2 3

∈ R Dann sch¨

• n und knapp

f2, e2 = η2 , f3, e2 = η3 , e2 = 1

Kleusberg-Algorithmus Vektorprodukt richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Vektorprodukt

Betrachten einen algebraischer Weg zur L¨

• sung von

f2, e2 = η2 , f3, e2 = η3 , e2 = 1 Geht ¨ uber ein doppeltes Vektorprodukt e × (f2 × f3) = e, f32 · f2 − e, f22 · f3 = η3 · f2 − η2 · f3 Nochmal Vereinfachen durch Umbenennen. Mit g = f2 × f3 , h = η3 · f2 − η2 · f3 gilt e × g = h. Beide Seiten von links mit g Vektor-multiplizieren g × (e × g) = g × h Wieder doppeltes Vektorprodukt links auswerten g, g2 · e − g, e2 · g = g × h

SLIDE 15

MNU Bremerhaven — November 2005 — 15

Kleusberg-Algorithmus Vektorprodukt richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wir wissen

g, e2 = g2 · e2 · cos(∡(g, e)) = g2 · cos(∡(g, e)) und

• h, h2 = h2 = e × g2 = e2 · g2 · sin(∡(g, e)) = g2 · sin(∡(g, e))

Umarrangieren cos(∡(g, e)) = g, e2 g2 , sin(∡(g, e)) =

• h, h2

g2 =

• h, h2
• g, g

Im Kosinus kommt e noch vor. Im Sinus nicht. Erinnern uns an (cos θ)2 + (sin θ)2 = 1 Damit cos(∡(g, e)) = ±

• 1 − sin(∡(g, e))2 = ±
• 1 − h, h2

g, g Also auch der Kosinus ohne e. Aber zwei M¨

• glichkeiten!

Kleusberg-Algorithmus Vektorprodukt richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Setzen

g, e2 = g2 · cos(∡(g, e)) = ±g2 ·

• 1 − h, h2

g, g in g, g2 · e − g, e2 · g = g × h ein und stellen nach e um: e± = 1 gTg

• g × h ±
• gTg − hTh · g
• Jetzt wissen wir die Richtung von S1 nach P. Fehlt noch der Abstand r1. Daf¨

ur e einsetzen in (beispielsweise) r1± = 1 2 β2

2 − δ2 2

δ2 + β2 · eT

±e2

Insgesamt zwei m¨

• gliche Positionen

p± = s1 + r1± · e±

Kleusberg-Algorithmus Kleusberg-Algorithmus richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Kleusberg-Algorithmus

Input: Satellitenpositionen s1, s2, s3, s4 Input: Pseudoentfernungen ρ1, ρ2, rho3, ρ4 1 Berechne Abst¨ ande 2 Berechne Richtungsvektoren 3 Bestimme Ebenenvektoren 4 Bilde Vektoren g und h 5 Berechne zwei L¨

• sungsvektoren und Abst¨

ande 6 Verifiziere korrekte L¨

• sung

Output: Empf¨ angerposition p

Fehler im GPS richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Fehler im GPS

Oder warum es doch nicht so einfach ist. Bisher eine einfache Sicht auf das System. Viele Fehlerquellen spielen mit hinein. Etwa:

• Fehlerhafte Satellitenpositionen

Obwohl immer wieder aktualisiert, sind die Ephemeriden-Daten fehlerhaft (¨ uber gewisse Zeitr¨ aume): Fehler ≈ 2 m.

• Fehlerhafte Satellitenzeiten

Auch Atomuhren k¨

• nnen falsch laufen. Werden aber kontrolliert: Fehler ≈ 1 m

E

• Ionosph¨

arenfehler Zwischen 50 km und 1000 km oberhalb der Erde ist die Ionosph¨

• are. Das GPS

Signal wird dort abgebremst, bewegt sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit: Fehler ≈ 4 m. Die Signalverz¨

• gerung ist abh¨

angig von der Frequenz des Signals. Signal wird auf zwei Frequenzen gesendet (L1, L2), daraus Fehlerkorrektur m¨

• glich.

Fehler im GPS richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• E
• Troposph¨

arenfehler Der untere Teil der Atmosph¨

• are. Auch hier wird nicht mit Lichgeschwindigkeit

geflogen: Fehler ≈ 1 m.

• Multipath-Fehler

Durch Ablenkung an Geb¨ auden kann eine Signal zweimal im Empf¨ anger landen und verwirren: Fehler ≈ 2 m.

• Ung¨

unstige Geometrie Satelliten stehen zu eng beieinander. Dann s1 ≈ s2 ≈ s3 ≈ s4 ⇒ B = (s1, s2, s3, s3)T fast singul¨ ar.

Fehler im GPS richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Bewegte Uhren im Gravitationsfeld

Es treten relativistische Effekte auf.

• Gewollte St¨
• rungen

Zu Beginn hat das DoD k¨ unstlich das GPS Signal verf¨ alscht (S/A). Wurde im Jahr 2000 abgestellt. Aber immer noch m¨

• glich.
• . . .

SLIDE 16

MNU Bremerhaven — November 2005 — 16

GPS und Relativit¨ atstheorie richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• GPS und Relativit¨

atstheorie

GPS und spezielle Relativit¨ at GPS und allgemeine Relativit¨ at Bei GPS bewegen sich Satelliten im Weltraum und Benutzer auf der Erde sehr schnell in einem Gravitationsfeld umeinander. Und beide f¨ uhren Uhren mit sich. Die Relati- vit¨ atstheorie sagt, jeder misst ,seine‘ Zeit: Bewegte Uhren und Uhren in Gravitationsfeldern laufen scheinbar langsamer. Die Effekte sind zwar gering, aber gen¨ ugen, um im GPS-System Korrekturen notwendig zu machen. W¨ ahlen hier eine einfache Sicht auf das Problem.

GPS und Relativit¨ atstheorie GPS und spezielle Relativit¨ at richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• GPS und spezielle Relativit¨

at

Erde N, δt′ S, δt v

Die Uhren der Satelliten S bewegen sich am ,ruhenden‘ GPS-Nutzer N sehr schnell vorbei. Oder umgekehrt fliegt der Nutzer sehr schnell am ruhenden Satelliten vorbei. Das periodische Ticken der Uhr im Satelliten habe eine Zeitdauer δt

• der eine Frequenz f im Ruhesystem des Satelliten.

In dem mit v bewegten System des Nutzers wird die Zeitdauer δt′ oder die Frequenz f′ gemessen. Beide h¨ angen zusammen nach der speziellen Relativit¨ atstheorie ¨ uber δt = δt′ ·

• 1 −

v c 2 bzw. f′ = f ·

• 1 −

v c 2 Es gilt δt′ > δt bzw. f′ < f. F¨ ur den Nutzer tickt die Uhr im Satelliten langsamer als die eigene.

• Bzw. die Frequenz im Satelliten ist schneller als die eigene.

GPS und Relativit¨ atstheorie GPS und spezielle Relativit¨ at richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Wie gross ist der Effekt?

Es gilt v = 3874 m/s , c = 299792458 m/s Und daraus folgt δt δt′ = 0.99999999991650745 = 1 − 0.83492546210095497 · 10−10 D.h. die Zeiten im Satelliten werden vom Nutzer um ca. 0.835 · 10−8 % ¨ ubersch¨ atzt und die Frequenzen untersch¨ atzt.

GPS und Relativit¨ atstheorie GPS und allgemeine Relativit¨ at richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• GPS und allgemeine Relativit¨

at

Erde N, δt′ S, δt rS rN

Auch Gravitationsfelder beeinflussen die Zeiten in Uhren. Denken wir uns die Zeit im Satelliten wieder zu δt. Betrachtet von der Erde ist die Zeit δt′. Beide sind verkn¨ upft nach der allgemeinen Relativit¨ atstheorie ¨ uber δt = δt′ ·

• 1 + ∆U

c2

• Darin ist ∆U die Potentialdifferenz zwischen Benutzer und Satelliten

(vereinfacht): ∆U = G M · 1 rN − 1 rS

• .

Mit den Gr¨

• ssen

G M = 3.986 · 1014 m3/s2 , rN = 6378 km , rS = 26560 km ergibt sich

GPS und Relativit¨ atstheorie GPS und allgemeine Relativit¨ at richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• δt

δt′ = 1.0000000005283813 = 1 + 5.284 · 10−10 D.h. die Zeiten im Satelliten werden vom Nutzer um ca. 5.284 · 10−8 % untersch¨ atzt und Frequenzen ¨ ubersch¨ atzt. Der Effekt der allgemeinen Relativit¨ atstheorie ist gr¨

• sser als der der speziellen.

GPS und Relativit¨ atstheorie GPS und allgemeine Relativit¨ at richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005

• Insgesamt werden die Zeiten im Satelliten vom Nutzer um ca.

5.28 · 10−8 − 0.835 · 10−8 = 4.449 · 10−8 Prozent untersch¨ atzt und Frequenzen ¨ ubersch¨ atzt. Die Uhren im Satelliten ticken normalerweise mit einer Frequenz von 10.23 MHz. Bevor man die Satelliten in den Orbit schickt korrigiert man dies um 4.449 · 10−8 % zu 10.22999999543 MHz und niemand muss danach mehr etwas von Relativit¨ at wissen.

SLIDE 17

MNU Bremerhaven — November 2005 — 17

Ok, das wars. Und vielen Dank f¨ ur Ihr Interesse.

richard.rascher-friesenhausen@hs-bremerhaven.de